Aufgabensammlung zur Systemtheorie und Regelungstechnik

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1 Afgabensammlng zr Systemtheorie nd egelngstechnik Dr. S. Krase Prof. Dr. B. Fapel 3. Jni 206 Wiederholng nd Grndlagen. Berechnen Sie (ohne Taschenrechner) die folgenden Asdrücke. Es bezeichne lg = log 0 den dekadischen Logarithms. Bentzen Sie lg(2) 0,30 nd lg(3) 0,477. (a) lg(00) (d) lg(6) (g) lg ( 0 ) (j) lg(0 9 ) (b) lg(2000) (c) lg(/30) (e) lg() (f) lg(0,003) (h) lg(9/4) (i) lg(50) (k) lg(28) (l) lg(0,5).2 Geben Sie jeweils die Fnktion in der Form y(t) = ȳ +Asin(t+ϕ) z den folgenden Zeitverläfen an. (a) 0,6 0,4 y (c) y t/min 0, 0,2 0,3 0,4 0,2 t/ms 2 0, ,4 5 (b) 60 y (d) 3 y t/s 2 0,5,5 2 t/s Berechnen Sie alle Smmen z i + z k nd Prodkte z i z k für i < k 4 mit den folgenden komplexen Zahlen. Geben Sie alle Ergebnisse jeweils in kartesischer nd Polardarstellng an. z = 3 4j, z 2 = j, z 3 = 4e j60, z 4 = 3e j50.

2 .4 Vereinfachen Sie die folgenden komplexen Asdrücke. (a) 2e j30 + 2e j225 2e j20 (b) ej30 +e j50 (j+2)(j 2) (c) ( j)e j60 +(+j)e j20 (d) (3+j)(+3j) e j45 e j35.5 Lösen Sie (ohne Laplace-Transformation) die folgenden Anfangswertprobleme. (a) ẏ(t)+3y(t) = 6sin(3t), y(0) = 2 (b) ẏ(t)+5y(t) = e 5t, y(0) = 4 (c) ÿ(t)+4ẏ(t)+4y(t) = 25cos(t), y(0) = 3, ẏ(0) = 2 (d) ÿ(t)+2ẏ(t)+2y(t) = 4, y(0) = 0, ẏ(0) =.6 Berechnen Sie jeweils die fehlenden Spannngen nd Ströme. Die Baelementwerte, C nd L sowie die Kreisfreqenz seien positiv, aber allgemein. (a) C (t) = û C sin(t) (c) i(t) = îsin(t) C i L i C L (b) (t) = ûsin(t) (d) i L (t) = î L sin(t) C i i C i L i i L i 2 Differentialgleichngen nd Laplace-Transformation 2. Für die folgenden Netzwerke bestimmen Sie mit Hilfe der Knoten- nd Maschenregel die Differentialgleichng zwischen dem Eingang (t) nd dem Asgang y(t); lösen Sie die Differentialgleichng im Zeitbereich nter Annahme allgemeiner Anfangsbedingngen für den Einheitssprng (t) = (t 0); transformieren Sie die Differentialgleichng in den Laplace-Bereich nter Annahme allgemeiner Anfangsbedingngen; bestimmen Sie die Laplace-Übertragngsfnktion G(s) = Y(s)/U(s) für den Fall, dass Sie alle Anfangsbedingngen z 0 annehmen. 2

3 (a) (c) C y L y (b) C y (d) L y 2.2 Für die folgenden Übertragngssysteme mit Eingang (t) nd Asgang y(t) transformieren Sie die Gleichng in den Laplace-Bereich; bestimmen Sie die Laplace-Übertragngsfnktion G(s) = Y(s)/U(s) für den Fall, dass Sie alle Anfangsbedingngen z 0 annehmen; zeichnen Sie den Signalflssplan der Differentialgleichng (ohne Beachtng der Anfangsbedingngen). (a) ÿ(t)+3y(t) = 2 (t) mit y(0) = ẏ(0) = 0 (b) ẏ(t) = 2 (t)+5(t) mit y(0) = (c) y(t) = (t) 3 (d)... t 0 (τ)dτ y(t)+y(t) = ü(t)+(t) mit y(0) = ẏ(0) = 0 nd ÿ(0) = Für die folgenden Übertragngssysteme mit Eingang (t) nd Asgang y(t) bestimmen Sie die zr Laplace-Übertragngsfnktion G(s) gehörende Differentialgleichng; zeichnen Sie den Signalflssplan der Differentialgleichng. (a) G(s) = s2 7+s (b) G(s) = 3s+ 5 s (c) G(s) = s 3 s 2 (d) G(s) = s 4+3s 2.4 Für die folgenden Zeitfnktionen y(t) (t 0) skizzieren Sie y(t) mit charakteristischen Werten; berechnen Sie Y(s) = L[y(t)](s) mit Hilfe der Definition. (a) y(t) = 5 (b) y(t) = 2t (c) y(t) = e 6t (d) y(t) = cos2t (e) y(t) = sin3t (f) y(t) = e t sint 3

