Einführung in die Unternehmenstheorie I: Produktion und Kosten

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1 Dr. habil. Burkhard Utecht Berufsakademie Thüringen Staatliche Studienakademie Studienabteilung Eisenach Studienbereich Wirtschaft VWL im 2. Semester Mikroökonomik Sommersemester 24 Einführung in die Unternehmenstheorie I: Produktion und Kosten 1. Ausgangsbetrachtungen 2. Produktion 2.1. Die Produktionsfunktion als Abbildung der eingesetzten Technologie 2.2. Positive Grenzprodukte und Substitutionalität der Produktionsfaktoren 2.3. Abnehmende Grenzprodukte ( Gesetz des abnehmenden Grenzertrages ) 2.4. Arbeitsbedarfsfunktion als Umkehrfunktion der Produktionsfunktion 3. Kosten 3.1. Grundlegende Kostenbegriffe und totale Kostenfunktion 3.2. Totale Kostenfunktion und Grenzkosten der Ausbringung GK 3.3. Totale Kostenfunktion und variable Durchschnittskosten VDK 3.4. Totale Kostenfunktion und fie Durchschnittskosten FDK 3.5. Totale Kostenfunktion und totale Durchschnittskosten TDK 3.6. Die Kostenverläufe im Überblick (EXCEL-Simulation eines Beispielfalls) 4. Übungsaufgaben

2 B. Utecht Arbeitsmaterialien zur VWL 2 (Mikroökonomik) 1 Einführung in die Unternehmenstheorie I: Produktion und Kosten 1. Ausgangsbetrachtungen Die Unternehmenstheorie als Teil der Volkswirtschaftslehre befasst sich im Grundsatz mit der Frage, wie die Wirtschaftsaktivitäten von Unternehmen erklärt werden können und welche einzel- und gesamtwirtschaftlichen Konsequenzen sich hieraus ergeben. Im Bezug auf private Unternehmen (auf die wir uns hier beschränken werden) wird davon ausgegangen, dass diese im Rahmen ihrer Aktivitäten die Maimierung des eigenen Gewinns anstreben. Die wirtschaftliche Hauptaktivität der Unternehmen besteht in Produktion und Absatz von Waren und Dienstleistungen (Güter im weiteren Begriffssinne). Die Güterproduktion erfordert den Einsatz von Produktionsfaktoren (Arbeit, Sachkapital, Zwischenerzeugnisse usw.) im Rahmen der verfügbaren Technologien, wobei der Einsatz dieser Produktionsfaktoren im Regelfall mit Kosten für das Unternehmen verbunden ist. Streben die Unternehmen Gewinnmaimierung an (wovon wir ausgehen), dann wird das einzelne Unternehmen stets darum bemüht sein, seine Produktions- und Absatzmenge so zu setzen, dass die Differenz zwischen Umsatz und Kosten maimal wird, denn Gewinn = Umsatz Kosten. Daher ist es notwendig, die grundlegenden Zusammenhänge zwischen Produktion und Kosten näher zu untersuchen. Hierfür sei zur Vereinfachung ein Unternehmen betrachtet, dass ein bestimmtes Gut produziert ( ) und hierfür im Rahmen der eingesetzten Technologie allein die zwei Produktionsfaktoren Arbeit n und (Sach-)Kapital k benötigt. Das Unternehmen wird dabei im Grundsatz stets versuchen, mit gegebenen Faktoreinsatzmengen n und k die größtmögliche zu erzeugen, die mit diesen Faktoreinsatzmengen technisch erreicht werden kann (Wirtschaftlichkeitsprinzip). 2. Produktion 2.1. Die Produktionsfunktion als Abbildung der eingesetzten Technologie Die vom Unternehmen eingesetzte Technologie kann als Produktionsfunktion verstanden werden, d.h. die wird eindeutig durch die eingesetzten Faktormengen (in unserem Fall n und k) bestimmt: (1) = F(n,k) (Produktionsfunktion) Wir wollen dabei vereinfachend annehmen, dass a) das produzierte Gut und die beiden Produktionsfaktoren beliebig teilbar sind und b) es technologisch stets möglich ist, durch eine Erhöhung der Einsatzmenge eines der Produktionsfaktoren ceteris paribus (d.h. bei gegebener Einsatzmenge des anderen Faktors) die zu steigern.

