KLAUSUR SPIELTHEORIE

Transkript

1 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt Wintersemester 2007/08 KAUSU SPIETHEOIE Sie haben für die folgenden 4 Aufgaben 120 Minuten Zeit. Sie können insgesamt 120 Punkte erreichen. Als Hilfsmittel ist lediglich ein nicht-programmierbarer Taschenrechner zugelassen. Viel Erfolg! Aufgabe 1 Betrachten Sie das folgende 2-Personen-Spiel: Spieler 1 Spieler 2 T a, b c, d B e, f g, h (a) Welche Bedingungen an die Auszahlungen der Spieler müssen erfüllt sein, so dass (T,) ein Gleichgewicht in dominanten Strategien ist und welche, so dass es ein Nash-Gleichgewicht ist? Betrachten Sie für (b) und (c) das Spiel mit den folgenden Auszahlungen: Spieler 1 Spieler 2 T a, 3 0, 0 B 1, 1 2, h (b) Bestimmen Sie alle Strategiekombinationen, die ein Nash-Gleichgewicht dieses Spiels bilden können: (i) für reine Strategien und (ii) für gemischte Strategien, bei denen beide Spieler ihre zwei reinen Strategien mit strikt positiver Wahrscheinlichkeit wählen. Geben Sie jeweils die benötigten Bedingungen an die Auszahlungen a und h an. (c) Gibt es Nash-Gleichgewichte, in denen Spieler 1 eine reine Strategie spielt und Spieler 2 eine gemischte Strategie, bei der er und mit strikt positiver Wahrscheinlichkeit spielt? Begründen Sie kurz. 1

2 Aufgabe 2 Fritzchen und seine Oma spielen folgendes Kartenspiel: Es gibt zwei Kartenstapel, S 1 und S 2. Auf dem ersten Stapel sind k 1 > 0 Karten, auf dem zweiten Stapel sind k 2 > 0 Karten. Fritzchen und seine Oma sind abwechselnd an der eihe, Karten von den Stapeln zu nehmen: Fritzchen darf das Spiel beginnen und nimmt eine beliebige Anzahl von Karten mindestens jedoch eine Karte von einem der beiden Stapel; er darf in einem Zug nicht von beiden Stapeln Karten wegnehmen. Anschließend ist seine Oma an der eihe und nimmt eine beliebige Anzahl von Karten mindestens jedoch eine Karte von einem der beiden Stapel; sie darf in einem Zug nicht von beiden Stapeln Karten wegnehmen. Danach ist wieder Fritzchen an der eihe, dann seine Oma usw. bis keine Karten mehr übrig sind. Wenn Fritzchen die letzte Karte nimmt, bekommt er 5 Euro von seiner Oma, wenn die Oma die letzte Karte nimmt, bekommt Fritzchen kein Geld. Beachten Sie, dass Fritzchen immer wenn er am Zug ist, sich aussuchen kann, von welchem Stapel er Karten nimmt. Innerhalb eines Zuges darf er aber nur von einem der beiden Stapel Karten nehmen, nicht von beiden Stapeln. Gleiches gilt auch für seine Oma. (a) Stellen Sie die extensive Form des Spiels für den Fall k 1 = 1 und k 2 = 2 auf. (b) Wie viele Strategien hat Fritzchen wenn k 1 = 1 und k 2 = 2? Wie viele Strategien hat seine Oma? Geben Sie beispielhaft eine Strategie für Fritzchen und eine für seine Oma an. (c) Kann Fritzchen erzwingen, das Spiel zu gewinnen im Fall k 1 = 1 und k 2 = 2, wenn er sich optimal verhält? Begründen Sie. (d) Die Oma schlägt nun vor, das Spiel mit k 1 = 2 und k 2 = 2 Karten zu spielen. Sollte Fritzchen diesen Vorschlag annehmen oder besser k 1 = 1 und k 2 = 2 wählen, wenn die egeln ansonsten gleich bleiben? Begründen Sie. Nehmen Sie dabei an, beide verhalten sich optimal. 2

