Lösungen Aufgabenblatt 5 zur Spieltheorie SS 2017

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1 Lösungen Aufgabenblatt 5 zur Spieltheorie SS 017 Aufgabe 5.1: Bestimmen Sie sämtliche Nash-Gleichgewichte in reinen und gemischten Strategien der Spiele: Spiel 1 x y a, 1 1, 1 b 0, 1 3, 5 Spiel 1: Spiel 1 x [q 1 ] y [q ] a [p 1 ], 1 1, 1 b [p ] 0, 1 3, 5 Spiel x y z a 1, 0 1, 0, 3 b 1, 3, 0 3, 1 c 0, 3 0, 1 1, 0 Zunächst: Spiel hat zwei Nash-GGe in reinen Strategien, (a, x) und (b, y) Wir überprüfen mit dem Indifferenzsatz, ob Nash-GGe (p, q) in gemischten Strategien existieren. Wir bestimmen q = (q 1, q ) über Bed. (A) für SP1: U 1 (a, q) = q 1 + q = U 1 (b, q) = 3q } q 1 +q = 3q q 1 = q q 1 = q Mit q = 1 q 1 folgt leicht: Bed. (A) für SP1 q = ( 1, 1 ) Wir bestimmen p = (p 1, p ) über Bed. (A) für SP: } U (p, x) = p 1 + p p = U (p, y) = p 1 + 5p 1 +p = p 1 +5p p 1 = 4p p 1 = p Mit p = 1 p 1 folgt leicht: Bed. (A) für SP p = ( 3, 1 3 ) Da Bed. (B) jeweils leer: Drittes NGG (p, q) in gemischten Strat. gefunden. Alternativ: Reaktionsfunktionen (über partielle Ableitungen U i s i ) ermitteln und schneiden: U 1 p U q U 1 (p, q) = pq + 1p(1 q) + 0(1 p)q + 3(1 p)(1 q) (p, q) = q + (1 q) 3(1 q) = q + 1 q 3 + 3q = + 4q q < 1 U 1 fallend in p q = 1 U 1 konstant in p q > 1 U 1 wachsend in p R 1(q) = U (p, q) = 1pq 1p(1 q) + 1(1 p)q + 5(1 p)(1 q) (p, q) = p + p + (1 p) 5(1 p) = p + p + 1 p 5 + 5p = 4 + 6p p < 3 U fallend in q p = 3 U konstant in q p > 3 U wachsend in q R (p) = 0, wenn q < 1/ [0, 1], wenn q = 1/ 1, wenn q > 1/ 0, wenn p < /3 [0, 1], wenn p = /3 1, wenn p > /3 Wenn man die Reaktionsfunktionen aufträgt, sieht man alle drei Nash-GGe gleichzeitig 1

2 Aufgabe: Alle Nash-GGe (in reinen u. gemischten Strategien) bestimmen von Spiel x y z a 1, 0 1, 0, 3 b 1, 3, 0 3, 1 c 0, 3 0, 1 1, 0 Hinweis gegeben: Satz: In einem Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien spielt kein Spieler eine strikt dominierte reine Strategie mit positiver Wahrscheinlichkeit. Lösung: Zunächst: Das Spiel hat (b, z) als Nash-GG in reinen Strategien Nash-Gleichgewicht(e) in gemischten Strategien? Zunächst: c ist strikt dominiert durch a für SP1 Dann: Im reduzierten Spiel Spiel reduziert x [q 1 ] y [q ] z [q 3 ] a [p 1 ] 1, 0 1, 0, 3 b [p ] 1, 3, 0 3, 1 ist z eine strikt dominante Strategie für SP. Nach Elimination von x und y bleibt nur das NGG in reinen Strategien (b, z) D.h. das Spiel hat nur dieses eine Nash-GG (kein Nash-GG in gemischten Strategien). Alternativ kann man natürlich auch über den Indifferenzsatz (im um c reduzierten Spiel) argumentieren: Fall q = (q 1, q, 0): Bed. (A) für SP: } U (p, x) = 0 p 1 p p = U (p, y) = p p = p 1 p 1 = p Da p 1 = p nicht erfüllbar f. p 1, p 0, p 1 + p =1: Fall liefert kein Nash-GG Fall q = (q 1, 0, q 3 ): Bed. (A) für SP: } U (p, x) = 0 p 1 p p = U (p, z) = 3 p p = 3 p 1 +p 3p = 3p 1 p 1 = p Da p 1 = p nicht erfüllbar f. p 1, p 0, p 1 + p =1: Fall liefert kein Nash-GG Fall q = (0, q, q 3 ): Bed. (A) für SP: } U (p, y) = p p p = U (p, z) = 3 p p 1 = 3 p 1 + p p 1 = p Da p 1 = p nicht erfüllbar f. p 1, p 0, p 1 + p =1: Fall liefert kein Nash-GG

