Lösungshinweise zu den zusätzlichen Übungsaufgaben

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1 Lösungshinweise zu den zusätzlichen Übungsaufgaben Aufgabe Z.1 Als Gleichgewicht ergibt sich, mit Auszahlungsvektor 5, 5. Aufgabe Z. Spieler 1: Zentralbank mit reinen und diskreten Strategien 0 und 4. Spieler : Bevölkerung mit reinen und diskreten Strategien 0 und 4). ZB, Bev ( 4, 1 ) ( 0, 0 ) 4 ( 4, 0 ) ( 1, 1 ) Kein Gleichgewicht in dominanten Strategien. Bevölkerung hat keine dominante Strategie, Notenbank hat schwach dominante Strategie, die optimale Reaktion der Bevölkerung darauf ist. Als nicht eindeutiges Nash Gleichgewicht ergibt sich, mit Auszahlungsvektor 1, 1. Über Reaktionsabbildungen bzw. Cell by cell Inspection ergibt sich, als (einziges) weiteres Nash Gleichgewicht (in reinen Strategien). Übung: Dr. Florian Bartholomae Lösungshinweise 1

2 Teil c) Reaktionsfunktion der Zentralbank: Reaktionsfunktion der Bevölkerung: Durch Gleichsetzen ergibt sich: 4 mit dem Auszahlungsvektor 1, 1. p e p p e p e p 4 4 p Teil d) Als Stackelberg Gleichgewicht ergibt sich 0. Daraus resultiert die Auszahlungskombination 4, 1. Berechnung: 30,5 0,5 30,5 0, , Stufe: Reaktion der Bevölkerung:! 0 1. Stufe: Einsetzen in Nutzen der Zentralbank: ,5 40,5! Übung: Dr. Florian Bartholomae Lösungshinweise

3 Teil e) An Reaktionsfunktion der Zentralbank ist zu erkennen: Wenn Bevölkerung 0 wählt, dann wird Zentralbank mit antworten, das heißt von (0, 0) abweichen. Somit kann (0, 0) kein Gleichgewicht sein! (i) (ii) (iii) Die einfache, verbale Ankündigung einer Nullinflation ist nicht bindend ( cheap talk ). Erfolgsabhängige Entlohnung erhöht den Anreiz des Zentralbankers zu inflationsaversem Handeln. Ein zweistufiges Spiel, bei dem auf der ersten Stufe die Höhe der optimalen Entlohnung, auf der zweiten dann bzw. optimal festgelegt werden, führt direkt zur Stackelberg Lösung. Trigger Strategie: Die endliche Wiederholung ist wirkungslos (Rückwärtsinduktion!); die unendliche Wiederholung des Spiels ermöglicht jedoch die Realisierung der sozial wünschenswerten Lösung (Folk Theorem). Aufgabe Z.3 Che, Fidel Konservativ Liberal Sozialistisch Konservativ ( 9, 9 ) ( 5, 13 ) ( 9, 9 ) Liberal ( 13, 5 ) ( 9, 9 ) * ( 13, 5 ) Sozialistisch ( 9, 9 ) a) ( 5, 13 ) ( 9, 9 ) a) führt zwar zu den gleichen Auszahlungen/Wahlergebnis wie das Nash GG * (beide teilen sich die Stimmen), ist aber nicht stabil (vgl. hierzu die Definition des NGG). Siehe Lösung zu Aufgabe.. Teil c) Übung: Dr. Florian Bartholomae Lösungshinweise 3

4 Aufgabe Z.4 Dominanzüberlegungen: Strategie wird von strikt dominiert und kann eliminiert werden. In der verbleibenden x Matrix hat Spieler 1 die schwach dominante Strategie. Die beste Reaktion darauf von Spieler ist, das heißt, es ergibt sich das (nicht notwendigerweise eindeutige) Nash Gleichgewicht,. Reaktionsabbildung bzw. Cell by cell Inspection:, ist das einzige Nash Gleichgewicht in reinen Strategien. Gemischte Strategien: Die Anwendung des Verfahrens ergibt: 0,5 und 0. Die Auszahlung von Spieler 1 ist also immer dann maximal, wenn Spieler mit Sicherheit die zweite Strategie wählt. Es gibt somit kein Gleichgewicht in gemischten Strategien. Aufgabe Z.5 Es handelt sich um ein Koordinationsproblem: Abstimmungsproblem mit gemeinsamen Interesse. Unterscheide endogener [für 1 bei, ] und exogener Fokuspunkt. Kampf der Geschlechter Struktur bei 3. Anzahl der Nash GG ist immer ungerade (es liegen zwei in reinen Strategien vor, daher muss es ein drittes in gemischten geben) 1 wenn 1 4 0,1 wenn 4 0 wenn wenn 1 5 0,1 wenn 5 0 wenn 0 5 mit Prob, Prob 1, Prob und Prob 1. Das Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien ist hier nicht plausibel, da es dazu kommen kann, dass beide eine unterschiedliche Technologie wählen. Es handelt sich hier auch nicht um ein Anti Koordinationsspiel (Kontroll Spiel). Übung: Dr. Florian Bartholomae Lösungshinweise 4

