Teil I. Analysis in der Ökonomie

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1 Teil I Analysis in der Ökonomie D... (Funktion) Es sei f XY eine Abbildung. Die Abbildung f heißt Funktion, falls sie eindeutig ist. Man schreibt dann auch: f : X Y f ( ) = y, wobei y das (eindeutig bestimmte) Bild des Urbildes ist. Im Falle X R n, Y R spricht man von einer reellwertigen Funktion von n reellen Variablen. D... (Definitionsbereich, Wertebereich): Es sei A XY eine Abbildung. Die Menge { X y Y mit (, y A} D( A) : = ) aller Elemente aus X, zu denen ein Bild y bei der Abbildung A eistiert, heißt Definitionsbereich (bzw. Urbildbereich) der Abbildung A. Die Menge { y Y X mit (, y A} W ( A) : = ) aller Elemente ausy, zu denen ein Urbild bei der Abbildung A eistiert, heißt Wertebereich (bzw. Bildbereich) der Abbildung A. B... Im diesem Teil werden reellwertige Funktionen einer reellen Variablen betrachtet. Dabei wird für solche Funktionen folgende Schreibweise gewählt: ( ) f : y = f ( ), D f. BS... Einige ausgewählte ökonomische Funktionen:. (Nachfragefunktionen) Es sei p : : Preis eines Gutes [GE/ME] Nachgefragte Menge eines Gutes [ME].

2 p = 5 e i) ( ). ii) ( p) 36 = p.. (Angebotsfunktionen) Es sei p : : Preis eines Gutes [GE/ME] Angebot eines Gutes [ME]. i) p ( ) = p = 5 + 8p ii) ( ) 5 3. (Erlösfunktionen) i) E ( ) : = p( ) = (.5 ) =.5 ii) E ( p) = p ( p) = p (8.8 p) = 8p.8p iii) (Eine diskrete Erlösfunktion) Eine Firma erzielte in den ersten 6 Monaten eines Jahres die folgenden wertmäßigen Erlöse [T ]: Monat Erlös (Produktionsfunktionen) Es sei r : : Faktorinput [ME] Output (Ertrag) [ME]. i) (Ertragsgesetzliche Produktionsfunktion) : ii) (Cobb-Douglas-Produktionsfunktion): 3 ( ) = r r r r ( r) =.7r.5 iii) (CES-Produktionsfunktion): ( r) = ( r +.5) iv) (Limitationale Produktionsfunktion):.75r für r ( r) = 5 für r >.5

3 5. (Gesamtkostenfunktionen) Es sei : K : K : f K v : Produktionsmenge [ME]. Gesamtkosten [GE] Fikosten [GE] Variable Kosten [GE] K( ) = K + K ( ) f v i) (Ertragsgesetzliche Kostenfunktion) : ii) (Neoklassische Produktionsfunktion): iii) (Zusammengesetzte Kostenfunktion): = K( ) 8. 6 K( ) = + 36 e für < für 4 < 8 K( ) = für 8 < + <..5 für 6 6. (Durchschnittliche-, Variable-, und Fikostenfunktionen) K( ) k( ) : =, >, Kv( ) kv( ) : =, >, K f k f :, = >, ( ) 7. (Gewinn-, Deckungsbeitragsfunktionen) G( ) : E( ) K( ) ( ) = = k kv ( ) = = k f =, > =, G( ) = 5.5 ( ) G ( ) : E( ) K ( ) D 3 = = v, G ( 3 D ( ) = ) 8. (Durchschnittsgewinn-, Deckungsbeitragsfunktionen) = G( ) g( ) : =, >, GD( ) gd ( ) : =, >, 3 + ( ) g = = gd ( ) = =

4 BS... Bestimmen Sie den Definitionsbereich der. Produktionsfunktion ( r) = r. Preis-Absatz-Funktion p( ) = 4 +, ( p : Preis [GE]; : Menge [GE]) 3. Funktion A( Y ) = ln( Y + ) 75, ( A : Monatliche Ausgaben für Energie [ ]; Y : Monatliches Haushaltseinkommen [ ]). r. > 3. Y >. D.. 3. (Inverse Funktion bzw. Umkehrfunktion) Ist die Umkehrabbildung f einer Funktion ( ) f : y = f ( ), D f selbst eine Funktion, so wird genannt. f Umkehrfunktion (oder auch inverse Funktion) von f B... Es gilt ( ) W ( f = ) ; W ( f ) D f D f = ( ). BS. 3. Ermitteln Sie die Umkehrfunktion für die Nachfragefunktion mit f : p =,, [ ] : Nachfrage; p : Preis. 4

