Kapitel 7: Multistufenspiele und Wiederholte Spiele

Transkript

1 Kapitel 7: Multistufenspiele und Wiederholte Spiele Literatur: Tadelis Chapter 9, 10 und 11 Prof. Dr. Philipp Weinschenk, Lehrstuhl für Mikroökonomik, TU Kaiserslautern

2 Kapitel 7.1: Begriffe und erste Erkenntnis

3 Multistufenspiele Wenn mehrere Spiele in Normalform mit denselben Spielern hintereinander gespielt werden sprechen wir von einem Multistufenspiel Konvention: In jeder Stufe/Periode wird genau ein Spiel gespielt, welches als Stufenspiel bezeichnet wird Wenn nur ein Spiel mehrmals gespielt wird, wird dieses Multistufenspiel auch als wiederholtes Spiel bezeichnet 3/69

4 Wiederholtes Gefangenendilemma Die Spieler spielen zweimal hintereinander das Spiel Gefangenendilemma Einmal in Periode 1, einmal in Periode 2 Wir haben also nicht nur ein Multistufenspiel, sondern auch ein wiederholtes Spiel Hinweis: die Auszahlungen sind etwas anders als in vorangegangenen Kapiteln Wie sieht das teilspielperfekte Nach Gleichgewicht aus? Spieler 1 Spieler 2 m f M 4,4 1,5 F 5, 1 1,1 4/69

5 Spielbaum Man kann das Multistufenspiel auch als Spielbaum darstellen: 5/69

6 Lösung Unabhängig davon, welche Strategien die Spieler in Periode 1 angewandt haben und welche Auszahlungen sich daraus realisiert haben, ist es für jeden Spieler eine dominante Strategie (d.h. optimal) in Periode 2 F bzw. f zu spielen Die Auszahlungen in Periode 2 sind daher (1,1) In Periode 1 wissen die Spieler, dass ihre Auszahlungen in Periode 2 unabhängig von den Strategien der Periode 1 sind Um seine Auszahlung zu maximieren, ist es daher auch in Periode 1 für jeden Spieler optimal F bzw. f zu spielen 6/69

7 Das teilspielperfekte Nash Gleichgewicht ist also s 1 = (s t=1 1,s t=2 1 (Mm),s t=2 1 (Mf),s t=2 1 (Fm),s t=2 1 (Ff)) = (F,F,F,F,F), s 2 = (s t=1 2,s t=2 2 (Mm),s t=2 2 (Mf),s t=2 2 (Fm),s t=2 2 (Ff)) = (f,f,f,f,f) Die Spieler können die Strategien in Periode 2 abhängig machen von der Informationsmenge Diese wird durch die Züge/Aktionen in Periode 1 bestimmt (die Spieler beobachten was in Periode 1 gespielt wurde) Der Einfachheit halber werden die Informationsmengen in Periode 2 nach den Zügen/Aktionen der Periode 1 benannt Beispiel: s t=2 1 (Mf) = F bedeutet, dass Spieler 1 in Periode 2 F spielt wenn in Periode 1 M und f gespielt wurden

8 Allgemeines Ergebnis Proposition 1 Falls ein endliches Multistufenspiel aus Stufenspielen besteht, welche jeweils nur ein Nash Gleichgewicht haben, dann hat das Multistufenspiel nur ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht. Dieses setzt sich aus den Nash Gleichgewichten der Stufenspiele zusammen. Beweisidee: Rückwärtsinduktion Kurz gesagt: durch multiple Stufen ändert sich nichts Wird das Spiel Gefangenendilemma endlich oft wiederholt, ist es daher das einzige teilspielperfekte Nash Gleichgewicht, dass die Spieler auf jeder Stufe die Strategien F bzw. f wählen 8/69

9 Ausblick Wir zeigen nun, dass sich durch multiple Stufen etwas ändern kann, im Sinne, dass nicht nur die Strategien, welche ein Nash Gleichgewicht in den Stufenspielen sind, ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht im Multistufenspiel bilden, sondern das weitere teilspielperfekte Nash Gleichgewichte im Multistufenspiel existieren Dies ist möglich wenn 1 es mindestens ein Stufenspiel mit mehreren Nash Gleichgewichten gibt oder 2 das Multistufenspiel unendlich ist, es also unendlich viele Perioden hat 9/69

