Teil 2: Dynamische Spiele mit vollständigen Informationen

Transkript

1 Teil : Dynamische Spiele mit vollständigen Informationen

2 Kapitel 5: Grundsätzliches Literatur: Tadelis Chapter 7

3 Problem Manche Spiele entwickeln sich über die Zeit Dynamik kann aber nicht in Spielen in Normalform abgebildet werden Beispiel: Sequentieller Kampf der Geschlechter Chris entscheidet zuerst wo Sie hingeht und teilt dies Alex mit Dann entscheidet auch Alex wohin er geht Alex kann daher auf die Wahl von Chris reagieren Dies steht im Gegensatz zum Fall mit simultanen Entscheidungen (oder zeitversetzten Entscheidungen ohne Informationsaustausch): Alex und Chris müssen sich entscheiden ohne zu wissen was der andere wählt Sie bilden dann beliefs und spielen jeweils eine beste Antwort auf diese beliefs 3/ 36

4 Kurze Analyse Was werden Chris und Alex im Sequentiellen Kampf der Geschlechter machen? Da Alex den Abend gemeinsam mit Chris verbringen will, wird er die gleiche Wahl wie Chris treffen Chris weiß, dass Alex rational ist Daher weiß sie, dass Alex sich ihrer Wahl anschließen wird Wenn Chris sich für die Oper entscheidet, bekommt sie daher eine Auszahlung von, bei Fußball eine Auszahlung von Daher wird Chris Fußball wählen (und Alex wird ihr folgen) 4/36

5 Vorteil des ersten Zuges Da Chris zuerst zieht kann sie ihre bevorzugte Aktivität durchsetzten Sie hat damit den Vorteil des ersten Zuges Anmerkung: Als erster zu ziehen ist nicht immer gut Beispiele: Matching Pennies und Schere-Stein-Papier 5/36

6 Kapitel 5.: Spiele in Extensiver Form

7 Idee Die Extensive Form ist eine Darstellungsform von Spielen welche, im Gegensatz zur Normalform, die zeitliche Abfolge von Entscheidungen berücksichtigt Hierzu wird häufig eine Spielbaum genannte Darstellung verwendet 7/36

8 Bestandteile eines Spiels in Extensiver Form Menge an Spielern N Auszahlungen der Spieler als Funktion der Ergebnisse {v i ( )} i N Anmerkung: Auch ein Spiel in Normalform hat die beiden vorangegangenen Bestandteil 3 Reihenfolge der Züge Beispiel: Chris zieht zuerst, dann Alex 4 Aktionen der Spieler wenn sie am Zug sind Beispiel: Chris kann sich zwischen Oper und Fußball entscheiden, Alex ebenfalls 5 Das Wissen der Spieler wenn sie am Zug sind Beispiel: Alex weiß welche Aktion Chris gewählt hat 8/36

9 6 Wahrscheinlichkeitsverteilungen über exogene Ereignisse Beispiel: Eine Firma überlegt, ob sie in ein Forschungsprojekt investieren soll; dieses ist nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 40% erfolgreich Zufällige exogene Ereignisse werden als Zug der Natur formalisiert 7 Die beschriebenen Bestandteile des Spiels sind common knowledge

10 Spielbäume Spiele in extensiver Form lassen sich mit Hilfe von Spielbäumen darstellen Mathematisch gesehen ist ein Spielbaum ein Graph ohne Schleifen Beispiel: Trust Game N T 0 0 C D 0/36

11 Geschichte des Spiels Spieler kann dem anderen Spieler vertrauen, d.h. T=Trust spielen, oder nicht vertrauen, d.h. N=Not Trust Wenn Spieler dem anderen Spieler vertraut, dann entscheidet sich Spieler zwischen kooperieren, d.h. C=Cooperate, und abweichen, d.h. D=defect Vertrauen zahlt sich für Spieler nur aus wenn Spieler kooperiert Spieler erhält nur eine positive Auszahlung wenn Spieler ihm vertraut Spieler bekommt aber die höchste Auszahlung wenn er abweicht, gegeben das Spieler ihm vertraut /36

12 Mögliche Interpretation Dieses Spiel repräsentiert viele Situation des Lebens Eine mögliche Interpretation ist die Folgende Spieler ist ein Automechaniker Spieler der Besitzer eines kaputten Autos Spieler kann sein Auto bei Spieler in Reparatur geben Dann kann Spieler das Auto ordnungsgemäß reparieren oder Spieler abzocken /36

13 Sequentieller Kampf der Geschlechter Anderes Beispiel: Sequentieller Kampf der Geschlechter Wir wollen diese Spiel nun als Spielbaum darstellen Hinweis: Die Strategien von Spieler werden nun mit Kleinbuchstaben bezeichnet O F o f o f /36