5 [ ] f : = p, p,, ( ) ( ) [, ] D f = W f =. D.. 4. (Beschränktheit) Eine Funktion f : y = f ( ), D f heißt auf der Menge M D ( f ) dass ( ) beschränkt, wenn es eine endliche Konstante C derart gibt, f ( ) C, M gilt. Dabei wird C eine Schranke von f auf M genannt. D.. 5. (Beschränktheit nach unten bzw. nach oben) Eine Funktion f : y = f ( ), D f heißt auf der Menge M D ( f ) ( ) nach unten bzw. nach oben beschränkt, wenn es eine endliche Konstante C bzw. C derart gibt, dass bzw. C f ( ), M f ( ) C, M gilt. Dabei werden C bzw. C untere bzw. obere Schranke von f auf M genannt. S... Für die Beschränktheit einer Funktion f auf M D( f ) ist notwendig und hinreichend, dass f auf M sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist. Beweis: Die Notwendigkeit folgt unmittelbar aus C f ( ) C. Umgekehrt ergibt sich die Beschränktheit aus D..5., wenn gesetzt wird. ( ) C : = ma C, C 5

6 BS.. 4. Die ertragsgesetzliche Kostenfunktion K [ ] 3 ( ) = ,, ist beschränkt. Es gilt nämlich: 8 K( ) 688. D.. 6. (Monotonie) Eine Funktion f : y = f ( ), D f ( ) heißt in dem Intervall I D( f ) monoton wachsend, wenn f ( ) f ( ),, I mit < gilt; entsprechend wird sie monoton fallend in I genannt, wenn f ( ) f ( ),, I mit < gilt. Treten in den obigen Ungleichungen die Gleichheitszeichen auf, so wird f entsprechend streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend in I genannt. S.... Wenn f und f im gleichen Intervall I streng monoton wachsend sind, dann ist die Summe f + f der beiden Funktionen sowie das Produkt a fi, i =,, für a > in I ebenfalls streng monoton wachsend; dagegen ist a fi, i =,, für a < in I streng monoton fallend. 6

7 . Wenn f in I streng monoton ist, dann eistiert die inverse Funktion (Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht!) f. 3. Wenn f in I streng monoton wachsend ist, so ist f mit { } D( f ) = R = f ( u), u I in jedem Intervall I D( f ) ebenfalls streng monoton wachsend. Analoges gilt für streng monoton fallende Funktionen. Beweis: Wir beschränken uns auf den Beweis der. Behauptung: Sei, I mit < beliebig. Aus den Voraussetzungen über f und f folgt dann: f ( ) < f ( ), f ( ) < f ( ), d. h. bzw. f ( ) + f ( ) < f ( ) + f ( ) a f ( ) > a f ( ) mit a <. i i D.. 7. (Konveität und Konkavität) Eine Funktion y = f ( ), D( f ), heißt im Intervall I D( f ), konve, wenn ( α + ( α ) ) α ( ) + ( α ) ( ),, ; α [, ] f f f I gilt. Entsprechend wird sie in I konkav genannt, wenn gilt. ( α + ( α ) ) α ( ) + ( α ) ( ),, ; α [, ] f f f I B.. 3. Der Nachweis der Konveität für stetige Funktionen lässt sich vereinfachen; für sie genügt es nämlich zu zeigen, dass die obige Ungleichung für α = erfüllt ist. D.. 8. (Gerade und ungerade Funktionen) Eine Funktion y = f ( ), D( f ) heißt gerade, wenn [ a a] D( f ) =,, a > (bzw. D( f ) ] a, a[ 7 = )

8 gilt und f ( ) = f ( ), D( f ), > ; entsprechend heißt sie ungerade, wenn statt gilt. f ( ) = f ( ), D( f ), > BS.. 5. Die Dichtefunktion der standardisierten Normalverteilung ( ) =,. π fhl ϕ e R ist eine gerade Funktion, denn es gilt: ( ) ϕ ( ) = e = e = ϕ ( ), R π π D.. 9. (Verkettete Funktion) Es seien f : y = f ( u), u D( f ) g : u = g( ), D( g). Dabei gelte W ( g) D( f ). Dann heiß die Funktion y = f ( g( )), D( g) mittelbare Funktion oder Verkettung der Funktionen f und g. 8

