Spieltheorie. Dezsö Szalay. Winter 2013/14. University of Bonn. Dezsö Szalay (University of Bonn) Spieltheorie Winter 2013/14 1 / 1

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1 Spieltheorie Dezsö Szalay University of Bonn Winter 2013/14

2 Spieltheorie University of Bonn Professor Dezsö Szalay Winter 2013/14 Re nements of Perfect Bayesian Equilibrium Dieser Teil basiert auf Gibbons, R. (1992) A primer in Game Theory, Kapitel 4 Das Konzept des Perfect Bayesian Equilibrium verhindert dass Spieler i eine Strategie spielt, die strikt dominiert ist im Fortsetzungsspiel beginnend an einer Informationsmenge von Spieler i. Daher sollte Spieler j nicht glauben, dass Spieler i eine derart dominierte Strategie spielt!

3 Betrachten wir folgendes Spiel:

4 Es gibt hier zwei PBEs: (L, L 0, p = 1) und R, R 0, p 1 2 Beide Konstellationen sind PBE s; Im letzteren Gleichgewicht liegt Spieler 2 s Informationsmenge abseits des Gleichgewichtspfades. Jedoch: Strategy M ist dominiert für Spieler 1. Der höchstmögliche Payo aus M (1) ist kleiner als 2 (dem Payo aus R). Das würde aber implizieren dass 1 p = 0 () p = 1, aber das wiederum widerspricht p 1 2. Dieses Beispiel illustriert die Idee nicht exakt! Strategy M ist nicht nur dominiert im Fortsetzungsspiel beginnend an Spieler 1 s Informationsmenge sondern ganz einfach strikt dominiert (im ganzen Spiel).

5 De nition: Betrachten wir eine Informationsmenge an der Spieler i am Zug ist. Die Strategie s 0 i ist strikt dominiert beginnend an dieser Informationsmenge wenn eine andere Strategie s i existiert sodass für jeden belief den i haben könnte an diesem Informationsset und für alle möglichen Kombinationen von Strategien der anderen Spieler im Fortsetzungsspiel, der erwartete Payo für Spieler i aus der Strategie s i strikt höher ist als der erwartete Payo aus der Strategie s 0 i. Anforderung 5: Wenn immer möglich, sollte der belief jedes Spielers Wahrscheinlichkeit 0 auf Knoten legen die nur erreicht werden wenn ein anderer Spieler eine Strategie spielt, die strikt dominiert ist an einem seiner Informationssets.

6 Was ist gemeint mit "wenn möglich"? Wenn wir den Payo am Knoten der durch L, L 0 erreicht wird für Spieler 1 zu 3/2 ändern, dann sind sowohl L als auch M strikt dominiert. Aber das würde dann implizieren dass p = 0 und p = 1, was unmöglich ist.

7 Beispiel 2 um Anforderung 5 zu illustrieren:

8 Betrachten wir das Pooling Gleichgewicht f(l, L), (u, d), p = 0.5, qg for q 1 2. Der Knoten nachdem t 1 R gespielt hat kann nur erreicht werden wenn t 1 eine dominierte Strategie gespielt hat. Formal sind die Sender Strategien (R, L) und (R, R) dominiert. Obendrein: der Knoten nachdem t 2 R gespielt hat kann erreicht werden wenn t 2 eine Strategien spielt, die nicht dominiert ist (namentlich (L, R)). Insbesondere, wenn der Receiver u spielt als Antwort auf R (was optimal ist für q < 1 2 ), dann bevorzugt der Sender vom Typ t 2 es in der Tat R zu spielen statt L. Daher würde also Anforderung 5 einen Belief von q = 0 erfordern. Daher zerstört Anforderung 5 das Gleichgewicht f(l, L), (u, d), p = 0.5, qg for q 1 2.

9 In Signalisierungsspielen ist die folgende De nition äquivalent zu der obenstehenden: De nition: In einem signaling Spiel ist die Message m j in M dominiert für den Typen t i in T wenn es eine andere message m j 0 in M gibt sodass der niedrigste Payo des Typs t i (resultierend) aus m j 0 höher ist als der grösstmögliche Payo von t i (resultierend) aus m j : min U S (t i, m j 0, a k ) > max U S (t i, m j, a k ) a k 2A a k 2A Signaling Anforderung 5: Wenn eine Informationsmenge folgend auf m j abseits des Gleichgewichtspfads liegt und m j ist dominiert für Typ t i, dann sollte (wenn möglich) der belief des Receivers, µ(t i j m j ), Null Gewicht legen auf den Typen t i. (Und das ist möglich falls nicht m j dominiert ist für alle Typen in T.)

10 In einigen Spielen, sind aber auch Gleichgewichte, auch wenn sie Anforderung 5 genügen, trotzdem nicht sinnvoll. Welche weiteren Anforderungen können hinzugefügt werden um unvernünftige Gleichgewichte auszuschliessen? The intuitive criterion (Cho and Kreps (1987) QJE)) Betrachten wir das folgende Beer and Quiche Spiel: Sender t 1 t 2 wimpy (mit prob. 0, 1) surly (mit prob. 0, 9) Sender s message: Quiche oder Bier zum Frühstück. Receiver s action: duel or not with sender. Der Wimp (die Memme) bevorzugt Quiche zum Frühstück. Der surly type (selbstbewusste Typ) bevorzugt Bier zum Frühstück. Beide Typen bevorzugen es, sich nicht zu duellieren. Der Receiver möchte sich mit dem Wimp duellieren aber nicht mit dem selbstbewussten Typen.

