Klausur zur Spieltheorie

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1 Prof. M. Eisermann Spieltheorie 5. September 18 Klausur zur Spieltheorie Aufgabe 1. Bitte füllen Sie folgendes aus! (1 Punkt) Name: Matrikelnummer: Vorname: Studiengang: Es gelten die üblichen Klausurbedingungen. Bitte beachten Sie folgende Hinweise: Bearbeitungszeit: 1 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: keine Bearbeitungen mit Bleistift oder Rotstift sind nicht zulässig. Wo dies verlangt wird, begründen Sie bitte ihre Antwort kurz aber überzeugend etwa durch Nennung eines passenden Ergebnisses oder Beispiels aus Vorlesung oder Übung. Die Klausur enthält zu viele Punkte für 1 Minuten. Die Notenskala berücksichtigt dies. Ihr Vorteil: Sammeln Sie Punkte; wählen Sie zunächst Fragen, die Ihnen leicht fallen. Viel Erfolg! Den unteren Teil dieses Deckblattes bitte für Korrekturvermerke freilassen Gesamt /1 /1 /13 /11 /1 /1 /11 /6 /78 1

2 Prof. M. Eisermann Spieltheorie 5. September 18 Aufgabe. Verständnisfragen (+++++ = 1 Punkte) Beantworten Sie folgende Fragen und geben Sie eine kurze aber überzeugende Begründung (durch Nennung eines Ergebnisses der Vorlesung oder eines geeigneten Gegenbeispiels). A. Hat jedes endliche Spiel g : S 1 S R R mindestens ein reines Nash Gleichgewicht? B. Hat jedes endliche Spiel g : S 1 S R R mindestens ein gemischtes Nash Gleichgewicht? C. Hat jedes unendliche Spiel g : N N R R mindestens ein gemischtes Nash Gleichgewicht?

3 Prof. M. Eisermann Spieltheorie 5. September 18 D. Sei Γ ein extensives Spiel mit vollständiger Information und endlich vielen Zuständen, in jedem sei nur ein Spieler am Zug. Hat Γ mindestens ein reines teilspielperfektes Gleichgewicht? E. Seien Γ 1 und Γ (extensive) endliche Spiele. Angenommen, Γ 1 hat genau n Gleichgewichte und Γ genau eins. Hat dann die Hintereinanderhängung Γ = Γ 1 Γ genau n Gleichgewichte? F. Seien Γ 1 und Γ (extensive) endliche Spiele. Angenommen, Γ 1 hat genau ein Gleichgewicht und Γ genau n. Hat dann die Hintereinanderhängung Γ = Γ 1 Γ genau n Gleichgewichte? 3

4 Prof. M. Eisermann Spieltheorie 5. September 18 Aufgabe 3. Nash Gleichgewichte (3+++ = 13 Punkte) Wir untersuchen das folgende Spiel g : S S R R mit der Strategiemenge S = {s 1, s,..., s n } und seine affine Fortsetzung ḡ : [S] [S] R R auf dem Simplex [S] = [s 1, s,..., s n ]. Bob s 1 s... s n Alice 1 s s s n (1, 1) falls k = l, g(s k, s l ) = (, ) falls k l. 3A. Nennen Sie zunächst alle reinen Nash Gleichgewichte (s A, s B ) NE(g), ohne Beweis: Reine Gleichgewichte: Alice spielt s A = 1 s s. Nennen Sie Bobs beste Antworten als Teilmenge von [S]. Bobs beste Antworten auf s A : Bob spielt s B = 5 s s s 3. Nennen Sie Alice beste Antworten als Teilmenge von [S]. Alice beste Antworten auf s B : 3 3B. Nennen Sie alle gemischten Nash Gleichgewichte (s A, s B ) NE(ḡ), ohne Beweis. Gemischte Gleichgewichte:

