FS10 _ SiSy2 Semesterprüfung :

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1 / FS _ SiS Seesterprüfng : Zeit: 9 Minten Unterlagen erlabt. Taschenrechner nd jede Art von Koniation nicht erlabt. Der Lösngsweg ss ersichtlich nd nachvollziehbar sein. Bentzen Sie für Sizzen die gegebenen Diagrae nd achten Sie daraf, die Achsen z beschriften. Nae: Vornae: : : : : 5: 6: 7: 8: Pnte: Note: Afgabe Zstandsvariablendarstellng für LTI nd LTD Sstee [6+= Pnte]. (a) Das atheatische Diagra eines echanischen Sstes nd die entsprechenden Matrizen der Zstandsvariablendarstellng sind nten gegeben. Zeigen Sie den Weg (das oplette Gleichngssste wird erwartet), wie an diese A, B, C, D Matrizen afgrnd von eleentaren Differentialgleichngen bestien ann. D C B A Uforng f : Ss it Zständen:,,, f(t) (t) (t) f(t) (t). f

2 (b) Es sind gegeben die A, B, C, D Matrizen der Zstandsvariabledarstellng eines disreten Sstes. Bereiten Sie eine Sizze des Flssdiagraes (Blocdiagra), nd bestien Sie, ob dieses LTD Sste rersiv oder nicht-rersiv ist. A B C D Denen Sie daran, dass für ein disretes Sste die ZVD bedetet: n A n B n n C n D n nd für eine Zstandsvariable [n+] T s [n] [n] [n] Ss ist rersiv z - [n] z - [n] Afgabe Analse eines passiven RLC-Filters [+5++5+=9 Pnte]. Die Schaltng, Übertragngsfntion nd Pol-Nllstellediagra eines eletrischen Sstes sind nten gegeben. i(t) (t) Ss it ÜF G(s) (t) (t) (t) S-Ebene Hinweis: Die Teilafgaben (a)+(b) oder (c) oder (d) oder (e) lassen sich nabhängig voneinander lösen. (a) Bestien Sie die zwei Differentialgleichngen (afgrnd von Maschen- nd Knoten- Regel), welche die Zsaenhänge zwischen (t), i(t) nd (t) beschreiben. /

3 (b) Transforieren Sie diese Differentialgleichngen in den Bildbereich it der Laplacetransforation, sodass Sie jetzt die Zsaenhänge zwischen U(s), I(s) nd Y(s) haben. Zeigen Sie dann, dass die oben gegebenen Übertragngsfntion G(s) stit. Hinweis: Nehen Sie an, die Anfangsbedingng AB =. (c) Was wäre die Diension der Matri A für die Zstandsvariablendarstellng dieses Sstes? Begründen Sie bitte ihre Antwort. (d) Berechnen Sie der Anfangswert nd Endwert der Schrittantwort von G(s). Schwingt die Antwort zwischen Anfangs- nd Endwert? Falls ja, it welche Freqenz? (e) Machen Sie eine Schätzng der Freqenzantwort dieses Sstes (afgrnd der s) nd sizzieren Sie den Aplitdengang it Maia nd Minia in Diagrae nten. G(f) f [Hz] /

4 Afgabe LUT für Linearisierng einer Sensor- Asgabe [+6=9 Pnte].. Nehen Sie an, Sie haben einen nicht-linearen Teperatr-Sensor, it de Sie ein rücgeoppeltes Regelngssste ipleentieren wollen. Sie üssen die Kennlinie des Sensors it einer LUT opensieren, so dass die LUT Asgabe linear zr Eingangsteperatr variiert (diret proportional nd über den Ursprng). Das Datenblatt des Sensors beschreibt den Zsaenhang zwischen Teperatr-Eingangssignal (θ in in C) nd Spannng- Asgangssignal (v ot in V) folgender Massen: v ot K wo K ist eine reelle nd positive Konstante. in Das Spannng-Asgangssignal wird abgetastet nd digitalisiert it eine ADC it bits Aflösng. Die Tabelle nten zeigt die geessenen ADC Asgangswerte a ot [binar code]. θ in [ C] a ot [binar code] Tep Sensor Sensor Spannng Asgang v ot [V] MCU ADC bits/saple ADC Bitfolge Asgang a ot [bin_code] LUT Sensor Kopensation LUT Bitfolge Asgang l ot [bin_code] Die geessenen Pnte wrden in Matlab geplotted nd eine Annäherngsrve gefnden (siehe Abbildng nten). /

5 (a) Bestien Sie die Gleichng zwischen Teperatr-Eingangssignal (θ in von [] C) nd LUT-Asgangssignal (l ot in binar code). Die Werte der LUT sollen als Integer it bits Aflösng dargestellt werden. (b) Schreiben Sie den Matlab Code, der die LUT berechnet. Erlären Sie bitte ihren Lösngsweg it eine Schea. Afgabe Disrete Foriertransforation (DFT) Eigenschaften [6 Pnte].. Gegeben ist die Fntion [n] nd das zgehörige DFT Spetr X []. Die Fntion [n] hat ein ähnliches Spetr X []. Wie sieht die Fntion [n] i Zeitbereich as? Fertigen Sie eine Sizze von [n] an nd begründen Sie ihre Lösng. Hinweis: für eine bessere Visalisierng wrden die Graphien it plot statt ste generiert, nd deswegen sehen die Fntionen i [n] nd X i [] wie ontinierliche Fntionen as. 5/