10 Kapitel 7.2: Stufenspiele mit mehreren Nash Gleichgewichten

11 Gefangenendilemma und Rache Die Spieler spielen zuerst das Gefangenendilemma und dann folgendes Rachespiel : Spieler 1 Spieler 2 l g L 0,0 4, 1 G 1, 4 3, 3 Das Rachespiel hat zwei Nash Gleichgewichte (in reinen Strategien): (L,l) und (G,g) Das Gefangendilemma hat nur ein Nash Gleichgewicht: (F, f) 11/69

12 Folgende beiden Strategien sind daher teilspielperfekte Nash Gleichgewichte im Multistufenspiel: s 1 = (s t=1 1,s t=2 1 (Mm),s t=2 1 (Mf),s t=2 1 (Fm),s t=2 1 (Ff)) = (F,L,L,L,L), s 2 = (s t=1 2,s t=2 2 (Mm),s t=2 2 (Mf),s t=2 2 (Fm),s t=2 2 (Ff)) = (f,l,l,l,l) und s 1 = (s t=1 1,s t=2 1 (Mm),s t=2 1 (Mf),s t=2 1 (Fm),s t=2 1 (Ff)) = (F,G,G,G,G), s 2 = (s t=1 2,s t=2 2 (Mm),s t=2 2 (Mf),s t=2 2 (Fm),s t=2 2 (Ff)) = (f,g,g,g,g) Gibt es noch weitere teilspielperfekte Nash Gleichgewichte im Multistufenspiel?

13 Idee Die Spieler würden gerne auf der ersten Stufe, d.h. im Gefangenendilemma, Auszahlungen von (4,4) statt (1,1) bekommen Dies erfordert, dass die Spieler auf dem Gleichgewichtspfad des Multistufenspiels (M,m) statt (F,f) spielen Problem: (M, m) ist kein Nash Gleichgewicht im Stufenspiel Gefangenendilemma Kann man die Spieler trotzdem dazu bringen (M, m) zu spielen? Antwort: Eventuell ja, wenn die Auszahlungen im nachfolgenden Stufenspiel, dem Rachespiel, davon abhängen welche Strategien die Spieler im ersten Stufenspiel, dem Gefangenendilemma, gespielt haben 13/69

14 Konkret: das Nash Gleichgewicht (L,l) dient als Karotte, (G,g) als Stock Die Spieler bekommen nur dann die Karotte (d.h. das Nash Gleichgewicht (L, l) im Rachespiel ) wenn sie zuvor (M, m) gespielt haben Ansonsten bekommen sie den Stock (d.h. das Nash Gleichgewicht (G,g) im Rachespiel ) Die Drohung, den Stock statt der Karotte zu bekommen, schafft Anreize im Gefangenendilemma (M,m) statt (F,f) zu spielen

15 Strategien Aber sind die Anreize stark genug damit folgende Strategien ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht sind? s 1 = (s t=1 1,s t=2 1 (Mm),s t=2 1 (Mf),s t=2 1 (Fm),s t=2 1 (Ff)) = (M,L,G,G,G), s 2 = (s t=1 2,s t=2 2 (Mm),s t=2 2 (Mf),s t=2 2 (Fm),s t=2 2 (Ff)) = (m,l,g,g,g) Bei Einhaltung dieser Strategien ist die diskontierte Auszahlung von Spieler 1 v 1 (M,s 2 ) = 4+0 δ (1) Wenn Spieler 1 hingegen von diesen Strategien abweicht und im Gefangenendilemma F spielt, ist seine diskontierte Auszahlung v 1 (F,s 2 ) = 5+( 3) δ (2) 15/69

16 δ ist ein Diskontfaktor (vgl. Vorlesung Mikroökonomik) und ist, je nach intertemporalen Präferenzen, zwischen 0 und 1 Der Vergleich von (1) und (2) liefert, dass es für Spieler 1 optimal ist in der ersten Stufe M zu spielen wenn v 1 (M,s 2 ) v 1 (F,s 2 ) 4 5+( 3) δ δ 1/3 Analog Spieler 2 Falls δ 1/3 ist, gibt es also ein weiteres teilspielperfektes Nashgleichgewicht im Multistufenspiel: s 1 = (s t=1 1,s t=2 1 (Mm),s t=2 1 (Mf),s t=2 1 (Fm),s t=2 1 (Ff)) = (M,L,G,G,G), s 2 = (s t=1 2,s t=2 2 (Mm),s t=2 2 (Mf),s t=2 2 (Fm),s t=2 2 (Ff)) = (m,l,g,g,g) Für δ < 1/3 sind diese Strategien kein teilspielperfektes Nashgleichgewicht im Multistufenspiel, da die Spieler von den Strategien abweichen wollen