3 Produktion und Kosten Positive Grenzprodukte und Substitutionalität der Produktionsfaktoren Eine Erhöhung der eingesetzten Arbeitsmenge n wird hier bei gegebener Kapitalausstattung k stets zur einer Erhöhung der führen. Formal bedeutet dies, dass die 1. (partielle) Ableitung der Produktionsfunktion nach n stets positiv ist: (2) / n > Alternative Schreibweise: F n > (Grenzprodukt der Arbeit) Die Ableitung / n = F n wird Grenzprodukt der Arbeit genannt, denn sie gibt inhaltlich an, um wie viele (marginal kleine) Einheiten die Ausbringung ansteigen würde, wenn das Unternehmen die Arbeitseinsatzmenge n um eine (marginal kleine) Einheit erhöhen würde und zwar bei unveränderter Kapitalausstattung k (also ceteris paribus, bei unveränderten Übrigen ). Die nachfolgende Abbildung 1 verdeutlicht den Zusammenhang, wobei unterstellt wird, dass bei einer Arbeitsmenge von Null auch die Null ist. Bei einem gegebenen Kapitalstock k fällt die umso größer aus, je größer die eingesetzte Arbeitsmenge n ist. Die Steigung der abgebildeten Produktionsfunktion (= 1. partielle Ableitung der Produktionsfunktion nach n = Grenzprodukt der Arbeit) ist damit in jedem Punkt positiv. 1 Punkt E 1 1 = F(n 1,k ) = F(n,k ) Punkt E = F(n,k ) n Arbeitsmenge n Abb. 1: Produktionsfunktion in Abhängigkeit der eingesetzten Arbeitsmenge n bei gegebener Kapitalausstattung k n 1 Ebenso wird hier (annahmegemäß) eine Erhöhung der eingesetzten Kapitalmenge k bei gegebener Arbeitsmenge n stets zur einer Erhöhung der führen. Formal bedeutet dies, dass die 1. (partielle) Ableitung der Produktionsfunktion nach k stets positiv ist: (3) / k > Alternative Schreibweise: F k > (Grenzprodukt des Kapitals)

4 B. Utecht Arbeitsmaterialien zur VWL 2 (Mikroökonomik) 3 Die Ableitung / k = F k ist das Grenzprodukt des Kapitals, denn sie gibt an, um wie viele (marginal kleine) Einheiten die Ausbringung ansteigen würde, wenn das Unternehmen die eingesetzte Kapitalmenge k um eine (marginal kleine) Einheit ceteris paribus erhöhen würde. Die nachfolgende Abbildung 2 verdeutlicht abermals den Zusammenhang, wobei analog zu oben unterstellt wird, dass bei einer Kapitalmenge von Null die ebenfalls Null ist. Bei einer gegebener Arbeitsmenge n fällt die umso größer aus, je größer die eingesetzte Kapitalmenge k ist. Die Steigung der abgebildeten Produktionsfunktion (= 1. partielle Ableitung der Produktionsfunktion nach k = Grenzprodukt des Kapitals) ist damit ebenfalls in jedem Punkt positiv. = F(n,k) 1 Punkt E 1 1 = F(n,k 1 ) Punkt E = F(n,k ) k k 1 Kapitalmenge k Abb. 2: Produktionsfunktion in Abhängigkeit der eingesetzten Kapitalmenge k bei gegebener Arbeitsmenge n Weist eine Produktionsfunktion positive Grenzprodukte ihrer Produktionsfaktoren auf, dann spricht man auch von einer substitutionalen Produktionsfunktion, denn dann ist es im Grundsatz möglich, die Produktionsfaktoren mengenmäßig so gegeneinander auszutauschen (zu substitutieren), dass die dieselbe bleibt. Machen wir uns dies am Beispiel einer einfachen Produktionsfunktion deutlich: (4) = n k. Ist die Arbeitsmenge n = 1 und die Kapitalmenge k = 25, dann ergibt sich eine von = 5. Wir könnten jetzt die Arbeitsmenge um 75 auf n = 25 reduzieren und gleichzeitig die Kapitalmenge um 75 auf k = 1 erhöhen. Auch in diesem Fall ergibt sich als = 5. Die Substitutionalität (Austauschbarkeit) der Produktionsfaktoren wird auch grafisch deutlich, wenn wir die beiden obigen Abb. 1 und 2 nebeneinander setzen, wie die