4 2.5 Für die folgenden Laplace-Transformierten Y(s) führen Sie falls möglich eine (reelle) Partialbrchzerlegng drch; berechnen Sie die Zeitfnktion y(t) drch smmandenweise ücktransformation; vergleichen Sie das Ergebnis mit einer geeigneten Tabelle zr Laplace-ücktransformation; skizzieren Sie y(t) mit charakteristischen Werten. (a) Y(s) = (b) Y(s) = (c) Y(s) = 2s (d) Y(s) = 4 (s+)(s+3) 2 s(s+4) s+5 (0,s+)s (e) Y(s) = 0 5s+2 (f) Y(s) = 2s s (g) Y(s) = 4s (s+)(2s+) 5 (h) Y(s) = (s+3) 2 (i) Y(s) = 2,5 s 2 (j) Y(s) = (k) Y(s) = 5 8+s 3s 4+4s+s 2 (l) Y(s) = 4+s s 2 (m) Y(s) = (n) Y(s) = 3 s s 2 +s (o) Y(s) = 3s 4 s 2 +4s (p) Y(s) = s 2 +3s Für die folgenden Netzwerke bestimmen Sie mit Hilfe der Knoten- nd Maschenregel die Differentialgleichng zwischen dem Eingang (t) nd dem Asgang y(t); bestimmen Sie die Laplace-Übertragngsfnktion G(s) = Y(s)/U(s) für den Fall, dass Sie alle Anfangsbedingngen z 0 annehmen. (a) 3 C C 2 y (b) 2 L L 3 y 4

5 (c) L C y (d) C C y 3 Bode-Diagramme nd Ortskrven 3. Für die folgenden Laplace-Übertragngsfnktionen berechnen Sie den ealteil e G(j) nd den Imaginärteil Im G(j); berechnen Sie die Amplitde A() nd die Phase ϕ(); skizzieren Sie die Bode-Diagramme von A() nd ϕ(); skizzieren Sie die Ortskrve von G(j). (a) G(s) = 5 0s+ (b) G(s) = 0,5s (c) G(s) = 2s+25 00s (d) G(s) = 5s 0s+ (e) G(s) = s 0 +2 (f) G(s) = 00 +0,25s (g) G(s) = 00 (h) G(s) = 2+0s +00s (i) G(s) = +s (j) G(s) = 5+ 5s (k) G(s) = 4 s (l) G(s) = 3,6 (m) G(s) = s 250 (n) G(s) = s+ 00 (o) G(s) = 20s (p) G(s) = 4 s+20 (q) G(s) = 0,4+50s (r) G(s) = s+0 4s+80 (s) G(s) = +0s 4s (t) G(s) = 0,s 00+s 3.2 Für die folgenden Laplace-Übertragngsfnktionen berechnen Sie die Amplitde A() nd die Phase ϕ(); skizzieren Sie die Bode-Diagramme von A() nd ϕ(); 5