3 Aufgabe 5.: Gegeben ist folgendes Spiel: Spiel 3 x [q 1 ] y [q ] z [q 3 ] a [p 1 ], 0 1, 3 0, b [p ] 0,, 1 3, 1 c [p 3 ] 1, 1, 3, 4 Ist das Strategienprofil (p, q) mit p = ( 1 4, 3 4, 0) und q = (1 3, 3, 0 U 1 (a, q) = q q + 0 q 3 = U 1 (b, q) = 0 q 1 + q + 3 q 3 = U 1 (c, q) = 1 q 1 + q + q 3 = = 5 3 Man kann aufhören, warum? U (p, x) = 0 p 1 + p + 1 p 3 = U (p, y) = 3 p p + 3 p 3 = U (p, z) = p p + 4 p 3 = = 5 4 Ist das Strategienprofil (p, q) mit p = ( 1 4, 3 4, 0) und q = (3 5, 0, 5 U 1 (a, q) = q q + 0 q 3 = = 6 5 U 1 (b, q) = 0 q 1 + q + 3 q 3 = = 6 5 U 1 (c, q) = 1 q 1 + q + q 3 = = 4 5 U (p, x) = 0 p 1 + p + 1 p 3 = U (p, y) = 3 p p + 3 p 3 = U (p, z) = p p + 4 p 3 = = 5 4 Ist das Strategienprofil (p, q) mit p = ( 1, 0, 1 ) und q = ( 3, 0, 1 3 U 1 (a, q) = q q + 0 q 3 = U 1 (b, q) = 0 q 1 + q + 3 q 3 = = 3 3 U 1 (c, q) = 1 q 1 + q + q 3 = U (p, x) = 0 p 1 + p + 1 p 3 = = 1 U (p, y) = 3 p p + 3 p 3 = = 6 U (p, z) = p p + 4 p 3 = = 6 3

4 Ist das Strategienprofil (p, q) mit p = (0, 3 4, 1 4 ) und q = (1, 0, 1 U 1 (a, q) = q q + 0 q 3 = = U 1 (b, q) = 0 q 1 + q + 3 q 3 = = 3 U 1 (c, q) = 1 q 1 + q + q 3 = = 3 U (p, x) = 0 p 1 + p + 1 p 3 = = 7 4 U (p, y) = 3 p p + 3 p 3 = U (p, z) = p p + 4 p 3 = = 7 4 Ist das Strategienprofil (p, q) mit p = (0, 1, 0) und q = (0, 1, 1 U 1 (a, q) = q q + 0 q 3 = = 1 U 1 (b, q) = 0 q 1 + q + 3 q 3 = = 4 U 1 (c, q) = 1 q 1 + q + q 3 = = 4 U (p, x) = 0 p 1 + p + 1 p 3 = = 1 U (p, y) = 3 p p + 3 p 3 = = 1 1 U (p, z) = p p + 4 p 3 = = 1 1 4

