7 Dynamische Spiele mit unvollständiger Information. 7.1 Einleitung. Literaturhinweise zu Kapitel 7:

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1 Spieltheorie (Winter 29/) 7- Prof. Dr. Ana B. Ania 7 Dynamische Spiele mit unvollständiger Information Literaturhinweise zu Kapitel 7: Osborne (24), Kapitel Gibbons (992), Kapitel 4 MasColell, Whinston, Green (995), Kapitel 9C+D Fudenberg und Tirole (99), Kapitel 8, 9 und.2 7. Einleitung In dynamischen Spielen mit unvollständiger Information stellt sich wie in dynamischen Spielen mit vollständiger Information das Problem, Gleichgewichte, die auf unglaubwürdigen Drohungen beruhen, zu eliminieren. Beachten Sie, dass Teilspielperfektheit bei unvollständiger Information keinen Biss hat. Da die Spieler die Typen ihrer Gegenspieler nicht kennen, gibt es keine einelementigen Informationsmengen mehr, nachdem die Natur die Typen gezogen hat. Das einzige Teilspiel ist das gesamte Spiel. Klaus M. Schmidt 27

2 Spieltheorie (Winter 29/) 7-2 Prof. Dr. Ana B. Ania Verallgemeinerung der Idee der Teilspielperfektheit für Fortsetzungsspiele (continuation games). Ein Fortsetzungsspiel kann auch in einer mehrelementigen Informationsmenge beginnen. Aber der Spieler, der in einer mehrelementigen Informationsmenge am Zug ist, muss einen Belief, d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung darüber haben, in welchem Entscheidungsknoten der Menge er sich befindet. So können wir erneut sequentiell rationales Verhalten analysieren, d.h., Verhalten, das in allen Fortsetzungsspielen des ursprünglichen Spiels optimal ist, sowohl auf als auch außerhalb des Gleichgewichtspfades. Das wird uns zu einem neuen Gleichgewichtskonzept führen: Perfektes Bayesianisches Gleichgewicht. In dem Maße, in dem die Spiele, die wir betrachten, komplizierter werden, müssen wir zusätzliche Anforderungen stellen, um nicht-überzeugende Gleichgewichte auszuschließen. Beachten Sie jedoch, dass die Gleichgewichtsbegriffe nicht willkürlich sind, sondern systematisch aufeinander aufbauen. Wir werden sehen, dass perfekte Bayesianische Gleichgewichte übereinstimmen mit teilspielperfekten Gleichgewichten, wenn es sich um ein dynamisches Spiel mit vollständiger Information handelt;

3 Spieltheorie (Winter 29/) 7-3 Prof. Dr. Ana B. Ania Bayesianischen Nash-Gleichgewichten, wenn es um ein statisches Spiel mit unvollständiger Information geht; Nash-Gleichgewichten, wenn es sich um ein statisches Spiel mit vollständiger Information handelt. Zunächst wenden wir die Idee sequentieller Rationalität auf Spiele mit vollständiger, aber unvollkommener Information an. Der Schritt zu Spielen mit unvollständiger Information ist dann nicht mehr groß. 7.2 Sequentielle Rationalität Betrachten Sie zunächst das Spiel in Abb. 7., das auf Selten (975) zurückgeht. l L r 2 l M R r ( ) 3 ( 2 ) ( ) ( 2 Abb. 7. ) ( ) Wie sollte sich Spieler 2 in diesem Spiel verhalten?

4 Spieltheorie (Winter 29/) 7-4 Prof. Dr. Ana B. Ania Wenn Spieler 2 am Zug ist, hat er eine dominante Strategie: l. Gegeben, dass 2 l spielen wird, ist es für Spieler optimal, ebenfalls L zu spielen. Gibt es noch andere Gleichgewichte in diesem Spiel? L 2 l r 2,, M R, 2,, 3, 3 Abb. 7.2: Normalform des Spiels in Abb. 7. Analyse der Normalform des Spiels zeigt, dass es noch ein zweites Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien gibt: (R, r). Ist dieses Gleichgewicht (R, r) teilspielperfekt? Ja! In diesem Spiel ist das einzige Teilspiel das gesamte Spiel. Da (R, r) im gesamten Spiel ein Nash-Gleichgewicht ist, ist es auch teilspielperfekt. Aber es ist ganz sicher nicht sequentiell rational.

5 Spieltheorie (Winter 29/) 7-5 Prof. Dr. Ana B. Ania Wie können wir dieses unglaubwürdige Gleichgewicht ausschließen? Betrachten Sie das Fortsetzungsspiel, das beginnt, wenn Spieler 2 am Zug ist. Dieses Fortsetzungsspiel beginnt in einer mehrelementigen Informationsmenge und ist darum kein Teilspiel. Trotzdem wollen wir verlangen, dass die Strategien auch in solchen Fortsetzungsspielen optimales Verhalten vorschreiben. Welches Verhalten in einem Fortsetzungsspiel optimal ist, hängt im allgemeinen von den Wahrscheinlichkeiten ab, die ein Spieler den verschiedenen Knoten in seiner Informationsmenge zuordnet. Zusätzliche Anforderungen an ein Gleichgewicht: Bedingung 7. In jeder Informationsmenge muss der Spieler, der am Zug ist, einen Belief darüber haben, an welchem Knoten er sich befindet. Ein Belief ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die möglichen Knoten. Ein System von Beliefs für alle Informationsmengen bezeichnen wir mit μ. Bedingung 7.2 Gegeben seine Beliefs muss das Verhalten eines jeden Spielers sequentiell rational sein, d.h., gegeben seine Beliefs muss seine Strategie in jedem Fortsetzungsspiel eine beste Antwort gegen die Strategien seiner Gegenspieler sein.

