Kapitel 9: Auktionen. Literatur: Tadelis Chapter 13. Prof. Dr. Philipp Weinschenk, Lehrstuhl für Mikroökonomik, TU Kaiserslautern

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1 Kapitel 9: Auktionen Literatur: Tadelis Chapter 13 Prof. Dr. Philipp Weinschenk, Lehrstuhl für Mikroökonomik, TU Kaiserslautern

2 Kapitel 9.1: Motivation und Auktionsformen

3 Motivation Viele Objekte werden versteigert: Kunstwerke, Antiquitäten, Blumen, frischer Fisch, Recht auf Förderung eines Rohstoffs, Mobilfunklizenzen, Produktionsaufträge für militärische Ausstattung Häufig werden dazu Auktionsplattformen wie ebay genutzt Auch Firmen und Behörden veranstalten Auktionen Beispiele: Vergabe von Mobilfunklizenzen (z.b. Versteigerung von UMTS Lizenzen brachte im Jahr 2000 einen Erlös von 50,8 Milliarden Euro), Beschaffung von Waren (z.b. Druckerpapier) oder Dienstleitungen (z.b. Wartungsaufträgen) Teilweise geht es bei Auktionen nicht darum ein Objekt zum maximalen Preis zu verkaufen, sondern ein Objekt zum minimalen Preis zu kaufen 3/33

4 Vorteile von Auktionen Auktionen haben feste Regeln Sie sind dadurch transparent Sie sorgen meist dafür, dass das Objekt dem Bieter mit der höchsten Wertschätzung zugeteilt wird = Allokative Effizienz Auktionen können, wenn sie gut designt sind, schwer manipuliert werden 4/33

5 Auktionsformen Wir betrachten zwei Formen von offenen Auktionen: Englische Auktion: Bieter geben ansteigende Gebote ab bis keiner mehr ein höheres Gebot abgibt. Der Spieler mit dem letzten Gebot bekommt das Objekt zum gebotenen Preis. Holländische Auktion: Es wird ein sehr hoher Startpreis festgelegt. Der Preis wird kontinuierlich reduziert bis ein Bieter kaufen ruft. Dieser Bieter bekommt das Objekt zum ausgerufenen Preis. Diese Auktionsform wird beispielsweise beim Verkauf von Blumen in den Niederlanden eingesetzt. 5/33

6 Wir betrachten zwei Formen von verschlossenen Auktionen (bei diesen geben Bieter Gebote ab ohne die Gebote der anderen Bieter zu kennen): Erstpreisauktion: Der Bieter mit dem höchsten Gebot gewinnt und muss sein eigenes Gebot bezahlen. Zweitpreisauktion: Der Bieter mit dem höchsten Gebot gewinnt und bezahlt einen Preis der dem zweithöchsten Gebot entspricht.

7 Anmerkungen Auktionen sind Spiele: Es gibt eine Menge an Bietern d.h. Spieler, die Gebote sind die Aktionen der Spieler, die Auszahlungen hängen davon ab wer das Objekt bekommt und wer wie viel bezahlt Wir modellieren den Auktionator nicht als Spieler, da dieser keinen Einfluss mehr auf das Spiel hat sobald die Regeln festgelegt sind Im Normalfall kennen die Bieter nur ihre eigene Wertschätzung bezüglich eines Objekts, aber nicht die Wertschätzungen ihrer Mitbieter Es handelt sich um ein Spiel mit unvollständigen Informationen 7/33

8 Kapitel 9.2: Auktionen mit unabhängigen privaten Werten

9 Modellierung Es gibt eine Menge an N = {1,...,n} Bietern/Spielern Der Typ eines Spielers θ i gibt dessen Wertschätzung für das zu versteigernde Objekt an Die Typen der Spieler werden anfangs unabhängig voneinander aus Intervallen [ ] θ i, θ i gezogen Hierzu wird für Spieler i eine Verteilungsfunktion F i benutzt Jeder Spieler kennt nur seinen eigenen Typ, die Verteilungsfunktionen sind aber common knowledge Wenn Spieler i das Objekt nicht bekommt ist seine Auszahlung v i = 0 Wenn Spieler i das Objekt bekommt ist seine Auszahlung v i = θ i p, wobei p 0 den Preis bezeichnet den er bezahlt 9/33

