Kapitel 14: Konsumentenrente. moodle.tu-dortmund.de. Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 1 / 31

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1 Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 1 / 31 Kapitel 14: Konsumentenrente moodle.tu-dortmund.de

2 ikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 2 / 31 Grundlegende Idee: Maß für den Nutzen aus der nachgefragten Menge eines Gutes Wieviel ist man bereit für eine Menge eines Gutes zu bezahlen? Wieviel würde man von einem Gut hergeben, um ein anderes zu bekommen? Problem abnehmender Grenznutzen : Die Zahlungsbereitschaft für die erste Einheit eines Gutes ist typischerweise höher als die Zahlungsbereitschaft für die nächste Einheit. Wenn man für die erste Kaffee bereit ist zwei Euro zu zahlen, heißt dies nicht, dass einem sechs Tassen Kaffee zwölf Euro wert sind.

3 Die Tauschrate zu der die Konsumentin bereit ist, Geld gegen Kaffee einzutauschen nimmt ab, je mehr Tassen die Konsumentin kauft. Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 3 / 31 Quasilineare Präferenzen: u(x 1, x 2 ) = v(x 1 ) + x 2 Geld Indifferenzkurve MRS : Tauschrate Geld gegen Kaffee Kaffee

4 Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 4 / 31 Kaufentscheidung bei unteilbaren Gütern und quaslinearen Präferenzen u(x 1, x 2) = v(x 1) + x 2 Wir untersuchen zunächst die Konsumentenrente und die damit zusammenhängenden Konzepte in Bezug auf unteilbare Güter. Gut 1: Tassen Kaffee Preis für Kaffee: p Gut 2: Geld in Euro Preis für Geld: 1 Anschließend folgt eine Analyse mit kleineren Mengeneinheiten (halbe Tassen), winzigen Mengeneinheiten (Tropfen) und kontinuierlichen Mengen.

5 ikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 5 / 31 Reservationspreise bei u(x 1, x 2) = v(x 1) + x 2 Wir beobachten eine Kaufentscheidung der Konsumentin (6 Tassen Kaffee) bei gegebenem Preis für Kaffee (p Euro) und gegebenem verfügbaren Einkommen (m Euro). Dann ist der Nutzen der Konsumentin u(6, m 6 p) = v(6) + m 6 p. Da sie 6 und nicht 5 Tassen Kaffee gekauft hat, muss gelten: u(6, m 6 p) = v(6) + m 6 p > v(5) + m 5 p = u(5, m 5 p) Oder: v(6) v(5) > p.

6 Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 6 / 31 Reservationspreise bei u(x 1, x 2) = v(x 1) + x 2 Falls die Konsumentin 6 Tassen Kaffee (und nicht 5) kauft, muss gelten: v(6) v(5) > p Wäre der Preis für eine Tasse Kaffee größer als v(6) v(5), dann hätte die Konsumentin die 6. Tasse nicht gekauft. Die Differenz v(6) v(5) ist die maximale Zahlungsbereitschaft für die 6. Tasse Kaffee. Wir nennen dies auch Vorbehalts- oder Reservationspreis. r 6 = v(6) v(5)

7 ikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 7 / 31 Reservationspreise bei u(x 1, x 2) = v(x 1) + x 2 Der Reservationspreis für die 7. Tasse Kaffee: r 7 = v(7) v(6). Das Überprüfen wir! Die Konsumentin hat 6 und nicht 7 Tassen Kaffee zum Preis p gekauft, also muss gelten: u(6, m 6 p) = v(6) + m 6 p > v(7) + m 7 p = u(7, m 7 p) Oder: p > v(7) v(6) = r 7 Der Preis p ist zu hoch für die 7. Tasse Kaffee.

8 Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 8 / 31 Reservationspreise und abnehmender Grenznutzen Wir haben hergeleitet: r 6 = v(6) v(5) > v(7) v(6) = r 7 Je höher die Menge des Gutes, desto niedriger der Reservationspreis! Der Nutzenzuwachs durch eine zusätzliche Einheit ist bei höheren Mengen geringer. = der Grenznutzen nimmt ab.