5 Produktion und Kosten 4 nachfolgende Abb. 3 illustriert. Die dort jeweils abgebildete 1, kann mit der Faktoreinsatzkombination (n 1, k ) produziert werden (vgl. die linke Teilgrafik) und ebenso mit der Faktoreinsatzkombination (n, k 1 ), wobei n < n 1 und k 1 > k (vgl. die rechte Teilgrafik). F(n,k ) F(n,k) 1 1 F(n 1,k ) F(n,k 1 ) F(n,k ) F(n,k ) Arbeitsmenge n n 1 n k k 1 Kapitalmenge k Abb. 3: Produktion derselben 1 bei unterschiedlichen Faktoreinsatzmengen 2.3. Abnehmende Grenzprodukte ( Gesetz des abnehmenden Grenzertrages ) Die in den vorangegangenen Abbildungen dargestellte streng konkave Krümmung der Produktionsfunktion bezüglich n bzw. k beinhaltet eine weitere Annahme, nämlich die Annahme abnehmender Grenzprodukte ( Gesetz des abnehmenden Grenzertrages ): Das Grenzprodukt eines Produktionsfaktors wird demnach umso kleiner sein, je größer die Einsatzmenge des Faktors ceteris paribus bereits ist. Bezogen auf den Produktionsfaktor Arbeit n bedeutet dies: Der Zuwachs an Ausbringung, der durch den Einsatz einer weiteren Arbeitseinheit bei gegebener Kapitalausstattung erreicht werden kann, wird umso geringer sein, je mehr Arbeit das Unternehmen im Ausgangspunkt bereits eingesetzt hat. Grafisch findet dies im nachfolgenden (n,)-diagramm (Abb. 4) darin seinen Ausdruck, dass die jeweilige Tangentensteigung der dortigen Produktionsfunktion (= Grenzprodukt der Arbeit) umso flacher ist, je mehr Arbeit im Unternehmen bereits eingesetzt wird. So ist die Steigung der Produktionsfunktion bei n deutlich höher als bei der größeren Arbeitsmenge n 1.

6 B. Utecht Arbeitsmaterialien zur VWL 2 (Mikroökonomik) 5 tan α = Steigung der Produktionsfunktion im jeweiligen Punkt bezüglich der Arbeitsmenge n = 1. partielle Ableitung der Produktionsfunktion nach n = / n = F n (andere Schreibweise) = Grenzprodukt der Arbeit im jeweiligen Punkt = F(n,k ) 1 Punkt E 1 α 1 Punkt E α n n 1 Arbeitsmenge n Abb. 4: Positive, aber abnehmende Grenzprodukte der Arbeit Analoges gilt hier (annahmgemäß) auch für das Grenzprodukt des Kapitals, wie die nachfolgende Gesamtschau illustriert: tan α = 1. Ableitung / n = F n = Grenzprodukt der Arbeit im jeweiligen Punkt F(n,k ) 1 F(n 1,k ) 1 tan β = 1. Ableitung / k = F k = Grenzprodukt des Kapitals im jeweiligen Punkt F(n,k) F(n,k 1 ) α 1 F(n,k ) β 1 F(n,k ) α β Arbeitsmenge n n n 1 k k 1 Abb. 5: Die unterstellte Produktionsfunktion in der Gesamtschau Kapitalmenge k

7 Produktion und Kosten 6 Das Gesetz des abnehmenden Grenzertrages kann dadurch begründet werden, dass mit einem fortschreitenden einseitigen Anwachsen der Einsatzmenge eines der Produktionsfaktoren die übrigen Produktionsfaktoren zunehmend zu einem die Produktivität mindernden Flaschenhals im Produktionsprozess werden. So führt eine fortgesetzte Erhöhung der Beschäftigtenzahlen bei unveränderter Kapitalausstattung dazu, dass sich immer mehr Beschäftigte denselben Kapitalstock im Produktionsprozess teilen müssen, d.h. die durchschnittliche Kapitalausstattung pro Beschäftigten sinkt ab mit der Folge einer sinkenden Arbeitsproduktivität. Formal bedeutet die Annahme abnehmender Grenzprodukte, dass die 2. partiellen Ableitungen der unterstellten Produktionsfunktion negativ sind, d.h. die Ableitung des Grenzprodukts der Arbeit nach n und die Ableitung des Grenzprodukts des Kapitals nach k: (5) F n / n < Alternative Schreibweise: F nn < (6) F k / k < Alternative Schreibweise: F kk < 2.4. Arbeitsbedarfsfunktion als Umkehrfunktion der Produktionsfunktion Im Umkehrschluss ergibt sich, dass die zusätzliche Arbeitsmenge, die bei gegebener Kapitalausstattung notwendig wäre, um eine weitere Ausbringungseinheit zu produzieren, umso größer sein wird, je höher die im Ausgangspunkt bereits ist. Dies ist auch intuitiv einleuchtend: Je höher die bei gegebener Kapitalausstattung bereits ist, umso höher ist die bereits eingesetzte Arbeitsmenge, umso geringer ist das Grenzprodukt der Arbeit, umso mehr vom Produktionsfaktor Arbeit ist zusätzlich notwendig, um eine weitere Ausbringungseinheit zu produzieren. Formal kann man sich dies folgendermaßen deutlich machen: Es sei angenommen, das Unternehmen verfügt über eine gegebene (und kurzfristig nicht veränderbare) Kapitalausstattung k. Dann bestimmt sich seine aus (7) = F(n,k ) Jeder Arbeitsmenge n ist damit eine eindeutige zugeordnet. Wegen F n > gilt jedoch auch umgekehrt: Für jede wird (bei gegebenem k ) eine eindeutige Arbeitsmenge n benötigt, die umso höher ausfällt, je höher die angestrebte ist. Der produktionstechnische Zusammenhang kann damit auch durch eine Funktion der Form (8) n = n(,k ) ( Arbeitsbedarfsfunktion ) abgebildet werden, die nichts anderes ist als die Umkehrfunktion der Produktionsfunktion bezüglich des Produktionsfaktors Arbeit: n(,k ) = F -1 (,k ). Sie gibt inhaltlich an, welche Arbeitsmenge n bei gegebener Kapitalausstattung k zur Produktion der technisch benötigt wird, deshalb sei die Funktion Arbeitsbedarfsfunktion genannt. Ihre 1. Ableitung (9) n/ = n > ( Grenzarbeitsbedarf )