17 Intuition Wie bereits erwähnt, schafft die Drohung den Stock statt der Karotte (d.h. das gute statt das schlechte Nash Gleichgewicht im Rachespiel ) zu bekommen, Anreize im Gefangenendilemma (M,m) statt (F,f) zu spielen Dieser Anreiz ist aber nur dann stark genug, wenn zukünftige Zahlungen hinreichend wichtig für die Spieler sind D.h. wenn der Diskontfaktor δ hinreichend hoch ist 17/69

18 Aufgabe 7.1* Gibt es auch ein weiteres teilspielperfektes Nash Gleichgewicht im Multistufenspiel wenn statt des Rachespiels das folgende Spiel nach dem Gefangenendilemma gespielt wird? Spieler 1 Spieler 2 l g L 0,0 500, 500 G 500, , /69

19 Kapitel 7.3: Unendlich oft wiederholte Spiele

20 Grundlagen Auch bei unendlich oft wiederholten Spielen ist es der Fall, dass die Nash Gleichgewichte in den Stufenspielen ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht im Multistufenspiel bilden Beispiel: Beim Gefangenendilemma ist (F, f) das Nash Gleichgewicht Wir wiederholen das Gefangenendilemma unendlich oft Spieler 1 Spieler 2 m f M 4,4 1,5 F 5, 1 1,1 20/69

21 Ist die Strategie immer F bzw. f zu spielen ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht im unendlich oft wiederholten Gefangenendilemma? Wenn Spieler 2 immer f spielt, dann ist es für Spieler 1 optimal in jeder Periode F zu spielen Grund: M in einer Periode zu spielen vermindert die Auszahlung in dieser Periode ohne das sich etwas in den anderen Perioden ändert Analog Spieler 2 Daher ist die Strategie immer F bzw. f zu spielen ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht im unendlich oft wiederholten Gefangenendilemma

22 Andere Gleichgewichte Wir wissen, dass es bei einer endlichen Wiederholung des Gefangenendilemmas kein weiteres teilspielperfektes Nash Gleichgewicht gibt Dies gilt auch bei sehr, sehr vielen Wiederholungen (z.b. 100 oder ) Was passiert bei unendlich vielen Wiederholungen? 22/69

23 Idee Die Strategie immer M bzw. m zu spielen ist kein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht Grund: Wenn Spieler 2 immer m spielt, kann Spieler 1 seine Auszahlungen erhöhen wenn er F statt M spielt Analog Spieler 2, wenn Spieler 1 immer M spielt Um (M, m) zu unterstützen brauchen wir also Anreize durch eine Drohung (Stock statt Karotte) 23/69

24 Stock Sobald ein Spieler von (M, m) abweicht, schwenken die Spieler dauerhaft auf (F,f) um Bildlich gesprochen haben wir einen Stock Diese Drohung ist glaubhaft, da (F, f) ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht ist Eine stärkere Drohung als das dauerhafte Umschwenken gibt es nicht Wenn es also mit dieser Drohung nicht klappt, dann auch mit keiner anderen Drohung 24/69

25 Problem Wir haben einen Stock, aber wir brauchen auch noch eine Karotte D.h. ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht, welches in Zukunft gespielt wird, wenn die Spieler in der jetzigen Periode (M, m) wählen Die Karotte kann nur sein, dass die Spieler zukünftig (M, m) spielen Damit die Spieler also heute (M,m) spielen, müssen sie es auch in Zukunft spielen Anders ausgedrückt, damit in einem teilspielperfekten Nash Gleichgewicht auf dem Gleichgewichtspfad (M, m) gespielt wird, muss es ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht geben bei welchem auf dem Gleichgewichtspfad (M, m) gespielt wird Zirkelargument! 25/69

26 Analyse Erstaunlicherweise kann es trotzdem damit klappen, ein weiteres teilspielperfektes Nash Gleichgewicht zu bekommen D.h. die Karotte kann (trotz des Zirkelarguments) funktionieren Wir untersuchen nun ob die Strategie M bzw. m zu spielen, solange in allen bisherigen Perioden (M, m) gespielt wurde, und andernfalls F bzw. f zu spielen, ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht ist Falls ja, dann darf sich abweichen nicht lohnen Wir betrachten nur Spiele 1; Spieler 2 analog Lohnt sich diese Strategie für Spieler 1, gegeben das sich Spieler 2 an diese Strategie hält? 26/69

