Spieltheorie Kapitel 7, 8 Evolutionary Game Theory Modelling Network Traffic using Game Theory

Transkript

1 Spieltheorie Kapitel 7, 8 Evolutionary Game Theory Modelling Network Traffic using Game Theory Arno Mittelbach 1

2 Spieltheorie Einführung Evolutionary Game Theory Spieltheorie in Netzwerken Erstens Zweitens Drittens Arno Mittelbach 2

3 Spieltheorie Einführung Das Spiel Terminologien Nash Gleichgewichte Mixed Strategies Evolutionary Game Theory Evolutionär Stabile Strategie (EES) Abstrakte Spiele EES vs. Nash Gleichgewicht Spieltheorie in Netzwerken Einführung Gleichgewichte Braess Paradox Arno Mittelbach 3

4 Spieltheorie Spiel Beeinflusst Ausgang (Auszahlung) Interaktion Spieler 1 Spieler Arno Mittelbach 4

5 Spieltheorie Das Gefangenen Dilemma Video: Arno Mittelbach 5

6 Spieltheorie Das Gefangenen Dilemma Dilbert Alice schweigen gestehen schweigen -1,-1-10,0 gestehen 0,-10-6, Arno Mittelbach 6

7 Spieltheorie Das Gefangenen Dilemma Spieler Normalform / Spielmatrix Alice schweigen gestehen schweigen -1,-1-10,0 Dilbert gestehen 0,-10-6,-6 Strategien Auszahlung Arno Mittelbach 7

8 Spieltheorie Terminologie: Best Response Ich schweige, denn wenn alle schweigen, ist das insgesammt gesehen am besten. Dilbert schweigen Dilbert schweigt, das beste was ich also tun kann ist gestehen. Alice gestehen schweigen -1,-1-10,0 gestehen 0,-10-6, Arno Mittelbach 8

9 Spieltheorie Terminologie: Dominante Strategie Ich schweige, denn egal was Alice macht, schweigen ist die bessere Strategie. Dilbert schweigen Ich schweige Alice gestehen schweigen 1,1-5,0 gestehen 0,-5-6, Arno Mittelbach 9

10 Spieltheorie Terminologie: Nash Gleichgewicht Im Nash Gleichgewicht ist jede Strategie ein best response. Schweige ich, so wird Alice gestehen. Also bleibt mir nur auch zu gestehen. Es war Alice! Dilbert schweigen Es war Dilbert! Alice gestehen schweigen -1,-1-10,0 gestehen 0,-10-6, Arno Mittelbach 10

11 Spieltheorie Terminologie: Mixed Strategys Dilbert Stein Es existiert kein Nash Gleichgewicht mit reinen Strategien Alice Papier Schere Stein Papier Schere 0,0 0,1 1,0 Stein 1,0 0,0 0,1 Papier 0,1 1,0 0, Arno Mittelbach 11

12 Spieltheorie Terminologie: Mixed Strategys 10% Stein, 40% Schere, 50% Papier Dilbert 20% Papier, 40% Stein, 40% Schere Alice Schere Stein Papier Schere 0,0 0,1 1,0 Stein 1,0 0,0 0,1 Papier 0,1 1,0 0, Arno Mittelbach 12

13 Spieltheorie Terminologie: Mixed Strategys 33% Stein, 33% Schere, 33% Papier Dilbert Nash Gleichgewicht in gemischter Strategie 33% Papier, 33% Stein, 33% Schere Alice Schere Stein Papier Schere 0,0 0,1 1,0 Stein 1,0 0,0 0,1 Papier 0,1 1,0 0, Arno Mittelbach 13

14 Evolutionary Game Theory Spieltheorie Schere VS. Papier Evolutionäre Spieltheorie Stein Stein Stein Stein Stein VS. Schere Schere Schere Schere Arno Mittelbach 14

15 Evolutionary Game Theory Analogien Erwartete Auszahlung ist Fitness des Organismus Organismus Hängt ab von Strategie ist durch Gene festgelegt Strategien der anderen Arno Mittelbach 15

