Produktion und Organisation VL 9: Produktion Die Gutenberg-Produktionsfunktion

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1 JProf. Dr. T. Kilian Produktion und Organisation VL 9: Produktion Die Gutenberg-Produktionsfunktion WS 2010/2011 JProf. Dr. T. Kilian 0

2 Inhalt I. Grundbegriffe II. Produktionsfunktionen Eigenschaften von Produktionsfunktionen Die klassische Produktionsfunktion Die neoklassische Produktionsfunktion Minimalkostenkombinationen Gutenberg-Produktionsfunktion 1

3 Gutenberg-Produktionsfunktion Theorie der Anpassungsformen (Gutenberg 1983) Stärkere Berücksichtigung der betrieblichen Gegebenheiten Kern: Möglichkeit die Produktionsmenge kurzfristig an Schwankungen der Nachfrage anzupassen Zusammenhang zwischen Faktoreinsatz- und Produktions-menge hängt davon ab, wie Maschinen gefahren werden Betriebsmittel (Maschinen) im Mittelpunkt der Betrachtungen 2

4 Beispiel: Verbrauch und Leistung eines Motors PS 7 6 Leistung g/psh Verbrauch Drehzahl Quelle: Wöhe 2002, S

5 Gutenberg-Produktionsfunktion Untersuchung der Auswirkungen der drei Anpassungsformen: Zeitliche Anpassung: Variation der Arbeitszeit (t) Quantitative Anpassung: Variation der Anzahl der eingesetzten Maschinen (z) Intensitätsmäßige Anpassung: Variation der Produktionsgeschwindigkeit (d) 4

6 Gutenberg-Produktionsfunktion für Einproduktfall Produktionsfunktion x t z d Werkstoffe Betriebsmittel Arbeitsleistung t z d Sachgüter Dienstleistungen 5

7 Gutenberg-Produktionsfunktion - Faktoreinsatzfunktion Faktoreinsatzfunktion r ( x) r ( t, z, d) i i Zeitliche Anpassung: Variation der Arbeitszeit (t) Quantitative Anpassung: Variation der Anzahl der eingesetzten Maschinen (z) Intensitätsmäßige Anpassung: Variation der Produktionsgeschwindigkeit (d) 6

8 Faktoreinsatzfunktion Zeitliche Anpassung Variation der Laufzeit t der Betriebsmittel, wobei 0 t t max Häufig verwendet: Tarifvertraglich fixierte Arbeitszeit T der Mitarbeiter ggf. multipliziert mit der gefahrenen Schichten Bei Herstellung einer einzigen Produktart bei einem bestimmten Maschinentyp: Produktionsmenge x = Kapazitätsgrenze Bei rückläufiger Nachfrage: Zeitliche Anpassung nach unten notwendig (z.b. Kurzarbeit) Bei steigender Nachfrage: Zeitliche Anpassung nach oben (z.b. Überstunden oder zusätzliche Schichten) 7

9 Faktoreinsatzfunktion Zeitliche Anpassung (isoliert) Produktion auf einer Maschine mit konstanten d Produktionsgeschwindigkeit Dazugehörige Produktionsfunktion: x t 1d Dazugehörige Faktoreinsatzfunktion: Aufgrund der limitationalen Beziehung zwischen Faktoreinsatzmenge und Produktionsmenge: r i a i x a : Eingesetzte Menge des Werkstoffes i je Produktionseinheit r i : erforderliche Einsatzmenge des Werkstoffes i x : Produktionsmenge 8

10 Faktoreinsatzfunktion Zeitliche Anpassung (isoliert) Gesamtkosten K( x) K K ( x) F v Fixkosten: u.a. feste Löhne der Arbeitnehmer, Abschreibungen für Maschinen und Gebäude Variable Kosten: u.a. benötige Einsatzmaterial, variable Lohnbestandteile (z.b. Akkordlohn) 9

11 Faktoreinsatzfunktion Zeitliche Anpassung (isoliert) Kostenfunktion bei zeitlicher Anpassung im Bereich der regulären Arbeitszeiten K( x) K F n i1 q i a i x mit 0 x x 0 t T Bewertung der angegebenen Faktoreinsatzmenge der Werkstoffe mit ihren Preisen q i a i 10

12 Kostenverlauf bei zeitliche Anpassung K(x) K F x x Steigende Kostenfunktion, da Produktionskoeffizient und Faktorpreis konstant Ab x wird die reguläre Arbeitszeit T durch Überstunden überschritten Dadurch höhere variable Kosten 11