6 skizzieren Sie die Ortskrve von G(j). (a) G(s) = (b) G(s) = (c) G(s) = (d) G(s) = 25 s 2 5 (+s)(+50s) +0s (5s+)(20+s) 25 s(2s+)(50+s) (e) G(s) = (+0s)(s+0,2) (f) G(s) = 00 (+0s) 2 (g) G(s) = 00s (s+2) 2 (h) G(s) = (i) G(s) = (j) G(s) = (s+00)s 80 s(4+s) 3 6 4s 2 +2s+5 (k) G(s) = (+s)(0+s)(0s+) (l) G(s) = (0s+)(s+0) (m) G(s) = (+4s)(0,5s+) 5s (n) G(s) = (o) G(s) = s+9s 2 6 s(s+3) 2 (p) G(s) = 4s(2,5+s) (q) G(s) = 0 s(+4s) (r) G(s) = (s+00)(+s) +5s (s) G(s) = (t) G(s) = s2 4 () G(s) = (v) G(s) = 20 (s+0,5) 2 63,2 (s+)(s+2) s 3 +4s 2 +5s Gegeben sei ein PT n -System mit der Laplace-Übertragngsfnktion G(s) = K (+st) n, K,T > 0, g = T. (a) Bestimmen Sie lim 0 A(), A( g ) nd lim A(). (b) Bestimmen Sie lim 0 ϕ(), ϕ( g ) nd lim ϕ(). (c) Skizzieren Sie das Bode-Diagramm für n {, 2, 3, 4}. (d) Skizzieren Sie die Ortskrve für n {, 2, 3, 4}. 3.4 Gegeben sei ein PT 2 -System mit der Laplace-Übertragngsfnktion G(s) = (+st )(+st 2 ), T > T 2 > 0, = T, 2 = T 2, g = 2. (a) Bestimmen Sie lim 0 ϕ(), ϕ( ), ϕ( g ), ϕ( 2 ) nd lim ϕ(). Hinweis: Für alle x > 0 gilt arctan(x) + arctan(/x) = π/2. (b) Welche Näherng ergibt sich für ϕ( ) nd ϕ( 2 ) im Fall T T 2? (c) Skizzieren Sie das Bode-Diagramm im Fall T = 0 nd T 2 = 0,. 6

7 3.5 Bestimmen Sie G(s) as den gegebenen Bode-Diagrammen/Ortskrven. (a) A ϕ (b) 40 A ϕ

8 (c) 40 A ϕ (d) Im 2 4 e (f) 4 2 Im e 2 = 4 = 0 2 (e) Im = 2 e 6 5 j für Zeitverhalten von Systemen 4. Für die folgenden Laplace-Übertragngssysteme berechnen Sie die Implsantwort g(t); skizzieren Sie g(t); 8

9 berechnen Sie die Sprngantwort h(t); skizzieren Sie h(t). (a) G(s) = 20 s (b) G(s) = +s 0s (c) G(s) = 2s (d) G(s) = 2s s+5 (e) G(s) = 0 +4s (f) G(s) = 7 s (g) G(s) = 2 (h) G(s) = 6 (+s)(s+3) (i) G(s) = 8 s(s+4) (j) G(s) = +3s +4s (k) G(s) = 4+3s (l) G(s) = (m) G(s) = 2,5 s+5 (n) G(s) = 2s 2 (o) G(s) = 9s s+s 2 (p) G(s) = (2+s) Für die folgenden Laplace-Übertragngssysteme zeichnen Sie das Pol-Nllstellen-Diagramm; berechnen Sie lim t 0 g(t) nd lim t g(t) für die Implsantwort g(t); berechnen Sie lim t 0 h(t) nd lim t h(t) für die Sprngantwort h(t). (a) G(s) = s+8 (3s+2) 2 (b) G(s) = (c) G(s) = 3+2s +3s+3s 2 +s 3 2s 2 +5s (s+)(s+3) (d) G(s) = 4s s (e) G(s) = s2 +2s+7 s 2 +6s+5 (f) G(s) = s(2s+) (+4s)(s 2 +4s+5) (g) G(s) = (s+2 j)(s+2+j) 3s 2 +s 3 (h) G(s) = (0s+)2 3s+0s 2 (i) G(s) = 6+s (s 2 +4s+8)s (j) G(s) = (s+3)(s+6s+9) 0s+s 2 (k) G(s) = +s+s2 +s 3 3s(s 2 +2s) (l) G(s) = 3+5s 2s Für die folgenden Übertragngssysteme zweiter Ordnng bestimmen Sie die Laplace-Übertragngsfnktion G(s); berechnen Sie die Parameter D, 0 nd K; zeichnen Sie das Pol-Nllstellen-Diagramm (mit Polstellen s p nd s p2 ); berechnen nd zeichnen Sie die Implsantwort g(t) nd die Sprngantwort h(t); 9