16 Evolutionary Game Theory Beispiel: Das Körpergrößenspiel Population von Käfern Fitness hängt hauptsächlich von Essen ab Mutation: Große Käfer Großer Körper braucht mehr Nährstoffe Arno Mittelbach 16

17 Evolutionary Game Theory Beispiel: Das Körpergrößenspiel Arno Mittelbach 17

18 Evolutionary Game Theory Beispiel: Das Körpergrößenspiel 2. Käfer 1. Käfer klein groß klein 5,5 1,8 groß 8,1 3, Arno Mittelbach 18

19 Evolutionary Game Theory Evolutionär Stabile Strategien Nash Gleichgewicht Eine Wahl der Strategien, die beibehalten bleibt, sobald die Spieler diese einmal erreicht haben.? Analogon im evolutionären Setting Arno Mittelbach 19

20 Evolutionary Game Theory Evolutionär Stabile Strategien Nash Gleichgewicht Eine Wahl der Strategien, die beibehalten bleibt, sobald die Spieler diese einmal erreicht haben. Evolutionär Stabile Strategien Genetisch bedingte Strategie, die in einer Population bestehen bleibt, wenn sie einmal die Vorherrschaft errungen hat Arno Mittelbach 20

21 Evolutionary Game Theory Evolutionär Stabile Strategien Oder Anders: Benutzt die gesamte Population eine bestimmte Strategie für die gilt: Jede kleine Gruppe an Eindringlingen, die eine andere Strategie benutzt, stirbt mit der Zeit ab. Dann spricht man von einer Evolutionär stabilen Strategie (ESS) Arno Mittelbach 21

22 Evolutionary Game Theory Evolutionär Stabile Strategien Formal: Die Fitness eines Organismus ist die erwartete Auszahlung bei einer Interaktion mit einem zufälligen Mitglied der Population. Invasion: Strategie T invadiert Strategie S auf Ebene x, für kleines x > 0, wenn ein x-tel der Population Strategie T benutzt und ein 1-x-tel der Population Strategie S. Eine Strategie S ist evolutionär stabil, falls für y > 0 (klein) mit x < y gilt: Für jede Strategie T, die S auf Ebene x (<y) invadiert gilt: Die Fitness aller S-Individuen ist größer oder gleich der Fitness der T-Individuen Arno Mittelbach 22

23 Evolutionary Game Theory Beispiel: Evolutionär Stabile Strategie 1-x benutzen Strategie Klein x benutzen Strategie Groß Arno Mittelbach 23

24 Evolutionary Game Theory Beispiel: Evolutionär Stabile Strategie klein Fittnes eines kleinen Käfers groß klein 5,5 1,8 groß 8,1 3,3 Wahrscheinlichkeit kleinen Käfer zu treffen 5(1-x) + 1x = 5 4x Arno Mittelbach 24

25 Evolutionary Game Theory Beispiel: Evolutionär Stabile Strategie klein Fitness eines großen Käfers groß klein 5,5 1,8 groß 8,1 3,3 Wahrscheinlichkeit kleinen Käfer zu treffen 8(1-x) + 3x = 8 5x Arno Mittelbach 25

26 Evolutionary Game Theory Beispiel: Evolutionär Stabile Strategie klein groß klein 5,5 1,8 groß 8,1 3,3 klein ist nicht evolutionär stabil, da für kleine x die Fitness von groß stets größer ist als die von klein Arno Mittelbach 26

27 Evolutionary Game Theory Beispiel: Evolutionär Stabile Strategie 1-x benutzen Strategie Groß x benutzen Strategie klein Arno Mittelbach 27

28 Evolutionary Game Theory Beispiel: Evolutionär Stabile Strategie klein Fitness eines großen Käfers groß klein 5,5 1,8 groß 8,1 3,3 Wahrscheinlichkeit großen Käfer zu treffen 3(1-x) + 8x = 3 + 5x Arno Mittelbach 28