13 Faktoreinsatzfunktion Quantitative Anpassung Variation der Anzahl z der eingesetzten Maschinen an die Nachfrage Keine längerfristige Investitionsentscheidung Konstante Produktionsgeschwindigkeit Einsatzzeit der Maschinen: reguläre Arbeitszeit T Gutenberg-Produktionsfunktion für quantitative Anpassung: x T z d, mit 0 z Z d 12

14 Faktoreinsatzfunktion Quantitative Anpassung Annahme: Verfügbarkeit mehrere Maschinen vom gleichen Typ mit gegebener Leistung x{ x,2x,..., Z x} Quantitative Anpassung erlaubt keine flexible Anpassung an Nachfrageschwankungen Daher Kombination mit zeitlichen Anpassung 13

15 Kostenverlauf bei zeitlich-quantitativer Anpassung K(x) k F k F k F K F x 2x 3x x 14

16 Kostenverlauf bei zeitlich-quantitativer Anpassung Steigende Nachfrage: Produktion wird zunächst zeitlich angepasst (bis Kapazität der ersten Maschine ausgenutzt ist) Einsatz der zweiten Maschine bis deren Kapazität ausgelastet ist Inbetriebnahme einer Maschine verursacht sprungfixe Kosten (für Warmlaufen, Probestücke, etc.) n x K( x) K F qi ai x ( z 1) kf, mit z 1 x i1 15

17 Kostenremanenz Bei sprungfixen Kosten handelt es sich um sunk costs Daher tritt bei rückläufiger Nachfrage das Phänomen der Kostenremanenz auf Kostenremanenz Kosten gehen nicht im gleichen Maße zurück, wie sie zuvor gestiegen sind Sie verbleiben auf dem jeweils höheren Niveau 16

18 Kostenremanenz Schlussfolgerung Wenn erzeugende Produktionsmenge nur geringfügig über dem ganzzahligen Vielfachen der Kapazität einer Maschine liegt: Zunächst kostengünstiger eine reine zeitliche Anpassung mittels Überstunden vorzunehmen Verhindert sprungfixe Kosten im Tausch gegen zunächst günstigere variable Mehrkosten 17

19 Kostenremanenz Bewertung der beiden Alternativen (zeitlich oder quantitative Anpassung) mittels Break-Even-Analyse K(x) k F K F x x* x 18

20 Kostenremanenz - Beispiel In eine Betrieb mit zwei identischen Maschinen fallen Fixkosten in Höhe von an. Die Kapazität der Maschinen beträgt jeweils 500 Stück, bei Zuschaltung der zweiten Maschine sind sprungfixe Kosten in Höhe von 700 zu berücksichtigen. Die variablen Stückkosten während der regulären Arbeitszeit betragen 20, der Überstundenzuschlag beläuft sich auf 5 je Stück. Bei Zuschaltung der zweiten Maschine fallen folgende Kosten an: K ( x) x 1 Bei Nutzung von Überstunden betragen die Kosten hingegen: K ( x) x 5( x 2 500) 19

21 Kostenremanenz - Beispiel Man erhält die kritische Menge, in dem man diese beiden Kostenfunktionen zum Schnitt bringt: x x 5( x 500) x* 640 Bis zur kritischen Menge von 640 Stück ist in diesem Beispiel die Produktion mit Überstunden kostengünstiger, erst wenn die Nachfrage darüber hinausgeht, lohnt sich die Zuschaltung der zweiten Maschine 20

22 Intensitätsmäßige Anpassung Produktionsgeschwindigkeit d variiert (Produktionsmenge/Leistung je Zeiteinheit) Grundlage ist die Variation einer technischen Größe, die sich direkt auf die Höhe der Zeiteinheit je Leistung auswirkt (z.b. Drehzahl eines Bohrers, Drehzahl eines Motors, Temperatur bei chem. Prozessen) x d t, mit d min d d max d min,d max = geltende, technisch festgelegten Grenzen für eine Maschine 21

23 Intensitätsmäßige Anpassung Definition der Produktionsgeschwindigkeit (Leistung je Zeit) d x t Verbrauchsfunktion Produktionskoeffizient a i nun nicht mehr konstant Hängt von der Produktionsgeschwindigkeit ab a i a i (d), mit i 1,..., n 22

24 Typischer Verlauf der Verbrauchsfunktion Typischer u-förmiger Verlauf Optimale Produktionsgeschwindigkeit bei d 0 a(d) d min d 0 dmax d Vgl. Stevens (2007) S

25 Intensitätsmäßige Anpassung - Beispiel Verbrauchsfunktion a( d) d² 2200d 3000 d [500;3000] Verbrauchsminimale Produktionsgeschwindigkeit a'( d) 2d d

26 Faktoreinsatzfunktion - Beispiel Verbrauchsfunktion entspricht formal dem Produktionskoeffizienten, daher Faktoreinsatzfunktion: r (x) i r i a ( d) x a ( d) d t i 1,..., n i i xmin xmax x 25