8 B. Utecht Arbeitsmaterialien zur VWL 2 (Mikroökonomik) 7 beschreibt, um wie viele (marginal kleine) Einheiten der Produktionsfaktor Arbeit bei unveränderter Kapitalausstattung erhöht werden müsste, wenn eine weitere (marginal kleine) Ausbringungseinheit produziert werden soll. Wegen / n = F n gilt dabei (1) n = 1/F n > d.h. der Grenzarbeitsbedarf entspricht dem reziproken Wert des Grenzprodukts der Arbeit. Leitet man nun den Grenzarbeitsbedarf abermals nach der ab, so ergibt sich für die 2. Ableitung (11) n / = n >. Die nachfolgende Abb. 6 verdeutlicht den Zusammenhang: Arbeitsmenge n tan α = Steigung der Arbeitsbedarfsfunktion im jeweiligen Punkt bezüglich der = 1. partielle Ableitung der Arbeitsbedarfsfunktion nach = n/ = n (andere Schreibweise) = Grenzarbeitsbedarf im jeweiligen Punkt n = n(,k ) n 1 Punkt E 1 α 1 n Punkt E α 1 Abb. 6: Arbeitsbedarfsfunktion (Umkehrfunktion der Produktionsfunktion) Nur für den interessierten Leser: Die konkrete Form der 2. Ableitung der Arbeitsbedarfsfunktion ergibt sich aus der zweimaligen Anwendung der Kettenregel: (1/Fn ) andere Schreibweisen n (1/ Fn ) (1/ Fn ) Fn n n = = = = F { nn n F { { n { 2 n ( Fn ) innere innere äußere innere innere 123 äußere Ableitung Ableitung Ableitung Ableitung Ableitung Ableitung (1) (2) (1) (2) } + Fnn n = > 2 ( Fn ) 123 +

9 Produktion und Kosten 8 3. Kosten 3.1. Grundlegende Kostenbegriffe und totale Kostenfunktion Der Einsatz von Produktionsfaktoren ist für das Unternehmen mit Kosten verbunden. Unter dem Begriff Kosten ist der geldmäßige Wert der in der Produktion zum Einsatz kommenden Faktorleistungen zu verstehen. Wir wollen der Einfachheit unterstellen, dass das hier betrachtete Unternehmen seine Produktionsfaktoren Arbeit n und (Sach-)Kapital k anmietet. Der Marktpreis einer Zeiteinheit Arbeit sei W (Geld- bzw. Nominallohnsatz), während die Nutzung einer Einheit Kapital für eine gegebene Periode zu einem nominalen Zins R zu haben ist. Die in einer gegebenen Periode anfallenden totalen Kosten C (Gesamtkosten) des Unternehmens bestimmen sich damit aus (12) Totale Kosten C = 1 W2 3 n + R{ k Lohnkosten Kapitalkosten Im Regelfall sind nicht alle einmal getroffenen Faktoreinsatzentscheidungen eines Unternehmens kurzfristig revidierbar. So mag z.b. aus technischen Gründen die Ausdehnung oder Verringerung der Ausstattung mit Sachkapital (Maschinen, Produktionsanlagen u.ä.) nur mit zeitlichen, über die kurze Frist hinausgehenden Verzögerungen möglich sein. Kann die Einsatzmenge eines bestimmten Produktionsfaktors kurzfristig nicht verändert werden, so spricht man von einem (kurzfristig) fien Produktionsfaktor. In diesem Fall sind die hieraus entstehenden Faktorkosten durch das Unternehmen kurzfristig nicht beeinflussbar (Fikosten). Demgegenüber sind variable Produktionsfaktoren solche Faktoren, deren Einsatzmengen im Unternehmen kurzfristig variiert werden können, sodass die hieraus entstehen Kosten ebenfalls kurzfristig variabel sind (variable Kosten). Langfristig sind allerdings alle Produktionsfaktoren variabel, daher muss im Grundsatz zwischen der Langfristperspektive und Kurzfristperspektive der Faktoreinsatzplanung unterschieden werden. Betrachtet wird dabei dieselbe Produktionsperiode, aber aus Sicht unterschiedlicher Entscheidungszeitpunkte: In der Langfristperspektive sind noch alle Faktoreinsatzentscheidungen offen, in der Kurzfristperspektive wurden bereits bestimmte Faktoreinsatzentscheidungen in der Vergangenheit getroffen und können kurzfristig nicht revidiert werden. Im Weiteren wollen wir uns auf die Kurzfristperspektive beschränken und im Rahmen unseres einfachen Modells annehmen, dass der Produktionsfaktor Arbeit variabel, der Produktionsfaktor Kapital dagegen fi ist. Dann gilt (13) Totale Kosten C = 1 W2 3 n + R{ k Variable Kosten Fikosten Grundsätzlich ergibt sich nun aus dem Wirtschaftlichkeitsprinzips, dass das Unternehmen zu jedem Entscheidungszeitpunkt seine Faktoreinsatzmengen so planen wird, dass aus der Sicht des Unternehmens zum Entscheidungszeitpunkt die jeweils geplante zu minimalen Kosten erzeugt wird. Das Unternehmen strebt damit bei gegebener die Minimierung der zum Entscheidungszeitpunkt variablen Kosten an. Bei mehreren variablen Produktionsfaktoren eistiert für jede eine kostenminimale Mengenkombination der variablen Produktionsfaktoren, die vom Unternehmen erst einmal zu ermitteln wäre. Im hiesigen Modellrahmen ist