10 Zweitpreisauktion Zuerst zieht die Natur die Typen der Spieler Dann macht jeder Spieler i N ein Gebot b i 0 Schließlich werden die Gebote gesammelt und der Spieler mit dem höchsten Gebot bekommt das Objekt zum Preis des zweithöchsten Gebots Gibt es mehrere Spieler welche das Höchstgebot bieten, wird der Gewinner zufällig bestimmt Alternative Annahme (welche im Wesentlichen zu den gleichen Einsichten führt, vgl. Tadelis): bei mehreren Höchstgeboten bekommt kein Spieler das Objekt Die Auszahlung von Spieler i ist θ i bj falls b i > b j für alle j i, wobei bj = max j i {b j }, θ v i = i bj falls b #{Höchstb.} i b j für alle j i und b i = b j für manche j i, 0 falls b i < b j für mindestens ein j i 10/33

11 Strategien und erwartete Auszahlung Eine Strategie für Spieler i ordnet jeder möglichen Wertschätzung θ i ein Gebot b i zu Formal ausgedrückt, s i : [ ] θ i, θ i R +, so dass b i = s i (θ i ) Die erwartete Auszahlung von Spieler i ist E θ i [v i ] = Prob(i gewinnt) (θ i p)+prob(i verliert) 0 Was ist die optimale Strategie s i (θ i ) für Spieler i? Da die Wahrscheinlichkeiten Prob(i gewinnt) und Prob(i verliert) nicht nur von is Strategie, sondern auch von den Strategien aller anderen Spieler abhängen könnte dies eine sehr komplexes Problem sein Glücklicherweise ist es aber sehr einfach die optimale Strategie zu bestimmen 11/33

12 Ergebnis Proposition 1 In der Zweitpreisauktion ist es für jeden Spieler eine schwach dominante Strategie seine Wertschätzung zu bieten. s i (θ i ) = θ i für alle i N ist ein Bayesianisches Nash Gleichgewicht. Um dies zu beweisen, betrachten wir einen beliebigen Bieter i und notieren das höchste Gebot der anderen Bieter mit b θ i < b : Bieter i sollte ein Gebot b i < b machen = b i = θ i ist ein optimales Gebot θ i = b : Alle Gebote sind optimal = b i = θ i ist ein optimales Gebot θ i > b : Bieter i sollte ein Gebot b i > b machen = b i = θ i ist ein optimales Gebot 12/33

13 Es ist für i nie, d.h. für kein b, besser ein Gebot unter oder über θ i abzugeben anstatt genau θ i zu bieten Für Bieter i ist es also mindestens schwach optimal seine Wertschätzung zu bieten, unabhängig von seinen Erwartungen bezüglich der Wertschätzungen der anderen Bieter und deren Bietstrategien

14 Implikationen Für einen Spieler ist es irrelevant aus welcher Verteilung die Wertschätzungen der anderen Spieler gezogen werden, d.h. die common knowledge Annahme an die Verteilungsfunktionen kann bei der Zweitpreisauktion abgeschwächt werden Dies gilt auch wenn die Wertschätzungen korreliert sind, d.h. bei der Zweitpreisauktion brauchen wir nicht die Annahme, dass die Wertschätzungen der Spieler unabhängig voneinander gezogen werden In einer Zweitpreisauktion gewinnt der Bieter mit dem höchsten Wertschätzung, d.h. die Auktion ist effizient 14/33

15 Englische Auktion Spieler können mehrmals bieten Für einen Spieler ist es optimal solange mitzubieten bis die Gebote seine Wertschätzung übersteigen Daher ist das Ergebnis einer Englischen Auktion identisch zu dem einer Zweitpreisauktion Für technische Details, siehe Tadelis Chapter /33

16 Erstpreisauktion Beobachtung: Es ist nicht optimal ein Gebot in Höhe der Wertschätzung abzugeben Grund: Bei einem Gebot in Höher der Wertschätzung ist die Auszahlung eines Spielers immer 0, egal ob er gewinnt oder verliert, weshalb seine erwartete Auszahlung 0 ist Wenn ein Spieler zumindest etwas weniger bietet erzielt er eine positive Auszahlung wenn er gewinnt, weshalb seine erwartete Auszahlung positiv ist Wie viel weniger bieten ist optimal? Es gibt folgenden trade off: Wenn ein Spieler mit einem niedrigen Gebot gewinnt erzielt er eine hohe Auszahlung Mit einem niedrigen Gebot wird er aber selten gewinnen 16/33

17 Optimale Strategie Wir nehmen an, dass die Gebote ansteigend im Typ sind Dadurch sind die Gebotsfunktionen invertierbar Wahrscheinlichkeit das Gebot von Spieler j kleiner ist als das von i, wobei i j, ist Prob(s j (θ j ) < b i ) = Prob(θ j < s 1 j (b i )) = F j (s 1 j (b i )) Die erwartete Auszahlung von Spieler i ist daher E θ i [v i ] = [ Fj (s 1 j (b i )) ] (θ i b i ) j i Wir nehmen außerdem an, dass die Verteilungsfunktionen und die Strategien der Spieler symmetrisch sind Dann ist E θ i [v i ] = [ F(s 1 (b)) ] n 1 (θi b i ) 17/33

