Kapitel 7: Multistufenspiele und Wiederholte Spiele. Literatur: Tadelis Chapters 9, 10 und 11

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1 Kapitel 7: Multistufenspiele und Wiederholte Spiele Literatur: Tadelis Chapters 9, 10 und 11

2 Multistufenspiele Wenn mehrere Spiele in Normalform mit denselben Spielern hintereinander gespielt werden sprechen wir von einem Multistufenspiel Konvention: In jeder Stufe/Periode wird genau ein Spiel gespielt, welches als Stufenspiel bezeichnet wird Wenn nur ein Spiel mehrmals gespielt wird, wird dieses Multistufenspiel auch als wiederholtes Spiel bezeichnet 2/67

3 Wiederholtes Gefangenendilemma Die Spieler spielen zweimal das Gefangenendilemma (die Auszahlungen sind etwas anders als in vorangegangenen Kapiteln): Spieler 1 Spieler 2 m f M 4,4 1,5 F 5, 1 1,1 Einmal in Periode 1, einmal in Periode 2 Wie sieht das teilspielperfekte Nach Gleichgewicht aus? 3/67

4 Spielbaum Man kann das Multistufenspiel auch als Spielbaum darstellen: 4/67

5 Lösung Unabhängig davon, welche Strategien die Spieler in Periode 1 angewandt haben und welche Auszahlungen sich daraus realisiert haben, ist es für jeden Spieler eine dominante Strategie (d.h. optimal) in Periode 2 F bzw. f zu spielen Die Auszahlungen in Periode 2 sind daher (1,1) In Periode 1 wissen die Spieler, dass ihre Auszahlungen in Periode 2 unabhängig von den Strategien der Periode 1 sind Um seine Auszahlung zu maximieren, ist es daher auch in Periode 1 für jeden Spieler optimal F bzw. f zu spielen 5/67

6 Das teilspielperfekte Nash Gleichgewicht ist also s 1 = (s1 t=1,s1 t=2 (Mm),s1 t=2 (Mf),s1 t=2 (Fm),s1 t=2 (Ff)) = (F,F,F,F,F), s 2 = (s2 t=1,s2 t=2 (Mm),s2 t=2 (Mf),s2 t=2 (Fm),s2 t=2 (Ff)) = (f,f,f,f,f) Die Spieler können die Strategien in Periode 2 abhängig machen von der Informationsmenge Diese wird durch die Züge/Aktionen in Periode 1 bestimmt (die Spieler beobachten was in Periode 1 gespielt wurde) Der Einfachheit halber werden die Informationsmengen in Periode 2 nach den Zügen/Aktionen der Periode 1 benannt Beispiel: s t=2 1 (Mf) = F bedeutet, dass Spieler 1 in Periode 2 F spielt wenn in Periode 1 M und f gespielt wurden

7 Allgemeines Ergebnis Proposition 1 Falls ein endliches Multistufenspiel aus Stufenspielen besteht, welche jeweils nur ein Nash Gleichgewicht haben, dann hat das Multistufenspiel nur ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht. Dieses setzt sich aus den Nash Gleichgewichten der Stufenspiele zusammen. Beweisidee: Rückwärtsinduktion Kurz gesagt: durch multiple Stufen ändert sich nichts Wird das Spiel Gefangenendilemma endlich oft wiederholt, ist es daher das einzige teilspielperfekte Nash Gleichgewicht, dass die Spieler auf jeder Stufe die Strategien F bzw. f wählen 7/67

8 Ausblick Wir zeigen nun, dass sich durch multiple Stufen etwas ändern kann, im Sinne, dass nicht nur die Strategien, welche ein Nash Gleichgewicht in den Stufenspielen sind, ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht im Multistufenspiel bilden, sondern das weitere teilspielperfekte Nash Gleichgewichte im Multistufenspiel existieren Dies ist möglich wenn es mindestens ein Stufenspiel mit mehreren Nash Gleichgewichten gibt oder das Multistufenspiel unendlich ist, es also unendlich viele Perioden gibt 8/67

