KLAUSUR SPIELTHEORIE

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1 Prf Dr Klas M Schmidt Wintersemester 2006/07 KLAUSUR SPILTHORI Sie haben für die flgenden Afgaben 120 Minten Zeit Sie müssen alle 4 Afgaben bearbeiten Sie können insgesamt 120 Pnkte erreichen Als Hilfsmittel ist lediglich ein nicht-prgrammierbarer Taschenrechner zgelassen Viel rflg! Afgabe 1 (30 Pnkte) Betrachten sie das flgende Öffentliches-Gt Spiel s gibt drei Spieler, die jeweils eine Asstattng vn 10 Geldeinheiten (G) haben Jeder Spieler i kann entweder x i = 0 G der x i = 10 G zm öffentlichen Gt beitragen Die Aszahlngen der Spieler sind wie flgt: U 1 = 10 x 1 + 0, 5 (x 1 + x 2 + x 3 ) U 2 = 10 x 2 + 0, 5 (x 1 + x 2 + x 3 ) U 3 = 10 x 3 + 0, 5 (x 1 + x 2 + x 3 ) (a) Das Spiel wird einmal gespielt Stellen sie die Nrmalfrm des bigen Spiels dar nd bestimmen sie alle Nash-Gleichgewichte des Spiels (b) Berteilen Sie die ffizienz des/der Gleichgewicht/e (c) Das Spiel werde nn nendlich ft wiederhlt Der Diskntfaktr sei mit δ gegeben nd sei für alle Spieler gleich Beschreiben Sie eine Trigger- Strategie mit der ein Gleichgewicht gestützt werden kann, in dem alle 3 Spieler immer x i = 10 beitragen Welche Bedingng mss dabei der Diskntfaktr δ erfüllen? (d) Nehmen Sie nn an, dass Spieler 3 kein nrmaler Spieler ist, der seine eigene Geldaszahlng maximiert, sndern ein naiver Spieler, dem ffizienz sehr wichtig ist Wenn dieser Spieler x 3 = 0 wählt, dann ist seine Aszahlng U 3 = ; wenn er x 3 = 10 wählt, dann ist seine Aszahlngsfnktin wie ben beschrieben Wenn Spieler 1 nd Spieler 2 der Trigger-Strategie as Afgabenteil (c) flgen, werden dann weiterhin alle Spieler im Gleichgewicht immer x i = 10 wählen? Geben Sie eine krze Intitin für Ihr rgebnis 1

2 Afgabe 2 (30 Pnkte) Spieler 1 überlegt, b er am Abend ein Knzert ( Msik ) beschen der ins Kin ( Kin ) gehen sllte Wenn er sich für Msik entscheidet, dann müssen Spieler 1 nd Spieler 2 simltan zwischen ernster ( ) nd nterhaltsamer ( U ) Msik wählen Wenn sich Spieler 1 für Kin entscheidet, dann müssen Spieler 1 nd Spieler 2 simltan zwischen einer Rmanze ( R ) nd einem Thriller ( T ) wählen Die resltierenden Aszahlngen sind in der flgenden extensiven Frm des Spiels dargestellt (die jeweils linke Zahl gibt die Aszahlng für Spieler 1 an, die jeweils rechte die für Spieler 1 Msik Kin 1 1 U R T 2 2 U U R T R T 5, 5 3, 6 3, 0 5, 8 6, 6 2, 2 2, 2 6, 6 (a) Bestimmen Sie alle teilspielperfekten Nash-Gleichgewichte in reinen nd gemischten Strategien des Spiels (b) Nennen Sie alle reinen Strategien vn Spieler 1 nd vn Spieler 2 Nehmen Sie nn an, Spieler 2 kann beide ntscheidngen vn Spieler 1 bebachten, bevr er seine eigene ntscheidng trifft Ansnsten sei das nee Spiel mit dem bigen Spiel identisch (c) Bestimmen Sie alle teilspielperfekten Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien des neen Spiels (d) Wie viele reine Strategien haben nn jeweils Spieler 1 nd Spieler 2? 2