5 Prof. M. Eisermann Spieltheorie 5. September 18 Wir untersuchen das folgende Spiel g : S A S B R und seine Fortsetzung ḡ : [S A ] [S B ] R. Bob a b c Alice s s 1 3C. Nennen Sie zunächst alle reinen Nash Gleichgewichte (s A, s B ) NE(g), ohne Beweis: Reine Gleichgewichte: Angenommen Alice spielt die gemischte Strategie s t = (1 t)s + ts 1 für ein t [, 1]. Zeichnen Sie die Auszahlung f a (t) := ḡ B (s t, a) zu Bobs Strategie a, ebenso f b und f c. f 1 1 t Nennen Sie zu jeder Strategie s t Bobs beste Antworten als Teilmenge von [a, b, c]: Intervall t < < t < < t 1 Antwort 3D. Bestimmen Sie damit alle Nash Gleichgewichte (s A, s B ) NE(ḡ). Gleichgewichte: 5

6 Prof. M. Eisermann Spieltheorie 5. September 18 Aufgabe. Vom Text zum Baum zu den Gleichgewichten (+3++ = 11 Punkte) Alice und Bob erben bis zu 1 Mio Euro. Das Testament bestimmt folgendes Verfahren: Der Notar schlägt Alice die Auszahlung (1, 1) vor, in Mio Euro, der Rest geht an wohltätige Zwecke. Bei Ablehnung schlägt er Bob (, 3) vor. Bei Ablehnung schlägt er Alice (, ) vor. Bei Ablehnung schlägt er Bob (1, ) vor, usw. Zustimmung entscheidet jeweils endgültig. Bei Ablehnung wird dem Ablehnenden eine Mio subtrahiert und dem anderen zwei Mio addiert. Das geht so weiter bis zum letzten Vorschlag (5, 5), der schließlich ungefragt entschieden wird. A. Zeichnen Sie den Spielbaum mit allen relevanten Informationen. Spielbaum: B. Nennen Sie alle teilspielperfekten Gleichgewichte s SPE in einer geeigneten Schreibweise. Welche Auszahlungen sind demnach durch teilspielperfekte Gleichgewichte erreichbar? Alle Gleichgewichte und ihre Auszahlungen: 3 6

7 Prof. M. Eisermann Spieltheorie 5. September 18 Versteigert werden Euro. Alice und Bob bieten abwechselnd in ganzen Euro: Alice beginnt mit dem Startgebot (1, ), Bob kann auf (1, ) erhöhen, Alice auf (3, ) usw. bis (7, 8) und zuletzt schließlich (8, 8) Gleichstand. Wird nicht weiter erhöht, zahlen beide ihr letztes Gebot. Der Höchstbietende bekommt die Euro, beim Gleichstand (8, 8) bekommen beide Euro. C. Zeichnen Sie den Spielbaum mit allen relevanten Informationen. Spielbaum: D. Nennen Sie alle teilspielperfekten Gleichgewichte s SPE in einer geeigneten Schreibweise. Welche Auszahlungen sind demnach durch teilspielperfekte Gleichgewichte erreichbar? Alle Gleichgewichte und ihre Auszahlungen: 7

8 Prof. M. Eisermann Spieltheorie 5. September 18 Aufgabe 5. Wiederholte Spiele (+++ = 1 Punkte) Das Spiel Γ entsteht aus der unendlichen Wiederholung des Spiels g : {, 1} R, Bob 1 Alice β α α 1 1 β 1 mit Konstanten α, β R, wie üblich mit δ < 1 und diskontierten Auszahlungen u : {, 1, 1, 11} N R : x u(x) = δ n g(x n ). Wir untersuchen, ob das folgende Strategiepaar s = (s A, s B ) ein teilspielperfektes Gleichgewicht ist, kurz s SPE(Γ). Dabei ist die Strategie s A bzw. s B wie folgt definiert: Beginne im ersten Zug mit 1. Haben im letzten Zug beide dasselbe gespielt, spiele 1; andernfalls spiele. 5A. Lässt sich das Prinzip der einmaligen Abweichung auf das Spiel Γ anwenden? n= 5B. Unter welchen Bedingungen ist s ein teilspielperfektes Gleichgewicht? Bestimmen Sie hierzu ein minimales System von Ungleichungen für α, β, δ, das notwendig und hinreichend ist. 8

