Genauer gesagt handelt es sich zum einen um Spiele mit einseitiger unvollständiger Information.

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1 Spieltheorie Sommersemester Signalspiele Wir betrachten eine spezielle Klasse von Spielen mit unvollständiger Information, die sogenannten Signalspiele, für die es in der Ökonomik zahlreiche Anwendngen gibt. Genauer gesagt handelt es sich zum einen um Spiele mit einseitiger unvollständiger Information. Häufig sprechen Ökonomen in diesem Zusammenhang auch von asymmetrischer Information, obwohl Asymmetrie der Information im Allgemeinen nicht bedeuten muss, dass eine Seite vollständig informiert ist. Zum anderen verallgemeinern wir unsere bisherige Definition in Bezug auf die Auszahlungen etwas.

2 Spieltheorie Sommersemester Ein Signalspiel ist ein Spiel in Extensivform mit zwei Spielern, dem Sender S und dem Empfänger R. Der Ablauf des Spiels ist der folgende: 1. Die Natur zieht den Typen t j des Senders aus der Menge T = {t 1,...,t J } entsprechend der Wahrscheinlichkeitsverteilung P(t j ) mit P(t j ) > 0 und P(t 1 ) P(t m ) = Der Sender erfährt t j und wählt ein Signal m l aus einer Menge M = {m 1,...,m L }. 3. Der Empfänger beobachtet m l (aber nicht t j ) und wählt eine Aktion a k aus einer Menge von Aktionen A = {a 1,...,a K }. 4. Die Auszahlungen sind gegeben durch π S (t j, m l, a k ) und π R (t j, m l, a k ).

3 Spieltheorie Sommersemester Definition: Gegeben sei eine Spielform mit Spielerinnenmenge I und möglichen Ausgängen A, d.h. in der Extensivform gilt A = K. Aus dieser Spielform wird ein Spiel mit unvollständiger Information, oder genauer seine Harsanyi Transformation, durch das Hinzufügen folgender Komponenten: Für alle i I einer Menge möglicher Typen T i. Die Menge aller Typkombinationen ist T = i I T i. Einer a priori Wahrscheinlichkeitsverteilung P über T. Für alle i I einer Partition W i von T, ihrer in mediis Informationspartition. Für alle i I einer Auszahlungsfunktion u i : A T i R.

4 Spieltheorie Sommersemester Der entscheidene Punkt ist der letzte: Die Auszahlung eines Spielers hängt nur vom eigenen Typ ab, nicht jedoch von dem anderer Spieler. Hier liegt die Verallgemeinerung im Signalspiel, in dem auch die Auszahlung des Empfängers vom Typ des Senders abhängen kann. Dies bedeutet, dass der Empfänger seine Aktion wählen muss, ohne zu wissen, welche Auszahlung daraus für ihn resultieren wird.

5 Spieltheorie Sommersemester Signalspiele sind auf zahlreiche ökonomische Fragestellungen angewandt worden: Ein berühmtes Beispiel ist das Modell von Spence (1973) über Signalisierung auf dem Arbeitsmarkt, in dem der Sender ein Arbeiter, der Empfänger ein möglicher Arbeitgeber und der Typ die Produktivität des Arbeiters ist. Als Signale führt Spence unterschiedliche Ausbildungsniveaus des Arbeiters ein, auf die der Arbeitgeber als seine Aktion einen Lohn wählt. Ein anderes Beispiel ist das Vickers Modell zur Geldpolitik (Vickers, 1986).

6 Spieltheorie Sommersemester Beispiel (Ausbildung als Signal (Spence 1973)): Ein Unternehmen, das unter Bedingungen vollkommener Konkurrenz tätig ist, möchte einen Mitarbeiter einstellen. Es gibt zwei Typen von Arbeitern, die sich durch ihre Produktivität unterscheiden. Typ A hat eine Produktivität von 2 und Typ B hat eine Produktivität von 1. Die Verteilung der Typen in der Population ist q, 1 q, d.h., q ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Arbeiter produktiv ist (oder der Anteil der produktiven Arbeiter). Das Unternehmen zahlt den Lohn w. Der Gewinn der Firma ist dann bei Typ A 2 w und bei Typ B 1 w.