27 Gesamtkosten bei intensitätsmäßiger Anpassung Gesamtkostenfunktion K( x) K F n i1 q i a i ( d) x i r (x) i K F xmin xmax x 26

28 Variable Stückkosten bei intensitätsmäßiger Anpassung K v ( d) K( x) x K F n i1 a i ( d) q i Hängen nun von der Produktionsgeschwindigkeit ab Aus u-förmiger Verbrauchsfunktion resultiert eine u-förmige Stückkostenfunktion Minimum bei der kostenminimalen Produktionsgeschwindigkeit d opt 27

29 Stückkosten bei intensitätsmäßiger Anpassung k (d) V dmin opt d dmax d 28

30 Aufgabe Die Flex AG plant, 40 Stück eines Produktes auf einer Maschine herzustellen. Zum Betrieb dieser Maschine werden die Repetierfaktoren r 1 und r 2 benötigt, deren Verbrauch r pro Stück von der Intensität d = Stück pro Stunde abhängig ist. Dabei gelten im Durchschnitt die folgenden intensitätsabhängigen Produktionskoeffizienten a 1 (d) = r 1 / x = 4d 2 32d + 80 a 2 (d) = r 2 / x = 5d 2 50d Die Intensität der Maschine ist im Intervall von 1 d 10 stufenlos einstellbar. Die Preise der Einsatzfaktoren betragen q 1 = 6,- und q 2 = 8,-. 29

31 Aufgabe Berechnen Sie den Faktorverbrauch, wenn die geplante Produktionsmenge innerhalb kürzester Zeit produziert werden soll! Die kürzeste Produktionszeit wird bei maximaler Intensität d (Stück pro Stunde) erzielt. Die Intensität der Maschine ist technisch durch den Definitionsbereich 1 d 10 begrenzt. d max = 10. Faktorverbrauch a 1 (d) x = (4d 2 32d + 80) x = ( ) 40 = a 2 (d) x = (5d 2 50d + 160) x = ( ) 40 =

32 Aufgabe Welche Produktionszeit ist erforderlich, wenn I. der Faktorverbrauch von Faktor 1 minimiert werden soll? II. der Faktorverbrauch von Faktor 2 minimiert werden soll? Allgemein gilt: Produktionszeit = Stückzahl / Stück pro Stunde, also t = x / d Minimierung von r 1 a 1 (d) = r 1 / x = 4d 2 32d + 80 min a 1 (d) = 8d 32 = 0 d I *= 4 a 1 (d) = 8 > 0 2. Ableitung positiv: d I * ist ein Minimum! t I = 40 x / (4 x / h) = 10 h Minimierung von r 2 a 2 (d) = r 2 / x = 5d 2 50d min a 2 (d) = 10d 50 = 0 d II *= 5 a 2 (d) = 10 > 0 2. Ableitung positiv: d II * ist ein Minimum! t II = 40 x / (5 x / h) = 8 h 31

33 Aufgabe Bestimmen Sie den Faktorverbrauch, wenn die Maschine zur Herstellung der geplanten Produktionsmenge mit kostenoptimaler Intensität betrieben werden soll! Ziel: Minimierung der Stückkostenfunktion k(d) = a 1 (d) q 1 + a 2 (d) q 2 k(d) = (4d 2 32d + 80) 6 + (5d 2 50d + 160) 8 min k(d) = 48d d 400 = 0 128d = 592 d* = 592/128 = 4,625 k(d) = 128 > 0 2. Ableitung positiv: d* ist ein Minimum! 32

34 Kombinationsmöglichkeiten Gutenberg-Produktionsfunktion für intensitätsmäßige Anpassung an einer Maschine: x d t, mit d min d d max Zur Erzeugung einer bestimmten Produktionsmenge sind die zeitliche und intensitätsmäßige Anpassung substituierbar opt Daher wird d konstant gehalten und die Produktionszeit so weit wie benötigt reduziert opt Vorteil: Stückkosten werden bei k( d ) gehalten und die Gesamtkosten werden linearisiert 33

35 Gesamtkostenverlauf bei zeitlich-intensitätsmäßiger Anpassung r (x) i K F xmin xmax x 34

36 Stückkosten bei zeitlich-intensitätsmäßiger Anpassung k (d) V dmin opt d dmax d 35

37 Generische Anpassungsformen Maschinenzahl Betriebsdauer Betriebsintensität Quantitative Anpassung variiert unverändert unverändert Zeitmäßige Anpassung unverändert variiert unverändert Intensitätsmäßige Anpassung unverändert unverändert variiert 36

38 Fragen? Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! 37