6 Spieltheorie (Winter 29/) 7-6 Prof. Dr. Ana B. Ania Diese Bedingungen schließen das Gleichgewicht (R, r) aus. Ganz gleich, welchen Belief Spieler 2 in seiner Informationsmenge hat, es ist immer besser, l zu spielen, als r. In diesem Beispiel spielt es keine Rolle, welche Beliefs Spieler 2 hat. Im allgemeinen wird die optimale Aktion eines Spielers jedoch von seinen Beliefs abhängen. Darum können wir nicht beliebige Beliefs zulassen, sondern müssen verlangen, dass diese Beliefs konsistent mit den Strategien der Spieler und der bisherigen Geschichte des Spiels sind. Bedingung 7.3 Die Beliefs eines Spielers in jeder Informationsmenge (entlang und abseits des Gleichgewichtspfades) ergeben sich aus den Gleichgewichtsstrategien der Spieler und aus Bayes Regel, wann immer diese Regel angewandt werden kann. Beispiele: Betrachten Sie erneut Abb. 7. und das Gleichgewicht (L, l). Wenn die Informationsmenge von Spieler 2 erreicht wird, muss Spieler 2 glauben, dass er sich mit Wahrscheinlichkeit im linken Knoten befindet. Angenommen, es gäbe in diesem Spiel ein Gleichgewicht in gemischten Strategien, in dem Spieler mit Wahrscheinlichkeit p, q und p q nach L bzw. M bzw. R geht. Wenn jetzt die Informationsmenge von Spieler

7 Spieltheorie (Winter 29/) 7-7 Prof. Dr. Ana B. Ania 2 mit den Knoten L und M erreicht wird, muss Spieler p 2 glauben, dass er sich mit Wahrscheinlichkeit p+q in q Knoten L und mit Wahrscheinlichkeit p+q in Knoten M befindet. Exkurs: Bayes Regel Betrachten wir eine Wahrscheinlichkeitsverteilung p und zwei Ereignisse E und F. Dann besagt Bayes Regel, dass prob(e F )= prob(e und F ). prob(f ) Beispiel: Spieler geht mit Wahrscheinlichkeit p nach L, mit W. q nach M, und mit W. p q nach R. Wie hoch ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Spieler in Knoten L gelandet ist, wenn wir wissen, dass er entweder in Knoten L oder M ist? E = L F = {L, M} prob(e und F )=p prob(f )=p + q prob(e F )= p p+q

8 Spieltheorie (Winter 29/) 7-8 Prof. Dr. Ana B. Ania 7.3 Gleichgewichtsdefinition Definition 7. Ein perfektes Bayesianisches Gleichgewicht (PBGG) ist ein Profil von Strategien und ein System von Beliefs (σ, μ), sodass die Strategien aller Spieler sequentiell rational sind gegeben das System von Beliefs μ; die Beliefs (entlang und abseits des Gleichgewichtspfades) aus den Gleichgewichtsstrategien der Spie- ler mit Hilfe von Bayes Regel abgeleitet werden, wann immer diese Regel anwendbar ist Bemerkungen: ) Wenn die Spieler vollständig gemischte Strategien verwenden, werden alle Knoten mit positiver Wahrscheinlichkeit erreicht. Dann können wir Bayes Regel immer anwenden, um die Beliefs der Spieler zu aktualisieren. 2) Wenn die Strategien nicht vollständig gemischt sind, werden bestimmte Informationsmengen mit Wahrscheinlichkeit erreicht. In solchen Informationsmengen kann es sein, dass Bayes Regel nicht anwendbar ist. Dann lässt das Konzept des PBGG beliebige Beliefs zu, sodass oft sehr viele Ergebnisse als PBGG gestützt werden können. Deshalb werden wir weitere Verfeinerungen des Gleichgewichtskonzepts benötigen (siehe unten).

9 Spieltheorie (Winter 29/) 7-9 Prof. Dr. Ana B. Ania 7.4 Beispiele Beispiel hat ein echtes Teilspiel mit einem eindeutigen Gleichgewicht: (L, r). Deshalb ist das eindeutiges PBGG: (D, L, r), μ =. Dies ist auch das einzige TPGG. Es gibt noch weitere Nash-Gleichgewichte, z.b. (A, L, l). In diesem Gleichgewicht wird die Informationsmenge von Spieler 3 mit Wahrscheinlichkeit erreicht. Wenn wir nur verlangen, dass Bayes Regel auf dem Gleichgewichtspfad verwendet werden muss, dann sind die Beliefs von Spieler 3 beliebig. Insbesondere ist μ = möglich. Mit μ =ist es für Spieler 3 tatsächlich optimal, l zu wählen. Wir verlangen jedoch zusätzlich, dass Bayes Regel auch außerhalb des Gleichgewichtspfades angewendet werden soll, wann immer das möglich ist. Hier ist es möglich. Gegeben die Strategie von Spieler 2, L, schreibt Bayes Regel vor: μ =.Darumistl für Spieler 3 nicht optimal und (A, L, l) somit kein PBGG.