9 Kapitel 7.1: Stufenspiele mit mehreren Nash Gleichgewichten

10 Gefangenendilemma und Rache Die Spieler spielen zuerst das Gefangenendilemma und dann folgendes Rachespiel : Spieler 2 l g Spieler 1 L 0,0 4, 1 G 1, 4 3, 3 Das Rachespiel hat zwei Nash Gleichgewichte (in reinen Strategien): (L,l) und (G,g) Das Gefangendilemma hat nur ein Nash Gleichgewicht: (F, f) 10/67

11 Folgende beiden Strategien sind daher teilspielperfekte Nash Gleichgewichte im Multistufenspiel: s 1 = (s1 t=1,s1 t=2 (Mm),s1 t=2 (Mf),s1 t=2 (Fm),s1 t=2 (Ff)) = (F,L,L,L,L), s 2 = (s2 t=1,s2 t=2 (Mm),s2 t=2 (Mf),s2 t=2 (Fm),s2 t=2 (Ff)) = (f,l,l,l,l) und s 1 = (s1 t=1,s1 t=2 (Mm),s1 t=2 (Mf),s1 t=2 (Fm),s1 t=2 (Ff)) = (F,G,G,G,G), s 2 = (s2 t=1,s2 t=2 (Mm),s2 t=2 (Mf),s2 t=2 (Fm),s2 t=2 (Ff)) = (f,g,g,g,g) Gibt es noch weitere teilspielperfekte Nash Gleichgewichte im Multistufenspiel?

12 Idee Die Spieler würden gerne auf der ersten Stufe, d.h. im Gefangenendilemma, Auszahlungen von (4, 4) statt (1, 1) bekommen Dies erfordert, dass die Spieler auf dem Gleichgewichtspfad des Multistufenspiels (M,m) statt (F,f) spielen Problem: (M, m) ist kein Nash Gleichgewicht im Stufenspiel Gefangenendilemma Kann man die Spieler trotzdem dazu bringen (M, m) zu spielen? Antwort: Eventuell ja, wenn die Auszahlungen im nachfolgenden Stufenspiel, dem Rachespiel, davon abhängen welche Strategien die Spieler im ersten Stufenspiel, dem Gefangenendilemma, gespielt haben 12/67

13 Konkret: das Nash Gleichgewicht (L,l) dient als Karotte, (G,g) als Stock Die Spieler bekommen nur dann die Karotte (d.h. das Nash Gleichgewicht (L, l) im Rachespiel ) wenn sie zuvor (M, m) gespielt haben Ansonsten bekommen sie den Stock (d.h. das Nash Gleichgewicht (G,g) im Rachespiel ) Die Drohung, den Stock statt der Karotte zu bekommen, schafft Anreize im Gefangenendilemma (M,m) statt (F,f) zu spielen

14 Strategien Aber sind die Anreize stark genug damit folgende Strategien ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht sind? s 1 = (s1 t=1,s1 t=2 (Mm),s1 t=2 (Mf),s1 t=2 (Fm),s1 t=2 (Ff)) = (M,L,G,G,G), s 2 = (s2 t=1,s2 t=2 (Mm),s2 t=2 (Mf),s2 t=2 (Fm),s2 t=2 (Ff)) = (m,l,g,g,g) Bei Einhaltung dieser Strategien ist die diskontierte Auszahlung von Spieler 1 v 1 (M,s 2 ) = 4+0 δ (1) Wenn Spieler 1 hingegen von diesen Strategien abweicht und im Gefangenendilemma F spielt, ist seine diskontierte Auszahlung v 1 (F,s 2 ) = 5+( 3) δ (2) 14/67