29 Evolutionary Game Theory Beispiel: Evolutionär Stabile Strategie klein Fitness eines kleinen Käfers groß klein 5,5 1,8 groß 8,1 3,3 Wahrscheinlichkeit großen Käfer zu treffen (1-x) + 5x = 1 + 4x Arno Mittelbach 29

30 Evolutionary Game Theory Beispiel: Evolutionär Stabile Strategie klein groß klein 5,5 1,8 groß 8,1 3,3 groß ist evolutionär stabil, da für kleine x die Fitness von groß stets größer ist als die von klein Arno Mittelbach 30

31 Evolutionary Game Theory Empirisch nachgewiesen Arms Race in der Biologie Arno Mittelbach 31

32 Evolutionary Game Theory Allgemeine Beschreibung Strategien: S, T, (1-x) sind S-Organismen Erwartete Auszahlung für S-Organismus a(1-x)+bx Erwartete Auszahlung für T-Organismus c(1-x)+dx S ist evolutionär stabil, falls a(1-x)+bx > c(1-x)+dx S T S a,a b,c T c,b d,d Arno Mittelbach 32

33 Evolutionary Game Theory Allgemeine Beschreibung S ist evolutionär stabil, falls a(1-x)+bx > c(1-x)+dx 1. a > c 2. a = c und b > d S T S a,a b,c T c,b d,d Arno Mittelbach 33

34 Evolutionary Game Theory ESS vs. Nash S,S ist Nash Gleichgewicht für a größer gleich c S,S ist ESS für 1. a > c 2. a = c und b > d Ist S evolutionär stabil, dann ist (S,S) ein Nash Gleichgewicht S T S a,a b,c T c,b d,d Arno Mittelbach 34

35 Evolutionary Game Theory ESS und mixed Strategies Arno Mittelbach 35

36 Game Theorie and Networks Equilibrium Traffic 4000 Autos wollen von A nach B A x/ C D 45 x/100 B Arno Mittelbach 36

37 Game Theorie and Networks Equilibrium Traffic 4000 Autos wollen von A nach B A x/ C 4000/ = 85 D 45 x/100 B Arno Mittelbach 37

38 Game Theorie and Networks Equilibrium Traffic 4000 Autos wollen von A nach B A x/ C 4000/ = 85 D 45 x/100 B Arno Mittelbach 38

39 Game Theorie and Networks Equilibrium Traffic 4000 Autos wollen von A nach B A x/ C 2000/ = 65 D 45 x/100 B Arno Mittelbach 39

40 Game Theorie and Networks Equilibrium Traffic A C D B Statt 2 Spielern 4000 Nash Equilibrium ist immer noch Menge an Best Response Strategien Arno Mittelbach 40

41 Game Theorie and Networks Equilibrium Traffic A C Nash Equilibrium D B Nash Equilibrium existiert Alle Strategiemengen, die sich gleich auf oben und unten verteilen sind Nash Gleichgewichte Arno Mittelbach 41

42 Game Theorie and Networks Braess s Paradox 4000 Autos wollen von A nach B A x/ C D 0 45 x/100 B Arno Mittelbach 42

43 Game Theorie and Networks Braess s Paradox 4000 Autos wollen von A nach B A x/ C 0 D 45 x/100 B Einziges Nash Gleichgewicht: 4000/100*2 = Arno Mittelbach 43

44 Arno Mittelbach 44 Vielen Dank

45 Quellen Inhalt Davide Easley, Jon Kleinberg, Networks Crowds and Markets, Cambridge University Press, 2010, Kapitel 6,7 und 8 Video accessed November 29, 2010 Bilder Käfer Myers, P., R. Espinosa, C. S. Parr, T. Jones, G. S. Hammond, and T. A. Dewey The Animal Diversity Web (online). Accessed November 26, 2010 at Baum Christmas Tree by Phillip J Rhoades, Arno Mittelbach 45