27 Abweichen Wenn Spieler 1 in Periode t abweicht, d.h. in Periode t F spielt, wird Spieler 2 in allen folgenden Perioden f spielen In den folgenden Perioden ist es daher auch für Spieler 1 optimal weiterhin F zu spielen Spieler 1 erzielt dann eine Auszahlung von 5 in der Periode t und 1 in allen folgenden Perioden Der diskontierte Wert aller Auszahlungen ab dem Zeitpunkt t ist 5+δ 1+δ 2 1+δ = 5+ δ 1 δ 1 27/69

28 Nicht abweichen Wenn Spieler 1 nicht abweicht, d.h. stets M spielt, erhält er eine Auszahlung von 4 in allen Perioden Der diskontierte Wert aller Auszahlungen ab dem Zeitpunkt t ist 4+δ 4+δ 2 4+δ = 4+ δ 1 δ 4 28/69

29 Gleichgewicht Die beschriebenen Strategien sind also ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht im unendlich oft wiederholten Gefangenendilemma dann, und nur dann, wenn sich Abweichen nicht lohnt: 4+ δ 1 δ 4 5+ δ 1 δ 1 Dies kann man umschreiben zu δ 3 1 3δ 1 δ δ 1/4 1 δ Wenn die Spieler also hinreichend geduldig sind, dann gibt es ein weiteres teilspielperfektes Nash Gleichgewicht Nämlich die Strategie M bzw. m zu spielen, solange in allen bisherigen Perioden (M, m) gespielt wurde, und andernfalls F bzw. f zu spielen 29/69

30 Vergleich In dem gerade beschriebenen teilspielperfekten Nash Gleichgewicht kooperieren die Spieler miteinander: Sie spielen auf dem Gleichgewichtspfad (M, m) und jeder erzielt in jeder Periode eine Auszahlung von 4 Im anderen teilspielperfekten Nash Gleichgewicht kooperieren die Spieler nicht miteinander: Sie spielen auf dem Gleichgewichtspfad (F,f) und jeder erhält in jeder Periode nur eine Auszahlung von 1 30/69

31 Noch mehr Gleichgewichte? Auch andere Strategien können teilspielperfekte Nash Gleichgewichte im unendlich oft wiederholten Gefangenendilemma sein Z.B. könnten die Spieler zwischen (M,f) und (F,m) abwechseln, was zu Auszahlungen von ( 1,5) und (5, 1) führt Die durchschnittlichen Auszahlungen pro Periode sind dann (2,2) Idee: zwischen (M,f) und F,m) abzuwechseln ist die Karotte Wenn nicht zwischen (M,f) und F,m) abgewechselt wird, gibt es den Stock: die Spieler spielen fortan (F,f), was zu Auszahlungen pro Periode von (1,1) führt Auch hier muss wieder der Diskontfaktor hinreichend hoch sein: δ 0,5, siehe Tadelis S /69

32 Allgemeines Ergebnis Proposition 2 In einem unendlich oft wiederholten Spiel, mit einer endlichen Menge an Aktionen und vollständigen Informationen, kann jede Kombination an individuell rationalen, erreichbaren Auszahlungen als teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht gestützt werden, wenn der Diskontfaktor δ hinreichend hoch ist. Im Buch steht eine etwas technischere Version dieses als Folk Theorem bekannten Ergebnisses Interpretation: Wenn die Zukunft wichtig ist (=hohes δ), dann ist die Drohung für immer den Stock statt der Karotte zu bekommen sehr wirksam, weshalb sehr viele Strategien ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht sein können 32/69

33 Beispiel unend. wiederh. Gefangenendilemma Auszahlung 1 (5, 1) (4,4) (1,1) ( 1,5) Auszahlung 2 33/69

34 Interpretation der Grafik Die Eckpunkte des Vierecks entsprechen den Auszahlungen bei den vier reinen Strategieprofilen (Mm), (Fm), (Mf), Ff Durch eine geeignete Abfolge reiner Strategien oder durch gemischte Strategien lassen sich auch alle anderen Punkte des Vierecks als durchschnittliche Auszahlungen der Spieler realisieren Folk Theorem: wenn δ hinreichend hoch ist kann jeder Punkt der dunklen Fläche als durchschnittliche Auszahlung eines teilspielperfekten Nash Gleichgewichts realisiert werden 34/69