5 Lösung Aufg. 5.: Ist das Strategienprofil (p, q) mit p = ( 1 4, 3 4, 0) und q = ( 1 3, 3, 0 U 1 (a, q) = q q + 0 q 3 = U 1 (b, q) = 0 q 1 + q + 3 q 3 = U 1 (c, q) = 1 q 1 + q + q 3 = = 5 3 Bed. (B) nicht erfüllt U (p, x) = 0 p 1 + p + 1 p 3 = U (p, y) = 3 p p + 3 p 3 = U (p, z) = p p + 4 p 3 = = 5 4 Ist das Strategienprofil (p, q) mit p = ( 1 4, 3 4, 0) und q = ( 3 5, 0, 5 U 1 (a, q) = q q + 0 q 3 = = 6 5 U 1 (b, q) = 0 q 1 + q + 3 q 3 = = 6 5 U 1 (c, q) = 1 q 1 + q + q 3 = = 4 5 U (p, x) = 0 p 1 + p + 1 p 3 = Bed. (A) nicht erfüllt U (p, y) = 3 p p + 3 p 3 = Bed. (B) irrelevant U (p, z) = p p + 4 p 3 = = 5 4 Bed. (A) nicht erfüllt Ist das Strategienprofil (p, q) mit p = ( 1, 0, 1 ) und q = ( 3, 0, 1 3 U 1 (a, q) = q q + 0 q 3 = U 1 (b, q) = 0 q 1 + q + 3 q 3 = = 3 3 U 1 (c, q) = 1 q 1 + q + q 3 = U (p, x) = 0 p 1 + p + 1 p 3 = = 1 Bed. (A) nicht erfüllt U (p, y) = 3 p p + 3 p 3 = = 6 Bed. (B) irrelevant U (p, z) = p p + 4 p 3 = = 6 Bed. (A) nicht erfüllt Ist das Strategienprofil (p, q) mit p = (0, 3 4, 1 4 ) und q = ( 1, 0, 1 U 1 (a, q) = q q + 0 q 3 = = U 1 (b, q) = 0 q 1 + q + 3 q 3 = = 3 U 1 (c, q) = 1 q 1 + q + q 3 = = 3 U (p, x) = 0 p 1 + p + 1 p 3 = = 7 4 U (p, y) = 3 p p + 3 p 3 = U (p, z) = p p + 4 p 3 = = 7 4 Ist das Strategienprofil (p, q) mit p = (0, 1, 0) und q = (0, 1, 1 U 1 (a, q) = q q + 0 q 3 = = 1 U 1 (b, q) = 0 q 1 + q + 3 q 3 = = 4 U 1 (c, q) = 1 q 1 + q + q 3 = = 4 U (p, x) = 0 p 1 + p + 1 p 3 = = 1 Bed. (B) nicht erfüllt U (p, y) = 3 p p + 3 p 3 = = 1 1 U (p, z) = p p + 4 p 3 = = 1 1 Von den Kandidaten ist nur (p, q) = ( (0, 3 4, 1 4 ), ( 1, 0, 1 )) ein Nash-Gleichgewicht. 5

6 Aufgabe 5.3 Wir betrachten einen Tullock-Wettstreit zwischen zwei Firmen. Die beiden Firmen konkurrieren um einen Auftrag, der derjenigen Firma, die den Zuschlag erhält, einen Gewinn V > 0 garantiert. Um den Zuschlag zu erhalten, kann bzw. muss Firma i Investitionen in Höhe von s i 0 tätigen. Die Wahrscheinlichkeit p i, dass Firma i den Auftrag erhält, ist gegeben durch die Höhe ihrer Investition relativ zu den von beiden Firmen getätigten Investitionen: p i = s i /(s 1 + s ). Der erwartete Gewinn von Firma i ist also gegeben durch s i π i (s 1, s ) = V s i für s 1, s 0, s 1 + s > 0 s 1 + s Wenn beide Firmen überhaupt keine Investition tätigen, d.h. s 1 + s = 0, wird der Auftrag verlost und der erwartete Gewinn ist π i (0, 0) = 1 V. In dieser Aufgaben soll das Nash-Gleichgewicht dieses Spiels auf S 1 S = [0, ) [0, ) graphisch mittels der Reaktionsfunktionen der beiden Firmen ermittelt werden. a) Ermitteln Sie die partiellen Ableitungen π 1 s 1 und π 1. s1 s 1 π 1 (s 1, s ) = V s 1 s 1 + s π 1 = 1 (s 1 + s ) s 1 1 s V 1 = s 1 (s 1 + s ) (s 1 + s ) V 1 π 1 s = s V (s 1 + s ) = s V ( ) (s 1 + s ) 3 = 1 s 1 s V (s 1 + s ) 3 < 0 b) Zeigen Sie, dass die beste Antwort von Firma 1 auf eine Investition s > 0 von Fa. durch { s ( V s ) falls 0 < s V R 1 (s ) = 0 falls s > V gegeben ist. Lösung: Da π 1 < 0, kann die beste Antwort s s 1 = R 1 (s ) auf s aus der Bed.1.Ordn. ermittelt werden (falls das Ergebnis in S 1 = [0, ) liegt): π 1 s = 0 s 1 (s 1 + s ) V = 1 s V = (s 1 + s ) s 1 + s = s V s 1 = s V s = s ( V ) s 6