7 Spieltheorie Sommersemester Die Arbeiter können, bevor sie auf den Arbeitsmarkt gehen, ein Ausbildungsniveau y [0, 3] wählen. Dieses Ausbildungsniveau hat keinen Einfluss auf die Produktivität! Die Kosten für das Ausbildungniveau y betragen für Typ A y/2 und für Typ B y. Das Unternehmen bildet in Abhängigkeit vom beobachteten Ausbildungsniveau Vermutungen über den Typ: Es gibt ein Ausbildungsniveau y, so dass es falls y y beobachtet wird davon ausgeht, Typ A vor sich zu haben, es zahlt dann den Lohn w = 2 (null Gewinn Bedingung) und falls y < y beobachtet wird davon ausgeht, Typ B vor sich zu haben, es zahlt dann den Lohn w = 1.

8 Spieltheorie Sommersemester Optimale Aktion eines Arbeiters: Gegeben diese Vermutungen des Unternemens un die Kosten der Ausbildung, gibt es für den Arbeiter nut zwei mögliche Ausbildungsniveaus, nämlich entweder y = y oder y = 0. Separierende Gleichgewichte Das Ausbildungsniveau fungiert als Signal: Ausbildung ist für Typ B teurer als für Typ A. In einem separierenden Gleichgewicht gilt: Die Investition in Ausbildung lohnt nur für den effizienten Typ A, nicht für Typ B. Wenn die Firma y beobachtet, revidiert sie ihre Vermutungen dahingehend, dass Wahrscheinlichkeit eins auf Typ A liegt. Im separierenden Gleichgewicht wählt Typ A y(a) = y und Typ B wählt y(b) = 0.

9 Spieltheorie Sommersemester Bedingungen für ein separierenes Gleichgewicht: Der Nutzen von Typ A bei y muss mindestens so groß sein wie der Nutzen von Typ A bei 0, d.h. 2 y y. Der Nutzen von Typ B bei y darf nicht größer sein als der Nutzen von Typ B bei 0, d.h. 2 y y. Insgesamt folgt also 1 y 2. Jeder Wert von y zwischen eins und zwei erfüllt die Bedingung.

10 Spieltheorie Sommersemester Die Vermutungen des Unternehmens sind µ(a y) = 1 und µ(b y) = 0 für alle y y µ(a y) = 0 und µ(b y) = 1 für alle y < y. Dies ist ein perfektes Bayesianisches Nash Gleichgewicht: Gegeben die Vermutungen und die Strategie des Unternehmens, ist die Bayesianische Entscheidungsfunktion des Arbeiters y(a) = y, y(b) = 0 die beste Antwort. Gegeben die Bayesianische Entscheidungsfunktion des Arbeiters und die Vermutungen des Unternehmens ist die Strategie der Firma eine beste Antwort. Das Unternehmen bildet seine Vermutungen durch Bayesianisches Lernen.

11 Spieltheorie Sommersemester Multiple separierende Gleichgewichte Es gibt also ein Kontinuum separierender Gleichgewichte. Für jedes y [1, 2] wählt Typ A y = y und Typ B wählt y = 0. Least cost equilibrium Als Kriterium zur Gleichgewichtsauswahl kann man die Kosten der Ausbldung heranziehen, die für y = 1 minimert werden.

12 Spieltheorie Sommersemester Pooling Gleichgewichte Bayesianische Entscheidungsfunktion des Arbeiter: Beide Typen senden das selbe Signal y(a) = y(b) = 0. Das Signal vermittelt keine zusätzliche Information an die Firma. Ihre Vermutungen sind gleich den a priori Wahrscheinlichkeiten q für Typ A und 1 q für Typ B: µ(a 0) = q, µ(b 0) = 1 q. Die Vermutungen außerhalb des Gleichgewichtspfads können nicht nach dem Satz von Bayes gebildet werden und sind daher beliebig, zum Beispiel µ(a y) = 0 und µ(b y) = 1 für alle y > 0. Strategie des Unternehmens: Das Unternehmen zahlt beim Signal y = 0 den Lohn für den im Durchschnitt erwarteten Typ 2q + 1 q = 1 + q. Bei jedem anderen Signal zahlt sie einen Lohn von 1.

