Lösungen Aufgabenblatt 3 zur Spieltheorie SS 2017

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1 Lösungen Aufgabenblatt 3 zur Spieltheorie SS 07 Aufgabe 3.: Zwei Länder nutzen ein Gewässer für den Fischfang. Wir bezeichnen mit x und y die Fangmenge (pro Z.E., z.b. einem Jahr) von Land bzw. Land. Land erzielt aus dem Fang einen Ertrag von x, was mit Kosten in Höhe von 4 x + 0 xy verbunden ist. Der Gewinn von Land beträgt also π (x, y) x 4 x 0 xy. Land hat die gleiche Ertrags- und Kostenstruktur, d.h. sein Gewinn ist π (x, y) y 4 y 0 xy. a) Beschreiben Sie die Situation als strategisches Spiel in Normalform. Lösung: Spieler, Strategien SP: x s S [0, ), SP: y s S [0, ) Nutzen SP π (x, y) x 4 x 0 xy Nutzen SP π (x, y) y 4 y 0 xy b) Auf welche Fangmengen könnten sich die beiden Länder einigen, ohne dass ein Land eine profitable Abweichung hätte, wenn es davon ausgeht, dass das andere die vereinbarte Fangmenge einhält? Lösung: Gefragt ist nach dem Nash-GG des Spiels. Bed. Ordn: π x x 0 y! 0 x 4 5 y R (y) x (y) π y y 0 x! 0 y 4 5 x R (x) y (x) Bed..Ordn: π x < 0 π y < 0 Bed..Ordn. ok Bed..Ordn. stellen lineares Gl.-System in x, y dar: x + 0 y ( ) ( ) ( ) 5 x + y 0 5 x 0 0 x + y x + 5 y 0 5 y 0 Lösung ist: ( ) ( ) ( ) x 5 0 ( ) ( ) 80 y Da : Einziges Nash-GG ist (x, y ) (3. 3, 3. 3).

2 c) Bei welcher Fangmenge hätte Land den größten Gewinn, wenn Land nicht fischen würde? Lösung: Zu lösendes Problem: Lösung also: Bed..Ordn: Bed..Ordn: max x 0 π (x, 0) x 4 x 0 d dx π (x, 0) x! 0 x 4 d dx π (x, 0) < 0 x 4 (vs. x 3. 3 im Nash-GG) d) Bei welchen Fangmengen (x, y) wird der gemeinsame Gewinn π (x, y) + π (x, y) maximiert? Lösung: Zu lösendes Problem: max π(x, y), wobei x 0,y 0 π(x, y) : π (x, y) + π (x, y) x + y 4 x 4 y 5 x y Bed..Ordn: π x (x, y) x 5 y! 0 π y (x, y) y 5 x! 0 Bed..Ordn. stellt lin. Gl.System in x, y dar: x + 5 y 5 x + y 0 5 y + x x + 5 y 0 Lösung ist ( ) ( ) ( ) x 5 0 y ( ) ( ) 5 x 5 y ( ) ( ) 0 0 ( ) Da : Lösungskandidat also (x, y) (0 7, 0 7 Es ist nur ein Lösungskandidat; erst die Bed..Ordn. stellt sicher, dass es die Lösung ist. ) (3, 3) Bed..Ordn.: Um sicherzustellen, dass das die Lösung des Maximierungsproblems ist, muss die Hesse-Matrix (Matrix. part. Ableitungen) negativ definit sein. Tatsächlich: ( π x x π y x π x y π y y ) ( 5 5 ) 0 ( ) 5 5 { d 5 < 0 d 5 4 > 0

