5. Gewinnmaximierung: Welche Menge stellt ein Unternehmen her? 4. Kostenminimierung vs. Outputmaximierung: ÜB 4 Aufgabe 5

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1 4. ostenminimierung vs. Outputmaximierung: ÜB 4 Aufgabe 5 5. Gewinnmaximierung: Welche Menge stellt ein Unternehmen her? 4. ostenminimierung vs. Outputmaximierung: ÜB 4 Aufgabe 5 Zusammenfassung theoretischer Grundlagen - Ein Unternehmen versucht seine roduktion möglichst effizient auszuführen - Das bedeutet, es muss entweder die osten bei gegebenen roduktionsniveau minimieren (räsi F. ) ; Nebenbedingung: Erreichung roduktionsniveau f( v, v) = Y Z z Zielfunktion: ostenminimierung Min Z = zv+ zv v = v z z - Analog zur Haushaltstheorie gilt als Optimalitätsbedingung GRtS=relativer Faktorpreis (GRS = relativer reis) - Dies gilt im Tangentialpunkt a und wird als Minimalkostenkombination (M) bezeichnet - Auch dieses roblems wird mit Hilfe des agrange-ansatzes gelöst - Auch hier können wir die Betrachtungsperspektive wechseln - Hat ein Unternehmen einen vorgegebenen ostenrahmen, so kann es auch versuchen das roduktionsniveau Y zu maximieren (räsi F. ) Nebenbedingung: Ausschöpfung des gegebenen ostenbudgets Z _ = zv + zv Zielfunktion: roduktionsniveaumaximierung Max f ( v, v ) - Auch bei diesem Maximierungsproblem folgt als Optimalitätsbedingung für die Minimalkostenkombination (M); rel. Faktorpreis = GRtS - Das Max- bzw. das Min-roblem führen zur einer analogen Optimalbedingung Wird das sich im Max-roblem ergebende optimale roduktionsvolumen im Minimierungsproblem als zu erreichendes roduktionsvol. vorgegeben dann wird das Minimierungsproblem durch dieselbe Faktoreinsatzkombination v, voptimiert - iegen nun verschiedene Outputniveaus vor (räsi F. ), dann existieren bei gegebenen Faktorpreisen mehrere M (7 mal klicken) - Verbindet man diese erhält man den sogenannten Expansionspfad. (lick) Dies ist der kostenminimale Weg für ein Unternehmen um seine roduktion auszuweiten. - In jedem unkt ist die Optimalitätsbedingung GRtS= rel. Faktorpreis erfüllt - Da reisänderungen zur Änderung des Verlaufs der ostenrestriktion [v=(z/z)- (z/z)v] führen (lick), ergeben sich für andere rel. Faktorpreise (lick) auch andere Expansionspfade (nämlich mit anderer Steigung). (lick) - Expansionspfade homogener roduktionsfunktionen sind bedingt durch die onstruktion der Funktion linear Eine Faktorvariation um b, entspricht einer Outputvariation um b^p(rho) beider Einsatzfaktoren Das Faktoreinsatzverhältnis [v0/v0] ist konstant b gibt den Ort bzw. die Bewegung an, an dem man sich auf dem Expansionspfad befindet Da zusätzlich kein konstanter Summand innerhalb der Funktion vorkommt, entspringt sie dem Ursprung _