10 B. Utecht Arbeitsmaterialien zur VWL 2 (Mikroökonomik) 9 die Kurzfristanalyse allerdings dahingehend vereinfacht, dass nur ein einziger variabler Faktor verbleibt (Arbeitsmenge n). Die aus der Produktion einer gegebenen resultierende Arbeitsmenge n ergibt sich damit unmittelbar aus der oben vorgestellten Arbeitsbedarfsfunktion (8) n = n(, k), die die Umkehrfunktion der unterstellten Produktionsfunktion (1) = F(n,k) ist (vgl. Abschnitt 2.4.). Folglich bestimmen sich hier die totalen Kosten in der Kurzfristperspektive aus der (kurzfristigen) totalen Kostenfunktion (14) C = W n(,k) + Fikosten wobei die Fikosten die Kapitalkosten R k sind. Grundsätzlich gilt dabei, dass die kurzfristigen totalen Kosten (bei kostenminimalem Einsatz der variablen Produktionsfaktoren) als eine Funktion darstellbar sind, die von der, von den Faktorpreisen der variablen Produktionsfaktoren, von den Einsatzmengen der fien Produktionsfaktoren und von den Fikosten abhängt. (15) C = C(, ) (kurzfristige totale Kostenfunktion) = C(, Faktorpreise der variablen Produktionsfaktoren, Einsatzmengen der fien Produktionsfaktoren, Fikosten) Je höher die ceteris paribus ist, umso höher werden bei effizienter Einsatzplanung der variablen Produktionsfaktoren die totalen Kosten ausfallen, denn je mehr das Unternehmen produziert, umso mehr (variable) Produktionsfaktoren muss es einsetzen und umso mehr (variable) Kosten werden entstehen. Die 1. Ableitung der totalen Kostenfunktion nach der ist damit stets positiv (16) C/ > Alternative Schreibweise: C > (positive Grenzkosten) Die 1. Ableitung der totalen Kostenfunktion nennt man Grenzkosten der Ausbringung, denn die Ableitung gibt an, um wie viele (marginal kleine) Einheiten die Kosten aufgrund des vermehrten Einsatzes der variablen Produktionsfaktoren mindestens ansteigen müssen, wenn die um eine weitere (marginal kleine) Einheit erhöht wird. Im hiesigen Modellrahmen bestimmt sich die (kurzfristige) totale Kostenfunktion aus (17) C = C(,W,k,Fikosten) = W n(,k) + Fikosten mit den Grenzkosten der Ausbringung (18) C/ = W n/ > Alternative Schreibweise: C = W n > Aufgrund des (annahmegemäß) abnehmenden Grenzprodukts des variablen Produktionsfaktors Arbeit ergibt sich dabei, dass die Grenzkosten der Ausbringung umso höher sein werden, je mehr das Unternehmen im Ausgangspunkt bereits produziert hat, je mehr vom Produktionsfaktor Arbeit bei gegebenem (fien) Kapitalstock also bereits eingesetzt worden ist (vgl. auch Abschnitt 2.4.). Die Grenzkosten der Ausbringung sind somit steigend, d.h. je mehr das Unternehmen bereits produziert