3 Aufgabe 3.: Das Spiel G sei gegeben durch I {, }, S S [0, ] und u (s, s ) (s + ) s s s, u (s, s ) (s + ) s s s. a) Bestimmen Sie die beste Antwort R ( ) von Spieler. Lösung: Beste Antwort R (s ) von Spieler auf Strategie s von SP : Zu lösendes Problem: max s [0,] u (s, s ) (s + ) s s s Versuche es mit Bed..Ordn. und Bed..Ordn. (wird schiefgehen!) Bed..Ordn: u (s + s ) s! s 0 /( ) s s s + Bed..Ordn.: u s (s + ) > 0 (!!!) / Zeigt: s s (s + ) ist schlechteste Antwort von SP auf die Strategie s von SP (wir minimieren s u (s, s )!). Beachte: Für jedes s [0, ] ist s u (s, s ) (s + ) s s s eine nach oben offene Parabel. Wenn es keine inneren Maximalstellen gibt, liegt die Maximalstelle in einem Randpunkt (evtl. sind auch beide Randpunkte Max.Stellen) Hier: Das Max von s u (s, s ) (s + ) s s s über s [0, ] wird in einem der Randpunkte s 0 oder s angenommen. s 0 : u (s 0, s ) (s + ) 0 0 s 0 s : u (s, s ) (s + ) s s + s s Daraus folgt: s < R (s ) s > R (s ) 0 s R (s ) {0, } also R (s ) wenn s < {0, } wenn s 0 wenn s > 3

4 R (s ) R (s ) Welchen Nutzenverlust erfährt Spieler, wenn er gegen s 0 anstatt seiner besten Antwort die Strategie s / spielt? Lösung: Nutzenfkt. von SP war: u (s, s ) ( s + ) s s s Beste Antwort auf s 0 ist s R (s 0). Nutzen von SP in s, s 0 ist: u ( 0 + ) 0 Nutzen von SP in s, s 0 ist: u (0 + ) () 0 8 SP erfährt tatsächlich einen Nutzenverlust, wenn er gegen s 0 anstatt seiner besten Antwort R (0) die Strategie s / spielt: u (s, s 0) 8 < u (s, s 0) Nutzenverlust ist b) Bestimmen Sie mittels einer Graphik alle Nash-Gleichgewichte des Spiels. Lösung: Aus Symmetriegründen: Beste Antwort von SP auf Strategie s von SP: wenn s < R (s ) {0, } 0 wenn s wenn s > s ½ 0 0 R (s ) Nash GGe R (s ) ½ s Das Spiel hat die beiden Nash-GGe: (s, s ) (0, ) (s, s ) (, 0) Anmerkung: (s, s ) (, ) kein NashGG (es wäre eines, wenn R ( ) [0, ] und R ( ) [0, ], aber hier R ( ) {0, } und R ( ) {0, }) 4

5 Aufgabe 3.3: Das Spiel G sei gegeben durch I {, }, S S [0, ] und u (s, s ) s s (s + ) s, u (s, s ) s s (s + ) s. a) Bestimmen Sie die beste Antwort R ( ) von Spieler. Lösung: Beste Antwort R (s ) von SP auf Strategie s von SP: Zu lösendes Problem: max s [0,] u (s, s ) s s (s + ) s Bed..Ordn: u s (s + s ) s s s s +! 0 Bed..Ordn.: u s (s + ) < 0 / Zeigt: s s (s + ) s (s ) R (s ) ist beste (nämlich: maximierende) Antwort von SP auf die Strategie s von SP. Beachte: Für jedes s [0, ] S ist s (s ) [0, ] S. Welchen Nutzenverlust erfährt Spieler, wenn er gegen s 0 anstatt seiner besten Antwort die Strategie s / spielt? Lösung: Nutzenfkt. von SP war: u (s, s ) s s ( s + ) s Beste Antwort auf s 0 ist s R (s 0) 0 / (0 + ) 0. Nutzen von SP in s 0, s 0 ist: u 0 0 ( 0 + ) 0 0 Nutzen von SP in s, s 0 ist: u 0 (0 + ) () 8 SP erfährt tatsächlich einen Nutzenverlust, wenn er gegen s 0 anstatt seiner besten Antwort R (0) 0 die Strategie s / spielt: u (s, s 0) 8 < 0 u (s 0, s 0) Nutzenverlust dabei ist 0 ( 8 ) 8. 5