15 Der Vergleich von (1) und (2) liefert, dass es für Spieler 1 optimal ist in der ersten Stufe M zu spielen wenn v 1 (M,s 2 ) v 1 (F,s 2 ) 4 5+( 3) δ δ 1/3 Analog Spieler 2 Falls δ 1/3 ist, gibt es also ein weiteres teilspielperfektes Nashgleichgewicht im Multistufenspiel: s 1 = (s1 t=1,s1 t=2 (Mm),s1 t=2 (Mf),s1 t=2 (Fm),s1 t=2 (Ff)) = (M,L,G,G,G), s 2 = (s2 t=1,s2 t=2 (Mm),s2 t=2 (Mf),s2 t=2 (Fm),s2 t=2 (Ff)) = (m,l,g,g,g) Für δ < 1/3 sind diese Strategien kein teilspielperfektes Nashgleichgewicht im Multistufenspiel, da die Spieler von den Strategien abweichen wollen

16 Intuition Wie bereits erwähnt, schafft die Drohung den Stock statt der Karotte (d.h. das gute statt das schlechte Nash Gleichgewicht im Rachespiel ) zu bekommen, Anreize im Gefangenendilemma (M,m) statt (F,f) zu spielen Dieser Anreiz ist aber nur dann stark genug, wenn zukünftige Zahlungen hinreichend wichtig für die Spieler sind D.h. wenn der Diskontfaktor δ hinreichend hoch ist 16/67

17 Frage 7.1 Gibt es auch ein weiteres teilspielperfektes Nash Gleichgewicht im Multistufenspiel wenn statt des Rachespiels das folgende Spiel nach dem Gefangenendilemma gespielt wird? Antwort: Spieler 2 l g Spieler 1 L 0, 0 500, 500 G 500, , /67

18 Frage 7.2 Folgendes Spiel wird zweimal gespielt. Gibt es ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht im Multistufenspiel bei welchem in der ersten Periode (M, m) gespielt wird? Antwort: Spieler 1 Spieler 2 m f r M 4,4 1,5 0,0 F 5, 1 1,1 0,0 R 0,0 0,0 3,3 18/67

19 Kapitel 7.2: Unendlich oft wiederholte Spiele

20 Grundlagen Auch bei unendlich oft wiederholten Spielen ist es der Fall, dass die Nash Gleichgewichte in den Stufenspielen ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht im Multistufenspiels bilden Beispiel: Beim Gefangenendilemma ist (F, f) das Nash Gleichgewicht Wir wiederholen das Gefangenendilemma unendlich oft Spieler 1 Spieler 2 m f M 4,4 1,5 F 5, 1 1,1 20/67

21 Ist die Strategie immer F bzw. f zu spielen ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht im unendlich oft wiederholten Gefangenendilemma? Wenn Spieler 2 immer f spielt, dann ist es für Spieler 1 optimal in jeder Periode F zu spielen Grund: M in einer Periode zu spielen vermindert die Auszahlung in dieser Periode ohne das sich etwas in den anderen Perioden ändert Analog Spieler 2 Daher ist die Strategie immer F bzw. f zu spielen ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht im unendlich oft wiederholten Gefangenendilemma

22 Andere Gleichgewichte Wir wissen, dass es bei einer endlichen Wiederholung des Gefangenendilemmas kein weiteres teilspielperfektes Nash Gleichgewicht gibt Dies gilt auch bei sehr, sehr vielen Wiederholungen (z.b. 100 oder ) Was passiert bei unendlich vielen Wiederholungen? 22/67

23 Idee Die Strategie immer M bzw. m zu spielen ist kein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht Grund: Wenn Spieler 2 immer m spielt, kann Spieler 1 seine Auszahlungen erhöhen wenn er F statt M spielt Analog Spieler 2, wenn Spieler 1 immer M spielt Um (M, m) zu unterstützen brauchen wir also Anreize durch eine Drohung (Stock statt Karotte) 23/67

24 Stock Sobald ein Spieler von (M, m) abweicht, können die Spieler dauerhaft auf (F,f) umzuschwenken Bildlich gesprochen haben wir einen Stock Diese Drohung ist glaubhaft, da (F, f) ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht ist Eine stärkere Drohung als das dauerhafte Umschwenken gibt es nicht Wenn es also mit dieser Drohung nicht klappt, dann auch mit keiner anderen Drohung 24/67

