Hotelling Modelle Lineares Hotelling Preismodell

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1 Modelle Lineares Preismodell Lineares Mod Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 188

2 Annahmen Die Nachfrage für ein homogenes Gut stammt aus einer linearen Stadt Länge: L > 0 An jeder Stelle der Stadt x [0,L] befindet sich genau ein Konsument Jeder Konsument fragt genau eine Einheit nach 2 Anbieter (A und B) Vorgegebene Lokationen a und L b Es gilt a und (L b) [0,L] Symmetrische Kostenstruktur beider Anbieter Lineares Mod K i = k q i + F und i [A,B] Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 189

3 Annahmen Um zu Anbieter A zu gelangen, muss Konsument x die Strecke x a zurücklegen Um zu Anbieter B zu gelangen die Strecke x (L b) Es entstehen lineare Entfernungskosten in Höhe von t z Wobei t den Entfernungskostenfaktor und z die Entfernung darstellt Lineares Mod Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 190

4 Annahmen Lösung durch Rückwärtsinduktion Stufe 2: Kunden wählen den Anbieter bei dem sie das Gut kaufen möchten Dabei berücksichtigen sie die Preise beider Anbieter und die Entfernungskosten Stufe 1: Die Anbieter wählen ihre Preise, um ihren Gewinn zu maximieren Lineares Mod Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 191

5 Stufe 2 Die Nutzenfunktion des Konsumenten x ist { pa t x a, falls x bei A kauft U = p B t x (L b), falls x bei B kauft Konsument x ist zwischen A und B indifferent Es gilt: p A t( x a) = p B t(l b x) Lineares Mod Wenn sich A und B an der gleichen Stelle befinden setzt ein extremer Preiswettbewerb ein Es wird im Folgenden angenommen, dass A und B weit genug voneinander entfernt sind Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 192

6 Stufe 1 Alle Kunden links von x werden bei A kaufen, alle rechts von x werden bei B kaufen Durch Umformen der Indifferenzbedingung ergibt sich die Nachfrage für A q A = x = p B p A 2t + L b + a 2 Lineares Mod Entsprechend ergibt sich die Nachfrage für B q B = L x = p A p B 2t + L + b a 2 Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 193

7 Stufe 1 Maximierung der Gewinnfunktion für Anbieter A: ( pb p maxπ A = A + L b + a ) (p p A 2t 2 A k) F Notwendige Bedingung: 0 = p B 2p A + k 2t + L b + a 2 Reaktionsfunktion von Anbieter A p A (p B ) = p B + k 2 + (L b + a)t 2 Analog wird die Reaktionsfunktion für Anbieter B ermittelt p B (p A ) = p A + k 2 + (L + b a)t 2 Lineares Mod Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 194

8 Stufe 1 Gleichgewicht im Schnittpunkt der Reaktionsfunktionen Preise der Anbieter p A = (3L b + a)t 3 Gleichgewichtsmengen + k; p B = (3L + b a)t 3 q A = x = 3L b + a ; q 6 B = L x = 3L + b a 6 + k Lineares Mod Gleichgewichtsgewinn π A = t (3L b + a)2 18 F; π B = t (3L + b a)2 18 F Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 195

9 Diskussion Der gleichgewichtige Gewinn von A steigt, je höher die Entfernungskosten t sind, je kleiner b ist je größer a ist. Das gilt analog für den Gewinn von Anbieter B Die hergeleiteten Gleichgewichte gelten nur, wenn Lokationen exogen vorgegeben sind und wenn Entfernungskosten linear sind. Lineares Mod Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 196

10 Endogene Lokationswahl Es wird weiterhin ein lineares Preismodell angenommen Bei endogener Lokationswahl optimiert der Anbieter seinen Gewinn in zwei Stufen Erste Stufe: Wahl der Lokationen Zweite Stufe: Preissetzung Bei linearen Entfernungskosten gibt es kein Gleichgewicht in reinen Strategien Wenn die Lokationen nahe aneinander liegen, haben die Anbieter Anreize auseinander zu gehen Wenn die Lokationen weit von einander entfernt sind, haben die Anbieter Anreize aufeinander zu zugehen Bei quadratischen Entfernungskosten wird der höchste Grad der Differenzierung gewählt Lineares Mod Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 197

11 Lineares Mod Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 198

12 Annahmen Im gegensatz zu dem linearen Modell ist die Anzahl der Anbieter (N) endogen Alle Anbieter 1...N sind symmetrisch Symmetrische Kostenfunktion K i = k q i + F und i [0...N] Anbieter sind gleichmäßig auf einem Kreis verteilt Der Kreisumfang ist 1 Der Abstand zwischen zwei Anbietern ist 1 N Lineares Mod Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 199

13 Annahmen Es entstehen für den Kunden lineare Entfernungskosten in Höhe von t z Wobei t den Entfernungskostenfaktor und z die Entfernung darstellt Die Konsumenten sind gleichmäßig auf dem Kreis vertreilt Jeder Konsument fragt genau eine Einheit nach Aufgrund der Symmetrie kann angenommen werden, dass p 2 = p N = p Lineares Mod Käufer von Anbieter 1 p 1 p N = p 1 N ˆx p 2 = p Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 200