9 BS.. 6. Die Abhängigkeit der in einer Periode abgesetzten Menge eines Produktes vom Preis p sei durch die Funktion ( p) = 39 3 p p, p 45 gegeben. Die Gesamtkosten K ( ) für die Produktion der abgesetzten Menge möge durch ( ) = + K 3 gegeben sein. Zu ermitteln sei die Kostenfunktion in Abhängigkeit vom Preis. K( p) = + 3 = + 3(39 3 p p ) K( p) = 9 9 p 3 p, p 45. D... (ε δ Charakterisierung des Grenzwertes) Sei f sei (mindestens) in einer Umgebung der Stelle definiert. Eine Zahl g heißt Grenzwert von f für gegen, in Zeichen ( ) lim f ( ) = g, wenn ε > δ > : < < δ f ( ) - g < ε. B.. 4. (Geometrische Interpretation) lim f ( ) = g bedeutet geometrisch: Zu jedem (noch so kleinen) ε Streifen um y = g eistiert ein δ Streifen um =, so dass alle Punkte der Bildkurve von f, die in diesem δ Streifen liegen (außer der Mittellinie = ), auch dem vorgegebenen ε Streifen angehören. Dabei ist δ offenbar im Allgemeinen umso kleiner zu wählen, je kleiner ε vorgegeben ist, was in der Schreibweise δ = δ ( ε ) zum Ausdruck kommen soll. D... (Einseitige Grenzwerte) Die Funktion f sei (mindestens) in einem Intervall ] δ [ 9, +, δ >, definiert. Eine Zahl g r heißt rechtseitiger Grenzwert von f für gegen, in Zeichen + ( ) lim f ( ) = g, wenn ε > δ > : < < + δ f ( ) - g < ε. r Die Funktion f sei (mindestens) in einem Intervall ] δ [,, δ >, definiert. Eine Zahl g l heißt linksseitiger Grenzwert von f für gegen, in Zeichen r

10 ( ) lim f ( ) = g, wenn ε > δ > : δ < < f ( ) - g < ε. l S.. 3. Die Funktion f hat genau dann für gegen einen Grenzwert, wenn die einseitigen Grenzwerte von f für gegen eistieren und übereinstimmen. In diesem Falle gilt: l lim f ( ) = lim f ( ) = lim f ( ) + BS.. 7. Der monatliche Butteverbrauch B [ /Monat] eines Haushaltes hänge vom Haushaltseinkommen Y [ /Monat] in folgender Weise ab: 5 Y B( Y ) = 6 e, Y >. Wie verhält sich der Butterverbrauch, wenn das Einkommen gegen Null geht? 5 Y lim B( Y ) = lim 6 e = 6 lim = 6 = Y Y Y Y e

11 D... (Unendliche Grenzwerte). ( δ ) lim f ( ) =, wenn n N δ > : < < f ( ) > n lim f ( ), wenn n Z + = \ δ ( δ ) ( N {}) > : < < f ( ) < n. ( δ ) lim f ( ) =, wenn n N δ > : < < + f ( ) > n. lim f ( ), wenn n Z + = \ δ ( δ ) ( N {}) > : < < + f ( ) < n lim f ( ) =, wenn n N δ > : < - < δ f ( ) > n. lim f ( ), wenn Z = \ δ ( δ ) ( N {}) > : < < f ( ) < n. D.. 3. (Grenzwert im Unendlichen).. lim f ( ) = g, wenn ε > n N : > n f ( ) - g < ε. lim f ( ) = g, wenn Z \ ( N {}) δ > : < n f ( ) g < ε. BS.. 8. Gegeben sei der im Beispiel BS.. 7. beschriebenen Sachverhalt. Gesucht ist der Sättigungswert des Butterverbrauchs für unbeschränkt wachsendes Einkommen. 5 Y lim B( Y ) = lim 6 e = 6 e = 6 = 6 Y Y

12 BS.. 9. Für das Gesamteinkommen Y [GE/Jahr] eines epandierenden Wirtschaftszweiges wird ausgehend vom Zeitpunkt t - im Zeitablauf eine Entwicklung prognostiziert, die gemäß folgender Funktion verläuft: Y ( t) =, t :.5t.+ e Zeitdauer [Jahre]. Gesucht ist der Sättigungswert des Einkommens in weiter Zukunft. lim Y ( t) = lim = lim = = t t.5t.+ e t.+..5t e [GE/Jahr]. D.. 3 (Stetigkeit an einer Stelle) Eine in einer Umgebung von definierte Funktion f heiß an der Stelle stetig, wenn gilt B.. 5. Führt man durch die Substitution lim f ( ) = f ( ). = + h die neue Variable h ein, so kann man für die obige Beziehung offenbar auch schreiben lim f ( + h) = f ( ). h