6 Afgabe 5 Signal Eigenschaften i Zeit- nd Freqenz-Bereich [++=7 Pnte]. (a) Vervollständigen Sie die Tabelle nten it der entsprechenden Eigenschaften/Fntionen- Paaren von Signalen i Zeit- nd Freqenz-Bereich. Linie Zeitbereich: t Freqenzbereich: X ( f ) t... t cos.. f c 5... Disret Periodisch 6. X ( f ) ep j f 7 X f f ) X ( f f ) ( c c 8 Mltiplication: t t 9 Faltng: t t.. Reel Betrag X ( f ) ist Phase X ( f ) ist.. Reel (b) Bereiten Sie eine Sizze, welche ein Fntionspaar as Teilafgabe (a - Linie bis -) veranschalicht. Vergessen Sie nicht relevante Pnte z ennzeichnen (das asgewählte Fntionspaar soll qalitativ nd qantitativ erennbar sein). (t) X(f) t f 6/

7 (c) Bereiten Sie eine Sizze, welche eine Eigenschaft as Teilafgabe (a - Linie bis -) veranschalicht. Vergessen Sie nicht relevante Pnte z ennzeichnen (die asgewählte Eigenschaft soll qalitativ nd qantitativ erennbar sein). t f t f Afgabe 6 Darstellngsarten disreten Sstee [++++=6 Pnte]. Hinweis: Die Teilafgaben (a)+(b) oder (c) oder (d)+(e) lassen sich nabhängig voneinander lösen. Gegeben ist das Flssdiagra (Blocdiagra) des LTD Stes Ss: [n] / z - z - [n] -/8 / (a) Bestien Sie die Differenzengleichng, welche Ss beschreibt. (b) Bestien Sie die Übertragngsfntion R (z) = Y(z) / U(z) des Sstes Ss. 7/

8 (c) Nehen Sie an, Sie wollen die Differenzengleichng von Ss in eine Miroontroller odieren, it Datentp signed int (6 Bits) für die Eingangssignal [n], Asgangssignal [n] nd a, b Koeffizienten. Wie würden Sie die Koeffizienten a, b odieren? Berücsichtigen Sie jetzt die die Übertragngsfntion R (z) des Sstes Ss: z,6 j,6 z,6 j,6 R z z,8 (d) Bereiten Sie eine Sizze des Polnllstelle-Diagraes () von Ss i Z-Bereich, nd achen Sie afgrnd dieser eine Schätzng des Aplitdengangs R (f) (Betrag des Freqenzgangs). Zeichnen Sie R (f) i Diagra nten i Bereich [, +F s /], nd vergessen Sie nicht die Maia nd Minia Pnte z identifizieren nd die Achse z beschriften. R (z) Z-Ebene R (f) Fs/ f [Hz] (e) Wie sieht R (f) i Freqenzbereich [-F s /, ] nd i Freqenzbereich [+F s /, F s ]? Afgabe 7 Btterworth Tiefpassfilter [++= Pnte]. Die Btterworth Filter sind ein besonderer Tp von Tiefpassfilter, welche bei der Grenzfreqenz ω g eine Däpfng von db (egal für welche Filter-Ordnng) i Vergleich z Drchlassbereich zeigen. Die Bodediagrae von zwei Btterworth Filtern (.Ordnng G (ω) nd.ordnng G (ω) ) sind nten gegeben: Btterworth Filter sind ach beannt für ihren fast linearen Phasengang. Diese Phase-Eigenschaft ist für diese Afgabe nicht relevant. 8/

9 (a) Zeigen Sie i Plot oben, welcher G (ω) ist, nd welcher G (ω) ist, nd erlären Sie es, wie an i Bodediagra die. nd.ordnng Filter nterscheiden ann. Zoo-in (b) Vergleichen Sie G (ω) it eine Nor-Tiefpassfilter.Ordnng nd bestien Sie die Paraeter, d nd ω. Denen Sie daran, dass ω g = ω, nd bei diese Pnt eine Däpfng von db in Vergleich z G() erwartet wird. (c) Gegeben die für das Filter.Ordnng, bestien Sie die Gleichng für G (s) (Übertragngsfntion des Filters.Ordnng). S-Ebene ω g 9/

10 Afgabe 8 Messngen von LTI Sstee.Ordnng [+8+6=7 Pnte]. Für die Identifiation von drei nbeannten LTI Ssteen.Ordnng wrden die Schrittantworten geessen. Afgrnd von diesen Schrittantworten vervollständigen Sie die Tabelle nten. Sste- Sste- Sste- Sste Filtertp..... PN- Diagra S-Ebene S-Ebene S-Ebene ÜF: G(s) (Übertragngs -fntion) /