Aufgabe 4.2 In einem Unternehmen lautet die Funktion der variablen Stückkosten k v (x) eines Gutes: k v (x) = x2 + 15

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1 Technische Hochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel Übungen QM I (Wirtschaftsmathematik) Verknüpfungen und ökonomische Funktionen Aufgabe 4.1 Drücken Sie die nachfolgenden Funktionen h() als die Verknüpfung f g zweier Funktionen von g und f aus. a) h : IR IR + 0 h() = (7 5) 4 b) h : IR IR + h() = e 7 5 c) h : IR IR h() = Aufgabe 4.2 In einem Unternehmen lautet die Funktion der variablen Stückkosten k v () eines Gutes: k v () = wobei die produzierte Menge des Gutes bezeichnet. Die gesamten Fikosten betragen 200 GE. Die Preis-Absatz-Funktion ist gegeben durch: p (p) = 3 wobei p den Verkaufspreis pro ME des Gutes bezeichnet. a) Geben Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich der Preis-Absatz-Funktion (p)an. b) Bestimmen Sie die Preis-Absatz-Funktion p() und geben Sie ihren Definitionsbereich und Wertebereich an. c) Bestimmen Sie die Gewinnfunktion G() und ihren Definitionsbereich. d) Bestimmen Sie die Funktion g(), die in Abhängigkeit der abgesetzten Menge den Gewinn pro einer ME des Gutes angibt. e) Die Fikosten müssen aus innerbetrieblichen Gründen um 800 GE erhöht werden. Stellen Sie die neue Gewinnfunktion auf. Wie lautet die Funktion g(), die den Stückgewinn angibt? Aufgabe 4.3 Für ein Unternehmen eistiere die Gewinnfunktion G() = und die Produktionsfunktion 1

2 (r) = 2 r 20, r 100 Die Produktionsfunktion gibt die ausgebrachte Menge in Abhängigkeit der Einsatzmenge r des Produktionsfaktors (z. B. Arbeitszeit) an. Der Produktionsfaktor r kann zu einem Preis von GE 6 je Einheit erworben werden. Weitere Kosten entstehen bei der Produktion nicht. a) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion r() der Produktionsfunktion, die die benötigte Einsatzmenge des Produktionsfaktors in Abhängigkeit von der ausgebrachten Menge angibt. Geben Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich der Funktion r()an. b) Bestimmen Sie die Kostenfunktion K(). c) Bestimmen Sie die Umsatzfunktion/Erlösfunktion U(). d) Bestimmen Sie die Preis-Absatz-Funktion p(), die in Abhängigkeit der abgesetzten Menge den Verkaufspreis pro einer ME des Gutes angibt. e) Bestimmen Sie die Preis-Absatz-Funktion (p), die in Abhängigkeit des Verkaufspreises p die abgesetzte Menge des Gutes angibt. Aufgabe 4.4 Für ein Unternehmen eistiere die Gewinnfunktion G() = ; 0 und die Produktionsfunktion (r) = 5 r ; r 4 Der Produktionsfaktor r kann zu einem Preis von 50 GE je Einheit erworben werden. Weitere Kosten entstehen bei der Produktion nicht. Bestimmen Sie aus diesen Informationen die Preis-Absatz-Funktion des Unternehmens und stellen Sie diese in Form (p) dar. Bearbeitungshinweis: Bestimmen Sie nacheinander r(), K(), U(), p() und (p). Aufgabe 4.5 Ergänzen Sie bitte die fehlenden Zahlen in der nachfolgenden Tabelle: Firma Preis Output Umsatz Gesamt- Fi- Variable Stück- variable kosten kosten Kosten kosten Stückkosten ,4 1, ,

3 Lösung zu Aufgabe 4.1 a) g() = 7 5 und f(y) = y 4 b) g() = 7 5 und f(y) = e y c) g() = 4 und f(y) = 7y 5 oder g() = 7 4 und f(y) = y 5 oder... Lösung zu Aufgabe 4.2 a) Definitionsbereich: p [0 ; 400] Wertebereich: [0 ; 666,6] b) p() = 400 0,6 Definitionsbereich: [0 ; 666,6] Wertebereich: p [0 ; 400] c) G() = 0,01 3 0, ; [0 ; 666,6] d) g() = 0,01 2 0, e) G() = 0,01 3 0, ; [0 ; 666,6] g() = 0,01 2 0, Lösung zu Aufgabe 4.3 a) = 2 r = 2 r 2 0, = r quadrieren (0,5 + 10) 2 = r (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 0, = r r() = 0, Definitionsbereich: IR + 0 Wertebereich: r [100; ) b) K() = 6 r = 6 (0, ) = 1, c) U() = G() + K() = 1, d) p() = U() e) (p) = p = 1,

4 Lösung zu Aufgabe 4.4 = 5 r = 5 r 5 0,2 + 2 = r quadrieren (0,2 + 2) 2 = r (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 0, ,8 + 4 = r r() = ; 0 ( 2 K() = 50 r = ) = ; 0 U() = G() + K() = ; [0; 220] p() = U() = 440 2; [0; 220] (p) = 220 0,5p; p [0; 440] Lösung zu Aufgabe 4.5 Firma Preis Output Umsatz Gesamt- Fi- Variable Stück- variable kosten kosten Kosten kosten Stückkosten ,6 1,6 3 1, ,4 1,3 4 2, ,5 0, Firma 1: K v () = k v () 360 = 36 = 10 K() = K v () + K f () = = 460 k() = K() = = 46 U() = p() 800 = 10 p() p() = 80 Firma 2: U() = p() = =

5 k v () = K v() = = 1,6 K() = K v () + K f () = = k() = K() = = 2,6 Firma 3: K() = k() = 2,4 = U() = p() = p() p() = 1,6 K v () = k v () = ,3 = K() = K v () + K f () = K f () K f () = Firma 4: K() = K v () + K f () = K v () K v () = K v () = k v () = 0,75 = U() = p() = p() p() = 2,5 k() = K() = = 2,5 Firma 5: U() = p() = = K v () = k v () = = K() = K v () + K f () = K f () K f () = k() = K() = = 16 5