10 Spieltheorie (Winter 29/) 7- Prof. Dr. Ana B. Ania 2 3 L R A D l r l r [μ] [ μ] Abb. 7.3: Beispiel Bayes Regel anwendbar 2 3 L R A A D l r l r [μ] [ μ] Abb. 7.4: Beispiel 2 Bayes Regel nicht anwendbar

11 Spieltheorie (Winter 29/) 7- Prof. Dr. Ana B. Ania In Beispiel 2 hat Spieler 2 die Option, das Spiel zu beenden (A ). Das alte Gleichgewicht (D, L, r) mit μ =ist nach wie vor ein PBGG. Jetzt gibt es aber noch ein zweites PBGG: (A, A,l) und μ 3. Wenn in diesem Gleichgewicht Spieler 2 zum Zug kommt, wählt er sowohl L als auch R mit Wahrscheinlichkeit. Bayes Regel greift deshalb nicht. Die Beliefs von Spieler 3 sind beliebig; insbesondere ist μ 3 möglich. Für 3 ist es tatsächlich optimal, l zu spielen. Für 2 ist es tatsächlich optimal, A zu spielen. Für ist es tatsächlich optimal, A zu wählen. Beispiel 3 illustriert ein PBGG in gemischten Strategien: l L 2 R M [μ] [ μ] r l r ( ) 2 ( ) ( 5 ) ( 3 ) ( ) 4 3 Abb. 7.5: Beispiel 3 PBGG in gemischten Strategien

12 Spieltheorie (Winter 29/) 7-2 Prof. Dr. Ana B. Ania Analyse des Spiels: Wenn die Informationsmenge von Spieler 2 erreicht wird, ist l genau dann optimal, wenn 3( μ) μ 2 3. Angenommen, μ> 2 3 sei Teil eines PBGG. Dann spielt Spieler 2 l und Spieler M. Daswürde jedoch μ = implizieren, ein Widerspruch. Angenommen, μ< 2 3 sei Teil eines PBGG. Dann spielt Spieler 2 r und Spieler L. Daswürde jedoch μ = implizieren, erneut ein Widerspruch. Also muss μ = 2 sein. Jetzt ist Spieler 2 indifferent und 3 muss im Gleichgewicht l mit einer Wahrscheinlichkeit p spielen, so dass Spieler ebenfalls indifferent zwischen L und M ist. Das ist genau dann der Fall, wenn p +5( p) =3p +4( p) p = 3. Also ist das eindeutige PBGG in diesem Spiel: Strategie von Spieler : ( 2 3, 3,, ) Strategie von Spieler 2: ( 3, 2 ) 3 Beliefs von Spieler 2: μ = 2 3.

13 Spieltheorie (Winter 29/) 7-3 Prof. Dr. Ana B. Ania 7.5 Sequentielle und Perfekte Gleichgewichte Perfekte Bayesianische Gleichgewichte sind erst relativ spät in die Literatur eingeführt worden (Fudenberg und Tirole 99). Die Idee, ein Gleichgewicht als Kombination aus Strategien und Beliefs aufzufassen, um so sequentielle Rationalität auch in Spielen mit unvollkommener oder unvollständiger Information definieren zu können, stammt von Kreps und Wilson (982). Sie hatten das etwas strengere Konzept des sequentiellen Gleichgewichts eingeführt, das wir wie folgt definieren können: Definition 7.2 Ein sequentielles Gleichgewicht ist ein Profil von Strategien und ein System von Beliefs (σ, μ) mit den folgenden Eigenschaften: (σ, μ) ist ein perfektes Bayesianisches Gleichgewicht. Es existiert eine Folge von vollständig gemischten Strategien {σ k } k= mit lim k σ k = σ, sodass μ = lim k μ k, wobei μ k dasjenige System von Beliefs bezeichnet, das sich aus den Strategien σ k und Bayes Regel ergibt.

14 Spieltheorie (Winter 29/) 7-4 Prof. Dr. Ana B. Ania Sequentielle Gleichgewichte verlangen also zusätzlich, dass sich die Beliefs rechtfertigen lassen durch ein Profil vollständig gemischter Strategien, die sehr nahe bei den Gleichgewichtsstrategien liegen. Da bei vollständig gemischten Strategien alle Informationsmengen mit positiver Wahrscheinlichkeit erreicht werden, kann man Bayes Regel immer anwenden. Bemerkungen: ) Alle sequentiellen Gleichgewichte sind PBGGe, aber die Umkehrung gilt nicht. Sequentielle Gleichgewichte lassen bestimmte Beliefs außerhalb des Gleichgewichtspfades nicht zu. 2) Insbesondere impliziert die Definition eines sequentiellen Gleichgewichts, dass alle Spieler ihre Beliefs außerhalb des Gleichgewichtspfades konsistent miteinander aktualisieren müssen. Wenn Spieler 2 und 3 einen Zug von Spieler außerhalb des Gleichgewichtspfades beobachten, dann müssen Spieler 2 und 3 denselben Belief über den Typ von Spieler bilden. 3) Kreps und Wilson haben gezeigt, dass sequentielle Gleichgewichte in allen endlichen Spielen existieren. 4) Die zusätzliche (Limes-)Bedingung lässt sich typischerweise nur sehr schwer überprüfen. Darum wird in der Li-