35 Kritik an unendlichen Spielen Wo in der Realität gibt es denn unendlich oft wiederholte Spiele? Antwort: eher selten oder nie Aber es gibt eine schöne alternative Interpretation 35/69

36 Alternative Interpretation Wir nehmen nun an, dass der Diskontfaktor eins ist, d.h. Zahlungen heute oder in Zukunft gleich gut für einen Spieler sind Aber wir nehmen an, dass das Spiel am Ende jeder Runde nur mit einer Wahrscheinlichkeit von δ (0,1) fortgesetzt wird Wenn Spieler 1 nicht abweicht, dann ist der erwartete Wert aller Auszahlungen ab dem Zeitpunkt t 4+δ 4+δ = 4+ δ 1 δ 4 Weicht er hingegen ab, dann ist der erwartete Wert aller Auszahlungen ab dem Zeitpunkt t 5+δ 1+δ = 5+ δ 1 δ 1 Alle vorherigen Formeln bleiben gültig, nur die Interpretation von δ ist nun eine andere 36/69

37 δ muss daher nicht zwangsläufig als Diskontfaktor interpretiert werden, sondern kann auch als Fortsetzungswahrscheinlichkeit aufgefasst werden Daher gilt: Falls die Spieler hinreichend wahrscheinlich das Gefangenendilemma fortsetzen (δ 1/4), gibt es ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht auf dessen Gleichgewichtspfad die Spieler miteinander kooperieren Wichtig: Wenn wir der alternativen Interpretation folgen, dann dauert das Spiel nur möglicherweise unendlich viele Perioden Aber die Wahrscheinlichkeit hierfür ist δ = 0 Auch kürzere Zeiträume sind unter Umständen recht unwahrscheinlich Beispiel: Bei δ = 1/2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Spieler mindestens 10 Perioden spielen werden nur (1/2) 10 0,001 = 0,1 Prozent

38 Kapitel 7.4: Stillschweigende Kooperation

39 Stillschweigende Kooperation Wenn Firmen im Wettbewerb stehen leidet der gemeinsame Gewinn Beispiel: Konstante Skalenerträge (doppelte Produktionsmenge doppelte Kosten) Dann ist c(q i ) = αq i, wobei α eine positive reele Zahl ist Vollkommene Konkurrenz: Preis=Grenzkosten, d.h. p = α; Gewinne von Null Preiswettbewerb (bei mindestens zwei Firmen): p = α; Gewinne von Null Mengenwettberb (bei mindestens zwei Firmen): p zwischen α und Monopolpreis; Gewinn positiv, aber gemeinsamer Gewinn (=Summe der Gewinne aller Firmen) kleiner Monopolgewinn 39/69

40 Firmen können einen höheren gemeinsamen Gewinn erzielen, nämlich den Monopolgewinn, wenn sie miteinander kooperieren Probleme (aus Sicht der Firmen): Absprachen, insbesondere explizite, sind verboten Von der Kooperation abzuweichen kann für die einzelne Firma reizvoll sein Können Firmen auch stillschweigend miteinander kooperieren, d.h. ohne sich zu treffen und ohne bindende Verträge abzuschließen?

41 Wiederholter Mengenwettebewerb Wir betrachten eine undendliche Wiederholung des Mengenwettberbs Den einmaligen Mengenwettbewerb haben wir in Kapitel 2 analysiert Wir nehmen wieder an, dass es zwei Firmen gibt, 1 und 2 Kosten von Firma i = 1,2 sind c(q i ) = 10q i Die inverse Marktnachfrage ist p(q) = 100 q, wobei q = q 1 +q 2 Monopolgewinn = max q (100 q)q 10q Maximieren liefert q = 45, weshalb p = 55 ist 41/69

42 Kooperation Wenn die Firmen kooperieren können sie gemeinsam den Monopolprofit erzielen Wir nehmen an, dass bei der Kooperation Firma 1 die Menge q1 c = 22 und Firma 2 die Menge q2 c = 23 herstellt In jeder Stufe mit Kooperation sind die Auszahlungen (=Gewinne) der Firmen daher v1 c = = 990, v2 c = = /69