3 Aufgabe 3 Betrachten Sie das folgende 3-Personen Spiel mit imperfekter Information. Bei den Auszahlungsvektoren bezeichnet der erste Eintrag die Auszahlung für Spieler 1, der zweite die für Spieler 2 und der dritte die für Spieler 3. Sp. 1 K B Sp. 2 (2, 8, 8) Sp. 3 l m r l m r (3, 3, 5) (3, 1, 6) (0, 0, (3, 3, 3) (3, 3, (3, 5, (a) Gibt es in diesem Spiel für einen der Spieler eine strikt dominierte Strategie? Wenn ja, welche? (b) Bestimmen Sie ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien. (c) Bestimmen Sie ein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien, welches nicht teilspielperfekt ist. (d) Kann es außer den beiden in (b) und (c) gefundenen Gleichgewichten weitere Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien geben? Begründen Sie kurz. 3

4 Aufgabe 4 (45 Punkte) Betrachten Sie das folgende Signalisierungsspiel mit zwei Spieler, einem Sender, S, und einem Empfänger, E. Der Sender ist entweder vom Typ S 1 oder vom Typ S 2. Die Natur wählt mit Wahrscheinlichkeit p = 3/4 den Sender- Typ S 1 und mit Wahrscheinlichkeit 1 p = 1/4 den Sender-Typ S 2. Der Sender erfährt seinen Typ und kann anschließend als Botschaft m 1 = 1 oder m 2 = 2 wählen. Der Empfänger kennt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Sender-Typen, aber nicht den realisierten Sender-Typ. Der Empfänger beobachtet die Botschaft des Senders und kann sich dann zwischen den Aktionen und entscheiden. Bei den angegebenen Auszahlungsvektoren ist die jeweils obere Zahl die Auszahlung für S, die jeweils untere die für E. ( 4 ( 0 S [µ 1 ] 1 m 1 m [µ 2 2 ]... p = 3 4 ( 3 ( 2 ( 2 E Natur 1 p = 1 4 E ( 1 ( [1 µ 1 ] m 1 m 2 S 2 [1 µ 2 ] ( 3 (a) Wird für S 1 oder S 2 eine Botschaft strikt dominiert? Begründen Sie. (b) Bestimmen Sie ein separierendes Gleichgewicht dieses Spiels. Achten Sie darauf, dass Ihre Herleitung dabei nachvollziehbar ist. Weiter umseitig. 4

5 (c) Bestimmen Sie alle Pooling-Gleichgewichte dieses Spiels: Alle Pooling- Gleichgewichte in reinen Strategien und alle Pooling-Gleichgewichte, in denen der Empfänger eine gemischte Strategie spielt. Achten Sie darauf, dass Ihre Herleitung dabei nachvollziehbar ist. Nehmen Sie für Aufgabenteil (d) nun an, dass S 1 eine gemischte Strategie (α, 1 α) mit 0 < α < 1 spielt (wobei α die Wahrscheinlichkeit angibt, mit der S 1 die Botschaft m 1 wählt), S 2 die Botschaft m 1 wählt, E eine gemischte Strategie (β, 1 β) mit 0 < β < 1 spielt, wenn er die Botschaft m 1 beobachtet hat (wobei β die Wahrscheinlichkeit angibt, mit der E die Aktion wählt) und E, wenn er die Botschaft m 2 beobachtet hat, wählt. (d) Zeigen Sie, dass es ein eindeutiges Perfektes Bayesianisches Gleichgewicht gibt, in dem diese Strategien gewählt werden. Bestimmen Sie dabei die Gleichgewichtswerte für die beliefs des Empfängers sowie für β und berechnen Sie mit Hilfe von Bayes egel die Wahrscheinlichkeit α, mit der S 1 die Botschaft m 1 in diesem Gleichgewicht wählt. 5