18 Nach einigen Rechenschritten, siehe Tadelis Chapter , erhalten wir das Bayesianische Nash Gleichgewicht: θi θ s(θ i ) = θ i [F(x)]n 1 dx [F(θ i )] n 1 für alle Spieler i N Es ist also optimal immer weniger als die Wertschätzung zu bieten Wie viel hängt von der Verteilungsfunktion, dem Typ und der Anzahl der Mitbieter ab Auch in der Erstpreisauktion gewinnt der Spieler mit der höchsten Wertschätzung Einfacher Fall: θ i u[0,1] für alle Spieler Dann ist für alle Spieler i N θi 0 s(θ i ) = θ i xn 1 dx θ n 1 i = θ i θn i nθ n 1 i = θ i n 1 n

19 Holländische Auktion Wann sollte ein Spieler kaufen rufen? Länger warten führt zu einem niedrigeren Preis, aber einer kleineren Gewinnchance Dies ist derselbe trade off wie bei der Erstpreisauktion Die Holländische Auktion ist strategisch äquivalent zur Erstpreisauktion Daher ist das Ergebnis einer Holländischen Auktion identisch zu dem einer Erstpreisauktion 19/33

20 Erwarteter Erlös der Auktionen Welche Auktionsform sollte der Auktionator/Verkäufer wählen um den erwarteten Erlös der Auktion zu maximieren? Gegeben die Gebote der Spieler liefert die Erstpreisauktion den höheren Erlös als die Zweitpreisauktion Dieser Effekt spricht dafür, dass die Erstpreisauktion den höheren Erlös erzielt Allerdings bieten die Spieler bei einer Zweitpreisauktion mehr als bei einer Erstpreisauktion Dieser Effekt spricht dafür, dass die Zweitpreisauktion den höheren Erlös erzielt Welcher der beiden Effekte überwiegt? 20/33

21 Der erwarteter Erlös der Erstpreisauktion entspricht dem Erwartungswert des höchsten Gebots E[b [1] n ] Der erwarteter Erlös der Zweitpreisauktion entspricht dem Erwartungswert der zweithöchsten Wertschätzung E[θ [2] n ] Man kann zeigen, dass diese beiden und alle anderen besprochenen Auktionsformen den gleichen erwarteten Erlös liefern Dieses Ergebnis ist als Revenue Equivalence Theorem bekannt Der Beweis ist recht kompliziert; in Tadelis Chapter ist ein Beweis für einen Spezialfall enthalten

22 Revenue Equivalence Theorem Das Revenue Equivalence Theorem sagt aus, dass alle Auktionen den gleichen erwarteten Erlös liefern wenn der Typ/die Wertschätzung jedes Bieters aus einer strikt steigenden und kontinuierlichen Verteilungsfunktion gezogen wird, die Bieter risikoneutral sind, der Bieter mit der höchsten Wertschätzung stets gewinnt und der Bieter mit der niedrigst möglichen Wertschätzung θ eine erwartete Auszahlung von 0 hat Alle besprochenen Auktionsformen erfüllen die vier Voraussetzungen, weshalb all diese den gleichen erwarteten Erlös liefern Auch andere Auktionsformen, welche die vier Voraussetzungen erfüllen, liefern den gleichen erwarteten Erlös 22/33

23 Erwarteter vs realisierter Erlös Das Revenue Equivalence Theorem bezieht sich auf den erwarteten Erlös Es gilt nicht für den realisierten Erlös Beispiel: n = 2, θ i u[0,1] Falls die Wertschätzungen θ1 = θ 2 > 0 gezogen werden liefert die Zweitpreisauktion einen Erlös von θ 1, die Erstpreisauktion aber nur einen Erlös von θ 1 /2 Falls die Wertschätzungen θ1 = 1 und θ 2 = 0 gezogen werden liefert die Zweitpreisauktion einen Erlös von 0, die Erstpreisauktion aber einen Erlös von 1/2 23/33

24 Mindestgebot Wenn ein wirksames Mindestgebot (b min > θ) eingeführt wird gewinnt nicht mehr stets der Bieter mit der höchsten Wertschätzung Grund: Unter Umständen liegen die Wertschätzungen aller Spieler unter dem Mindestgebot; dann will kein Bieter ein Gebot in Höhe des Mindestgebots abgeben Das Revenue Equivalence Theorem gilt also nicht wenn es ein wirksames Mindestgebot gibt (die dritte Annahme ist verletzt) Sind Mindestgebote deswegen schlecht? Nein! Mindestgebote können den erwarteten Erlös deutlich steigern, wenn sie geeignet gewählt werden 24/33