25 Problem Wir haben einen Stock, aber wir brauchen auch noch eine Karotte D.h. ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht, welches in Zukunft gespielt wird, wenn die Spieler in der jetzigen Periode (M, m) wählen Die Karotte kann nur sein, dass die Spieler zukünftig (M, m) spielen Damit die Spieler also heute (M,m) spielen, müssen sie es auch in Zukunft spielen Anders ausgedrückt, damit in einem teilspielperfekten Nash Gleichgewicht auf dem Gleichgewichtspfad (M, m) gespielt wird, muss es ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht geben bei welchem auf dem Gleichgewichtspfad (M, m) gespielt wird Zirkelargument! 25/67

26 Analyse Erstaunlicherweise kann es trotzdem damit klappen, ein weiteres teilspielperfektes Nash Gleichgewicht zu bekommen! Wir untersuchen nun ob die Strategien M bzw. m zu spielen, solange in allen bisherigen Perioden (M, m) gespielt wurde, und andernfalls F bzw. f zu spielen, ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht sind Falls ja, dann darf sich abweichen nicht lohnen 26/67

27 Abweichen Wenn Spieler 1 in Periode t abweicht, d.h. in Periode t F spielt, wird Spieler 2 in allen folgenden Perioden f spielen In den folgenden Perioden ist es daher auch für Spieler 1 optimal weiterhin F zu spielen Spieler 1 erzielt dann eine Auszahlung von 5 in der Periode t und 1 in allen folgenden Perioden Der diskontierte Wert aller Auszahlungen ab dem Zeitpunkt t ist 5+δ 1+δ 2 1+δ = 5+ δ 1 δ 1 27/67

28 Nicht abweichen Wenn Spieler 1 nicht abweicht, erhält er eine Auszahlung von 4 in allen Perioden Der diskontierte Wert aller Auszahlungen ab dem Zeitpunkt t ist 4+δ 4+δ 2 4+δ = 4+ δ 1 δ 4 28/67

29 Gleichgewicht Die beschriebenen Strategien sind also ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht im unendlich oft wiederholten Gefangenendilemma dann, und nur dann, wenn sich Abweichen nicht lohnt: 4+ δ 1 δ 4 5+ δ 1 δ 1 Dies kann man umschreiben zu δ 3 1 3δ 1 δ δ 1/4 1 δ Wenn die Spieler also hinreichend geduldig sind, dann gibt es ein weiteres teilspielperfektes Nash Gleichgewicht Nämlich die Strategien M bzw. m zu spielen, solange in allen bisherigen Perioden (M, m) gespielt wurde, und andernfalls F bzw. f zu spielen 29/67

30 Vergleich In dem gerade beschriebenen teilspielperfekten Nash Gleichgewicht kooperieren die Spieler miteinander: Sie spielen auf dem Gleichgewichtspfad (M, m) und jeder erzielt in jeder Periode eine Auszahlung von 4 Im anderen teilspielperfekten Nash Gleichgewicht kooperieren die Spieler nicht miteinander: Sie spielen auf dem Gleichgewichtspfad (F,f) und jeder erhält in jeder Periode nur eine Auszahlung von 1 30/67

31 Noch mehr Gleichgewichte? Auch andere Strategien können teilspielperfekte Nash Gleichgewichte im unendlich oft wiederholten Gefangenendilemma sein Z.B. könnten die Spieler zwischen (M,f) und F,m) abwechseln, was zu Auszahlungen von ( 1,5) und (5, 1) führt Die durchschnittlichen Auszahlungen pro Periode sind dann (2, 2) Idee: zwischen (M,f) und F,m) abzuwechseln ist die Karotte Wenn nicht zwischen (M,f) und F,m) abgewechselt wird, gibt es den Stock: die Spieler spielen fortan (F,f), was zu Auszahlungen pro Periode von (1,1) führt Auch hier muss wieder der Diskontfaktor hinreichend hoch sein: δ 0,5, siehe Tadelis S /67