7 Die Bed.1.Ordn. liefert folgenden Kandidaten ŝ 1 für die beste Antwort von Fa. 1 auf s > 0: ŝ 1 = s ( V s ) Wenn s > V, dann ist ŝ 1 < 0, liegt also nicht im Strategieraum S 1 = [0, ) von Fa. 1. In diesem Fall ist s 1 = 0 die beste Antwort. Begründung: Da π 1 (s 1, s ) global konkav in s 1 bei geg. s > 0, liegt für jedes s > 0 in ŝ 1 das globale Maximum der Fkt. s 1 π 1 (s 1, s ) vor. Wenn also ŝ 1 < 0, dann ist diese Fkt. (strikt) fallend auf S 1 = [0, ); sie nimmt daher ihr Max. über S 1 (nur) im linken Randpunkt s 1 = 0 an. Angenommen Fa. wählt s = 4 9V. Welchen Verlust hat Fa. 1 zu erwarten, wenn sie statt ihrer besten Antwort auf diese Strategie ebenfalls s 1 = 4 9 V aufwendet? Lösung: Wir haben: π 1 (s 1, s ) = V s 1 s 1 + s Wenn Fa. 1 mit s 1 = 4 9 V auf s = 4 9V reagiert, bekommt sie: π 1 ( s1 = 4 9 V, s = 4 9 V ) = Ihre beste Antwort auf s = 4 9 V ist: s 1 = R 1 ( s = 4 9 V ) = 4 s V 8 9 V V 4 9 V = 1 V 4 9 V = V = 1 18 V 9 V ( V 4 9 V ) = 3 (1 3 Gewinn von Fa. 1 bei bester Antwort auf s = 4 9 V : π 1 ( s1 = 9 V, s = 4 9 V ) = ) V = 9 V 9 V 6 9 V V 9 V = 1 3 V 9 V = V = 18 V Verlust von Fa. 1, wenn sie s 1 = 4 9 V statt s 1 = 9 V wählt, also: 1 18 V c*) Zeigen Sie, dass s 1 = 0 nicht die beste Antwort von Firma 1 darauf ist, dass Firma nicht investiert, d.h. s = 0 wählt. Lösung: Wenn s = 0 und s 1 = 0, dann ist π 1 (s 1, s ) = 1 V. Wenn s = 0 und s 1 > 0, dann ist π 1 (s 1, s ) = s 1 s 1 V s 1 = V s 1. Jedes s 1 > 0 und < 1 V ist bessere Antwort auf s = 0 als s 1 = 0. 7

8 Existiert überhaupt eine beste Antwort von Fa. 1 auf s = 0? Nein. Die beste Antwort von Fa.1 auf s = 0 ist das kleinst mögliche s 1 > 0. Aber wenn sie sich auf ein kleines s 1 > 0 festlegt, würde sie sich durch ein noch kleineres s 1 > 0 besser stellen. Erklären Sie. Es handelt sich hier um ein Artefakt von stetigen Strategien. In der Realität kann man nicht beliebig kleine Investitionen s 1 > 0 wählen. Die beste Antwort von Fa.1 auf s = 0 ist dann tatsächlich das kleinst mögliche s 1, das noch positiv ist. Bei stetigen Strategien existiert ein solches s 1 nicht. Mathematisch gesehen ist der Grund, dass eine auf einem offenen Intervall stetige Fkt. ihr Maximum dort nicht annehmen muss. d) Zeigen Sie, dass man mit den Hilfsvariablen x 1 = s 1 und x = s sowie w = V die Reaktionsfunktion von Firma 1 darstellen kann als x 1(x ) = x (w x ) = ( 1 w) (x 1 w) für 0 < x w Lösung: Wir hatten s 1 = R 1 (s ) = s ( V s ) Setzt man x 1 = s 1 und x = s schreibt sich das als (x 1) = x (w x ) x 1 = x (w x ) Dabei kann man x (w x ) schreiben als: ( 1 w) (x 1 w), denn: ( 1 w) ( x 1 w) = 1 4 w x + x w 1 4 w = x w x = x (w x ) Welche geometrische Figur beschreibt der Graph dieser Funktion in der (x 1, x )-Ebene? Lösung: Die Funktion x r x beschreibt einen (Halb-)Kreis mit Radius r um den Nullpunkt auf der x-achse. Die Funktion x ( 1 w) (x 1 w) beschreibt daher einen Halbkreis mit Mittelpunkt 1 w auf der x -Achse und Radius 1 w. Stellen Sie die Reaktionsfunktion von Firma entsprechend dar. x (x 1 ) = x 1 (w x 1 ) = ( 1 w) (x 1 1 w) für 0 < x 1 w 8