13 B.. 6. Unter Beachtung der Definition des Grenzwertes einer Funktion erhält man die folgende ausführliche Formulierung von D.. 3. D.. 4. Eine in einer Umgebung von definierte Funktion f heißt an der Stelle stetig, wenn für jede Folge { n } in D( f ) mit lim n = gilt n lim f ( ) = f (lim ). n n n n B.. 7. Eine ε δ -Charakterisierung des Grenzwertes einer Funktion liefert eine entsprechende Charakterisierung der Stetigkeit. S.. 4. Die Funktion f sei in einer Umgebung von definiert. f ist an der Stelle genau dann stetig, wenn zu jeder (insbesondere jeder beliebig kleinen) Zahl ε > eine Zahl δ = δ ( ε ) > eistiert, so dass gilt f ( ) f ( ) < ε für alle mit ) < δ. D.. 5. (Einseitige Stetigkeit) Eine (mindestens) in einem Intervall[, + δ ], δ >, definierte Funktion f heißt an der Stelle rechtsseitig stetig, wenn gilt lim f ( ) = f ( ). + Für Funktionen, die in einem Intervall[ δ, ], δ >, erklärt sind, ist entsprechend die linksseitige Stetigkeit an der Stelle durch die Forderung lim f ( ) = f ( ) definiert. S.. 5. Eine in einer Umgebung von definierter Funktion ist genau dann an der Stelle stetig, wenn sie dort sowohl linksseitig als auch rechtsseitig stetig ist. 3

14 D.. 6. (Stetigkeit in einem Intervall) Eine auf einem Intervall I definierte Funktion f heißt auf I stetig, wenn gilt:. f ist in jedem inneren Punkt von I stetig.. Ist der linke (bzw. rechte) Randpunkt von I ein Element von I, dann ist f dort rechtsseitig (bzw. linksseitig) stetig. B.. 8. (Unendlichkeitsstellen und ihre Klassifikation) Aus der Definition der Stetigkeit ergibt sich, dass für jede Unstetigkeitsstelle von f genau einer der folgenden fünf Fälle vorliegt: Fall (Hebbare Unstetigkeit) Der Grenzwert g = lim f ( ) eistiert, ist aber von f ( ) verschieden, sofern f an der Stelle überhaupt definiert ist. Fall (Endliche Sprungstelle) Die Grenzwerte lim f ( ) und lim f ( ) eistieren, sind aber voneinander verschieden. + In diesem Falle heißt Sprungstelle von f mit endlichem Sprung. Fall 3 (Unendlichkeitsstelle von f ) Es gilt lim f ( ) = + oder lim f ( ) =. In diesem Falle nennt man Unendlichkeitsstelle von f. Fall 4 (Sprungstelle von f mit unendlichem Sprung) Die Funktion f ist für eine der beiden Bewegungen, + bestimmt divergent gegen + (bzw. - ) und für die andere Bewegung konvergent oder bestimmt divergent gegen + (bzw. - ). In diesem Falle heißt Sprungstelle von f mit unendlichem Sprung. Fall 5 (Oszillatorische Unstetigkeit) Die Funktion f ist für mindestens eine der beiden Bewegungen, + unbestimmt divergent. In diesem Falle heißt oszillatorische Unstetigkeit von f. BS... Die monatlichen Gebühren für einen Telefonanschluß setzen sich zusammen aus den festen Grundgebühren von 7 und den variablen Grundgebühren von.3 pro Zeiteinheit. Die monatlich zu zahlenden Beträge y hängen also von der Zeit ab, die vertelefoniert werden. Stellen Sie die entsprechende Funktion analytisch auf. 7 für = f ( ) = 7 +.3n für n < n, n N 4

15 Übung: Stellen Sie die Funktion graphisch dar. BS... Eine Unternehmung bietet eine Ware zu einem Grundpreis von [ /ME] für alle Bestellmengen bis einschließlich [ME] an. Für jede darüber hinaus bestellte Mengeneinheit bis incl. [ME] wird ein Rabatt von 4%, für jede über [ME] hinaus bestellte Mengeneinheit wird ein Rabatt von 7% auf den Grundpreis gewährt. Stellen Sie den Bestellwert W [ ] in Abhängigkeit von der Liefermenge [ME] dar. d.h. für W ( ) = 6 ( ) + für < 3 ( ) + 6 für < für W ( ) = für <. 3 + für < Übung: Stellen Sie die Funktion graphisch dar. S.. 6 Ist die Funktion f an der Stelle stetig und f ( ) > (bzw. f ( ) > ), dann gibt es eine Umgebung von, so dass auch noch für alle aus dieser Umgebung f ( ) > (bzw. f ( ) > ) gilt. S.. 7 Die Funktionen f und g seien an der Stelle stetig. Dann sind die Funktionen f + g; c f ( c: eine Konstante); f g an der Stelle stetig. Ist ferner g( ), dann ist auch die Funktion f g an der Stelle stetig. S.. 8 Ist die Funktion g( ) an der Stelle = stetig und die Funktion f ( z ) an der Stelle z = g( ) stetig, dann ist die mittelbare Funktion f ( g( )) an der Stelle = stetig. 5