11 Produktion und Kosten 1 hat, umso höhere zusätzliche Kosten verursacht die nächste Ausbringungseinheit. Formal bedeutet dies, dass die 2. Ableitung der totalen Kostenfunktion nach der (= Ableitung der Grenzkosten nach ) ebenfalls positiv ist: (19) C = C / = W n > (steigende Grenzkosten der Ausbringung) Die nachfolgende Abb. 7 stellt eine solche (kurzfristige) totale Kostenfunktion in Abhängigkeit der dar. Die Kostenfunktion beginnt für = auf Höhe der Fikosten und nimmt dann mit steigender immer weiter zu (positive Steigung = positive Grenzkosten), wobei der Anstieg mit wachsendem immer steiler wird (zunehmende Grenzkosten). Letzteres führt zu der abgebildeten streng konveen Krümmung der Kostenfunktion. Gesamtkosten C Totale Kostenfunktion C = C(, ) C 1 Punkt E 1 C Punkt E Fikosten 1 Abb. 7: Totale Kostenfunktion bei steigenden Grenzkosten Aus dem konkreten Verlauf der totalen Kostenfunktion im (,C)-Diagramm können nicht nur die totalen Kosten in Abhängigkeit der abgelesen werden, sondern mittelbar auch grundlegende Eigenschaften der Grenzkosten der Ausbringung GK = erste Ableitung der Kostenfunktion C, der variablen Durchschnittskosten VDK = C var / (variable Stückkosten), der fien Durchschnittskosten FDK = C fi / (fie Stückkosten) und der totalen Durchschnittskosten TDK = C/ = VDK + FDK (totale Stückkosten). Dies sei im Weiteren am Beispiel der oben abgebildeten totalen Kostenfunktion näher untersucht. Dabei wird in zwei Schritten vorgegangen: In Abschnitt 3.2. bis 3.5. werden mit Hilfe der Geometrie allgemeine Schlussfolgerungen für den betrachteten Fall steigender Grenzkosten gezogen. Im daran anschließenden Abschnitt 3.6. werden für ein konkretes Zahlenbeispiel (d.h. für eine konkrete Kostenfunktion) die jeweils resultierenden Kostenverläufe simuliert, sodass die vorab allgemein hergeleiteten Eigenschaften am konkreten Beispiel überprüft werden können.

12 B. Utecht Arbeitsmaterialien zur VWL 2 (Mikroökonomik) Totale Kostenfunktion und Grenzkosten der Ausbringung GK Die Grenzkosten der Ausbringung (kurz: GK = C ) können im (,C)-Diagramm durch die jeweilige Tangentensteigung der totalen Kostenfunktion sichtbar gemacht werden, denn die Tangentensteigung entspricht der 1. Ableitung der Kostenfunktion nach und damit eben den Grenzkosten der Ausbringung. Die (annahmegemäß) wachsenden Grenzkosten spiegeln sich dabei in einer mit steigender immer steiler werdenden Tangente wider. Die nachfolgende Abb. 8 verdeutlicht den Zusammenhang anhand zweier beliebig gewählter n und 1. Gesamtkosten C tan α = Steigung der totalen Kostenfunktion im jeweiligen Punkt bezüglich der = 1. partielle Ableitung der Kostenfunktion nach = C/ = C (andere Schreibweise) = (kurzfristige) Grenzkosten der Ausbringung GK Totale Kostenfunktion C = C(, ) Punkt E 1 C 1 α 1 C Punkt E Fikosten α 1 Abb.8: Totale Kostenfunktion und (wachsende) Grenzkosten der Ausbringung GK = C 3.3. Totale Kostenfunktion und variable Durchschnittskosten VDK Die jeweiligen variablen Durchschnittskosten (kurz: VDK = C var /) können anhand der totalen Kostenfunktion im (,C)-Diagramm sichtbar gemacht werden, indem man einen von der Kostenachse auf Höhe der Fikosten ausgehenden Fahrstrahl durch den jeweiligen Punkt der Kostenfunktion zieht. Die Steigung des Fahrstrahls entspricht den jeweiligen VDK, wie die nachfolgende Abb. 9 verdeutlicht. Bei wachsenden Grenzkosten ergeben sich dabei folgende grundlegende Eigenschaften der VDK (für diesen Fall): Die VDK steigen mit wachsender (der Steigungswinkel des Fahrstrahls fällt umso höher aus, je höher ist). Für jede positive sind die VDK geringer als die Grenzkosten GK. Grafisch zeigt sich dies darin, dass für jedes > der Steigungswinkel des betreffenden Fahrstrahls (= VDK im jeweiligen Punkt) flacher ist als der Steigungswinkel der dortigen Tangente (= GK im jeweiligen Punkt).