13 Spieltheorie Sommersemester Auch das Pooling Gleichgewicht, in dem beide Typen das selbe Signal wählen, ist ein perfektes Bayesianisches Nash Gleichgewicht. Gegeben die Vermutungen und die Strategie des Unternehmens ist y = 0 die beste Antwort für jeden Typ des Arbeiters. Die Strategie des Unternehmens ist beste Antwort auf die Bayesianische Entscheidungsfunktion des Arbeiters. Die Vermutungen des Unternehmens ergeben sich durch Bayesianisches Lernen: Auf dem Gleichgewichtspfad (y = 0) ist das Signal uninformativ. Abseits des Gleichgewichtspfades (y > 0) ergibt sich aus der Bayesianischen Entscheidungsfunktion keine Einschränkung der Vermutungen.

14 Spieltheorie Sommersemester Typ A präferiert das separierende Gleichgewicht, während Typ B das Pooling Gleichgewicht präferiert. Gibt es eine Möglichkeit für Typ A, sich als solcher erkennen zu geben, also das separierende Gleichgewicht zu erreichen? Im oben beschrieenen Pooling Gleichgewicht ist dies nicht der Fall.

15 Spieltheorie Sommersemester Cho und Kreps (1987) entwickeln das intuitive Kriterium, mit dem sie dieses Pooling Gleichgewichte ausschließen. Die Idee ist die folgende: Angenommen, Typ A weicht vom Pooling Gleichgewicht ab und wählt ein Ausbildungsniveau y > 1. Welche Konsequenz hat dies auf die Vermutungen des Unternehmens? Im beschriebenen Pooling Gleichgewicht glaubt das Unternehmen, der Arbeiter sei mit Wahrscheinlichkeit eins vom Typ B. Cho und Kreps fragen sich, ob diese Vermutungen vernünftig sind.

16 Spieltheorie Sommersemester Fest steht,dass Typ B niemals, d. h. weder im Pooling Gleichgewicht noch im separierenden Gleichgewicht, y > 1 wählen würde. Also kann es sich bei einem Signal y > 1 nur um Typ A handeln, der versucht, das separierende Gleichgewicht zu spielen. Die Firma sollte also ihre Vermutungen revidieren. Die Vermutungen im Pooling Gleichgewicht sind intuitiv unvernünftig.

17 Spieltheorie Sommersemester Entscheidend dafür, dass ein Signal zur Separierung verschiedener Typen führen kann, ist, dass es Kosten verursacht. In unserem Beispiel ist die Ausbildung für produktive Arbeiter günstiger als für unproduktive, während der durch das Signal erreichbare höhere Lohn für beide gleich ist. Es könnten aber auch die Signalkosten gleich sein, falls sich die Konsequenzen aus dem Signale unterscheiden.

18 Spieltheorie Sommersemester Allgemein ist ein speparierendes Gleichgewicht dadurch gekennzeichnet, dass alle Typen des Senders unterschiedliche Signale senden, die dem Empfänger die Unterscheidung der typen ermöglichen. Ein Pooling Gleichgewicht ist allgemein dadurch gekennzeichnet, dass alle Typen des Senders das selbe Signal senden, so dass der Empfänger aus den Signalen keine Information ablesen kann und bei seinen a priori Vermutungen über die Typen des Senders bleibt.

19 Spieltheorie Sommersemester Für zwei Typen des Senders sind dies die einzig möglichen Gleichgewichtstypen. Für drei oder mehr Typen des Senders existieren darüber hinaus Mischformen, in denen inige Typen unterschiedliche Signale senden und unterschieden werden, während andere das selbe Signal senden, das dem Empfänger nicht erlaubt, zwischen ihnen zu unterscheiden.