9 R 1 (x ) Skizzieren Sie beide Reaktionsfunktionen in einem (x 1, x ) Diagramm und bestimmen Sie geometrisch das Nash-Gleichgewicht in den (x 1, x )- Koordinaten. x w Nash-GG ½w R (x 1 ) kein Nash-GG 0 0 ½w w x 1 In (x 1, x )-Koordinaten: Einziges Nash-GG (x 1, x ) = ( 1 w, 1 w). (x 1, x ) = (0, 0) kein Nash-GG, da x 1 = 0 nicht beste Antw. auf x = 0. e) Ermitteln Sie durch Rücktransformation die Formel für das Nash-Gleichgewicht in den (s 1, s )-Koordinaten Lösung: s 1 = x 1 = ( 1 w) = ( 1 ) w = 1 4 V, genauso: s = 1 4 V Warum ist (s 1, s ) = (0, 0) nicht ein zweites Nash-Gleichgewicht? Antwort: Weil s 1 = 0 nicht beste Antwort auf s = 0 ist (natürlich ist auch s = 0 nicht beste Antwort auf s 1 = 0). Ist es plausibel, dass die Reaktionsfunktion jeder Firma mit wachsender Investition der konkurrierenden Firma zunächst wächst und dann fällt? Es ist plausibel, dass die beste Antwort s 1 von Fa. 1 auf sehr kleine Investitionen s der Fa. ebenfalls relativ kleine Investitionen sind (denn Fa. 1 kann dann mit relativ geringen Kosten s 1 ihre Gewinn-Wkt. und damit ihren erwarteten Gewinn stark erhöhen) und dass die beste Antwort auf sehr großen Investitionen der Fa. darin besteht, überhaupt nicht mehr zu investieren (denn dann müsste Fa. 1, will sie überhaupt eine nennenswerte Gewinn-Wkt. haben, ebenfalls sehr hohe Investitionen tätigen, die ihren erwarteten Gewinn zunichte machen). Für s 0 und s wird die beste Antwort der Fa. 1 also gegen 0 konvergieren. Daher sollte die Reaktionsfunktion zunächst wachsen und dann fallen. 9

