TECHNISCHE UNIVERSITÄT DORTMUND WIRTSCHAFTS- UND SOZIALWISSENSCHAFTLICHE FAKULTÄT

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT DORTMUND WIRTSCHAFTS- UND SOZIALWISSENSCHAFTLICHE FAKULTÄT Prüfungsfach: Teilgebiet: Volkswirtschaftslehre Einführung in die Spieltheorie Prüfungstermin: Zugelassene Hilfsmittel: Taschenrechner Prüfungskandidat/in (Bitte in Druckbuchstaben ausfüllen!) Name, Vorname:... Matrikel-Nr.:... Bearbeitungshinweis Diplom: In der Klausur sind drei der vier Aufgaben zu bearbeiten. Die Auswahl der Aufgaben ist auf dem Deckblatt zu kennzeichnen. Ist nicht ersichtlich, welche Aufgaben Sie gewählt haben, werden nur die ersten drei Aufgaben gewertet. Bearbeitungshinweis Bachelor: In der Klausur sind zwei der ersten drei Aufgaben sowie Aufgabenteil 4a) zu bearbeiten. Die Auswahl der Aufgaben ist auf dem Deckblatt zu kennzeichnen. Ist nicht ersichtlich, welche Aufgaben Sie gewählt haben, werden nur die ersten zwei Aufgaben und Aufgabenteil 4a) gewertet. Aufgabe Summe bitte die drei zu bewertenden Aufgaben ankreuzen maximal erreichbare Punktzahl erreichte Punktzahl Note Unterschrift des Prüfers Von der Prüfungsaufsicht auszufüllen Unterbrechung der Prüfung: von bis Uhr von bis Uhr von bis Uhr Ende der Prüfung Uhr

2 Aufgabe 1: Betrachten Sie das folgende Spiel: 1/2 d e F a 3,1 2,3 4,0 b 4,3 2,2 5,1 c 3,2 1,1 6,2 a) Was ist eine strikt dominierte, was eine schwach dominierte Strategie? Geben Sie die jeweilige Definition an und ermitteln Sie im obigen Spiel die Dominanzbeziehungen für alle Strategien! Ermitteln Sie sodann alle Gleichgewichte (IDE), die durch iterierte Eliminierung schwach dominierter Strategien resultieren! Wie viele Gleichgewichte resultieren für das obige Spiel? b) Ermitteln Sie für das obige Spiel alle Nash Gleichgewichte in reinen Strategien! Können noch weitere Nash Gleichgewichte in gemischten Strategien existieren? Begründen Sie Ihre Antwort (nur verbal)! c) Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse aus a) und b). Wodurch kommt der Unterschied zu Stande? d) Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen IDE und Nash Gleichgewichten (in reinen Strategien). Definieren Sie hierzu, was eine beste Antwort und was ein Nash Gleichgewicht ist! Ist ein IDE immer auch ein Nash Gleichgewicht? Ist ein Nash Gleichgewicht immer auch ein IDE? Welches dieser beiden stellt somit das allgemeinere Lösungskonzept dar?

3 Aufgabe 2: Betrachten Sie das folgende Spiel: 1/ 2 A B A 4,4 0,c B c,0 1,1 a) Nehmen Sie an, c = 2! Handelt es sich bei obigem Spiel um das klassische Spiel Gefangenendilemma oder um das Spiel Stag Hunt (Hirschjagd)? Geben Sie dafür zunächst eine Interpretation für die beiden Strategien A und B an! Argumentieren Sie sodann anhand der obigen Auszahlungen, um welches Spiel es sich hierbei handelt! b) Bestimmen Sie alle Nash Gleichgewichte für das obige Spiel! Stellen Sie die besten Antwort Korrespondenzen grafisch dar und machen Sie die Nash Gleichgewichte darin kenntlich! c) Nehmen Sie nun an, c = 6! Handelt es sich nun bei obigem Spiel um das klassische Spiel Gefangenendilemma oder um das Spiel Stag Hunt? Interpretieren Sie dazu die Strategien A und B! Ermitteln Sie sodann die Nash Gleichgewichte für dieses Spiel! d) Das Spiel aus c) soll nun einmal wiederholt und nicht diskontiert werden! Stellt das Strategienprofil, in dem a. jeder Spieler auf der ersten Stufe A spielt, b. jeder Spieler mit Wahrscheinlichkeit 3/4 auf der 2. Stufe A spielt und mit Wahrscheinlichkeit 1/4 auf der 2. Stufe B spielt, wenn alle in Stufe 1 A spielen und sonst mit Wahrscheinlichkeit 1 Strategie B spielt, ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht dar? e) Nehmen Sie an, das Spiel aus c) wird unendlich oft wiederholt und die beiden Spieler benutzen folgende trigger Strategie: Spiele Strategie A in Periode 1! Solange jeder A spielt, spiele A weiter! Wenn jemand B spielt, spiele für immer B! Geben Sie die Bedingung für den Diskontfaktor β an, damit das Strategienprofil (A,A) aufrecht erhalten werden kann!