9 ikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 9 / 31 Reservationspreise und abnehmender Grenznutzen Die Annahme v (x 1 ) < 0 bedeutet: v (x 1 ) x 1 < 0 Der Grenznutzen nimmt als Funktion v (x 1 ) in x 1 ab. Die Ableitung des Reservationspreises nach x 1 : (v(x 1 ) v(x 1 1)) = v (x 1 ) v (x 1 1) < 0 x 1 v (x 1 ) < 0 : v (x 1 1) > v (x 1 )

10 Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 10 / 31 Bruttorente Wie hoch ist die Zahlungsbereitschaft der Konsumentin für 6 Tassen Kaffee? r 1 + r r 5 + r 6 = v(1) v(0) + v(2) v(1) v(5) v(4) + v(6) v(5) = v(0) + v(6) Wir bezeichnen die Zahlungsbereitschaft für ersten 6 Tassen Kaffee mit Bruttorente der Konsumentin aus 6 Tassen Kaffee: v(6) v(0)

11 ikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 11 / 31 Grafische Darstellung der Bruttorente: Preis r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 r 6 Fläche: r r r r r r Kaffee Bruttorente: Fläche unterhalb der inversen Nachfragefunktion

12 ikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 12 / 31 (Netto)rente Der Nettonutzen oder die Rente der Konsumentin ist die Summe der Reservationspreise abzüglich des Geldes, welches bezahlt werden muss: Rente der Konsumentin = r 1 p + r 2 p r 6 p = r 1 + r r 6 6 p = v(6) v(0) 6 p

13 Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 13 / 31 Grafische Darstellung der (Netto)rente: Preis Fläche: v(6) v(0) 6 p r 1 p r 2 r 3 r 4 r 5 r 6 inverse Nachfragefunktion 6 p Kaffee Nettorente: Fläche zwischen inverser Nachfragefunktion & Preis

14 ikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 14 / 31 Weitere Interpretation der Nettorente Angenommen, wir wollten die Konsumentin daran hindern, die 6 Tassen Kaffee zu kaufen. Wieviel Geld R müssten wir ihr mindestens anbieten, damit sie einverstanden ist? u(0, m + R) = u(6, m 6 p) v(0) + m + R = v(6) + m 6 p R = v(6) v(0) 6 p

15 Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 15 / 31 Die Rolle von quasilinearen Präferenzen Fläche unter der inversen Nachfragefunktion entspricht dann und nur dann dem Nutzen der Konsumentin, wenn der Grenznutzen der Konsumentin für Geld konstant ist. Dies ist bei quasilinearen Präferenzen der Fall. Bei anderen Präferenzen ist die Fläche zwischen inverser Nachfragefunktion und Preislinie lediglich ein Indikator für die Nettorente.

16 ikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 16 / 31 Rente der Konsumentin versus Konsumentenrente Die Rente der Konsumentin bezieht sich auf eine Person. Die Konsumentenrente ist die Summe der Renten von mehreren Personen.

17 ikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 17 / 31 Näherungsweise Darstellung bei kontinuierlicher Nachfrage Was wäre, wenn die Konsumentin nur halbe Tassen Kaffee zum Preis p 2 kaufen könnte? Preis r 1 r: Reservationspreise für halbe Tassen Kaffee p 2 r 2 r 3 r 4 r 5 r 6 r r 7 r 8 9 r 10 r Kaffee (halbe Tassen)

18 ikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 18 / 31 Reservationspreise für halbe Tassen Wir wissen bereits: r 6 = v(6) v(5) > p > v(7) v(6) = r 7. Kauft die Konsumentin genau 12 halbe Tassen zum Preis p 2, dann: r 12 = v ( ) 12 v 2 ( ) 11 > p ( ) > v v 2 ( ) 12 = r 13 2 Reservationspreise gemessen in ganzen Tassen: = v ( ) ( 12 2 v 11 ) 2 > p > v ( ) ( 13 2 v 12 ) 2 r = r 13 2

19 1 Ein Tropfen = h Tassen Kaffe Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 19 / 31 Reservationspreise für Tropfen Kaffee 1 Angenommen, die Konsumentin könnte nur Tropfen h Kaffee kaufen und würde sich für sechs Tassen entscheiden. Dann: v (6) v (6 h) h p Dies bedeutet für h 0: p = v (6)! v (6 + h) v (6) h Wenn Kaffee beliebig teilbar ist, muss an der Stelle x 1 = 6 die Tangentialbedingung gelten (beachte Preis für Gut 2 Geld = 1): MRS = MU 1 = v (x 1 ) = p MU v (x 1 ) = p Der Reservationspreis für den nächsten Tropfen Kaffee ist bei quasilinearen Präferenzen der Grenznutzen nach Kaffee: P(x 1 ) = v (x 1 )

20 Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 20 / 31 Inverse Nachfragefunktion nach Kaffee: P(x 1 ) = v (x 1 ) P(x 1 ) P(x 1 ) = v (x 1 ) (inverse Nachfragefunktion) P(6) 6 Kaffee (= x 1 )