3 Afgabe 3 (30 Pnkte) Nehmen Sie an, die LMU München möchte die Gelder, die sie als lite-universität nn zsätzlich bekmmt, zm Ba eines neen Hörsaals einsetzen Der Wert des Hörsaals für die LMU ist mit v = 1 gegeben s gibt zwei Unternehmen i, i {1, 2}, die diesen Hörsaal baen können Die Ksten c i, die einem Unternehmen beim Ba entstehen, sind private Infrmatin Über das jeweils andere Unternehmen ist nr bekannt, dass die Ksten c af dem Intervall [0, 1] gleichverteilt sind Die LMU veranstaltet eine rstpreis-aktin : Das Unternehmen mit dem geringeren Gebt bekmmt den Aftrag nd erhält als Gegenleistng für den Ba sein Gebt Wenn beide Gebte gleich hch sind, dann entscheidet der Zfall über die Aftragsvergabe Nehmen Sie an, Unternehmen 1 verwendet eine lineare Strategie der Frm wbei gilt, dass β 1 > 0 b 1 (c 1 ) = α 1 + β 1 c 1, (a) Berechnen Sie für jedes Gebt b 2 die Wahrscheinlichkeit, dass Unternehmen 2 den Aftrag bekmmt, dh, dass b 2 < b 1 (b) Wie latet der erwartete Gewinn vn Unternehmen 2 für jedes b 2? (c) Im symmetrischen Gleichgewicht in linearen Strategien wählt ach Unternehmen 2 eine Strategie der Frm b 2 (c 2 ) = α 2 + β 2 c 2 mit α 1 = α 2 nd β 1 = β 2 Zeigen Sie, dass dann immer gilt 0 α 1 + β 1 b 2 β 1 1 (d) Berechnen Sie α = α 1 = α 2 nd β = β 1 = β 2 im symmetrischen Bayesianischen Gleichgewicht in linearen Strategien 3

4 Afgabe 4 (30 Pnkte) Betrachten Sie das flgende Signalisierngsspiel s gibt zwei Spieler, einen Sender, S, nd einen mpfänger, Der Sender ist entweder vm Typ S 1 der vm Typ S 2 Mit Wahrscheinlichkeit p = 1/3 handelt es sich m den Typ S 1 nd mit Wahrscheinlichkeit 1 p = 2/3 m den Typ S 2 Diese Wahrscheinlichkeitsverteilng ist dem mpfänger bekannt Znächst wählt die Natr den Typ des Senders Dann wählt der Sender eine Btschaft, die entweder m = 1 der m = 2 sein kann Der mpfänger bebachtet die Btschaft nd kann dann zwischen zwei Aktinen, nd, entscheiden Die Aszahlngen, die sich für beide Spieler ergeben können, werden in der extensiven Frm des Spiels detlich Die jeweils bere Zahl ist die Aszahlng für S, die jeweils ntere die für ( 2 ( 6 S [µ 1 ] 1 [µ m = 1 m = 2 2 ] p = 1 3 ( 1 Natr 1 p = 2 3 [1 µ 1 ] m = 1 m = 2 [1 µ 2 ] S 2 ) 3 ( 6 (a) Bestimmen Sie alle Perfekten Bayesianischen Gleichgewichte in reinen Strategien (b) Welche der nter (a) gefndenen Perfekten Bayesianischen Gleichgewichte erfüllen die Anfrderng des Dminanz-Kriterims nicht? Begründen Sie Ihre Antwrt Weiter mseitig 4

5 Betrachten Sie nn das flgende Spiel, das sich nr in den Aszahlngen vm bigen Spiel nterscheidet S [µ 1 ] 1 [µ m = 1 m = 2 2 ] p = 1 3 ( 5 4) ( 5 Natr 1 p = 2 3 [1 µ 1 ] m = 1 m = 2 [1 µ 2 ] S 2 ( 1 ) 2 (c) Zeigen Sie, dass es ein Perfektes Bayesianisches Pling-Gleichgewicht geben kann, in dem beide Typen vn S das Signal m = 2 senden (d) rfüllt das in Teilafgabe (c) bestimmte Perfekte Bayesianische Pling- Gleichgewicht die Anfrderng des Dminanz-Kriterims? rfüllt es die Anfrderng des Intitiven Kriterims? Begründen Sie Ihre Antwrten 5