32 Allgemeines Ergebnis Proposition 2 In einem unendlich oft wiederholten Spiel, mit einer endlichen Menge an Aktionen und vollständigen Informationen, kann jede Kombination an individuell rationalen, erreichbaren Auszahlungen als teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht gestützt werden, wenn der Diskontfaktor δ hinreichend hoch ist. Im Buch steht eine etwas technischere Version dieses als Folk Theorem bekannten Ergebnisses Interpretation: Wenn die Zukunft wichtig ist (=hohes δ), dann ist die Drohung für immer den Stock statt der Karotte zu bekommen sehr wirksam, weshalb sehr viele Strategien ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht sein können 32/67

33 Kritik an unendlichen Spielen Wo in der Realität gibt es denn unendlich oft wiederholte Spiele? Antwort: eher selten oder nie Aber es gibt eine schöne alternative Interpretation 33/67

34 Alternative Interpretation Wir nehmen nun an, dass der Diskontfaktor eins ist, d.h. Zahlungen heute oder in Zukunft gleich gut für einen Spieler sind Aber wir nehmen an, dass das Spiel am Ende jeder Runde nur mit einer Wahrscheinlichkeit von δ (0, 1) fortgesetzt wird Wenn Spieler 1 nicht abweicht, dann ist der erwartete Wert aller Auszahlungen ab dem Zeitpunkt t 4+δ 4+δ = 4+ δ 1 δ 4 Weicht er hingegen ab, dann ist der erwartete Wert aller Auszahlungen ab dem Zeitpunkt t 5+δ 1+δ = 5+ δ 1 δ 1 34/67

35 Alle vorherigen Formeln bleiben gültig, nur die Interpretation von δ ist nun eine andere δ muss daher nicht zwangsläufig als Diskontfaktor interpretiert werden... sondern kann auch als Fortsetzungswahrscheinlichkeit aufgefasst werden Daher gilt: Falls die Spieler hinreichend wahrscheinlich das Gefangenendilemma wiederholen (δ 1/4), gibt es ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht auf dessen Gleichgewichtspfad die Spieler miteinander kooperieren

36 Wichtig: Wenn wir der alternativen Interpretation folgen, dann dauert das Spiel nur möglicherweise unendlich viele Perioden Aber die Wahrscheinlichkeit hierfür ist δ = 0 Auch kürzere Zeiträume sind unter Umständen recht unwahrscheinlich Beispiel: Bei δ = 1/2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Spieler mindestens 10 Perioden spielen werden nur (1/2) 10 0,001 = 0,1 Prozent

37 Kapitel 7.3: Stillschweigende Kooperation

38 Stillschweigende Kooperation Wenn Firmen im Wettbewerb stehen leidet der gemeinsame Gewinn Firmen können einen höheren gemeinsamen Gewinn erzielen, wenn sie miteinander kooperieren Problem (aus Sicht der Firmen): Absprachen, insbesondere explizite, sind verboten Können Firmen auch stillschweigend miteinander kooperieren, d.h. ohne sich zu treffen und ohne bindende Verträge abzuschließen? 38/67

39 Wiederholter Mengenwettebewerb Wir betrachten eine undendliche Wiederholung des Mengen- oder Cournotwettberbs Den einmaligen Mengenwettbewerb haben wir in Kapitel 2 analysiert Wir nehmen wieder an, dass es zwei Firmen gibt, 1 und 2 Kosten von Firma i = 1,2 sind c(q i ) = 10q i Die inverse Marktnachfrage ist p(q) = 100 q, wobei q = q 1 +q 2 39/67

40 Kooperation Wenn die Firmen kooperieren können sie gemeinsam den Monopolprofit erzielen Dieser wird erreicht für q = 45 Dann ist p = 55 Wir nehmen an, dass bei der Kooperation Firma 1 die Menge q c 1 = 22 und Firma 2 die Menge q c 2 = 23 herstellt In jeder Stufe mit Kooperation sind die Auszahlungen (=Gewinne) der Firmen daher v c 1 = = 990, v c 2 = = /67