11 Der Spielbaum:

12 f(quiche, Quiche), (not, duel), p = 0, 1, qg ist ein PBE für jegliches q 1 2. Das Gleichgewicht genügt der Signaling Anforderung 5, da Bier nicht dominiert ist für keinen der Sender Typen. Der minimale Payo aus Quiche Quiche für den Wimp ist 1, was nicht höher ist als der maximale Payo aus Bier, 2. Jedoch ist der Belief abseits des Pfads dennoch seltsam! q 1 2 bedeutet, dass der Receiver es für wahrscheinlicher hält, dass die Abweichung vom Wimp kommt. Aber, (a) der Wimp kann sich unmöglich verbessern relativ zu seinem Gleichgewichtspayo (3) wenn er Bier frühstückt, während dessen (b) der selbstbewusste Typ sich sehr wohl verbessern könnte relativ zu seinem Gleichgewichtspayo (2) wenn er Bier frühstückt (solange q < 1 2 )

13 Der Sender könnte die folgende Rede halten: Wenn du mich ein Bier trinken siehst, dann sollte dich das überzeugen, dass ich selbstbewusst bin: wenn ich eine Memme wäre, dann könnte das Bier unmöglich meine Situation verbessern (a); und falls dich ein Bier tatsächlich glauben lässt, du habest es mit dem selbstbewussten Typen zu tun, dann stellt mich das wirklich besser wenn ich tatsächlich der selbstbewusste Typ bin (b).

14 De nition: In einem PBE in einem Signaling Spiel ist die Message m j equilibrium-dominated für Typ t i wenn t i s Gleichgewichtspayo, U (t i ), höher ist als t i s höchstmöglicher Payo aus m j : U (t i ) > max a k 2A U S (t i, m j, a k ). Signaling Anforderung 6 ("The intuitive criterion): Wenn eine Informationsmenge folgend auf die Nachricht m j abseits des Gleichgewichtspfad ist und m j equilibrium-dominated ist für t i dann (wenn möglich) sollte der Belief des Receivers, µ(t i j m j ), Null Wahrscheinlichkeit legen auf den Typen t i. (Und das ist wiederum möglich sofern m j nicht equilibrium-dominated ist für alle Typen in T.) "Beer and Quiche" zeigt dass m j equilibrium-dominated sein kann aber nicht dominated für t i. Die Umkehrung ist jedoch nicht wahr. Wenn eine Message dominiert ist dann muss sie auch equilibrum-dominated sein. Daher macht Anforderung 6 Anforderung 5 redundant.

15 Anwendung auf das Job market signaling Spiel: 1) Anforderung 5 schliesst alle Separierungsgleichgewichte aus ausser diejenigen in denen der niedrige Typ das Niveau e (L) wählt und der hohe Typ das Niveau e = e s wählt, wobei e (L) und e s im der folgenden Graphik de niert werden:

16 Da w(e) = µ(h j e) y(h, e) + [1 µ(h j e)] y(l, e), wenn der niedrige Typ e (L) wählt, dann kann er mindestens y[l, e (L)] c[l, e (L)] erhalten, was mehr ist als was er erhalten kann wenn er irgendein e > e s wählt. Daher ist e > e s dominiert für L. Aber, da E ortniveaus e > e s nicht dominiert sind für Typ H, diktiert Anforderung 5 dass µ(h j e) = 1 für e > e s. Aber dann kann e > e s nicht Teil eines Gleichgewichts sein, da das erforder würde dass die Receiverbeliefs µ(h j e) < 1 für irgendein e > e s erfüllen müssten. Daher genügt nur gerade ein Separierungsgleichgewicht der Anforderung 5.

17 2) Daraus folgt (immer noch wegen Anforderung 5) dass in jeglichem Gleichgewicht, der hohe Typ mindestens y(h, e s ) c(h, e s ) bekommen muss. Dies schliesst einige Hybrid und Pooling Gleichgewichte aus. Wir unterscheiden zwei Fälle nach der Höhe von q (niedrig und hoch).

18 Fall 1: q niedrig

19 In diesem Fall überlebt kein Pooling Gleichgewicht das Re nement, da der hohe Typ einen zu geringen Nutzen bekommen würde. Es überlebt auch kein Hybridgleichgewicht in dem der niedrige Typ mischt das Re nement, da die Indi erenzkurve des niedrigen Typen unterhalb des minimal notwendigen Nutzenniveaus für den hohen Typen liegt. Kein Hybridgleichgewicht in dem der hohe Typ mischt überlebt, da die erwartete Produktivitätslinie dann unterhalb der durchschnittlichen läge.

20 Fall 2: q hoch

21 Einige Pooling und Hybrid Gleichgewichte genügen Signaling Anforderung 5. Aber Anforderung 6 schliesst diese Gleichgewichte aus. Insert graph here: e > e 0 sind equilibrium-dominated für den niedrigen Typen. e 2 (e 0, e 00 ) sind nicht equilibrium-dominated für den hohen Typen. Daher diktiert Anforderung 6 dass µ(h j e) = 1 für e 2 (e 0, e 00 ).