6 b) Bestimmen Sie rechnerisch alle Nash-Gleichgewichte des Spiels. Lösung: Wir hatten: R (s ) s s + s (s ) Aus Symmetriegründen ist: R (s ) s s + s (s ) In einem NashGG (s, s ) (s, s ) muss simultan gelten: R (s ) s und R (s ) s Einsetzen von s R (s ) in s R (s ) liefert eine Gl. für s : Also s s s + s s + s s + + s + s ( s + ) s 3 s + 4 s 0 oder 3 s + 4 s 3 ( 4) s Aus Symmetriegründen: Im Nash-GG ist entweder s 0 oder s. Alternativ: Mit s 0 erhalten wir s R (s ) 0 und mit s : s R (s ) + + Zwei Nash-GGe: (s, s ) (0, 0) oder (s, s ) (, ) Skizzieren Sie die Graphen der Reaktionsfunktionen und die Lage der Nash-Gleichgewichte. s ½ s R (s ) s R (s ) Das Spiel hat die beiden Nash-GGe: (s, s ) (0, 0) (s, s ) (, ) Nash-GGe 0 0 ½ s 6

7 Aufgabe 3.4: Zwei Firmen i, bedienen die Nachfrage in einem Marktsegment mit unterschiedlichen Produkten. Jede Firma legt den Preis p i des eigenen Produkts fest. Die Nachfrage q i nach dem Produkt von Firma i sinkt mit dem Preis p i des eigenen Produkts, steigt aber mit dem Preis p i des Konkurrenten gemäß q (p, p ) a p + β p, q (p, p ) a p + β p wobei wir β < annehmen. (Dies bringt zum Ausdruck, dass der Preis des Konkurrenten einen schwächeren Einfluss auf die Nachfrage nach dem eigenen Produkt hat als der eigene Preis.) Die Firmen haben konstante Grenzkosten der Produktion c i. a) Begründen Sie, dass die Gewinnfunktionen der Firmen gegeben sind durch: π (p, p ) (p c ) (a p +β p ), π (p, p ) (p c ) (a p +β p ) Lösung: Gewinn i } Erlös {{} i Kosten }{{} i p i Mengei c i Mengei p i q i (p, p ) c i q i (p, p ) (p i c i ) q i (p, p ) b) Wir betrachten den Preis-Wettbewerb der beiden Firmen als strategisches Spiel in Normalform mit den Gewinnfunktionen als den Nutzenfunktionen. Bestimmen Sie die Reaktionsfunktionen der Firmen und das Nash-Gleichgewicht des Spiels. Lösung: π [ ] [ ] (p c ) (a p + β p ) + (p c ) (a p + β p ) p p p (a p + β p ) + (p c ) ( ) a p + β p p + c a + c p + β p Genauso: π p a + c p + β p 7

8 R (p ) Bed..Ordn: π! a + c p + β p 0 p p (a + c ) + β p R (p ) p (p ) π! a + c p + β p 0 p p (a + c ) + β p R (p ) p (p ) Bed..Ordn: π p < 0 Bed..Ordn. ok π < 0 p Bed..Ordn. stellen lineares Gl.-System in (p, p ) dar: ( ) ( ) ( ) p βp a + c β p a + c βp + p a + c β p a + c Lösung ist: ( ) p p 4 β Einziges Nash-GG: ( β β ) ( ) a + c a + c 4 β ( ) (a + c ) + β (a + c ) (a + c ) + β (a + c ) p ( + β) a + c + β c, p 4 β ( + β) a + c + β c 4 β c) Tragen Sie die Reaktionsfunktionen und das Nash-GG in das folgende Diagramm ein. Reaktionsfunktionen p (p ) R (p ) (a + c ) + β p p (p ) R (p ) (a + c ) + β p sind Geraden. Interzept von R (p ) ist (a + c ), Steigung β/: p p R (p ) (a+c )/ (a+c )/ Nash-GG β/ β/ β/ (a+c )/ p β/ (a+c )/ p 8