14 Annahmen Lösung durch Rückwärtsinduktion Stufe 3: Kunden wählen den Anbieter bei dem sie das Gut kaufen möchten Dabei berücksichtigen sie die Preise der Anbieter und die Entfernungen Stufe 2: Die Anbieter wählen ihre Preise, um ihren Gewinn zu maximieren Stufe 1: Markteintrittsentscheidung der Anbieter Es werden so viele Anbieter in den Markt eintreten, bis der Gewinn gleich 0 ist Lineares Mod Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 201

15 Stufe 3 Der Kunde ˆx wird ermittelt, der zwischen Anbieter 1 und Anbieter 2 indifferent ist Für den indifferenten Kunden ˆx gilt: p 1 + t ˆx = p + t( 1 N ˆx). Daraus folgt: ˆx = p p 1 2t + 1 2N. Alle Kunden links von ˆx kaufen von Anbieter 1, alle Kunden rechts von ˆx kaufen bei Anbieter 2 Analog kann der indifferente Kunde für alle Anbieter ermittelt werden Lineares Mod Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 202

16 Stufe 2 Anbieter 1 bedient sowohl Kunden die links als auch Kunden die rechts von ihm liegen Die Nachfrage von Anbieter 1 ergibt sich als: q 1 (p 1,p) = 2ˆx = p p 1 t + 1 N. Der Anbieter wählt seinen Preis maxπ 1 = (p 1 k)( p p p 1 t N ) F Lineares Mod Notwendige Bedingung 0 = p 2p 1 + k t + 1 N Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 203

17 Stufe 2 In einem symmetrischen Gleichgewicht gilt: p 1 = p 2 =... = p N = p. Einsetzten in die notwendige Bedingung ergibt: p = k + t N. Lineares Mod Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 204

18 Stufe 1 Im Gleichgewicht werden genau so viele Anbieter in den Markt eintreten, dass alle Anbieter Nullgewinne generieren Solange positive Gewinne generiert werden können, treten weitere Marktteilnehmer ein Bei negativen Gewinnen werden Anbieter aus dem Markt austreten Bei Nullgewinnen besteht weder ein Anreiz aus dem Markt auszutreten noch in den Markt einzutreten Lineares Mod Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 205

19 Stufe 1 Die optimale Anzahl an Unternehmen wird ermittelt indem der Gewinn eines einzelnen Anbieters i nullgesetzt wird π i = (p k) 1 N F = t N 2 F! = 0 Damit ergibt sich die optimale Anzal von Anbietern N als: t N = F. Das resultiert in folgenden gleichgewichtigen Preisen und Mengen: Lineares Mod p = k + tf, q = t F 1 2. Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 206

20 Wohlfahrtseffekte Die optimale Anbieteranzahl N aus dem -Modell übersteigt die Wohlfahrtsmaximierenden Anzahl Um die Wohlfahrt zu maximieren wird die Summe aus den Transportkosten des durchschnittlichen Kunden 1 4N und der insgesamt anfallenden Fixkosten L minimiert minl(f,t,n) = N F + t N 4N Lineares Mod Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 207

21 Wohlfahrtseffekte Notwendige Bedingung 0 = F t 4N 2 Daraus folgt, dass die Wohlfahrtsmaximierende Anzahl an Anbieter Ñ kleiner ist als die Anbietermenge N im Gleichgewicht des linearen Modells Lineares Mod Ñ = 1 2 t F < t F = N Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 208

22 Modell mit sequentiellem Markteintritt Lineares Mod Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 209

23 Annahmen Preise sind gleich und fix vorgegeben Zur Vereinfachung wird p = 1 angenommen 3 Anbieter befinden sich in einer linearen Stadt Länge der Stadt = 1 Sequentielle Positionswahl der Anbieter Lineares Mod Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 210

24 Annahmen Lösung per Rückwärtsinduktion Stufe 3: Anbieter 3 Entscheidet über seine Position Stufe 2: Anbieter 2 Entscheidet über seine Position Stufe 1: Anbieter 1 Entscheidet über seine Position Zur Vereinfachung wird angenommen, dass Anbieter 1 die Position x 1 = 1 4 wählt Lineares Mod Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 211

25 Stufe 3 Die Entscheidung von Anbieter 2 kann in 3 Intervallen liegen: 1. x 2 = 1 4 ε < x 2 < x Für jedes Intervall ergibt sich eine Beste-Antwort-Funktion für Anbieter 3 BA(Intervall1) : x 3 = ε Lineares Mod BA(Intervall2) : x 3 = x 2 + ε BA(Intervall3) : x 3 = x 2 x x 1 Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 212

26 Stufe x 2 x 1 x 3 1/4 1 4 π2 3 π 1 x 1 x x x π 4 2 π3 1 x2 1/4 3/4 2 1 x 1 x 3 x 2 x2 x2 x3 π2 1 x2 + π 4 3 1/ /4 3 4 Lineares Mod Gegeben der Reaktion von Anbieter 3 wählt Spieler 2 seine Position Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 213

27 Stufe 2 Anbieter 2 wählt Intervall 3 Gewinn von Anbieter 2 in Intervall 3: π 2 = 1 x 2 + x 2 x 3. 2 Innerhalb dieses Intervalls wählt Anbieter 2 die Position Lineares Mod x 2 = 3 4 Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 214

28 Gleichgewicht Im Gleichgewicht gilt: x 1 = 1 4, π 1 = 3 8 x 2 = 3 4, π 2 = 3 8 Lineares Mod x 3 = 1 2, π 3 = 1 4 Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 215