41 Nash Gleichgewicht im Stufenspiel Wir wissen aus Kapitel 2, dass es in dem Stufenspiel nur ein Nash Gleichgewicht gibt Nämlich q 1 = q 2 = 30, was bei jeder Firma zu einer Auszahlung von 900 führt Dies ist ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht 41/67

42 Idee Die Spieler kooperieren (d.h. spielen q c 1 = 22 und q c 2 = 23) wenn in allen bisherigen Spielen kooperiert wurde Dies stellt die Karotte dar Andernfalls spielen sie die Wettbewerbsmengen q 1 = q 2 = 30 Dies stellt den Stock dar 42/67

43 Abweichen Wenn Firma 1 in Periode t abweicht, dann wird Firma 2 in Zukunft q 2 = 30 spielen In Zukunft sollte Firma 1 daher auch q 1 = 30 spielen Daher erhält Firm 1 in jeder zukünftigen Periode eine Auszahlung von 900 Aus Kapitel 3 kennen wir die beste Antwort Funktion: BR i (q i ) = 100 q i 10 2 Um seine Auszahlung in Periode t zu maximieren sollte Firma 1 in Periode t daher BR 1 (23) = 33,5 spielen 43/67

44 Dann erhält Firma 1 in Periode t eine Auszahlung von ( ,5)33, ,5 = 1122,25 Der diskontierte Wert aller Auszahlungen ab dem Zeitpunkt t ist 1122,25+δ 900+δ δ = 1122,25+ δ 1 δ 900

45 Nicht abweichen Wenn Firma 1 nicht abweicht, dann erhält sie jede Periode eine Auszahlung von v c 1 = 990 Der diskontierte Wert aller Auszahlungen ab dem Zeitpunkt t ist 990+δ 990+δ δ = 990+ δ 1 δ 990 Nicht abweichen ist daher optimal für Firma 1 wenn 990+ δ δ , δ 0,595 1 δ 1 δ 45/67

46 Firma 2 Sollte Firma 2 abweichen? Falls ja, dann sollte sie BR 2 (22) = 34 in Periode t spielen und q 2 = 30 danach Der diskontierte Wert aller Auszahlungen ab dem Zeitpunkt t ist (Achtung: die Werte im Buch sind falsch) 1156+δ 900+δ δ = δ 1 δ 900 Nicht abweichen liefert einen diskontierten Wert aller Auszahlungen ab dem Zeitpunkt t von 1035+δ 1035+δ δ = δ 1 δ 1035 Nicht abweichen ist daher optimal für Firma 2 wenn δ δ δ 1 δ 900 δ 0,473 46/67

47 Fazit Wenn δ 0,595 ist, dann sind die Strategien spiele q c 1 = 22 und q c 2 = 23 wenn in allen bisherigen Spielen (q c 1,q c 2) gespielt wurde und q 1 = q 2 = 30 andernfalls ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht im unendlich wiederholten Mengenwettbewerb D.h. falls δ 0,595 erfüllt ist, können beide Firmen auf dem Gleichgewichtspfad stillschweigend kooperieren 47/67

48 Frage 7.3 Wir wiederholen das Trust Game, siehe folgende Abbildung, unendlich oft 1 N 0 0 C 1 1 T 2 D 1 2 Gibt es ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht bei dem die Spieler auf dem Gleichgewichtspfad Auszahlungen von (1, 1) in jeder Periode erhalten? Antwort: 48/67

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50 Kapitel 7.4: Strategisches Verhandeln

51 Verhandlungsspiel Verhandlungen sind in der Realität sehr häufig (z.b. Verkäufer und Käufer, politische Parteien, Firmen und Gewerkschaften, Arbeitnehmer und Arbeitgeber) Zwei Spieler verhandeln, wie Sie einen Apfel unter sich aufteilen Der Apfel repräsentiert die Vorteile einer Einigung oder eines Handels zwischen den Spielern Die Größe des Apfels wird auf 1 normiert Wir modellieren Verhandlungen als ein strategisches Spiel 51/67