16 S.. 9. Jede Elementarfunktion ist auf ihrem Definitionsbereich stetig. (Eine Elementarfunktion ist eine Funktion, die sich aus den Grundfunktionen durch Anwendung der rationalen Grundoperationen und Bildung mittelbarer Funktionen in endlich vielen Schritten erzeugen lässt.) S... Jede auf [, ] a b stetige Funktion ist dort beschränkt. D.. 7. (Absolute Etrema) Die Funktion f sei auf dem Intervall I definiert, und es sei I. Der Funktionswert f ( ) heißt absolutes Maimum (bzw. Minimum) von f auf I, wenn gilt: f ( ) f ( ), I ( bzw. f ( ) f ( ), I ). Absolute Maima und Minima gemeinsam nennt man absolute Etrema. S.. (Weierstraß) a, b stetige Funktion hat dort ein absolutes Maimum und ein absolutes Minimum. Jede auf [ ] S... (Bolzano) Ist die Funktion f auf [ a, b ] stetig und haben die Funktionswerte f ( a) und f ( b) entgegenbesetze Vorzeichen, dann gibt es (mindesten) ein ξ ] a, b[ mit f ( ξ ) =. S.. 3. Die Funktion f sei auf dem Intervall I stetig. Dann ist ihr Wertevorrat { f ( ) I} ebenfalls ein Intervall. S.. 4. Die Funktion f sei auf einem Intervall eineindeutig und stetig. Dann ist ihre Umkehrfunktion f auf dem Wertevorrat von f, der ebenfalls ein Intervall ist, stetig. D.. 8 (Differenzierbarkeit an einer Stelle) Die in einer Umgebung von definierte Funktion f heißt an der Stelle differenzierbar, wenn der Grenzwert f + h f lim h ( ) ( ) h eistiert. Dieser Grenzwert heißt. Ableitung oder Ableitung. Ordnung der Funktion f an der Stelle und wird mit f '( ) bezeichnet, also 6

17 f f ( + h) f ( ) '( ) lim h h =. Mit statt h kann man für die obige Formel auch f '( ) = lim f + f ( ) ( ) schreiben. Eine weitere Schreibweise erhält man mit = + h, also statt h : f f ( ) f ( ) '( ) = lim. Für die. Ableitung f '( ) sind auch die Symbole dy y ',, = d df ( ) d = = und die Bezeichnung Differentialquotient. Ordnung von f an der Stelle üblich. Die Berechnung der Ableitung einer Funktion nennt man Differentiation. B.. 9. (Geometrische Deutung der. Ableitung) BS... Gegeben sei die Erlösfunktion =. E( ) 5.5 Berechne die Ableitung der Funktion an der Stelle =. 7

18 E '() = E + h E lim h ( ) () h = ( ) ( ) h h lim h h = 48h h lim h h h ( h) = lim 48 = 48. D.. 9. (Einseitige Differenzierbarkeit) Eine (mindestens) in einem Intervall[, + c], c >, definierte Funktion f heißt an der Stelle rechtsseitig differenzierbar, wenn der rechtsseitige Grenzwert lim + h f ( + h) f ( ) h eistiert. Dieser Grenzwert heißt rechtseitige Ableitung von f an der Stelle und wird mit ' f r bezeichnet. Analog ist die linksseitige Ableitung von f an der Stelle definiert: ' f ( + h) f ( ) fl ( ) : = lim. h h S.. 5. Die Funktion f ( ) ist genau dann an der Stelle differenzierbar, wenn sie dort sowohl rechtsseitig als auch linksseitig differenzierbar ist und f ( ) = f ( ) ' r ' l gilt. In diesem Falle ist f ( ) = f ( ) = f ( ). ' ' ' r l D... (Differenzierbarkeit in einem Intervall) Eine auf einem Intervall I definierte Funktion f heißt auf I differenzierbar, wenn gilt:. f ist in jedem inneren Punkte von I differenzierbar.. Ist der linke (bzw. rechte) Randpunkt von I ein Element von I, dann ist f dort rechtsseitig (bzw. linksseitig) differenzierbar. 8

19 S.. 6. Eine an der Stelle differenzierbare Funktion ist auch dort stetig. S.. 7. Die Funktionen f und g seien an der Stelle differenzierbar. Dann sind auch die Funktionen f + g, c f ( c ist eine Konstante) und f g an der Stelle differenzierbar, und es gilt dort: ( f + g)' = f ' + g ' ( c f )' = c f ' ( f g)' = f ' g + f g ' (Produktregel). Ist ferner g( ), dann ist auch die Funktion f g an der Stelle differenzierbar, und es gilt dort: ' ( f / g) f ' g f g ' = (Quotientenregel). g S.. 8.(Kettenregel) Ist die Funktion g( ) an der Stelle = und die Funktion f ( z ) an der Stelle z = g( ) differenzierbar, dann ist die mittelbare Funktion F( ) = f ( g( )) an der Stelle = differenzierbar, und es gilt die sog. Kettenregel: F '( ) = f '( z ) g '( ) mit z = g( ). B.... Setzt man dann ist y = f ( z), z = g( ), y = f ( g( z)) = F( ), und man kann die Kettenregel in der folgenden einprägsamen Form schreiben: 9