43 Nash Gleichgewicht im Stufenspiel Wir wissen aus Kapitel 2, dass es in dem Stufenspiel nur ein Nash Gleichgewicht gibt Nämlich q 1 = q 2 = 30, was bei jeder Firma zu einer Auszahlung von 900 führt Dies ist ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht 43/69

44 Idee Gibt es ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht in welchem die Spieler kooperieren? Wir basteln eine Karotte: Die Spieler kooperieren (d.h. spielen q1 c = 22 und q2 c = 23) wenn in allen bisherigen Spielen kooperiert wurde Wir basteln einen Stock: Die Spieler spielen sie die Wettbewerbsmengen (d.h. q 1 = q 2 = 30) wenn nicht in allen bisherigen Spielen kooperiert wurde Will eine der Firmen von dieser Strategie abweichen, gegeben das die andere Firma sich an diese Strategie hält? 44/69

45 Abweichen Wenn Firma 1 in Periode t abweicht, dann wird Firma 2 in Zukunft q 2 = 30 spielen In Zukunft sollte Firma 1 daher auch q 1 = 30 spielen Daher erhält Firm 1 in jeder zukünftigen Periode eine Auszahlung von 900 Aus Kapitel 3 kennen wir die beste Antwort Funktion: BR i (q i ) = 100 q i 10 2 Um seine Auszahlung in Periode t zu maximieren sollte Firma 1 in Periode t daher spielen BR 1 (23) = 33,5 45/69

46 Dann erhält Firma 1 in Periode t eine Auszahlung von ( ,5)33, ,5 = 1122,25 Der diskontierte Wert aller Auszahlungen ab dem Zeitpunkt t ist 1122,25+δ 900+δ δ = 1122,25+ δ 1 δ 900

47 Nicht abweichen Wenn Firma 1 nicht abweicht, dann erhält sie jede Periode eine Auszahlung von v c 1 = 990 Der diskontierte Wert aller Auszahlungen ab dem Zeitpunkt t ist 990+δ 990+δ δ = 990+ δ 1 δ 990 Nicht abweichen ist daher optimal für Firma 1 wenn 990+ δ δ , δ 0,595 1 δ 1 δ 47/69

48 Firma 2 Sollte Firma 2 abweichen? Falls ja, dann sollte sie BR 2 (22) = 34 in Periode t spielen und q 2 = 30 danach Der diskontierte Wert aller Auszahlungen ab dem Zeitpunkt t ist (Achtung: die Werte im Buch sind falsch) 1156+δ 900+δ δ = δ 1 δ 900 Nicht abweichen liefert einen diskontierten Wert aller Auszahlungen ab dem Zeitpunkt t von 1035+δ 1035+δ δ = δ 1 δ 1035 Nicht abweichen ist daher optimal für Firma 2 wenn δ δ δ 1 δ 900 δ 0,473 48/69

49 Fazit Wenn δ 0,595 ist, dann sind die Strategien spiele q1 c = 22 und q2 c = 23 wenn in allen bisherigen Spielen (q1,q c 2) c gespielt wurde und q 1 = q 2 = 30 andernfalls ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht im unendlich wiederholten Mengenwettbewerb D.h. falls δ 0,595 erfüllt ist, können beide Firmen auf dem Gleichgewichtspfad stillschweigend kooperieren 49/69

50 Kapitel 7.5: Strategisches Verhandeln

51 Verhandlungsspiel Verhandlungen sind in der Realität sehr häufig (z.b. Verkäufer und Käufer, politische Parteien, Arbeitnehmer und Arbeitgeber) Zwei Spieler verhandeln, wie Sie einen Apfel unter sich aufteilen Der Apfel repräsentiert die Vorteile einer Einigung oder eines Handels zwischen den Spielern Die Größe des Apfels wird auf 1 normiert Wir modellieren Verhandlungen als ein strategisches Spiel 51/69

52 Modell Die Spieler haben abwechselnd das Vorschlagsrecht: 1 In Periode 1 macht Spieler 1 einen Vorschlag, wie der Apfel aufgeteilt werden soll Spieler 2 kann den Vorschlag ablehnen ( nächste Periode) oder annehmen ( Spiel zu Ende, Spieler erhalten Auszahlungen) 2 In Periode 2 macht Spieler 2 einen Vorschlag, wie der Apfel aufgeteilt werden soll Spieler 1 kann den Vorschlag ablehnen ( nächste Periode) oder annehmen ( Spiel zu Ende, Spieler erhalten Auszahlungen) /69