15 Spieltheorie (Winter 29/) 7-5 Prof. Dr. Ana B. Ania teratur eigentlich immer nur mit PBGG gearbeitet, auch wenn viele Autoren von sequentiellen Gleichgewichten reden. 5) Fudenberg und Tirole (99) geben (recht restriktive) Bedingungen an, unter denen die beiden Gleichgewichtsbegriffe zu identischen Ergebnissen führen. Dies ist z.b. in den Signalisierungsspielen des folgenden Abschnitts der Fall. Ebenso sind diese Bedingungen in der Lösung des Handelsketten-Paradoxons in Abschnitt 7.3 erfüllt. 6) Kreps und Wilson (982) haben gezeigt, dass die Menge aller sequentiellen Gleichgewichte generisch mit der Menge aller (trembling hand) perfekten Gleichgewichte übereinstimmt. Das Konzept des perfekten Gleichgewichts (trembling hand perfect equilibrium) wurde von Selten (975) eingeführt. Die Idee ist, dass jeder Spieler zittert und in jeder Informationsmenge, in der er am Zug ist, jede mögliche Aktion mit einer positiven Wahrscheinlichkeit wählt. Dazu führt man ɛ-beschränkte Strategien ein, bei denen jeder Spieler jede Aktion mindestens mit Wahrscheinlichkeit ɛ> wählen muss, und betrachtet die resultierenden ɛ-beschränkten Nash-Gleichgewichte. Dann läßt man das Zittern (ɛ) gegen gehen.

16 Spieltheorie (Winter 29/) 7-6 Prof. Dr. Ana B. Ania Definition 7.3 Ein perfektes Gleichgewicht ist ein Nash-Gleichgewicht mit der Eigenschaft, dass es eine Folge von ɛ-beschränkten Nash-Gleichgewichten gibt, die gegen dieses Gleichgewicht konvergieren, wenn ɛ gegen geht. Bemerkungen: ) Das Zittern hat zur Folge, dass jede Informationsmenge mit positiver Wahrscheinlichkeit erreicht wird. Dadurch werden Nash-Gleichgewichte, die nicht sequentiell rational sind, eleminiert. 2) Selten (975) hat gezeigt, dass perfekte Gleichgewichte in allen endlichen Spielen existieren. 3) Perfekte Gleichgewichte sind grundsätzlich auch für Spiele mit unvollständiger Information definiert. Aber: Perfekte Gleichgewichte sind ohne Referenz auf Beliefs definiert. Das macht es sehr schwer, zu überprüfen, ob ein Gleichgewicht perfekt ist oder nicht. 4) Alle perfekten Gleichgewichte sind sequentiell, aber nicht umgekehrt, d.h., Perfektheit stellt stärkere Anforderungen. Aber: Für generische Spiele stimmen beide Konzepte überein. 5) Da es sich sehr viel leichter prüfen lässt, ob ein Gleichgewicht sequentiell oder perfekt Bayesianisch als (tremb-

17 Spieltheorie (Winter 29/) 7-7 Prof. Dr. Ana B. Ania ling hand) perfekt ist, werden perfekte Gleichgewichte bei Spielen mit unvollständiger Information kaum verwendet. 6) Für eine ausführliche Diskussion der technischen Eigenschaften beider Konzepte siehe Fudenberg und Tirole (99, Kapitel 8). 7.6 Signalisierungsspiele Wir betrachten jetzt Spiele mit unvollständiger Information. Eine wichtige Klasse solcher Spiele sind sogenannte Signalisierungsspiele, die die folgende Struktur haben: Es gibt zwei Spieler, einen Sender und einen Empfänger. ) Die Natur wählt den Typ t des Senders aus einer Menge T = {t,...,t I } entsprechend der W-Verteilung μ(t). 2) Der Sender erfährt seinen Typ und wählt eine Botschaft m aus M = {m,...,m J }. 3) Der Empfänger beobachtet die Botschaft (aber nicht t i ) und wählt dann eine Aktion a aus der Menge der möglichen Aktionen A {a,...,a K }. 4) Die Auszahlungen sind U S (t, m, a) und U E (t, m, a).

18 Spieltheorie (Winter 29/) 7-8 Prof. Dr. Ana B. Ania Solche Signalisierungsspiele sind in vielen Bereichen der VWL angewendet worden. Beispiele: Job market signaling: Der Sender ist ein Arbeiter, dessen Fähigkeiten private Information sind. Er wählt ein Ausbildungsniveau. Der Unternehmer beobachtet die Ausbildung, aber nicht die Fähigkeit, und entscheidet über ein Lohnangebot. Initial public offering: Der Sender ist ein Unternehmer, der den Wert seines Unternehmens kennt. Er wählt einen Anteil seiner Firma, den er auf dem Aktienmarkt verkaufen will. Der Markt beobachtet diesen Anteil, nicht aber den Wert des Unternehmens, und entscheidet über die Bewertung der Aktien. Limit pricing: Der Sender ist ein Monopolist, der seine Grenzkosten kennt. Er wählt seine Produktionsmenge in der ersten Periode. Der Empfänger ist ein potentieller Marktzutreter. Er beobachtet die gewählte Menge, nicht aber die Grenzkosten des Monopolisten, und entscheidet dann über Marktzutritt. Wir betrachten zunächst ein abstraktes Signalisierungsspiel mit zwei Typen, zwei Botschaften des Senders und zwei Aktionen des Empfängers:

19 Spieltheorie (Winter 29/) 7-9 Prof. Dr. Ana B. Ania a Sender m m 2 t a a 2 μ a 2 Empfänger Natur Empfänger a μ a a 2 t 2 m m 2 Sender a 2 Abb. 7.6: Struktur eines Signalisierungsspiels In diesem Spiel hat jeder Spieler vier mögliche Strategien. Beachten Sie, dass eine Strategie für jede Informationsmenge, in der Spieler i am Zug ist, angeben muss, wie sich Spieler i dort verhalten soll. Eine mögliche Strategie des Senders ist (m 2,m ): Spiele m 2,wennDuTypt bist, und m,wenndutypt 2 bist. Eine mögliche Strategie des Empfängers ist (a 2,a ): Spiele a 2, wenn der Sender m gesendet hat, und a, wenn der Sender m 2 gesendet hat.