20 dy dy dz =. d dz d. Die Kettenregel lässt sich auf den Fall ausdehnen, dass n Funktionen ineinander geschachtelt sind. BS.. 3. Eine Ein-Produkt-Unternehmung produziert ihren Output [ME] zu folgenden Gesamtkosten K [GE]:.+ 4 K( ) = e,. Ermitteln Sie die Grenzkostenfunktion. dz z =. + 4,. d = dk K( ) = e z, e z dz = dk( ) dz dk( ) z.+ 4 K '( ) = = =. e = e. d d dz S.. 9. (Ableitung der Umkehrfunktion) Die Funktion f sei eineindeutig und in einer Umgebung der Stelle differenzierbar mit f '( ). Dann ist ihre Umkehrfunktion f an der Stelle y = f ( ) differenzierbar, und es gilt: BS.. 4. Gegeben sei die Nachfragefunktion = =. ( f )'( y ) mit ( ) f '( ) y f ( p) =.4 p ( : Nachfrage [ME], p : Preis [GE/ME]). Ermitteln Sie die Ableitung der Umkehrfunktion ( p). ( p) = = =.5. '( p).4 D... (Ableitungen höherer Ordnung) Man nennt df '( ) d =

21 Ableitung. Ordnung (oder. Ableitung) der Funktion f an der Stelle und schreibt dafür f ''( ) oder y '' oder d y = d =. Allgemein definiert man für eine beliebige natürliche Zahl n > die Ableitung n ter Ordnung (oder n ter Ableitung) von f an der Stelle rekursiv durch die Vorschrift: ( n) ( n ) f ( ) = f '. ( ( )) (Es ist zweckmäßig, f ( ) selbst als Ableitung null-ter Ordnung zu bezeichnen, also f () ( ) : = f ( ). Eine Funktion f heißt auf einem Intervall I n mal (stetig) differenzierbar, wenn die Ableitung ( n) f auf I eistiert (und stetig ist). ' '' ( n ) (Natürlich eistieren dann erst recht die Ableitungen f, f,..., f auf I.) BS.. 5. Gegeben seien die Durchschnittskosten k [GE]in Abhängigkeit von der Ausbringungsmenge [GE]: Ermitteln Sie k ''( ). 4 k ( ) = 84 + ( k '( ) = ( k ''( ) = ( 6 + 8). ), 3 ) D... (Elastizitätsfunktion) Gegeben sei eine auf D( f ) stetig differenzierbare Funktion f. Als Elastizitätsfunktion bezeichnet man ε f, ( ) : = f '( ). f ( ) B.... Der Zahlenwert der Elastizität ε f, von f bezüglich gibt näherungsweise an, um wie viel Prozent sich die abhängige Variable f ändert, wenn sich die unabhängige Variable um % ändert.. Eine positive Elastizität bedeutet, dass sich die abhängige und die unabhängige Variable in gleiche Richtung bewegen; dagegen bedeutet eine negative Elastizität, dass sich die

22 abhängige und die unabhängige Variable in entgegengesetzte Richtung bewegen. 3. Man unterscheidet folgende Fälle: ε f, < : f ist unelastisch, ε f, > : f ist elastisch, ε f, = : f ist proportional elastisch, ε f, : f ist vollkommen elastisch, ε f, f ist vollkommen unelastisch. 4. Gegeben sei die Funktion f mit der Funktionsgleichung y = f ( ) und deren Inverse f mit der Funktionsgleichung g( y) =. Dann gilt: ε ε =. y,, y BS.. 6. Gegeben sei die Erlösfunktion E( ) 3.5 =. Ermitteln Sie die entsprechende Elastizitätsfunktion und berechnen und interpretieren Sie deren Wert für =. ε E, ( ) = (3 5 ) 3.5, ε E, ().9. Erhöht sich die Nachfrage um %, so erhöht sich der Erlös um etwa.9%. Damit ist die Erlösfunktion an der Stelle = unelastisch. D.. 3. (Differential) Die Funktion f sei an der Stelle differenzierbar. Das Produkt f '( ) h heißt das zu der Stelle und dem Argumentzuwachs h gehörige Differential (. Ordnung) von f und wird mit df ( ) oder dy bezeichnet, also oder df ( ) : = f '( ) h dy : = f '( ) h. BS.. 7. Gegeben sei die Gesamtkostenfunktion K [GE] einer Ein-Produkt-Unternehmung in Abhängigkeit von deren Output [ME] mit