2 - Nicht-homogene roduktionsfunktionen können durchaus dazu führen, dass der Expansionspfad andere Verläufe annimmt. So kann sich das Faktoreinsatzverhältnis mit fortschreitender Outputsteigerung durchaus ändern, die roduktion z.b. kapitalintensiver werden (bspw. durch Einsatz von Massenfertigungsbändern, was sich erst ab einem bestimmten Outputvolumen lohnt) - Durch einsetzen des Optimalitätswertes (hier: Expansionspfades), der durch den agrange-ansatz hergeleitet wurde, in die roduktionsfunktion erhält man die bedingten Faktornachfragen (bedingt durch das roduktionsniveau und den relativen reis) - Dabei wird die dritte Optimalitätsbedingung, die die NB berücksichtigt ignoriert (räsi F. 4/5) Wir suchen nämlich nicht den einen Minimalkostenpunkt a wie in der HHT den opt. onsumpunkt In der HHT sind wir von einem Zielnutzen oder beschränkten Budget ausgegangen In der roduktionstheorie wird weder ein Ziel-roduktionsniveau vorgegeben noch die osten beschränkt. Im Gegenteil: Man sucht nach dem optimalen Weg die roduktion bei möglichst geringen osten auszudehnen - Die langfristige ostenfunktion Z ergibt sich dann durch einsetzen der bedingten Faktornachfragen in die ostenrestriktion 5. Welche Menge wird von den Unternehmen angeboten? Gewinnmaximierung am Beispiel ÜB 5 Aufgabe 4/5/6 Ermitteln Sie zu folgender roduktionsfunktion die Menge, die ein gewinnmaximierendes Unternehmen bereitstellt und berechnen sie die unbedingten Faktornachfragen - Die roduktionsfunktion sei gegeben durch: (40 / 54) Y (, ) = - Der Gewinn wird üblicher Weise durch eine Gewinnfunktion der Form: Gewinn = Erlös osten beschrieben es gilt also: (55) Π= Y (, ) pp - Die roduktionsfkt. kann in Beziehung (55) eingesetzt werden. (56) Π= pp - Da sich die Unternehmen rational verhalten und zudem auf einem vollkommenen Markt befinden, können die Unternehmen ihren rofit nur über die Menge Y maximieren. Diese wird wiederum durch den Faktoreinsatz von und bestimmt - Die rofitfunktion wird also hinsichtlich der beiden Einsatzfaktoren optimiert, d.h. wir müssen sie nach und ableiten: Π (57) = p = 0 (57a) p = Π (58) = p = 0 (58a) p =

3 - Eine Optimalitätsbedingung ist also, dass das Wertgrenzprodukt (AbsatzpreisM) dem Faktorpreis entspricht - Außerdem können wir durch Division von (58a) und (57a) die bereits bekannte Optimalitätsbedingung: (58a) p Y / WG Y / M = = = = GRtS = = = (57a) p Y / WG / Y M für die kostenminimale roduktion wieder finden: rel. Faktorpreis = GRtS - Da beide Optimalbedingungen beachtet werden müssen lösen wir Beziehung (57a) nach auf und setzten in (58a) ein. Dabei erhalten wir die unbedingte Faktornachfrage nach der Arbeit (57a) p = p (59) p = p = = (59) = = p 4p - Jetzt einsetzen von (59) in (58a) (58a) p = (59) = 4 p p p pp p (60) p = = p = 4 4 (60) p 4 = = 4 4 pp (60) = unbedingte Nachfrage nach Arbeit; gibt an: Welche optimale also profitmaximierende Menge an Arbeit bei gegebenen reisniveau und Faktorpreisen nachgefragt wird! die bedingte Nachfrage hingegen gibt die Substitutionseffekte bei gegebenen Output Y zwischen Arbeit und apital an, wenn sich relative reise ändern

4 - (60) wird nun wiederum in (59) eingesetzt um die unbedingte Nachfrage nach apital zu erhalten 4 pp (60) = (59) = 4p 4 pp 4 p p (6) = = = 4 p 4 p p 4p 4p p (6) = 4 p p = p p (6) = p der optimale Output würde sich durch einsetzen der unbedingten Nachfragen (60) und (6) in die roduktionsfunktion ergeben Bestimmten Sie mit den Ergebnissen aus den letzten Aufgaben die opt. rofitfunktion - Die opt. rofitfunktion lautet: (55) Π = Y(, ) p p hätte sich ergeben, wenn man die partielle Ableitung der rofitfunktion nach dem Absatzpreis berücksichtigt hätte - Setzt man die optimalen Werte p (6) = p pp (60) = - ein, so erhält man: 4

5 (56) Π= p p (6) (60) = (6) p = p pp pp p p pp Π = p p p p Verifizieren Sie Hotteling s emma mit den Ergebnissen der letzten Aufgabe und mit Hilfe des Enveolope Theorems - Hotteling s emma ist eine weiterer Spezialfall des Envelope-Theorems, d.h. insbesondere, dass nur die direkten Effekte entscheidend sind - Es besagt, dass sich der rofit eines Unternehmens (unter hier gegebenen Annahmen; vollständiger Markt, Mengenanpasserverhalten erhöht, wenn sich der Absatzpreis erhöht oder aber der rofit wird geringer, wenn die Faktorpreise steigen - In diesem Modell entsprich daher, die Veränderung des optimalen rofits, z.b. abhängig von einer reisänderung des Faktors Arbeit lediglich der unbedingten Faktornachfrage nach Arbeit usw. - Es reicht also die allgemeine Form der opt. Ausgabenfunktion zu betrachten: (55) Π = Y (, ) p p (6) (64) (65) Π = Π = p Π = p Y 5