13 Produktion und Kosten 12 Inhaltlich kommt hierin jeweils der Umstand zum Ausdruck, dass bei steigenden GK die zusätzlichen Kosten der nächsten Ausbringungseinheit immer höher sind als die jeweiligen zusätzlichen Kosten jeder bereits produzierten Ausbringungseinheit. Gesamtkosten C tan γ = Gegenkathete / Ankathete = (totale Kosten C Fikosten) / = variable Kosten C var / = variable Durchschnittskosten VDK [variable Stückkosten] Totale Kostenfunktion C = C(, ) Fahrstrahl durch E 1 C 1 E 1 C Fikosten γ γ 1 E C var Fahrstrahl durch E C 1 var Fikosten Abb. 9a: Totale Kostenfunktion und variable Durchschnittskosten VDK = C var / 1 Gesamtkosten C tan γ = variable Durchschnittskosten VDK Tangentensteigung = Grenzkosten der Ausbringung GK Totale Kostenfunktion C = C(, ) Tangente im Punkt E 1 Fahrstrahl durch E 1 C 1 E 1 C E Tangente im Punkt E Fahrstrahl durch E Fikosten γ γ 1 Fikosten Abb. 9b: Variable Durchschnittskosten VDK und Grenzkosten GK im Vergleich 1

14 B. Utecht Arbeitsmaterialien zur VWL 2 (Mikroökonomik) 13 Je kleiner ist, umso mehr nähern sich die VDK und die GK einander an, wobei für die VDK (näherungsweise) gleich den GK sein werden (in diesem Fall entspricht der Fahrstrahl praktisch der Tangente der Kostenfunktion). Letzteres gilt allgemein: Hierin kommt zum Ausdruck, dass schon logisch die Grenzkosten der ersten (marginal kleinen) Ausbringungseinheit den bei einer Gesamtproduktion von einer (marginal kleinen) Ausbringungseinheit entstehenden variablen Durchschnittkosten entsprechen müssen (vgl. auch Abb. 12 in Abschnitt 3.6.) Totale Kostenfunktion und fie Durchschnittskosten FDK Die jeweiligen fien Durchschnittskosten (kurz: FDK = C fi /) können im (,C)- Diagramm sichtbar gemacht werden, indem man einen von der Kostenachse auf Höhe der Fikosten ausgehenden Fahrstrahl durch die jeweilige auf der -Achse zieht. Der von der -Achse ausgehende Steigungswinkel gibt die FDK der jeweiligen an, wie die nachfolgende Abb. 1 verdeutlicht. Je größer die ist, umso kleiner ist dieser Steigungswinkel, umso kleiner sind folglich auch die FDK: Je höher ist, auf umso mehr Ausbringungseinheiten verteilen sich rechnerisch gesehen die Fikosten. Gesamtkosten C tan τ = Gegenkathetete / Ankathete = Fikosten C fi / = fie Durchschnittskosten FDK [fie Stückkosten] Totale Kostenfunktion C = C(, ) C 1 Punkt E 1 C Punkt E Fikosten C fi Fikosten C fi τ Abb. 1: Totale Kostenfunktion und fie Durchschnittskosten FDK = C fi / τ Totale Kostenfunktion und totale Durchschnittskosten TDK Die jeweiligen totalen Durchschnittskosten (kurz: TDK = FDK + VDK) ergeben sich rechnerisch aus der Summe aus fien und variablen Durchschnittskosten. Bei positiven Fikosten sind folglich die TDK für jedes > grundsätzlich höher als die FDK bzw. VDK jeweils für sich allein betrachtet (TDK > FDK, TDK > VDK für > ). Bei steigenden Grenzkosten eistiert dabei ein eindeutiges Minimum der TDK, d.h.

15 Produktion und Kosten 14 eine (positive) = m, bei der unter den gegebenen Rahmenbedingungen die geringstmöglichen Gesamtkosten pro Stück erreicht werden würden. Dies ergibt sich im Grundsatz daraus, dass einerseits die FDK mit steigender absinken, während andererseits die VDK (aufgrund der wachsenden GK) ansteigen: Für geringere n als der m ( < m ) sinken die FDK mit steigendem um mehr als die VDK ansteigen, die TDK sinken folglich. Für höhere n als der m ( > m ) sinken die FDK mit steigendem um weniger als die VDK ansteigen, die TDK nehmen folglich zu. Bei der = m (und nur dort) entsprechen sich im Betrag die Steigung der VDK-Kurve und die Steigung der FDK-Kurve, sodass bei dieser das Minimum der TDK erreicht wird (vgl. Abb. 12 in Abschnitt 3.6.). Die TDK können anhand der totalen Kostenfunktion im (,C)-Diagramm sichtbar gemacht werden, indem man einen vom Koordinatenursprung ausgehenden Fahrstrahl durch den jeweiligen Punkt der Kostenfunktion zieht. Die Steigung des jeweiligen Fahrstrahls entspricht den TDK der dortigen, wie die nachfolgende Abb. 11 verdeutlicht. Das Minimum der TDK wird bei der erreicht, bei der der resultierende Fahrstrahl die Kostenfunktion gerade noch tangiert (berührt). Da dieser Fahrstrahl damit gleichzeitig eine Tangente der Kostenfunktion ist, entsprechen sich hier (und nur hier) die TDK und die GK, d.h. die TDK- Kurve muss die GK-Kurve im Minimum der TDK schneiden (vgl. Abb. 12 in Abschnitt 3.6.). Gesamtkosten C tan β = Gegenkathete / Ankathete = totale Kosten C / = totale Durchschnittskosten TDK [totale Stückkosten] Totale Kostenfunktion C = C(, ) C 1 Punkt E 1 tan β m = C m / m = minimale TDK C m Punkt E m C Fikosten Punkt E β,1 β m m 1 Abb. 11: Totale Kostenfunktion und totale Durchschnittskosten TDK = C/