20 Spieltheorie Sommersemester Beispiel (Geldpolitik (Vickers, 1986)): Wir betrachten ein Spiel, in dem Unternehmer mit ihren Arbeitnehmern über Nominallöhne verhandeln. Danach wählt die Zentralbank das Geldangebot, das wiederum die Inflationsrate bestimmt. Wenn die Verträge nicht vollständig indexiert werden können, versuchen Unternehmer in den Lohnverhandlunen mit den Arbeitnehmern die Inflationsrate zu antizipieren. Nach der Lohnsetzung würde eine Inflation, die höher ist als die erwartete, zu einer Senkung des Reallohns und damit zu einer Beschäftigungs und Outputerhöhung führen. Die Zentralbank sieht sich also einem trade off zwischen den Kosten der Inflation und dem Nutzen erhöhter Beschäftigung gegenüber. Das Spiel läuft über zwei Perioden und dabei ist der Typ der Zentralbank den Unternehmern nicht bekannt.

21 Spieltheorie Sommersemester Der Ablauf des Spieles ist der folgende. 1. Im ersten Schritt zieht die Natur den Typen c der Zentralbank. Die Zentralbank kann entweder stark (S) oder schwach (W) sein. 2. Im zweiten Schritt bilden die Unternehmer eine Erwartung über die Inflation π e 1 in der ersten Runde. 3. Die Zentralbank beobachtet π e 1 und wählt die tatsächliche Inflation π Die Unternehmer beobachten π 1 (allerdings nicht c) und bilden Erwartungen über die Inflation in Periode 2, π e Die Zentralbank beobachtet π e 2 und wählt die tatsächliche Inflation π 2.

22 Spieltheorie Sommersemester In diesem Spiel wird die Zentralbank der Sender sein, während die Unternehmen die Empfänger sind. Die Unternehmer wollen die Inflation korrekt vorhersagen, d.h., ihre Auszahlungsfunktion in jeder Periode ist (π π e ) 2. Die Zentralbank präferiert eine Inflation von 0 und das effiziente Outputniveau y. Ihre Auszahlungsfunktion ist U(π, y) = cπ 2 (y y ) 2 Der Typ c bestimmt das Gewicht, mit dem Inflation in die Präferenzen der Zentralbank eingeht.

23 Spieltheorie Sommersemester Angenommen, die Beziehung zwischen dem tatsächlichen Output, dem effizienten Output und der Abweichung der tatsächlichen von der erwarteten Inflation kann wie folgt geschrieben werden y = by + d(π π e ). Eingesetzt in die Nutzenfunktion der Zentralbank ergibt sich V (π, π e ) = cπ 2 [(b 1)y + d(π π e )] 2. Für das Zwei Periodenspiel sind die Auszahlungen gegeben durch die Summe der Auszahlungen der beiden Perioden. Sie betragen also V (π 1, π e 1) + V (π 2, π e 2) und (π 1 π e 1) 2 (π 2 π e 2) 2 für die Zentralbank für ein Unternehmen

24 Spieltheorie Sommersemester In dieses zweiperiodige Spiel ist ein Signalspiel eingebettet: Das Signal des Senders ist die von der Zentralbank gewählte Inflationsrate π 1 und die Aktion des Empfängers ist die für die zweite Periode erwartete Inflation π e 2. Die optimale Strategie der Zentralbank in der zweiten Periode, gegeben die erwartete Inflationsrate des Unternehmens in dieser Periode, ergibt sich aus der Maximierung von V (π 2, π e 2). Wenn die Zentralbank vom Typ c ist, dann ist die optimale Wahl von π 2 gegeben π e 2 durch determiniert. π 2(π e, c) = d c + d 2[(1 b)y + dπ e 2]

25 Spieltheorie Sommersemester Diese Strategiewahl wird von den Unternehmern antizipert. Wenn die Unternehmen zu Beginn der zweiten Periode die Vermutung haben, dass mit der Wahrscheinlichkeit q gilt c = W, werden sie ihre Erwartungen π e 2(q) so bilden, dass maximiert wird. q[π 2(π e 2, W) π e 2] 2 (1 q)[π 2(π e 2, S) π e 2] 2 Die Vermutungen der Unternehmen bezüglich des Typs der Zentralbank hängen aber ab von der Inflationsrate, die die Zentralbnk in der ersten Periode gegeben die Inflationserwrtungen der Unternehmen gesetzt hat.