25 Weitere Anmerkungen Bei risikoaversen Bietern liefert die Erstpreisauktion einen höheren erwarteten Erlös als die Zweitpreisauktion Falls mehrere Objekte versteigert werden (Beispiel Versteigerung von Mobilfunklizenzen) kann eine künstliche Verknappung der Anzahl der Objekte den erwarteten Erlös steigern Bei staatlichen Auktionen spielen auch andere Aspekte eine Rolle: eventuell wird ein Auktionsformat präferiert welches nicht den erwarteten Erlös maximiert, aber dafür andere Ziele erreicht (z.b. hinreichend viel Wettbewerb zwischen den Gewinnern einer Mobilfunkauktion) Auch bei privaten Auktionen können andere Aspekte eine Rolle spielen: beispielsweise kann es ratsam sein, nicht unter allen Umständen die günstigste Baufirma auszuwählen 25/33

26 Kapitel 9.3: Auktionen mit gemeinsamen Werten (common values)

27 Objekte mit gemeinsamen Werten Manche Objekte haben einen Wert der für alle Spieler gleich ist Beispiele: Ölfeld wenn Bieter die gleiche Technologie nutzen Glasgefäß mit Geldstücken Viele Objekte haben sowohl einen privaten Wert als auch einen gemeinsamen Wert Beispiele: Sie kaufen ein Haus, welches Sie eventuell in einigen Jahren wieder verkaufen wollen Gemälde Auto 27/33

28 Fluch des Gewinners Wir betrachten die Zweitpreisauktion eines Objektes mit gemeinsamem Wert, z.b. einem Ölfeld Die Bieter haben unterschiedliche Schätzungen was den Wert des Objektes angeht: diese liegen zwischen 100 und 300 Millionen Euro Der wahre Wert liegt zwischen den Extremen, beispielsweise bei 200 Millionen Euro Wenn jeder Bieter nun ein Gebot in Höhe seiner Schätzung abgibt, dann gewinnt der Bieter mit der optimistischsten Schätzung Dessen Auszahlung ist aber negativ: 200 Millionen Euro Millionen Euro = Millionen Euro Gewinnen ist also eine schlechte Neuigkeit für den Gewinner: es zeigt, dass er zu optimistisch war 28/33

29 Bieter die den Wert sehr hoch einschätzen unterliegen der Gefahr, den wahren Wert zu überschätzen und zu viel zu bieten Der Gewinner einer Auktion mit gemeinsamem Wert tendiert also dazu zu viel zu bezahlen Dies wird als Fluch des Gewinners bezeichnet Jeder Bieter sollte deshalb ein Gebot abgeben, das unter seiner persönlichen Schätzung liegt Genauer gesagt entspricht das optimale Gebot eines Bieters in der Zweitpreisauktion dem erwarteten Wert des Objekts, bedingt darauf das er gewinnt Anmerkung: die Darstellung von Tadelis ist anders strukturiert und beinhaltet Rechenfehler

30 Zusammenfassung Auktionen sind Spiele bei denen Objekte an Bieter verteilt werden Objekte können privaten Wert und/oder gemeinsamen Wert haben Es gibt unterschiedliche Auktionsformen, mit unterschiedlichen Regeln, welche unterschiedliche Bietstrategien hervorrufen Bei Objekten mit privaten Werten sind die Zweitpreisauktion und die Englische Auktion strategisch äquivalent; es ist für jeden Spieler eine schwach dominante Strategie seine Wertschätzung zu bieten Bei Objekten mit privaten Werten sind die Erstpreisauktion und die Holländische Auktion strategisch äquivalent; es ist optimal weniger als die eigene Wertschätzung zu bieten; die optimale Bietstrategie eines Spielers hängt von den Bietstrategien der anderen Spieler ab 30/33

31 Das Revenue Equivalence Theorem sagt aus, dass alle Auktionsformate, welche bestimmte Voraussetzungen erfüllen, den gleichen erwarteten Erlös liefern Bei Objekten mit gemeinsamen Werten kommt es zum Fluch des Gewinners wenn die Spieler ihre erwartete Wertschätzung bieten

32 Buchaufgaben Wir behandeln folgende Aufgaben aus dem Tadelis Buch: 13.2* (Übung) 13.3** (Übung) 32/33