20 Spieltheorie (Winter 29/) 7-2 Prof. Dr. Ana B. Ania Außerdem muss der Empfänger nach beiden Botschaften einen Belief darüber haben, an welchem Knoten er sich befindet. Da es für den Empfänger zwei mögliche Informationsmengen gibt, gibt es auch zwei Beliefs (μ,μ 2 ). Es gibt zwei mögliche Arten von Gleichgewichten in reinen Strategien: Separierende Gleichgewichte: Unterschiedliche Typen des Senders wählen unterschiedliche Botschaften. Pooling-Gleichgewichte: Beide Typen des Senders wählen dieselbe Botschaft. Bei mehr als zwei Typen kann es auch halb-separierende Gleichgewichte geben: Einige Botschaften werden nur von einigen Typen und nicht von anderen gewählt, aber die Separierung ist nicht perfekt. Bei gemischten Strategien sind auch hybride Gleichgewichte möglich: Ein Typ sendet eine Botschaft mit Wahrscheinlichkeit, der andere Typ randomisiert zwischen beiden Botschaften Ein Beispiel Suchen wir jetzt alle Gleichgewichte in reinen Strategien in dem folgenden Beispiel:

21 Spieltheorie (Winter 29/) 7-2 Prof. Dr. Ana B. Ania ( ) 3 ( ) 4 o Sender o [μ l ] L R [μ r ] u Empfänger t 2 Natur u Empfänger ( ) 2 ( ) ( ) 2 4 ( ) o u t 2 [ μ l ] L R [ μ r ] Sender 2 o u ( ) ( ) 2 Abb. 7.7: Ein Signalisierungsspiel ) Pooling auf L: Angenommen es gibt ein PBGG, in dem beide Typen L wählen. μ l = 2. Empfänger reagiert mit o. Ist es für beide Typen tatsächlich optimal, L zu wählen? Für t 2 auf jedem Fall, für t nur, wenn der Empfänger mit u reagiert, wenn der Sender R spielen würde. Was wird der Empfänger tun, wenn er R beobachtet? Für ihn ist u optimal, falls μ r 2 3. Beachten Sie, dass Bayes Regel hier nicht angewandt werden kann, um μ r festzulegen. Also sind die folgenden Strategien und Beliefs PBGGe:

22 Spieltheorie (Winter 29/) 7-22 Prof. Dr. Ana B. Ania (L, L) (Strategie des Senders) (o, u) (Strategie des Empfängers) μ l = (Belief des Empfängers nach L) 2 μ r 2 (Belief des Empfängers nach R) 3 2) Pooling auf R: μ r = 2. Empfänger reagiert mit u. Sender vom Typ t bekommt. Das kann kein Gleichgewicht sein, denn t kann sich eine Auszahlung von mindestens garantieren, wenn er L spielt. 3) Separierung (L,R): μ l =, μ r =. Empfänger reagiert auf L mit o und auf R mit u. Beide Typen des Senders erhalten Auszahlung. Das kann kein Gleichgewicht sein: Typ t 2 stellt sich besser, wenn er L wählt, worauf der Empfänger mit o reagiert, was dem Sender 2 statt gibt. 4) Separierung (R,L): μ l =, μ r =. Empfänger reagiert auf L mit o und auf R mit o.

23 Spieltheorie (Winter 29/) 7-23 Prof. Dr. Ana B. Ania Beide Typen des Senders erhalten Auszahlung 2. Kein Typ kann sich durch Wechsel seiner Strategie verbessern. Also sind die folgenden Strategien und Beliefs ein PBGG: (R, L) (Strategie des Senders) (o, o) (Strategie des Empfängers) μ l = (Belief des Empfängers nach L) μ r = (Belief des Empfängers nach R) Signalisierung durch Ausbildung Das folgende Modell von Spence (973) ist das klassische Signalisierungsmodell. Es zeigt, dass asymmetrische Information zu ineffizientem Signalisierungsverhalten führen kann. Zeitstruktur: ) Die Natur bestimmt den Typ, θ, eines Arbeiters: Mit Wahrscheinlichkeit μ hat er eine hohe Produktivität (θ H ), mit Wahrscheinlichkeit μ hat er eine niedrige Produktivität (θ L ). 2) Der Arbeiter lernt seine Fähigkeiten und wählt ein Ausbildungsniveau, e.