9 Prof. M. Eisermann Spieltheorie 5. September 18 5C. Wir betrachten nun speziell die konkreten Parameter (α, β) = (3/, 1) und δ =.99. Bestimmen Sie alle Nash Gleichgewichte NE(ḡ) des einfachen Spiels g, rein oder gemischt. Welche Gesamtauszahlung u 1 + u ist maximal erreichbar mit Gleichgewichten s SPE(Γ)? Nennen Sie explizit ein maximierendes Gleichgewicht. 5D. Wir betrachten schließlich (α, β) = (, 1) und δ =.99. Welche Gesamtauszahlung u 1 +u ist maximal erreichbar mit teilspielperfekten Gleichgewichten s SPE(Γ)? Nennen Sie explizit ein maximierendes Gleichgewicht (ohne Beweis). 9

10 Prof. M. Eisermann Spieltheorie 5. September 18 Aufgabe 6. Korrelierte Gleichgewichte (6++ = 1 Punkte) Zu folgendem Spiel g : {U, V } {X, Y, Z} R R suchen wir alle korrelierten Gleichgewichte: Alice U V Bob X Y Z 1 p UX p V X p UY p V Y 1 3 p UZ p V Z 5 6A. Für die Wkten p UX,..., p V Z gilt wie immer p UX + + p V Z = 1. Schreiben Sie alle weiteren Ungleichungen explizit aus, die die Definition für korrelierte Gleichgewichte verlangt. Alle Ungleichungen: Lösen Sie dies zu einem äquivalenten, minimalen System von Un/Gleichungen: Minimales System von Un/Gleichungen: 6 1

11 Prof. M. Eisermann Spieltheorie 5. September 18 6B. Zeichnen Sie die Menge aller Auszahlungen g(s) R, die durch korrelierte Gleichgewichte s CE(g) erreichbar sind. g B g A 6C. Nennen Sie alle reinen Nash Gleichgewichte s NE(g). Reine Gleichgewichte: Nennen Sie alle gemischten Nash Gleichgewichte s NE(ḡ). Hinweis: Die Wkten in den betroffenen Spalten / Zeilen müssen linear abhängig sein! Gemischte Gleichgewichte: 11

12 Prof. M. Eisermann Spieltheorie 5. September 18 Aufgabe 7. Lineare Programme und Simplex-Verfahren (5+++ = 11 Punkte) 7A. Gegeben ist das lineare Programm x, Ax+b, u(x) = cx+d max!, kurz u : ( A b c d ) wie in folgendem Tableau. Führen Sie den letzten Basiswechsel zur optimalen Form aus: x 1 x v y y y 3 1 y 1 x v x y 1 1 y v u 1 1 u 1 7 u Bestimmen Sie hieraus eine zertifizierte Lösung (x, y) und das erzielte Maximum u, mit Probe: Antwort mit Probe: 3 7B. Zeichnen Sie zur Kontrolle die Erfüllungsmenge P (A, b) = { x R x, Ax + b }. x x 1 1

13 Prof. M. Eisermann Spieltheorie 5. September 18 7C. Existiert ein lineares Programm u : ( A c d b ), sodass das primale LP und das duale LP beide erfüllbar sind, aber mindestens eines von beiden nicht lösbar? 7D. Wir betrachten nun folgende Familie mit einem Parameter α R: x 1 x v y y Wir haben oben den Fall α = untersucht. y 3 1 u α 1 1 Nennen Sie alle Parameterwerte α R, für die das LP unendlich viele Lösungen x R hat. 13

14 Prof. M. Eisermann Spieltheorie 5. September 18 Aufgabe 8. Verhandlungen Haggle properly! (++ = 6 Punkte) Wir betrachten das folgende Verhandlungsproblem (K, a) mit a K R. y K = [ ( 1, 1), (, 1), (, 1 /3), ( 1, /3) ] Drohpunkt ist der Ursprung a = (, ). 1 K a 1 3 x 8A. Berechnen Sie die monotone Verhandlungslösung M(K, a) nach Kalai Smorodinsky. Rechnung und Lösung: 8B. Berechnen Sie die Nash Verhandlungslösung N(K, a). Rechnung und Lösung: 8C. Gibt es ein Verhandlungsproblem (L, a) (K, a) mit M(L, a) = N(L, a) = N(K, a)? Beispiel oder Gegenbeweis: 1