26 Spieltheorie Sommersemester In einem Pooling Gleichgewicht wählen beide Typen der Zentralbank in der ersten Periode die gleiche Inflationsrate (π ). Daher wirdn die Inflationserwartung der Unternehmen in der ersten Periode π e 1 = π sein. Auf dem Gleichgewichtspfad beginnen die Unternehmen mit der Vermutung p, dass c = W gilt und bilden daher die Inflationserwartung π e 2(p). Die Zentralbank vom Typ c wählt ihre optimale Inflationsrate in der zweiten Periode gegeben diese Erwartung, d.h. π 2[π e 2(p), c] und das Spiel endet. Um das Gleichgewicht vollständig zu charakterisieren, müssen noch die Vermutungen des Empfängers außerhalb des Gleichgewichtes bestimmt werden, damit die entsprechenden Aktionen des Empfängers berechnet werden können. Dann muß man noch überprüfen, dass diese Aktionen keinen Anreiz für einen Typen des Senders bilden, vom Gleichgewicht abzuweichen.

27 Spieltheorie Sommersemester In einem separierendem Gleichgewicht wählen beide Typen der Zentralbank in der ersten Periode verschiedene Inflationsraten, π S und π W. Die Inflatinserwartung der Unternehmer in der ersten Periode ist daher gleich π e i = pπ W(1 p)π S. Nachdem in der ersten Periode z.b. π W beobachtet wurde, beginnen die Unternehmen die zweite Periode mit der Vermutung p = 1, dass c = W ist. Ihre Erwartung ist daher π e 2(1). Analog führt die Beobachtung von π S zur Vermutung π e 2(0). Im Gleichgewicht wählt der Typ W die Inflationsrate π 2[π e 2(1), W], Typ S wählt π 2[π e 2(0), S] und das Spiel endet.

28 Spieltheorie Sommersemester Um das Gleichgewicht vollständig zu beschreiben, müssen die Vermutungen und die entsprechenden Aktionen des Empfängers außerhalb des Gleichgewichtes bestimmt werden, und es ist sicherzustellen, dass kein Typ eine Veranlassung hat, von dem Gleichgewicht abzuweichen. Zusätzlich muss gelten, dass keiner der beiden Typen der zwentralbank einen Anreiz hat, den jeweils anderen Typ zu imitieren. Es könnte ja für die schwache Zentralbank einen Anreiz geben, in der ersten Periode die starke Zentralbank zu imitieren und π S zu wählen. Dies würde zu Inflationserwartungen seitens der Unternehmen von π e 2(0) führen. In der zweiten Periode würde die schwache Zentralbank π 2[π e 2(0), W] wählen.

29 Spieltheorie Sommersemester Diese Imitation könnte auch falls π S sehr niedrig ist z.b. dann attrativ sein, wenn die Inflationserwartung π e 2(0) so niedrig ist, dass die schwache Zentralbank eine sehr große Auszahlung durch die unerwartete Inflation π 2[π e 2(0), W] π e 2(0) erhält. In einem separierenden Gleichgewicht muss die Inflationsrate der starken Zentralbank so niedrig sein, dass die schwache Zentralbank kein Interesse hat, die starke zu imitieren, auch angesichts der hohen Auszahlung in der zweiten Periode. Für viele Parameterwerte führt das dazu, dass die starke Zentralbank eine Inflationsrate wählt, die niedriger ist als bei vollständiger Information.