24 Spieltheorie (Winter 29/) 7-24 Prof. Dr. Ana B. Ania 3) Zwei Unternehmen beobachten das Ausbildungsniveau des Arbeiters, nicht aber seine Fähigkeiten, und machen konkurrierende Lohnangebote. 4) Der Arbeiter akzeptiert das höhere Lohnangebot oder randomisiert 5:5 bei identischen Angeboten. Auszahlungen: Ein Unternehmen, das den Arbeiter zum Lohn w einstellt, bekommt Π(θ, w) =θ w. U(θ, w, e) =w c(e, θ). Ein Arbeiter vom Typ θ mit Ausbildungsniveau e erhält Um den Effekt des Modells besonders klar herauszuarbeiten, nehmen wir an, dass die Produktivität des Arbeiters überhaupt nicht von seiner Ausbildung abhängt! Diese Annahme könnten wir leicht aufgeben, ohne die qualitativen Resultate zu verändern (siehe Gibbons). Annahme 7. Die Ausbildungskosten des Arbeiters sind private, nicht beobachtbare Kosten, für die gilt: ) c(,θ)=für θ {θ L,θ H };

25 Spieltheorie (Winter 29/) 7-25 Prof. Dr. Ana B. Ania 2) c e (e, θ) = c(e,θ) e > und c ee (e, θ) = 2 c(e,θ) e 2 > für θ {θ L,θ H }; 3) c(e, θ L ) >c(e, θ H ) für alle e>; 4) c e (e, θ L ) >c e (e, θ H ) für alle e>. Die zentrale Annahme ist, dass der schlechte Typ sowohl höhere Kosten als auch höhere Grenzkosten als der gute Typ hat (single crossing property). Die Indifferenzkurven der beiden Typen im (e, w)-raum illustriert Abb w e Abb. 7.8: Indifferenzkurven im Spence-Modell

26 Spieltheorie (Winter 29/) 7-26 Prof. Dr. Ana B. Ania Betrachten Sie die letzte Stufe des Spiels. Nehmen wir zunächst an, es gäbe keine Ausbildung, d.h., keine Möglichkeit, die Fähigkeiten zu signalisieren. In diesem Fall werden beide Firmen dem Arbeiter einen Lohn anbieten, der seiner erwarteten Produktivität entspricht: ŵ = μ θ H +( μ )θ L Nehmen wir jetzt an, dass Signalisierung durch Ausbildung möglich ist. Nachdem sie das Ausbildungsniveau beobachtet haben, werden beide Firmen ihre Beliefs über den Typ des Arbeiters aktualisieren. Wir nehmen an, dass beide Firmen auch außerhalb des Gleichgewichtspfades ihre Beliefs über den Typ des Arbeiters identisch aktualisieren (dies muss in einem sequentiellen Gleichgewicht notwendigerweise der Fall sein). Sei μ(e) die Wahrscheinlichkeit, die beide Unternehmen dem Ereignis zuordnen, dass der Arbeiter eine hohe Produktivität hat. In der letzten Stufe des Spiels herrscht Bertrand-Wettbewerb. Beide Firmen bieten deshalb den Lohn w(e) =μ(e) θ H +( μ(e)) θ L und der Arbeiter randomisiert, welches Angebot er annimmt. Beachten Sie, dass θ L w(e) θ H für alle e.

27 Spieltheorie (Winter 29/) 7-27 Prof. Dr. Ana B. Ania w Abb. 7.9: Eine mögliche Lohnfunktion Separierende Gleichgewichte Im Gleichgewicht sei e (θ) das Ausbildungsniveau von Typ θ und w (e) die Lohnfunktion der Unternehmen. In einem separierenden GG muss gelten: e (θ L ) e (θ H ). Lemma 7. In jedem separierenden Gleichgewicht muss gelten: w (e (θ L )) = θ L und w (e (θ H )) = θ H. Beweis: In einem PBGG müssen die Beliefs entlang des GG- Pfades mit Bayes Regel aktualisiert werden: e = e (θ L ) μ(e) = e = e (θ H ) μ(e) = e

28 Spieltheorie (Winter 29/) 7-28 Prof. Dr. Ana B. Ania Die entsprechenden Löhne ergeben sich durch den Bertrand- Wettbewerb. Q.E.D. Lemma 7.2 In jedem separierenden Gleichgewicht ist e (θ L )=. Beweis: Angenommen e (θ L ) >. Wegen Lemma 7. bekommt Typ θ L den Lohn w = θ L. Wenn er ein niedrigeres Ausbildungsniveau wählt, sind seine Kosten niedriger, ohne dass sein Lohn weiter fallen kann. Also lohnt sich eine Abweichung. Q.E.D. Wegen Lemma 7.2 muss die relevante Indifferenzkurve von Typ θ L wie folgt aussehen: w e Abb. 7.: Indifferenzkurve für Typ θ L in einem separierenden Gleichgewicht

29 Spieltheorie (Winter 29/) 7-29 Prof. Dr. Ana B. Ania Die GG-Allokation für Typ θ L ist der Punkt (,θ L ). Die GG-Allokation für Typ θ H muss auf der Geraden w = θ H liegen. Sein Ausbildungsniveau e (θ H ) kann aber nicht links von e liegen, sonst würde Typ θ L den Punkt (e (θ H ),θ H ) seiner eigenen Allokation vorziehen. Behauptung: Der Punkt (e,θ H ) ist Teil eines separierenden Gleichgewichts. Beweis: Die Punkte (,θ L ) und (e,θ H ) sind für die Typen θ L bzw. θ H optimal, wenn die Lohnfunktion diese beiden Punkte berührt und an keiner Stelle links oberhalb von den Indifferenzkurven durch diese Punkte verläuft. Eine solche Lohnfunktion können wir leicht konstruieren. Beachten Sie, dass Bayes Regel nicht angewendbar ist, wenn der Arbeiter e {,e } wählt, so dass wir die Beliefs für diese e beliebig wählen können. Sei z.b. μ(e) = Das erzeugt die Lohnfunktion falls e<e ; falls e e. w(e) = θ L falls e<e ; θ H falls e e. Diese stützt das separierende Gleichgewicht. Q.E.D.