14 Definition Spielbaum Definition Ein Spielbaum ist eine Menge von Knoten x Xmit einer Vorgängerrelation x > x, was ausdrückt, dass der Knoten x dem Knoten x voransteht. Jeder Knoten in einem Spielbaum hat nur einen Vorgänger. Die Vorgängerrelation ist transitiv (x > x, x > x x > x ), asymmetrisch (x > x x x ) und unvollständig (nicht jedes Knotenpaar x, y kann geordnet werden). Es gibt einen speziellen Knoten, die Wurzel, bezeichnet durch x 0, welcher allen Knoten voransteht. Knoten auf die kein weiterer Knoten folgt werden Endknoten genannt. Die Menge der Endknoten ist Z X. Endknoten geben das Endergebnis des Spiels wieder, mit welchen Auszahlungen an die Spieler verbunden sind. Jeder Knoten, welcher kein Endknoten ist, wird einem Spieler i(x) N mit der Aktionsmenge A i (x) oder der Natur zugeordnet. 4/36

15 Weiteres Beispiel O x 0 F 4 O x x F x 3 4 x o f o f x x x x /36

16 In diesem Spiel gibt es vier Spieler N = {,,3,4} Nur Spieler, und 4 ziehen tatsächlich (d.h. treffen Entscheidungen) Spieler 3 ist ein Dummy Spieler Die Menge der Endknoten ist Z = {x 4,x 5,x 6,x 7,x 8 } Auszahlungen werden den Endknoten zugeordnet: v i : Z R, wobei v i (z) die Auszahlung von Spieler i am Endknoten z ist Z.B: ist v (x 5 ) = 7 und v 4 (x 5 ) = 5 Die Vorgängerrelation und die Zuordnung der Spieler zu Knoten beschreiben wie sich das Spiel entwickelt

17 Fragen 5. Bestimmen Sie i(x 0 ), i(x ), A (x 0 ) und A 4 (x 3 ) Antworten: 7/36

18 Informationen Wenn Spieler sich entscheiden müssen, wissen sie möglicherweise nicht an welchem Knoten sich das Spiel befindet Dies wird modelliert indem Knoten zu Informationsmengen zusammengefasst werden Beispiel: Die Knoten x und x liegen in der gleichen Informationsmenge Wenn Spieler zieht weiß er nicht ob er am Knoten x oder x ist Interpretation: Spieler kann den Zug von Spieler nicht beobachten o O x f x 3 x x o F x f x 5 x 6 8/36

19 Definition Informationsmengen Definition Jeder Spieler i N hat eine Kollektion von Informationsmengen h i H i welche die Knoten des Spiels an welchen er zieht partitioniert. Es gelten dabei folgende Eigenschaften: Falls h i eine Einermenge ist, welche nur den Knoten x enthält, dann weiß Spieler i, dass er am Knoten x ist wenn er am Knoten x zieht Falls die Knoten x und x, wobei x x, Elemente der Informationsmenge h i sind, dann weiß Spieler i nicht, ob er am Knoten x oder x ist wenn er am Knoten x zieht 3 Falls die Knoten x und x, wobei x x, Elemente der Informationsmenge h i sind, dann gilt A i (x) = A i (x ) 9/36

20 Frage 5. Zeichnen Sie einen Spielbaum für das Spiel Schere-Stein-Papier, bei welchem die Spieler sequentiell ziehen, aber Spieler nicht weiß welchen Zug Spieler gewählt hat Antwort: 0/36

21 Definition Imperfekte und Perfekte Informationen Bei Spielen in Normalform verstehen wir unter vollständiger Information, dass jeder Spieler die Aktionsmengen und Auszahlungen aller Spieler kennt und das dies common knowledge ist (vergleiche Kapitel ) Bei Spielen in extensiver Form ist es sinnvoll zwischen zwei verschiedenen Arten vollständiger Information zu unterscheiden Definition 3 Ein Spiel mit vollständiger Information, in welchem jede Informationsmenge eine Einzelmenge ist und es keine Züge der Natur gibt, wird Spiel mit perfekten Informationen genannt. Ein Spiel mit vollständiger Information, in welchem nicht jede Informationsmenge eine Einzelmenge ist oder es Züge der Natur gibt, wird Spiel mit imperfekten Informationen genannt. /36

22 Anmerkungen In Spielen mit perfekter Information weiß jeder Spieler exakt wo er sich im Spiel befindet In Spielen mit imperfekter Information weiß dies zumindest ein Spieler nicht Spiele mit simultanen Zügen sind stets Spiele mit imperfekter Information Man kann außerdem zwischen exogener Unsicherheit (Zug der Natur) und endogener Unsicherheit (ein Spieler zieht und der andere weiß nicht genau an welchem Knoten er sich dann befindet) unterscheiden /36

23 Züge der Natur Wir betrachten ein Kartenspiel Spieler muss sich zwischen Call (drinbleiben) und Fold (aussteigen) entscheiden Dann wird eine Karte gezogen Diese ist mit Wahrscheinlichkeit 0,5 ein Ass und mit Wahrscheinlichkeit 0,5 ein König Dies wird als Zug der Natur formalisiert Wenn Spieler mitgeht gewinnt er im Falle eines Asses und verliert im Falle eines Königs 3/36