52 Modell Die Spieler haben abwechselnd das Vorschlagsrecht: 1 In Periode 1 macht Spieler 1 einen Vorschlag, wie der Apfel aufgeteilt werden soll Spieler 2 kann den Vorschlag ablehnen ( nächste Periode) oder annehmen ( Spiel zu Ende, Spieler erhalten Auszahlungen) 2 In Periode 2 macht Spieler 2 einen Vorschlag, wie der Apfel aufgeteilt werden soll 3... Spieler 1 kann den Vorschlag ablehnen ( nächste Periode) oder annehmen ( Spiel zu Ende, Spieler erhalten Auszahlungen) 52/67

53 Fortsetzung bis maximal Periode T, wobei T endlich oder unendlich sein kann Bei keiner Einigung bis T ist das Spiel zu Ende und die Spieler erhalten Auszahlungen von 0 Wir messen die Vorschläge in Anteilen des Apfels: Spieler 1 erhält Anteil x und Spieler 2 Anteil 1 x

54 Um zu modellieren, dass eine schnelle Einigung von Vorteil ist, nehmen wir an, dass jede Runde ein Anteil 1 δ des Apfels verloren geht Dies wirkt wie Diskontierung Wir nehmen an, dass die Spieler zukünftige Zahlungen nicht abdiskontieren; nur der Apfel schrumpft in der angegebenen Weise Die Größe des Apfels in Periode t ist daher δ t 1 Beispiel: δ = 0,9 In Periode 1 hat der Apfel eine Größe von 0,9 0 = 1 In Periode 2 hat der Apfel eine Größe von 0,9 1 = 0,9 In Periode 3 hat der Apfel eine Größe von 0,9 2 = 81 In Periode 4 hat der Apfel eine Größe von 0,9 3 = 0,729 In Periode 5 hat der Apfel eine Größe von 0,9 4 = 0,6561

55 Spielbaum 55/67

56 Fall T = 1 Wir betrachten zuerst den Fall mit nur einer möglichen Verhandlungsrunde Proposition 3 Im Verhandlungsspiel mit T = 1 kann jede Aufteilung x [0,1], mit den daraus resultierenden Auszahlungen v 1 = x und v 2 = 1 x, durch ein Nash Gleichgewicht gestützt werden. Beweis: Spieler 1 hat die Strategie: ich schlage x vor Spieler 2 die Strategie: ich nehme jeden Vorschlag x x an, ansonsten lehne ich ab Die Strategien sind gegenseitig beste Antworten Und zwar für alle x [0,1] 56/67

57 Das Nash Gleichgewichtskonzept bringt uns hier also nicht weiter Weitere Kritik: Drohung von Spieler 2 jeden Vorschlag x < x abzulehnen ist nicht glaubhaft wenn x > 0 ist, da nicht sequentiell rational Trotzdem Nash Gleichgewicht, da ablehnen abseits des Gleichgewichtspfades liegt Wir sollten ein anderes Gleichgewichtskonzept verwenden, nämlich das Konzept der teilspielperfekten Nash Gleichgewichte

58 Teilspielperfektes Nash Gleichgewicht Proposition 4 Das Verhandlungsspiel mit T = 1 besitzt ein einziges teilspielperfektes Nash Gleichgewicht: Spieler 1 schlägt x = 1 vor und Spieler 2 akzeptiert jeden Vorschlag x 1. Beweis: Wir lösen per Rückwärtsinduktion (über die Teilspiele) Für Spieler 2 ist es (zumindest schwach) optimal jeden Vorschlag x 1 anzunehmen, da er dann eine Auszahlung 1 x 0 erhält Die beste Antwort von Spieler 1 hierauf ist x = 1 Die einzige andere rationale Strategie von Spieler 2 ist jeden Vorschlag x < 1 anzunehmen und x = 1 abzulehnen Dann hat Spieler 1 aber keine beste Antwort 58/67

59 Anmerkungen Spieler 1 hat hier einen extremen Vorteil, dadurch das er den ersten Zug (d.h. den Vorschlag) machen darf: Er erhält den ganzen Apfel Der Fall mit T = 1 wird auch Ultimatumspiel genannt: Spieler 1 stellt Spieler 2 ein ultimatives take-it-or-leave-it Angebot, was der nur annehmen oder ablehnen kann 59/67