10 berechnen Sie sofern möglich von der Sprngantwort die Anregelzeit t anr, die Asregelzeit t asr für 2%, die Zeit t max beim ersten Maximm nd die normierte Überschwingweite ü. (a) ü = 0,63, t anr = 0,403, h( ) = 2 (b) D = 0, 0 = 7, K = 2,5 (c) s p;2 = ( ±j) 2, h(t max ) = 6,26 (d) G(s) = 20 s 2 +7s+0 (e) h(t) = 5 5(2t+)e 2t (f) 0 =,5, t max = 3,49, h( ) = 3 (g) g(t) = 3,75 ( e 5t e t) (h) D = 5 3, t asr = 5,9, g(t anr ) = 0, Für die folgenden Laplace-Übertragngssysteme berechnen nd zeichnen Sie den Asgang y(t) zm Eingang (t) = T δ(t) (T > 0); berechnen nd zeichnen Sie den Asgang y(t) zm Eingang (t) = ; berechnen nd zeichnen Sie den Asgang y(t) zm Eingang (t) = t/t (T > 0); berechnen nd zeichnen Sie den Asgang y(t) zm Eingang (t) = sin(t) ( > 0). (a) G(s) = K (K > 0) (b) G(s) = st I (T I > 0) (c) G(s) = st D (T D > 0) (d) G(s) = K +st (K,T > 0) 4.5 Gegeben ist das folgende System zweiter Ordnng G D (s) = mit variabler Dämpfng 0 D. 25 s 2 +0Ds+25 (a) Berechnen Sie die Polstellen in Abhängigkeit von D nd geben Sie deren ealteil, Imaginärteil, Betrag nd Winkel an. (b) Zeichnen Sie die Polstellen für D {0, 3/5, / 2, 4/5, } in ein gemeinsames Pol- Nllstellen-Diagramm ein. (c) Das System wird mit dem Eingang (t) = sin(5t) angeregt. Berechnen nd skizzieren Sie den Asgang y(t) jeweils für die Dämpfngen as (b). (d) Berechnen Sie G D (5j) für die Dämpfngen as (b) nd vergleichen Sie diese Werte mit den Zeitfnktionen as (c). (e) Zeichnen Sie die Bode-Diagramme der Amplitde für die Dämpfngen as (b). 5 egelkreise 5. Eine PT -Strecke wird mit einem P-egler zsammengeschaltet, d.h. G (s) = K, G S (s) = K S +st, K,K S,T > 0. (a) Berechnen Sie die Übertragngsfnktion G 0 (s) des offenen sowie die Führngsübertragngsfnktion G w (s), die Versorgngsstörübertragngsfnktion G z (s) nd die Laststörübertragngsfnktion G z2 (s) des geschlossenen egelkreises. 0

11 (b) Schreiben Sie G w (s) als PT -Element. Wie groß sind der Übertragngsbeiwert nd die Zeitkonstante? (c) Berechnen Sie e(t), y(t) nd x(t) für w(t) =, z (t) = z 2 (t) = 0. (d) Berechnen Sie e(t), y(t) nd x(t) für z (t) =, w(t) = z 2 (t) = 0. (e) Berechnen Sie e(t), y(t) nd x(t) für z 2 (t) =, w(t) = z (t) = 0. (f) Berechnen Sie e(t), y(t) nd x(t) für w(t) = z (t) = z 2 (t) =. 5.2 Eine PT 2 -Strecke wird mit einem P-egler zsammengeschaltet, d.h. G (s) = K, G S (s) = (a) Wie groß ist die Dämpfng der Strecke? 4 (+5s)(+s), K > 0. (b) Wie groß darf K gewählt werden, damit die Sprngantwort des geschlossenen egelkreises gerade nicht überschwingt? (c) Wie groß ist die stationäre egelabweichng im Fall (b)? (d) Wie groß mss K gewählt werden, damit die Sprngantwort des geschlossenen egelkreises m 29% überschwingt? (e) Wie groß ist die stationäre egelabweichng im Fall (d)? (f) Wie groß mss K gewählt werden, damit die Sprngantwort des geschlossenen egelkreises eine stationäre egelabweichng von nr % afweist? (g) Wie groß ist das Überschwingen im Fall (f)? 5.3 Eine PT -Strecke wird mit einem I-egler zsammengeschaltet, d.h. G (s) = st I, G S (s) = 5 +3s, T I > 0. (a) Berechnen Sie die stationäre egelabweichng der Sprngantwort des geschlossenen egelkreises. (b) Wie groß mss T I gewählt werden, damit die Sprngantwort des geschlossenen egelkreises ein Überschwingen von höchstens 8,4% afweist? (c) Wie groß ist die Anregelzeit der Sprngantwort des geschlossenen egelkreises für T I = 9,? (d) Für den geschlossenen egelkreis seien T I = 0 nd W(s) = 4/s. Zr Zeit t = 5 wird dem System ein Führngsstörimpls der Höhe /2 zgeführt. Berechnen Sie die Antwort im Zeitbereich. 5.4 Eine PT 2 -Strecke wird mit einem I-egler zsammengeschaltet, d.h. G (s) = st I, G S (s) = 2 (+0s)(+0,s), T I > 0. (a) Berechnen Sie die stationäre egelabweichng der Sprngantwort des geschlossenen egelkreises. (b) Berechnen nd skizzieren Sie die Sprngantwort des geschlossenen egelkreises für T I = 5/9. Hinweis: Betrachten Sie den Nenner von G w (s) für s = 2.