21 Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 21 / 31 Bruttorente = Fläche unter der inversen Nachfragefunktion P(x 1 ) P(x 1 ) = v (x 1 ) Fläche: 6 0 v (x 1 )dx 1 Bruttorente x 1 (p, 1, m) = 6 Kaffee

22 Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 22 / 31 Integral als Flächenmaß Fläche unterhalb der Treppenfunktion der Tropfennachfrage Fläche des i-ten Rechtecks {}}{ 6 ( h a ) v(i h) v(i h h) h = v h h }{{} Reservationspreis i-ter Tropfen i=1 ( ) 6 h h v(h h) = v(6) v(0) Die Summe von unendlich schmalen Rechtecken: 6 0 v (x 1 ) dx 1 = v(6) v(0)

23 Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 23 / 31 Nettorente = Fläche zwischen Nachfrage & Preis Preis v (x 1 ) p Nettorente 6 p x 1 (p, 1, m) = 6 Kaffee 6 0 ( v (x 1 ) p ) dx 1 = (v(6) 6 p) (v(0) 0 p) = v(6) v(0) 6 p

24 Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 24 / 31 Veränderung der Nettorente Die absolute Höhe der Nettorente ist meistens uninteressant. Üblicherweise interessieren sich Volkswirte für die Veränderung der Rente der Konsumentin. Beispiel für eine wirtschaftspolitische Maßnahme: Mengensteuer t auf Gut 1, d.h. Gut 1 wird teurer p p t = p + t Wie verändert sich die Rente der Konsumentin?

25 Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 25 / 31 Grafik: Veränderung der Nettorente Die Rente der Konsumentin sinkt um A + B. Preis p t Nachfragekurve A: Steuereinnahmen t x 1 (p t, 1, m) p A B x 1 (p t, 1, m) x 1 (p, 1, m) Kaffee

26 Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 26 / 31 Interpretation der Veränderung der Nettorente Konsumentscheidung bei Preis p für Gut 1: x 1, x 2 = m p x 1 Nettonutzen u(x 1, x 2 ) = v(x 1 ) + m p x 1 Konsumentscheidung bei Preis p für Gut 1: x 1, x 2 = m p x 1 Nettonutzen u(x 1, x 2 ) = v(x 1 ) + m p x 1 Nettonutzenveränderung: u = v(x 1) + m p x 1 (v(x 1 ) + m p x 1 ) = v(x 1) v(x 1 ) p x 1 + p x 1 = x 1 x 1 v (y)dy p x 1 + p x 1

27 ikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 27 / 31 Nettonutzenveränderung: Preis x 1 v (y)dy x } 1 {{ } (B+D) p x 1 }{{} (A+C) + p x 1 }{{} C+D = (A + B) p p A v ( ) B Die Nettonutzenveränderung entspricht exakt der Änderung der Nettorente! Dies gilt nur bei quasilinearem Nutzen! C D x 1 x 1 Gut 1

28 Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 28 / 31 Die Rente der Produzentin Angebotskurve: S(p) Angebotene Menge in Abhängigkeit des Preises. Konstruktion der Angebotskurve in Kapitel 22 Inverse Angebotskuve p s (x): Preis p = p s (x) zu dem Produzentin bereit ist x Einheiten anzubieten.

29 ikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 29 / 31 Rente der Produzentin Fläche zwischen der inversen Angebotskurve und dem Preis. Preis p Inverse Angebotskurve p = p s (x) x Menge x

30 Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 30 / 31 Veränderung der Rente der Produzentin Anstieg der Rente um die Flächen A und B. Anstieg des Marktpreises von p auf p. Preis p p = p s (x ) p = p s (x) A B Inverse Angebotskurve x x Menge x

31 ikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 31 / 31 Summary Vorbehaltspreis für die n-te Einheit eines Gutes: r n = v(n) v(n 1) Bruttonutzen aus n Einheiten eines Gutes: v(n) v(0) = r r n. Reservationspreis bei kontinuierlichen Mengen: P(x 1 ) = v (x 1 ) = lim h 0 v(x 1 +h) v(x 1 ) h. Bruttonutzen bei kontinuierlichen Mengen: v(x 1 ) v(0) = x 1 0 v (y)dy Nettonutzen: Bruttonutzen abzüglich der Ausgaben: v(x 1 ) v(0) x 1 p = u(x 1, m p x 1 ) v(0) m. = Rente der Konsumentin. Bei kleinen Preisveränderungen: Nettonutzen = Rechteck + Dreieck.