60 Fall T = 2 Wir betrachten nun den Fall mit zwei möglichen Verhandlungsrunden Wir konzentrieren uns direkt auf teilspielperfekte Nash Gleichgewichte Was passiert wenn Periode 2 des Verhandlungsspiels erreicht wird? Von zuvor wissen wir, dass der Spieler, welcher den Vorschlag in der letzten Runde macht, im einzigen teilspielperfekten Nash Gleichgewicht den ganzen (verbleibenden) Apfel bekommt Spieler 2 schlägt also x = 0 vor, was Spieler 1 annimmt Spieler 2 bekommt dann eine Auszahlung von δ und Spieler 1 eine Auszahlung von 0 60/67

61 Periode 1 In Periode 1 hat Spieler 1 das Vorschlagsrecht Da Spieler 2 bei ablehnen des Vorschlags eine Auszahlung von δ erhält (er bekommt dann in der nächsten Periode den ganzen verbleibenden Apfel) wird Spieler 2 jeden Vorschlag ablehnen bei dem 1 x < δ ist Spieler 1 schlägt daher x = 1 δ vor, was Spieler 2 annimmt Die Auszahlungen auf dem Gleichgewichtspfad sind daher v 1 = 1 δ und v 2 = δ 61/67

62 Anmerkungen Für δ = 1 erhält Spieler 2 den ganzen Apfel in Periode 1 Es gibt in diesem Spiel also einen Vorteil des letzten Zuges Nur wenn δ < 1 ist hat Spieler 1 eine positive Auszahlung D.h. nur dann gibt es einen gewissen Vorteil des ersten Zuges 62/67

63 Frage 7.4 Bestimmen Sie das teilspielperfekte Nash Gleichgewicht und die Auszahlungen auf dem Gleichgewichtspfad für den Fall T = 3 Antwort: 63/67

64 Allgemeine Ergebnisse Man kann zeigen, dass die Spieler sich für alle Werte von T stets in der ersten Runde einigen Die Auszahlungen, wenn T eine ungerade Zahl ist, sind: v 1 = x 1 = 1+δT 1+δ, v 2 = 1 x 1 = δ δt 1+δ, wobei x 1 der Vorschlag von Spieler 1 in der ersten Runde ist Für T gilt also v 1 = 1 1+δ, v 2 = δ 1+δ 64/67

65 Zusammenfassung Die Strategien, welche ein Nash Gleichgewicht in den Stufenspielen sind, bilden immer ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht im Multistufenspiel Falls ein Multistufenspiel endlich viele Stufen hat und jedes Stufenspiel nur ein Nash Gleichgewicht, dann bilden diese das einzige teilspielperfekte Nash Gleichgewicht im Multistufenspiel (Beispiel: endliche Wiederholung des Gefangendilemmas ) Drohungen (Stock statt Karotte) schaffen Anreize, dass Spieler Strategien wählen, welche kein Nash Gleichgewicht im Stufenspiel sind Wie stark eine Drohung wirkt hängt vom Diskontfaktor ab 65/67

66 Der Diskontfaktor kann auch als Fortsetzungswahrscheinlichkeit interpretiert werden Bei einem entsprechend hohen Diskontfaktor kann es daher weitere teilspielperfekte Nash Gleichgewichte in Multistufenspielen geben Voraussetzung für weitere teilspielperfekte Nash Gleichgewichte ist, dass es mindestens ein Stufenspiel mit mehreren Nash Gleichgewichten gibt (Beispiel: Gefangendilemma und Rache ) oder das Multistufenspiel unendlich viele Stufen hat (Beispiel: unendliche Wiederholung des Gefangenendilemmas )

67 Übungsaufgaben Wir behandeln folgende Übungsaufgaben aus dem Buch: 9.1, 9.6, 10.2, 10.7, 10.9, 11.2a 67/67