12 (c) Berechnen nd skizzieren Sie die Sprngantwort des geschlossenen egelkreises für T I = 20/0. Hinweis: Betrachten Sie den Nenner von G w (s) für s = j. (d) Sei x(t) die Sprngantwort. Für welche Werte von T I gilt x( ) =? Für welche Werte von T I wird x nbeschränkt? 5.5 Berechnen nd skizzieren Sie jeweils die egelgröße x(t). (a) w 5 z x G S (s) = s(2+s) w(t) = 4 G S (s) z(t) = e (t ) σ(t ) (b) w x G (s) = 4 + 2,5s +8,4s G (s) w(t) = t (c) ; 3 w x 0,8 w(t) = min{t,4} (d) z w x G (s) = 0,36 +3s 3s G (s) 0,2 G S (s) G S (s) = 20 (+3s)(4+s) w(t) = z(t) = δ(t 3) G M (s) Hinweis: Verifizieren Sie znächst, dass +G (s)g S (s)g M (s) = (s+)(s+2)(s+6) s(s+4)(s+5). 2

13 5.6 Gegeben sind eine Strecke nd drei egler G S (s) = 2+s, G (s) = 4, G 2 (s) = 5 s, G 3(s) = 3 2 s. (a) Benennen Sie die Typen der vier Elemente. (b) Berechnen Sie die Führngsübertragngsfnktionen der drei geschlossenen egelkreise. (c) Berechnen nd skizzieren Sie die Sprngantworten der drei geschlossenen egelkreise. (d) Berteilen Sie die drei eglertypen bezüglich der Asregelzeit, des Überschwingens, der stationären egeldifferenz nd der prinzipiellen Verwendbarkeit. 6 Stabilität 6. Für die Strecken mit den Bode-Diagrammen af den Seiten 4 7 bestimmen Sie, sofern existent, die beiden Kreisfreqenzen D nd π ; bestimmen Sie, sofern existent, die beiden eserven A es nd Φ es ; entscheiden Sie, ob sie stabil, grenzstabil oder instabil sind. 6.2 Für die Strecken mit den Bode-Diagrammen af den Seiten 4 7 legen Sie, sofern möglich, einen P-egler so as, dass sich eine Phasenreserve von 90 bzw. 60 bzw. 30 einstellt; legen Sie, sofern möglich, einen P-egler so as, dass sich eine Amplitdenreserve von 0 db bzw. 5 db bzw. 20 db einstellt; legen Sie, sofern möglich, einen P-egler so as, dass das System grenzstabil wird; legen Sie, sofern möglich, einen I-egler so as, dass sich eine Phasenreserve von 90 bzw. 60 bzw. 30 einstellt; legen Sie, sofern möglich, einen I-egler so as, dass sich eine Amplitdenreserve von 0 db bzw. 5 db bzw. 20 db einstellt; legen Sie, sofern möglich, einen I-egler so as, dass das System grenzstabil wird. 6.3 Für die Strecken mit den Bode-Diagrammen af den Seiten 4 7 zeichnen Sie die Ortskrven (im zweiten nd dritten Qadranten möglichst maßstabsgetre); zeichnen Sie in dasselbe Diagramm den Einheitskreis nd die in Afgabe 6. ermittelte Phasenreserve ein; Hinweis: Die Phasenreserven sind Φ es,a = 60, Φ es,b = 2, Φ es,c = 30 nd Φ es,d = 0. zeichnen Sie in dasselbe Diagramm die Ortskrve des offenen egelkreises ein, wenn Sie als egler den grenzstabilen P-egler as Afgabe 6.2 verwenden. Hinweis: Die Verstärkngsfaktoren sind K P,a = 5,5, K P,b, K P,c = 0,23 nd K P,d =. 3