24 Spielbaum x 0 C F N x x N K A x 3 x 4 K A x 5 x 6 4/36

25 Strategische Äquivalenz Diese Spiel ist strategisch äquivalent zu folgendem, abgewandeltem Spiel Es wird zuerst eine Karte gezogen Die Karte bleibt allerdings verdeckt, bis sich Spieler entschieden hat Formal: Die Natur zieht vor Spieler, Spieler weiß allerdings nicht an welchem Knoten er sich befindet 5/36

26 Spielbaum N K x _ x 0 _ A x C F C F x 3 x 4 x 5 x 6 6/36

27 Kapitel 5.: Strategien

28 Strategie Erinnerung: Unter Strategie verstehen wir einen Plan von Aktionen Bei Spielen in Normalform ist eine reine Strategie von Spieler i ein Element der Aktionsmenge Ai (Anmerkung: bei Spielen in Normalform ist es meist nicht notwendig zwischen reinen Strategien und Aktionen zu unterscheiden) gemischte Strategie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die reinen Strategien 8/36

29 Reine Strategien Bei Spielen in extensiver Form wird es etwas komplizierter Eine reine Strategie für Spieler i ist ein kompletter Plan, welcher beschreibt, welche Aktion der Spieler in welcher Informationsmenge spielt Beispiel: Sequentieller Kampf der Geschlechter Spieler entscheidet sich zwischen O und F Spieler kann seine Entscheidung von der Entscheidung des Spieler abhängig machen Z.B. spiele o wenn Spieler O spielt, spiele f wenn er F spielt o O f 0 0 o 0 0 F f 9/36

30 Frage 5.3 Wieviele reine Strategien hat Spieler im Sequentiellen Kampf der Geschlechter? Antwort: 30/36

31 Notation h i ist eine Informationsmenge, an welcher Spieler i zieht H i ist die Kollektion aller Informationsmengen von Spieler i A i (h i ) ist die Menge der Aktionen, welche Spieler i bei der Informationsmenge h i wählen kann A i = h i H i A i (h i ) ist die Vereinigung aller Aktionsmengen 3/36

32 Definition Reine und Gemischte Strategien Definition 4 Eine reine Strategie für Spieler i ist eine Abbildung s i : H i A i, welche jeder Informationsmenge h i H i eine Aktion s i (h i ) A i (h i ) zuordnet. Die Menge aller reinen Strategien wird mit S i bezeichnet. Definition 5 Eine gemischte Strategie für Spieler i ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die reinen Strategien s i S i. Nach dieser Definition randomisiert der Spieler also vor dem Beginn des Spiels darüber welche reine Strategie er wählt 3/36

33 Behavioral Strategie Ein Spieler kann aber auch erst beim erreichen einer Informationsmenge randomisieren Beim Sequentiellen Kampf der Geschlechter kann Spieler beispielsweise o spielen, wenn Spieler O gespielt hat, aber zwischen o und f randomisieren, wenn Spieler F gespielt hat Definition 6 Eine behavioral Strategie σ i : H i A i (h i ) spezifiziert für jede Informationsmenge h i H i eine unabhängige Wahrscheinlichkeitsverteilung über A i (h i ), wobei die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler i die Aktion a i (h i ) A i (h i ) für die Informationsmenge h i wählt, σ i (a i (h i )) ist. 33/36

34 Äquivalenz Man kann zeigen, dass gemischte und behavioral Strategien äquivalent sind, wenn die Spieler keine Informationen vergessen (perfect recall) Perfect recall ist eine relativ schwache Annahme Äquivalenz bedeutet, dass, gegeben die Strategien der anderen Spieler, die selbe Wahrscheinlichkeitsverteilung über Ergebnisse (und daher Auszahlungen) erreicht werden kann 34/36

35 Zusammenfassung Neben der Menge der Spieler, ihren möglichen Aktionen und ihren Auszahlungen (welche aus den Ergebnissen resultieren), stellt die extensive Form eines Spiels die Reihenfolge in der die Spieler ziehen und was die Spieler wissen wenn sie am Zug sind dar Spielbäume sind nützlich um Spiele in extensiver Form darzustellen Wenn ein Spieler nicht zwischen zwei oder mehreren Knoten in einem Spielbaum unterscheiden kann, dann gehören diese Knoten zur selben Informationsmenge In Spielen mit perfekter Information weiß jeder Spieler exakt was bisher geschah, weshalb jede Informationsmenge eine Einzelmenge ist Falls dies nicht der Fall ist, handelt es sich um ein Spiel mit imperfekter Information 35/36

36 Eine reine Strategie beschreibt einen deterministischen Plan für einen Spieler, d.h. welche Aktion der Spieler an welcher Informationsmenge ausführt Eine gemischte Strategie ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die reinen Strategien Eine behavioral Strategie ist ein Plan von Wahrscheinlichkeitsverteilungen über Aktionen an jeder Informationsmenge Gemischte und behavioral Strategien sind, falls Spieler keine Informationen vergessen, äquivalent