53 Fortsetzung bis maximal Periode T, wobei T endlich oder unendlich sein kann Bei keiner Einigung bis T ist das Spiel zu Ende und die Spieler erhalten Auszahlungen von 0 Wir messen die Vorschläge in Anteilen des Apfels: Spieler 1 erhält Anteil x und Spieler 2 Anteil 1 x

54 Apfel wird kleiner Um zu modellieren, dass eine schnelle Einigung von Vorteil ist, nehmen wir an, dass jede Runde ein Anteil 1 δ des Apfels verloren geht Dies wirkt wie Diskontierung Wir nehmen an, dass die Spieler zukünftige Zahlungen nicht abdiskontieren; nur der Apfel schrumpft in der angegebenen Weise Die Größe des Apfels in Periode t ist daher δ t 1 Beispiel: δ = 0,9 In Periode 1 hat der Apfel eine Größe von 0,9 0 = 1 In Periode 2 hat der Apfel eine Größe von 0,9 1 = 0,9 In Periode 3 hat der Apfel eine Größe von 0,9 2 = 0,81 In Periode 4 hat der Apfel eine Größe von 0,9 3 = 0,729 In Periode 5 hat der Apfel eine Größe von 0,9 4 = 0, /69

55 Spielbaum 55/69

56 Teilspielperfektes Nash Gleichgewicht T = 1 Proposition 3 Das Verhandlungsspiel mit T = 1 besitzt ein einziges teilspielperfektes Nash Gleichgewicht: Spieler 1 schlägt x = 1 vor und Spieler 2 akzeptiert jeden Vorschlag x 1. Beweis: Wir lösen per Rückwärtsinduktion (über die Teilspiele) Für Spieler 2 ist es (zumindest schwach) optimal jeden Vorschlag x 1 anzunehmen, da er dann eine Auszahlung 1 x 0 erhält Die beste Antwort von Spieler 1 hierauf ist x = 1 Die einzige andere rationale Strategie von Spieler 2 ist jeden Vorschlag x < 1 anzunehmen und x = 1 abzulehnen Dann hat Spieler 1 aber keine beste Antwort 56/69

57 Anmerkungen Spieler 1 hat hier einen extremen Vorteil, dadurch das er den ersten Zug (d.h. den Vorschlag) machen darf: Er erhält den ganzen Apfel Der Fall mit T = 1 wird auch Ultimatumspiel genannt: Spieler 1 stellt Spieler 2 ein ultimatives take-it-or-leave-it Angebot, was der nur annehmen oder ablehnen kann 57/69

58 Fall T = 2 Wir betrachten nun den Fall mit zwei möglichen Verhandlungsrunden Was passiert wenn Periode 2 des Verhandlungsspiels erreicht wird? Von zuvor wissen wir, dass der Spieler, welcher den Vorschlag in der letzten Runde macht, im einzigen teilspielperfekten Nash Gleichgewicht den ganzen (verbleibenden) Apfel bekommt Spieler 2 schlägt also x = 0 vor, was Spieler 1 annimmt Spieler 2 bekommt dann eine Auszahlung von δ und Spieler 1 eine Auszahlung von 0 58/69

59 Periode 1 In Periode 1 hat Spieler 1 das Vorschlagsrecht Da Spieler 2 bei ablehnen des Vorschlags eine Auszahlung von δ erhält (er bekommt dann in der nächsten Periode den ganzen verbleibenden Apfel) wird Spieler 2 jeden Vorschlag ablehnen bei dem 1 x < δ ist Spieler 1 schlägt daher x = 1 δ vor, was Spieler 2 annimmt Die Auszahlungen auf dem Gleichgewichtspfad sind daher v 1 = 1 δ und v 2 = δ 59/69

60 Anmerkungen Für δ > 0,5 erhält Spieler 2 ein größeres Stück des Apfels als Spieler 1 Es gibt dann einen Vorteil des letzten Zuges Extremfall δ = 1: Spieler 2 erhält den ganzen Apfel Für δ < 0,5 erhält hingegen Spieler 1 ein größeres Stück des Apfels als Spieler 2 Es gibt dann einen Vorteil des ersten Zuges 60/69

61 Allgemeine Ergebnisse Welche Auszahlungen gibt es im teilspielperfekten Nash Gleichgewicht wenn T > 3 ist? Für alle Werte von T einigen sich die Spieler stets in der ersten Runde Die Auszahlungen, wenn T eine ungerade Zahl ist, sind: v 1 = x 1 = 1+δT 1+δ, v 2 = 1 x 1 = δ δt 1+δ, wobei x 1 der Vorschlag von Spieler 1 in der ersten Runde ist Für T gilt also v 1 = 1 1+δ, v 2 = δ 1+δ 61/69