14 A ϕ Bode-Diagramm der Strecke (a) z Kapitel 6 4

15 40 20 A ϕ Bode-Diagramm der Strecke (b) z Kapitel 6 5

16 A ϕ Bode-Diagramm der Strecke (c) z Kapitel 6 6

17 40 0 A ϕ Bode-Diagramm der Strecke (d) z Kapitel 6 7

18 6.4 Für die folgenden egelkreise berechnen Sie die Führngsübertragngsfnktion des geschlossenen egelkreises; bestimmen Sie das charakteristische Polynom; berechnen Sie mit dem Hrwitz-Kriterim, für welche Parameterwerte der Strecke bzw. des eglers der geschlossene egelkreis stabil ist. (a) G S (s) = s 3 +8s 2 +3s+, G (s) = K, K > 0 3 (b) G S (s) = s 2 +3s+, G +st N (s) = K, K,T N > 0 st N 2 0 (c) G S (s) = s 2 +2D 0 s+0 2 (d) G S (s) =, G (s) = +4s 2s 4 (+st ) 3, G (s) = st I, T,T I > 0, 0 > 0, 0 < D < 6.5 (a) Zeigen Sie mit dem Hrwitz-Kriterim, dass ein geschlossener egelkreis as einem P-egler nd einer PT 2 -Strecke (für D, 0 > 0) niemals instabil werden kann. (b) Zeigen Sie mit dem Hrwitz-Kriterim, dass ein geschlossener egelkreis as einem I-egler nd einer IT 2 -Strecke immer instabil ist. (c) Bestimmen Sie mit dem Hrwitz-Kriterim die Zeitkonstante eines I-eglers so, dass der geschlossene egelkreis as diesem egler nd einer PT 2 -Strecke (für D, 0 > 0) grenzstabil wird. 6.6 Gegeben ist ein P-egler mit einer PT 3 -Strecke G (s) = K, G S (s) =, K,T > 0. (+st) 3 (a) Bestimmen Sie mit Hilfe des vereinfachten Nyqist-Kriterims, für welchen Wert von K der geschlossene egelkreis grenzstabil wird. (b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Hrwitz-Kriterims, für welchen Wert von K der geschlossene egelkreis grenzstabil wird. (c) Zeichnen Sie das Pol-Nllstellen-Diagramm des grenzstabil asgelegten geschlossenen egelkreises. Hinweis: Was wissen Sie über die Lage der Polstellen eines grenzstabilen Systems? Machen Sie einen geeigneten Ansatz für eine Polstelle, m den Nenner von G w (s) faktorisieren z können. (d) Berechnen Sie die Sprngantwort z (c). 7 egleraslegngen 7. Die additive nd mltiplikative Form der Laplace-Übertragngsfnktionen eines PI-, PD- nd PID-eglers laten G PI (s) = K P + st I = K (+st N ) st N, G PD (s) = K P +st D = K (+st V ), G PID (s) = K P + st I +st D = K (+st N )(+st V ) st N 8

19 mit K P,K,T I,T D > 0 nd T N T V > 0. Von den folgenden eglern bestimmen Sie, m welchen Typ es sich handelt; geben Sie die Übertragngsfnktion in additiver nd mltiplikativer Form an; zeichnen Sie das Blockschaltbild der additiven nd mltiplikativen Form. (a) 2,5 +5s (b) 3 (f) 8 2 0,5 40 (c) G(s) = 6+ 3s (d) G(s) = 00(+2s) (e) G(s) = (+7s)(+8s) 2s (h) (g) G(s) = s +8s s +2s 7.2 Bestimmen Sie die Parameter K, K 2 nd K 3 derart, dass als egler ein Kompensationsregler nd als geschlossener egelkreis ein System zweiter Ordnng mit Dämpfng / 2 entstehen. K dt = K 2 s 00 s 2 +2s+20 +8s d dt = K 3s 9