10 Aufgabe 5.4 In einer Provinzstadt lebt eine Kontinuum I = [0, 1] von Einwohnern. Die einzige Freizeitbeschäftigung an einem Wochenende ist eine Wanderung in die weitläufige Umgebung, die einen Nutzen von 1 liefert. Eines Tages stirbt der reichste Bewohner der Stadt. In seinem Testament verfügt er, dass aus seinem Nachlass ein Museum gebaut werden soll. Nachdem das Museum gebaut ist, entscheidet jeder Einwohner, ob er ins Museum oder Wandern geht. Der Nutzen eines Museumsbesuches hängt wegen des daraus resultierenden Gedränges negativ vom Anteil α der anderen Einwohner ab, die ebenfalls das Museum besuchen, und ist gegeben durch: u(a, α) = (1 α) Auf Beschluss des Stadtrates hin ist der Eintritt für das Museum frei. a) Bestimmen Sie den Anteil von Museumsbesuchern im sozialen Optimum und im Nash- Gleichgewicht. Lösung: Das soziale Optimum definiert sich durch Maximierung von w(α) = α u(a, α) + (1 α) u(b, α) w(α) = α (1 α) + (1 α) 1 = α + α + 1 w (α) = 4α + 1 =! 0 α = 1 4 w (α) = 4 Das soziale Optimum wird erreicht, wenn ein 1 der Einwohner ins Museum geht. 4 Ein gemischtes Nash-GG definiert sich hier durch u(a, α) = u(b, α) (1 α) = 1 α = 1 Das Nash-GG besteht also darin, dass die Hälfte der Einwohner ins Museum, die andere Hälfte Wandern geht. Bei dieser Aufteilung will keiner der Einwohner wechseln: Das Gedränge im Museum ist noch so erträglich, dass die Museumsbesucher nicht lieber Wandern gehen, und den Wanderern ist das Gedränge zu groß, um dorthin zu gehen. Man könnte sagen, es gehen gerade so viele ins Museum, dass der Nutzenverlust aus dem entstehenden Gedränge den Museumsbesuchern keinen Anreiz gibt, wandern zu gehen (und den Wanderern keinen Anreiz für den Museumsbesuch). Es könnte auch ein reines Nash-GG existieren, wenn nämlich u(a, 1) u(b, 1) (α = 1, selbst wenn alle ins Museum gehen ist das attraktiver als Wandern) oder u(b, 0) u(a, 0) (α = 0, selbst der Besuch des leeren Museums ist nicht so attraktiv wie das Wandern). Aber das trifft hier nicht zu, da u(a, 1) = 1 < 1 = u(b, 1) und u(b, 0) = 1 < = u(a, 0) b) Wie hoch ist der Nutzen für einen Einwohner vor u. nach der Eröffnung des Museums? Antwort: Vor der Eröffnung haben alle den Nutzen 1. Wir nehmen an, dass nach der Eröffnung das Nash-GG α = 1 gespielt wird. Dann haben die Museumsbesucher den Nutzen u(a, α) = (1 α ) = 1 und die Wanderer den Nutzen 1. Durch das Museum ändert sich nichts am Nutzen eines Einwohners. Erklären Sie. Das Nash-GG definiert sich gerade dadurch, dass keiner weder ein Museumsbesucher noch ein Wanderer einen Anreiz hat, die Alternative zu wählen. Das läuft darauf hinaus, dass beide indifferent sind, d.h. den gleichen Nutzen haben. Am Nutzen des Wanderns hat sich aber durch das Museum nichts geändert. 10

11 c) Bei der nächsten Wahl wird aus unerfindlichen Gründen ein Spieltheoretiker zum Bürgermeister gewählt. Als erste Amtshandlung verfügt er, dass das Museum einen Eintrittspreis in Höhe von p = 1/ erhebt und dass die resultierenden Einnahmen gleichmäßig an alle Bewohner der Stadt verteilt werden. Wie hoch ist nun der Anteil von Museumsbesuchern im Nash-GG? Antwort: Der Nutzen verändert sich durch die Maßnahme zu u(a, α) = (1 α) p + pα, u(b, α) = 1 + pα Beachte: Jetzt verändert sich durch das Museum der Nutzen des Wanderns. Das Nash-GG definiert sich durch (1 α) p + pα = 1 + p α α p = 1 α = 1 (1 p) = 1 1 = 1 4 Durch α = 1 wird auch hier kein Nash-GG definiert, denn: Wenn alle ins Museum gehen, ist u(a, α) = 0 p + p = 0, u(b, α) = 1 + p, d.h. die Museumsbesucher (also alle) haben einen Anreiz, Wandern zu gehen. Durch α = 0 wird auch hier kein Nash-GG definiert, denn: Wenn keiner ins Museum geht, ist u(a, α) = p, u(b, α) = 1, d.h. es besteht ein Anreiz, ins Museum zu gehen (solange p < 1). Zeigen Sie, dass sich durch die Maßnahme der Nutzen aller Bewohner erhöht! Antwort: Jetzt: Gemeinsamer Nutzen aller Bewohner liegt auf Level u(b, α) = 1 + p α > 1. Vorher: Alle hatten u(b, α) = 1. 11