30 Spieltheorie (Winter 29/) 7-3 Prof. Dr. Ana B. Ania w e Abb. 7.: Separierende Gleichgewichte Dieses Gleichgewicht ist offensichtlich nicht das einzige separierende Gleichgewicht: Jedes Ausbildungsniveau e [e,e ] kann in einem separierenden PBGG gestützt werden. Für jedes Ausbildungsniveau e [e,e ] gibt es viele verschiedene Beliefs außerhalb des Gleichgewichtspfades, die dieses Gleichgewicht stützen. Bemerkungen: Das Ausbildungsniveau e ist das niedrigste Ausbildungsniveau, dass der gute Typ in einem separierenden Gleichgewicht wählen kann.

31 Spieltheorie (Winter 29/) 7-3 Prof. Dr. Ana B. Ania Der schlechte Typ ist in einem separierenden Gleichgewicht immer schlechter gestellt, als wenn Signalisierung unmöglich ist. Der gute Typ kann in einem separierenden Gleichgewicht besser gestellt sein, als wenn Signalierung unmöglich ist. Wenn μ jedoch groß genug ist, ist er immer schlechter gestellt. Beachten Sie, dass das Gleichgewicht oben unabhängig von μ ist. Wenn μ sehr groß ist, muss jeder der guten Arbeiter die teure Ausbildung absolvieren, nur um nicht mit einem der wenigen schlechten Arbeiter verwechselt zu werden. Die Möglichkeit von Signalisierung kann also zu einer Pareto-Verschlechterung führen! Die Gleichgewichte können nach dem Pareto-Kriterium geordnet werden. Pooling-Gleichgewichte Betrachten wir jetzt potentielle Pooling-Gleichgewichte, in denen beide Typen dasselbe Ausbildungsniveau, e (θ L )= e (θ H )=e,wählen. Dann muss gelten: w (e )=μ θ H +( μ )θ L =ŵ.

32 Spieltheorie (Winter 29/) 7-32 Prof. Dr. Ana B. Ania Beachten Sie: Wenn der Arbeiter e e wählt, sind wir außerhalb des Gleichgewichtspfads und Bayes Regel greift nicht. Also können wir hier beliebige Beliefs und damit beliebige Lohnangebote zulassen. Welche Ausbildungsniveaus können Teil eines Pooling-Gleichgewichts sein? w e Abb. 7.2: Pooling-Gleichgewichte Abb. 7.2 zeigt, dass alle Ausbildungsniveaus e [, ẽ] als Pooling-Gleichgewichte gestützt werden können.

33 Spieltheorie (Winter 29/) 7-33 Prof. Dr. Ana B. Ania Bemerkungen: ) Wieder gibt es sehr viele unterschiedliche Gleichgewichtsergebnisse und noch mehr unterschiedliche Gleichgewichte (verschiedene Beliefs abseits des Gleichgewichtspfades bedeuten verschiedene Gleichgewichte, auch wenn das Ergebnis dasselbe ist). 2) Die Pooling-Gleichgewichtsergebnisse können wieder nach dem Pareto-Kriterium geordnet werden. 3) Pooling-Gleichgewichte mit e> werden gestützt durch die Furcht des Arbeiters, sich als Typ niedriger Produktivität zu entlarven, wenn er die Ausbildung nicht auf sich nimmt. 4) Ein staatlicher Eingriff kann hier zu einer Pareto-Verbesserung führen, auch wenn der Staat nicht besser informiert ist als die Privaten: Er kann Ausbildung verbieten und damit das Ergebnis (, ŵ) herbeiführen.

34 Spieltheorie (Winter 29/) 7-34 Prof. Dr. Ana B. Ania 7.7 Multiple Gleichgewichte und Refinements Da es in Signalisierungsspielen sehr viele PBGGe gibt, fällt es uns schwer, das Ergebnis eines solchen Spiels vorherzusagen. Das Problem multipler Gleichgewichte rührt vor allem daher, dass wir die Beliefs außerhalb des Gleichgewichtspfades beliebig aktualisieren können. Beachten Sie: Das Aktualisieren von Beliefs außerhalb des Gleichgewichtspfades ist ein Spekulieren darüber, welcher Typ vom Gleichgewichtspfad abgewichen ist. Nicht alle Spekulationen sind gleich überzeugend. Zahlreiche Autoren haben eine Reihe von Verfeinerungen (Refinements) des Konzepts des PBGG vorgeschlagen, um das Aktualisieren der Beliefs außerhalb des GG-Pfades zu strukturieren und unplausible Gleichgewichte auszuschließen. Alle diese Verfeinerungen fragen: Für welchen Typ kann sich das Abweichen auf keinen Fall gelohnt haben? Welcher Typ hätte von einer Abweichung möglicherweise doch profitieren können?