20 7.3 Für die folgenden egler-strecke-kombinationen legen Sie den egler nach dem Betragsoptimm as; skizzieren Sie das Bode-Diagramm von G 0 (s) = G (s)g SE (s), wobei G SE (s) die Ersatz-Strecke ist, die zr Aslegng des eglers bentzt wrde; berechnen nd skizzieren Sie die Sprngantwort des geschlossenen egelkreises (mit der Ersatz-Strecke). (a) I-egler für G S (s) = 20 +4s (b) I-egler für G S (s) = (c) PI-egler für G S (s) = (d) PI-egler für G S (s) = (e) PID-egler für G S (s) = (f) PID-egler für G S (s) = 5 (+0s)(+s) 5 (+0s)(+s) 5 (+s)(0+s)(+20s) 5 (+s)(0+s)(+20s) 3 (+0,2s) 2 (+0s)(+5s) 7.4 Für die folgenden egler-strecke-kombinationen legen Sie den egler nach dem symmetrischen Optimm für a = 2 as; skizzieren Sie das Bode-Diagramm von G 0 (s) = G (s)g SE (s), wobei G SE (s) die Ersatz-Strecke ist, die zr Aslegng des eglers bentzt wrde; dimensionieren Sie einen Vorfilter für den geschlossenen egelkreis. (a) PI-egler für G S (s) = (b) PI-egler für G S (s) = (c) PID-egler für G S (s) = (d) PID-egler für G S (s) = 5 s(+s) 5 s(+s)(+20s) 5 s(+s)(+20s) 3 s(+5s)(+0,2s) Ein PDT -egler hat die Laplace-Übertragngsfnktion G (s) = K +st V +st, K > 0, T V > T > 0. Der offene egelkreis bestehend as einem solchen egler nd einer allgemeinen, aber bekannten Strecke G S (s) soll eine vorgegebene Drchtrittskreisfreqenz D mit einer vorgegebenen Phasenreserve Φ es haben. 20

21 (a) Die Phase ϕ () des eglers hat ein Maximm ϕ max bei der Kreisfreqenz 0. Leiten Sie die Formeln 0 = TV T, ϕ max = arctan T V T 2 T V T her. Hinweis: Bentzen Sie die Identität arctanx arctany = arctan x y +xy x,y > 0. (b) Stellen Sie die Gleichngen für 0 nd ϕ max as (a) nach T V nd T m. Dabei ergeben sich die Formeln T V = +sinϕ max 0 cosϕ max, T = sinϕ max 0 cosϕ max. (c) Der egler soll so asgelegt werden, dass 0 = D gilt. Zeigen Sie, dass sich in Abhängigkeit der vorgegebenen Phasenreserve die Forderng ϕ max = 80 +Φ es ϕ S ( D ) ergibt. Darin ist ϕ S () die Phase der Strecke. (d) Schließlich mss noch der Übertragngsbeiwert K des eglers so eingestellt werden, dass sich die Drchtrittskreisfreqenz des egelkreises tatsächlich z D ergibt. Leiten Sie dafür die Formel K = sinϕ max +sinϕ max G S (j D ) her. Hinweis: Gehen Sie von der Forderng G (j D )G S (j D ) = as. 7.6 Für die folgenden Strecken samt egelkreisdaten legen Sie einen PDT -egler derart as, dass sich die angegebene Drchtrittskreisfreqenz nd Phasenreserve für den offenen egelkreis einstellt (Formeln (c), (b) nd (d) der letzten Afgabe); skizzieren Sie die Bode-Diagramme von G (s), G S (s) nd G 0 (s). (a) G S (s) = (b) G S (s) = (c) G S (s) = (d) G S (s) = 2 (+0s)(+3s)(+s), D = 0,8, Φ es = 30 2 (+0s)(+3s)(+s), D = 0,3, Φ es = 60 8 s(+5s)(+2s), D = 0,8, Φ es = 30 8 s(+5s)(+2s), D = 0,3, Φ es = 60 2