23 K 3 ( ) = Berechnen Sie mit Hilfe des Differentials dk die näherungsweise Änderung der Kosten, wenn der Output von ME auf ME erhöht wird. ( ) dk( ) = K '( ) d = d = 76 [GE] B... Die Funktion g( ) = hat das Differential =, d= =, d= d = ( )' h = h. Wegen der obigen Beziehung identifiziert man den Argumentzuwachs h einer beliebigen Funktion f mit dem Differential d der speziellen Funktion g. Man schreibt also auch oder df ( ) = f '( ) d dy = f '( ) d. Dabei ist nun d eine (von unabhängige) Variable, die beliebige Werte annehmen kann und auch Differential der unabhängigen Variablen genannt wird. Unter der Voraussetzung d kann man z. B. die letzte Beziehung durch d dividieren und erhält dy f '( ) d =. Damit gewinnt die in D.. 8. zunächst nur als symbolische Schreibweise für die Ableitung f '( ) eingeführte Bezeichnung dy eine neue Bedeutung. Damit ist '( ) d f der Quotient der Differentiale dy und d. Deshalb sagt man statt Ableitung auch Differentialquotient. D.. 4. (Differential n-ter Ordnung) Als das Differential n-ter Ordnung ( n ) eine n mal differenzierbaren Funktion versteht man ( ) d n y : = f n ( ) d n oder n ( n) n d f ( ) : = f ( ) d. S... Die Funktion f sei auf dem Intervall I stetig und auf int I differenzierbar. Genau dann ist f auf I monoton wachsend fallend, wenn gilt: f '( ), int f '( ) 3 I.

24 S... Die Funktion f sei auf dem Intervall I stetig und auf int I differenzierbar. f Gilt f '( ) >, int I, dann ist f auf I streng monoton wachsend '( ) < fallend. BS.. 8. Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Produktionsfunktion = ( r).r 6r 5r mit r : Input [ME] : Output [ME]. '( r) =.3r + r + 5 ( ) ( ) '( r) > r 5 r + < < r < 5. Damit ist die Produktionsfunktion streng monoton wachsend für < r < 5 ; sie ist streng monoton fallend für r > 5 : HrL r D.. 5. (Absolutes Minimum und Maimum) Die Funktion f sei in ( ) D f definiert. Der Funktionswert F ( ) heißt absolutes Maimum Minimum von f, wenn gilt: f ( ) f ( ), D ( f ) f ( ) f ( ) D.. 6. (Relatives Minimum und Maimum) Die Funktion f sei in einer Umgebung der Stelle Maimum relatives Minimum von f, wenn es eine Umgebung Uε ( ) von gibt mit definiert. Der Funktionswert F ( ) heißt 4

25 f f ( ) f ( ), Uε ( ) D ( f ) ( ) f ( ) S... (Notwendige Bedingung für die Eistenz eines relativen Etremums) Die Funktion f sei an der Stelle differenzierbar und habe in int D( f ) einen relativen Etremwert. Dann gilt f '( ) =. S.. 3. (Hinreichende Bedingung für die Eistenz eines relativen Etremums) Die Funktion f besitze auf einer Umgebung Uε ( ) der Stelle stetige Ableitungen bis zur n ten Ordnung ( n ), und es gelte f ( ) = f '( ) =... = f ( ) =, aber f ( ). ( n ) ( n). Ist n gerade, dann hat f an der Stelle einen relativen Etremwert, und zwar im f Falle f ( n) ( n) ( ) < ein relatives Maimum ( ) > Minimum.. Ist n ungerade, dann hat f an der Stelle keinen relativen Etremwert, sondern ( n) f ( ) < in einer gewissen Umgebung von ist f im Fall ( n) eist streng monoton f ( ) > fallend wachsend. F... Die Funktion f besitze in einer Umgebung Uε ( ) der Stelle stetige Ableitungen bis zur zweiten Ordnung, und es gelte f ( ) = aber f ''( ). f ''( ) < Dann hat f an der Stelle einen relativen Etremwert, und zwar im Falle f ''( ) > ein relatives Maimum Minimum. BS.. 9. Die Gewinnfunktion einer Unternehmung lautet G 3 ( ) = mit : Produktionsmenge [ME] G : Gewinn [GE] 5