4 Spieltheorie Aufgabe 3 : Armut und Reichtum Eine Gesellschaft bestehe aus zwei Individuen: Einem reichen und einem armen Individuum. Das reiche Individuum geht nicht arbeiten und erhält ein konstantes Einkommen aus Kapitalerträgen in Höhe von I R. Das arme Individuum hat nur sein Arbeitseinkommen zur Verfügung. Das arme Individuum bezieht Nutzen aus Konsum und Freizeit. l gibt die pro Tag zur Verfügung stehende Anzahl an Stunden an. l ist die Anzahl gearbeiteter Stunden. Der Lohnsatz ist auf eins normiert. Demnach ist die Freizeit gegeben durch l l. Die Nutzenfunktion des armen Individuums lautet U A = ln(l + S) + ln( l l). S steht dabei für eine Spende des reichen Individuums. Dieses ist altruistisch und sorgt sich auch um das arme Individuum. Allerdings ist es ebenfalls an seinem eigenen Konsum interessiert. Seine Nutzenfunktion lautet U R = ln(i R S) + U A. a) Nehmen Sie an, dass S = 0 ist. Wie hoch ist die Anzahl gearbeiteter Stunden des armen Individuums? Wie hoch ist sein Nutzen? Wie hoch ist der Nutzen des reichen Individuums? b) Nehmen Sie nun an, dass das arme Individuum zuerst zieht. Es legt seine Arbeitsstunden fest, bevor das reiche Individuum über seine Spende entscheidet. Das reiche Individuum beobachtet das Einkommen des armen Indivuums und orientiert daran die Höhe der Spende. Finden Sie das teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht des Spiels! Wie hoch ist der Betrag, den das reiche Individuum spendet? Wie viele Stunden arbeitet das arme Individuum? Ist die Anzahl gearbeiteter Stunden im Vergleich zu a) gesunken? Begründen Sie ihre Antwort verbal und anhand einer Rechnung! Berechnen Sie den Nutzen beider Individuen! Hat sich der Nutzen des armen Individuums im Vergleich zu a) verändert? Ist er gestiegen oder gesunken? Wie verhält es sich mit dem Nutzen des reichen Individuums? c) Nehmen Sie nun an, dass es einen sozialen Planer gibt, der über die Spende und die Arbeitsleistung entscheiden kann. Wenn das Ziel des sozialen Planers die Maximierung der Summe der Nutzen beider Individuen ist, wie viele Stunden arbeitet dann das arme Individuum? Welche Spende macht das reiche Individuum? Zeigen Sie anhand einer Rechnung, ob im Vergleich zu b) mehr oder weniger gespendet und gearbeitet wird! d) Führt die effiziente Lösung für beide Individuen zu einem höheren Nutzen als in der teilspielperfekten Lösung aus Aufgabenteil b)? Geben Sie aufgrund des Vergleichs in c) zumindest eine Intuition als Begründung für ihre Antwort! (besser: Rechnung) 1

5 Spieltheorie Aufgabe 4 : Investitionen Eine deutsche Firma kann in dem zentralafrikanischen Land A investieren. Die Investition würde 1 (Million Euro) kosten und dann 2 (Millionen Euro) Gewinn erbringen. Zusätzlich würde die Investition weitere Wachstumseffekte für das Land im Wert von 0,5 (Millionen Euro) erzeugen. Der Firma ist nicht bekannt, ob sie es in A mit einer opportunistischen oder ehrlichen Regierung zu tun hat. Eine opportunistische Regierung könnte die Firma nach Investition enteignen und den Gewinn selbst vereinnahmen (oder es nicht tun). Eine ehrliche Regierung würde nicht enteignen. a) Worin genau besteht die Unvollständigkeit der Information in obigem interaktiven Entscheidungsproblem? Demonstrieren Sie mit Hilfe der Harsanyi-Transformation wie die Informationsstruktur vervollständigt werden kann und ein Spiel mit unvollkommener Information das Problem modelliert! Wer sind die Spieler in diesem Spiel und welche Aktionsräume haben sie? b) Stellen Sie die extensive Form des BAYESianischen Spiels dar, wenn bekannt ist, dass p(regierung ehrlich)= 1 3! c) Definieren Sie nun den Begriff eines (BAYESianischen) Nash-Gleichgewichts für dieses Spiel! d) Ermitteln Sie das Gleichgewicht! (Geben Sie die Gleichgewichtsstrategien für alle Spieler an!) e) Transparency International veröffentlicht die neu ermittelten Korruptions-Indizes für alle Länder. Land A schneidet so gut ab, dass die Firma nun von p(regierung ehrlich)= ausgeht. Wie lautet das Gleichgewicht nun? 2 3 2