16 B. Utecht Arbeitsmaterialien zur VWL 2 (Mikroökonomik) Die Kostenverläufe im Überblick (EXCEL-Simulation eines Beispielfalls) Totale Kosten C = C(, ) = C fi + C var = 25+( 3 +1 ) Fikosten C fi Variable Kosten C var = Grenzkosten GK = erste Ableitung C = Variable Durchschnittskosten VDK = C var / = Fie Durchschnittskosten FDK = C fi / Totale Durchschnittskosten TDK = C/ = VDK + FDK unendlich unendlich m = Abb. 12: Die Kostenverläufe in der Gesamtschau

17 Produktion und Kosten Übungsaufgaben a) Erklären Sie die folgenden Begriffe: aa) Produktionsfunktion bb) Grenzprodukt der Arbeit cc) Substitutionalität der Produktionsfaktoren dd) Gesetz des abnehmenden Grenzertrages ee) variable Kosten ff) fie Kosten gg) totale Kosten hh) (kurzfristige) totale Kostenfunktion ii) Grenzkosten der Ausbringung jj) wachsende Grenzkosten der Ausbringung kk) variable Durchschnittskosten ll) fie Durchschnittskosten mm) totale Durchschnittskosten Im Weiteren sei eine Produktionsfunktion = F(n,k) betrachtet, die positive, aber abnehmende Grenzprodukte der Produktionsfaktoren Arbeit (n) und Kapital (k) aufweist. Der Produktionsfaktor Arbeit sei dabei (kurzfristig) variabel, der Produktionsfaktor Kapital dagegen fi: b) Zeichnen Sie die Produktionsfunktion in Abhängigkeit der Arbeitsmenge und erklären Sie ihren Verlauf. c) Zeigen Sie grafisch, dass die betrachtete Produktionsfunktion eine substitutionale Produktionsfunktion ist. d) Welche Konsequenzen ergeben sich aus dem abnehmenden Grenzprodukt der Arbeit im Hinblick auf den Arbeitsbedarf des Unternehmens in Abhängigkeit seiner? Was bedeutet dies für die (kurzfristige) totale Kostenfunktion des Unternehmens?

18 B. Utecht Arbeitsmaterialien zur VWL 2 (Mikroökonomik) 17 Im Weiteren sei ein Unternehmen betrachtet, dass eine (kurzfristige) totale Kostenfunktion C = C() mit steigenden Grenzkosten der Ausbringung aufweist: e) Skizzieren Sie grafisch in einer Gesamtschau die jeweiligen Verläufe der totalen Kosten, der Grenzkosten der Ausbringung GK, der variablen Durchschnittskosten VDK, der fien Durchschnittskosten FDK, der totalen Durchschnittskosten TDK in Abhängigkeit der. f) Erklären Sie, warum bei Annahme der obigen totalen Kostenfunktion aa) die VDK mit wachsender steigen, bb) die VDK für > stets kleiner als die GK sind, cc) die VDK für den GK entsprechen, dd) die FDK mit wachsender sinken, ee) die TDK jeweils größer als die FDK und die VDK sind, ff) die TDK mit wachsender zunächst fallen, dann ihr absolutes Minimum erreichen und danach steigen, gg) sich die TDK-Kurve und die GK-Kurve im Minimum der TDK schneiden. g) Skizzieren Sie grafisch in einer Gesamtschau die jeweiligen Verläufe der totalen Kosten, der Grenzkosten der Ausbringung GK, der variablen Durchschnittskosten VDK, der fien Durchschnittskosten FDK, der totalen Durchschnittskosten TDK in Abhängigkeit der für den Fall, dass die Grenzkosten der Ausbringung konstant (statt steigend) sind.