62 Zusammenfassung Die Strategien, welche ein Nash Gleichgewicht in den Stufenspielen sind, bilden immer ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht im Multistufenspiel Falls ein Multistufenspiel endlich viele Stufen hat und jedes Stufenspiel nur ein Nash Gleichgewicht, dann bilden diese das einzige teilspielperfekte Nash Gleichgewicht im Multistufenspiel (Beispiel: endliche Wiederholung des Gefangendilemmas ) Drohungen (Stock statt Karotte) schaffen Anreize, dass Spieler Strategien wählen, welche kein Nash Gleichgewicht im Stufenspiel sind Wie stark eine Drohung wirkt hängt vom Diskontfaktor ab Der Diskontfaktor kann auch als Fortsetzungswahrscheinlichkeit interpretiert werden 62/69

63 Bei einem entsprechend hohen Diskontfaktor kann es weitere teilspielperfekte Nash Gleichgewichte in Multistufenspielen geben Voraussetzung für weitere teilspielperfekte Nash Gleichgewichte ist, dass 1 es mindestens ein Stufenspiel mit mehreren Nash Gleichgewichten gibt (Beispiel: Gefangendilemma und Rache ) oder 2 das Multistufenspiel unendlich ist, es also unendlich viele Perioden hat (Beispiel: unendliche Wiederholung des Gefangenendilemmas )

64 Aufgabe 7.2** (Tutorium) Folgendes Spiel wird zweimal gespielt Spieler 1 Spieler 2 m f r M 4,4 1,5 0,0 F 5, 1 1,1 0,0 R 0,0 0,0 3,3 Gibt es ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht im Multistufenspiel bei welchem in der ersten Periode (M, m) gespielt wird? 64/69

65 Aufgabe 7.3** (Tutorium) Wir wiederholen das Trust Game, siehe folgende Abbildung, unendlich oft 1 N T 0 0 C 2 D Gibt es ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht bei dem die Spieler auf dem Gleichgewichtspfad Auszahlungen von (1,1) in jeder Periode erhalten? 65/69

66 Aufgabe 7.4** (Übung) Betrachten Sie das Verhandlungsspiel für den Fall T = 3 Bestimmen Sie das teilspielperfekte Nash Gleichgewicht und die Auszahlungen auf dem Gleichgewichtspfad 66/69

67 Aufgabe 7.5* (Übung) Gegeben sind fünf rational handelnde Piraten A, B, C, D und E, die 100 Goldmünzen finden Sie müssen nun entscheiden, wie sie diese untereinander aufteilen Unter den Piraten herrscht eine strikte Rangordnung nach Lebensalter: A ist ranghöher als B, der ranghöher als C ist, der ranghöher als D ist, der wiederum ranghöher als E ist Die Verteilungsregeln in der Piratenwelt sehen wie folgt aus: Der ranghöchste Pirat macht einen Vorschlag zur Aufteilung der Münzen, dann stimmen die Piraten ab, ob sie diesen Verteilungsvorschlag akzeptieren Der Vorschlagende kann mitstimmen und hat die ausschlaggebende Stimme im Falle eines Unentschiedens 67/69

68 Wird der Vorschlag angenommen, erfolgt die Aufteilung wie vorgeschlagen Andernfalls wird der Vorschlagende über Bord geworfen und der ranghöchste verbleibende Pirat erhält die Gelegenheit, eine Aufteilung vorzuschlagen; das Spiel beginnt mit reduzierter Spielerzahl von vorne Die Piraten entscheiden auf der Grundlage dreier Kriterien: Zuallererst will jeder Pirat überleben; Zweitens möchte jeder Pirat die Anzahl der Goldmünzen, die er erhält, maximieren; Und drittens würde jeder Pirat gerne die anderen über Bord werfen, wenn die übrigen Kriterien ansonsten gleich bleiben Bestimmen Sie das teilspielperfekte Nash Gleichgewicht

69 Buchaufgaben Wir behandeln folgende Aufgaben aus dem Tadelis Buch: 9.6** (Übung) 10.2* (Tutorium) 10.7** (Übung) 11.2a** (Übung) 69/69