26 Für welche Produktionsmenge erzielt die Unternehmung einen maimalen Gewinn? Wie hoch ist dieser? G '( ) = G '( ) = 5.9 G G ''( ) = 6 + 4, ''(5.9) <. Damit erzielt die Unternehmung bei einer Produktionsmenge von etwa 5.9 ME einen maimalen Gewinn von etwa 7.47 GE: GHL S.. 4. (Eine weitere Hinreichende Bedingung) Se gebe ein ε >, so dass die Funktion f auf dem Intervall ] ε, ε[ evtl. mit Ausnahme der Stelle selbst differenzierbar ist. + stetig und dort f '( ) > f '(,, ) < und, ], + ε[ f '( ) < f '( ) > Stelle ein relatives Maimum (Minimum).. Ist ] ε [, dann hat f an der f '( ) >,, +, f '( ) < + streng monoton wachsend fallend.. Ist ] ε ε[ Etremwert, sondern f ist auf ] ε, ε[, dann hat f an der Stelle keinen relativen S.. 5. Ist die Funktion f auf dem Intervall I stetig und hat sie dort an genau einer Stelle einen relativen Etremwert, dann ist f ( ) auch ein absoluter Etremwert von f auf I. 6

27 S.. 6. Die Funktion f sei auf dem Intervall I differenzierbar. Genau dann ist f auf I (streng) konve konkav, wenn f ' auf I (streng) monoton wachsend fallend ist. S.. 7. Die Funktion f habe auf dem Intervall I eine stetige erste Ableitung und auf int I eine zweite Ableitung. Dann gilt: konve. Genau dann ist f auf I konkav, wenn gilt: f ''( ), int I. f ''( ) f ''( ) >. Gilt, int I, dann ist f auf I streng f ''( ) < konve konkav. BS... Für welche Outputwerte ist die Gesamtkostenfunktion K mit konve bzw. konkav? K 5 3 ( ) = , K '( ) = ,, K ''( ) =.4 4, K ''( ) > >. Damit ist K konkav für < < und konve für >. Dies bedeutet, dass die Kosten für < < degressiv und für > progressiv wachsend sind. Die Funktion K hat also in = einen Wendepunkt mit K() : KHL S.. 8. Die Funktion f sei an der Stelle zweimal differenzierbar und habe dort einen Wendepunkt. Dann gilt f ''( ) =. 7

28 S.. 9. Die Funktion f besitze auf einer Umgebung Uε ( ) der Stelle stetige Ableitungen bis zur n ten Ordnung ( n 3), und es gelte f ''( ) = f ''( ) =... = f ( ) =, aber f ( ). ( n ) ( n) Ist n ungerade, dann hat f an der Stelle einen Wendepunkt, andernfalls nicht. BS... (Kurvendiskussion) Die Gesamtkosten für die Produktion von Mengeneinheiten eines Produktes seien durch die Kostenfunktion K ( ) = ( ), gegeben. Es sind die wichtigsten Eigenschaften der Stückkostenfunktion K( ) k( ) : = zu diskutieren. 4 k ( ) = 84 + ( Definitionsbereich D ( k( )) =, ; : Höchstkapazität des Unternehmens _ Im Weiteren sei = 8 angenommen.. Stetigkeit k() ist in D stetig. 3. Schnittpunkte mit den Achsen a) mit der Achse 4 3 k ( ) : = 84 + ( ) = Es lässt sich (numerisch) zeigen, dass k() keine Nullstellen hat. Dies ist auch ökonomisch plausibel, da Stückkosten immer entstehen. 3 ) 8

29 b) mit der y Achse Wegen gibt es keine Schnittstelle mit der y Achse. Es wird eine Mindestproduktion von Einheiten angenommen. Die zugehörigen Durchschnittskosten betragen dann k ( ) = 57. >. 4. Monotonie Es gilt 4 k '( ) = ( k '( ) : = = 8, = 4 ( 4) ( 8) k() ist monoton wachsend. Die Lösung der obigen Ungleichung ergibt: k() ist monoton wachsend für ], 8[ ]4, 8[ k() ist monoton fallend für ]8, 4[ 5. Etremwerte ) 4 k ''( ) = ( ) ; k ''(8) =.8 < ; k ''(4) =.8 > k() nimmt also in = 8 ein relatives Maimum an mit k( 8) = 99. und in = 4 ein relatives Minimum an mit k ( 4) = Wegen k( ) = 57. und k( 8) = 468. nimmt k() in = das absolute Minimum und in = 8 das absolute Maimum an. Der Betrieb hat also bei einer Produktion von ME die geringsten Durchschnittskosten. 6. Krümmungsverhalten 4 Aus k ''( ) = ( ), d.h. 34, folgt: k() ist konve für ]34, 8[ k() ist konkav ], 34[ In = 34 liegt also ein Wendepunkt vor. Die Stückkosten wachsen also progressiv in ] 34, 8[ und degressive in ], 34[. 9

30 7. Graph der Funktion: (Letzte Aktualisierung: 9.8.6) 3