5 Aussage ist von abhängig, wie in a) gezeigt wurde, existiert für 1 ein endogener Fokuspunkt. Teil c) Das Teilspielperfekte Nash Gleichgewicht lautet:,,. Der First Mover Advantage besagt, dass der Spieler, der als erster zieht einen Vorteil hat, da er durch seine Wahl den Strategieraum des folgenden Spielers einschränken kann und so einen für ihn vorteilhaften Ausgang herbeiführen kann. Teil d) Fujita sollte V 4 wählen. In diesem Falle wäre eine streng dominante Strategie, das heißt unabhängig davon, was Sumsang macht, wird Fujita immer wählen. Werte für 0 ergeben keinen ökonomischen Sinn. Für 0 4 ergibt sich die Lösung aus b). Für 4 stellt (, das einzige Nash Gleichgewicht dar. Aufgabe Z. Die genaue Gestalt der Kostenfunktion ist für den ersten Lösungsschritt (Cournot Wettbewerb auf der. Stufe) nicht erheblich und sollte daher aus Vereinfachungsgründen erst im. Lösungsschritt Beachtung finden. Gleiches gilt für die F&E Kosten. Vorgehen: Aus 100 (1) ergeben sich die Reaktionsfunktionen und daraus die gewinnmaximalen Ausbringungsmengen () Übung: Dr. Florian Bartholomae Lösungshinweise 5

6 Einsetzen von () in (1) liefert die Gewinne in Abhängigkeit von den Kosten:, für, 1,. (3) Im zweiten Schritt wird nun die optimale Investition bestimmt, die von beiden Unternehmen in der ersten Stufe simultan festgelegt wird. Die Kostenfunktionen, 50 sind nun in die Gewinnfunktion (3) unter Berücksichtigung der Kosten für F&E,, einzusetzen, um das symmetrische Cournot Nash Gleichgewicht der ersten Stufe zu berechnen: Die Bedingung erster Ordnung ergibt: ! 0 Aus den Reaktionsfunktionen ergibt sich das Cournot Nash Gleichgewicht der ersten Stufe, 50 4,5 1. Aufgabe Z.7 Spieler: Gewerkschaft, Arbeitgeberverband, Aktionen: Akzeptieren, Ablehnen und Gegenangebot Sequentielles Spiel, unendlicher Zeithorizont, jederzeit durch Spieler beendbar, mögliche Auszahlungen: 0; 1 (Spieler 1) und 1 (Spieler ) 0,9 (i) Anteil der Gewerkschaft:,,,, Anteil der Arbeitgeber:,,,, Übung: Dr. Florian Bartholomae Lösungshinweise

7 (ii) Ableitung: 0 (iii) Abschluss erfolgt bereits in erster Runde. Aufgabe Z.8 Aktionen: Verkäufer sei Spieler 1; Käufer sei Spieler Preisvorschlag Annahme oder Ablehnung: Annahme oder Ablehnung: Preisvorschlag Strategien:, ;, Auszahlungen: Verkäuferrente (VR): Verkaufspreis Reservationspreis Kunden oder Käuferrente (KR): max. Zahlungsbereitschaft Kaufpreis a 0 ( p -90, p) 0 a 1 a 0 a 1 1 ( q-90, 100- q) 1 a a 1 1 (0, 0) Verkäufer macht Angebot und Käufer nimmt an ( take it or leave it offer ),, Übung: Dr. Florian Bartholomae Lösungshinweise 7

8 Verkäufer schlägt vor: 90, 100; Käufer muss annehmen! (Selbst wenn Verkäufer 99,99 für sich beansprucht, erhält Käufer 0,01 > 0.) Teilspielperfektheit: Ist die Strategiekombination, die in Periode 0 wechselseitig optimal ist, auch dann noch optimal, wenn (i) Info aus Periode 1 hinzukommt (ii) Rationalität als gemeinsames Wissen unterstellt wird? Ziel: Ausschluss unplausibler Nash Gleichgewichte aus dem Intervall 90, 100. Käufer nimmt dann an, wenn er sich in der Folgezeit durch ein eigenes Angebot nicht besser stellen kann: 90, 90. Für den Käufer wäre auch ein Preis mit optimal. Schlägt der Verkäufer 90 vor und der Käufer lehnt ab mit der Forderung nach, dann weiß der Verkäufer, dass in Periode nicht zu verwirklichen ist. Allein für 90 ist der Käufer indifferent zwischen der heutigen Auszahlung bei Annahme und morgiger Auszahlung bei Ablehnung. Damit ist eine leere Drohung und 90 das teilspielperfekte Nash Gleichgewicht. Übung: Dr. Florian Bartholomae Lösungshinweise 8