35 Spieltheorie (Winter 29/) 7-35 Prof. Dr. Ana B. Ania 7.8 Verfeinerung durch Dominanz-Argumente Betrachten Sie das folgende Spiel: l R L M [μ] 2 [ μ] r l r ( ) 2 2 ( 3 ) ( ) ( ) ( ) L 2 l r 3,, M R,, 2, 2 2, 2 Abb. 7.3: Ein Beispiel für das Dominanz-Argument

36 Spieltheorie (Winter 29/) 7-36 Prof. Dr. Ana B. Ania Analyse: Die Analyse der Normalform dieses Spiels zeigt, dass es zwei Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien gibt: (L, l) und (R, r). Da es kein echtes Teilspiel gibt, sind beide Nash-Gleichgewichte teilspielperfekt. Was sind die entsprechenden PBGGe? (L, l, μ =) (R, r, μ ). Beachten Sie: Wenn Spieler R spielt, 2 wird die Informationsmenge von Spieler 2 nicht erreicht. Bayes Regel kann daher nicht angewandt werden, um μ zu bestimmen. Aber das zweite Gleichgewicht ist nicht überzeugend: M ist eine strikt dominierte Strategie im gesamten Spiel. Darum sollte Spieler 2 nicht glauben, dass Spieler M gewählt hat, wenn die Informationsmenge von Spieler 2 erreicht wird. Also sollte μ =sein.

37 Spieltheorie (Winter 29/) 7-37 Prof. Dr. Ana B. Ania Bemerkung: Angenommen, die Auszahlung für Spieler nach (L, l) ist nicht 3, sondern,5. Dann sind sowohl L als auch M strikt dominierte Strategien. Wenn die Informationsmenge von Spieler 2 erreicht wird, ist μ =deshalb nicht mehr zwingend; wir müssen also wieder beliebige μ [, ] zulassen. Diese Diskussion motiviert die folgende zusätzliche Bedingung an perfekte Bayesianische Gleichgewichte: Bedingung 7.4 In einer Informationsmenge außerhalb des Gleichgewichtspfades sollten die Beliefs eines Spieler einem Knoten Wahrscheinlichkeit zuordnen, wenn dieser Knoten nur dann erreicht werden kann, wenn ein Spieler in irgendeinem Fortsetzungsspiel eine strikt dominierte Strategie gewählt hat, vorausgesetzt, dass wenigstens ein anderer Knoten in dieser Informationsmenge existiert, der durch eine nicht strikt dominierte Strategie erreicht werden konnte. Bedingung 7.4 schließt das unplausible Gleichgewicht (R, r, μ 2 ) aus.

38 Spieltheorie (Winter 29/) 7-38 Prof. Dr. Ana B. Ania Betrachten wir Bedingung 7.4 in einem Signalisierungsspiel: ( ) 3 2 ( ) 2 o Sender o [μ l ] L R [μ r ] u Empfänger t 2 2 Natur u Empfänger ( ) ( ) ( ) ( ) o u t [ μ l ] L R [ μ r ] Sender 2 o u ( ) 2 ( ) Abb. 7.4: Dominanz in einem Signalisierungsspiel Die folgenden Strategien und Beliefs sind Pooling-Gleichgewichte: [(L, L), (o, u),μ l = 2,μ r 2 ]. Da R hier mit Wahrscheinlichkeit gespielt wird, sind die Beliefs μ r unbestimmt. Das Pooling auf L wird gestützt durch den Belief μ r 2. Aber: Für Typ t 2 ist R eine strikt dominierte Strategie, nicht jedoch für Typ t. Also verlangt Bedingung 7.4, dass μ r =. Fazit: Die obigen Pooling-Gleichgewichte überleben Bedingung 7.4 nicht!

39 Spieltheorie (Winter 29/) 7-39 Prof. Dr. Ana B. Ania In Signalisierungsspielen können wir Bedingung 7.4 auch wie folgt formulieren: Beobachtung: In einem Signalisierungsspiel ist die Botschaft m für den Sender vom Typ t i genau dann strikt dominiert, wenn es eine Botschaft ˆm gibt, so dass min a A U S(t i, ˆm, a) > max a A U S(t i, m, a). Bedingung 7.4 : Wenn die Informationsmenge, die nach Botschaft m erreicht wird, außerhalb des Gleichgewichtspfades liegt, und wenn diese Botschaft für den Sender vom Typ t i strikt dominiert ist, dann sollte der Empfänger dem Typ t i Wahrscheinlichkeit zuordnen, vorausgesetzt, es existiert wenigstens ein anderer Typ t j,für den m nicht strikt dominiert ist. Dieses Dominanzargument erlaubt es uns, einige Gleichgewichte auszuschließen. Die Menge der PBGGe in einem Signalisierungsspiel, die Bedingung 7.4 erfüllen, kann aber immer noch sehr groß sein.

40 Spieltheorie (Winter 29/) 7-4 Prof. Dr. Ana B. Ania 7.9 Gleichgewichtsdominanz: Das Intuitive Kriterium Betrachten wir das folgende Signalisierungs-Spiel: Der Empfänger muss sich entscheiden, ob er mit dem Sender einen Kampf anfängt oder nicht. Es gibt zwei Typen von Sendern: Typ t ist ein Schwächling ; p(t )=μ =,. Typ t 2 ist ein Kraftprotz ; p(t 2 )= μ =, 9. Der Empfänger möchte gern gegen den Schwächling, nicht aber gegen den Kraftprotz kämpfen. Der Sender kann durch die Wahl seines Frühstücks zwei mögliche Signale aussenden: Bier oder Quiche. Die Auszahlungen sind wie folgt: Empfänger: Wenn er nicht kämpft, bekommt er. Wenn er kämpft, bekommt er gegen den Schwächling, gegen den Kraftprotz -. Sender: Beide Typen ziehen es vor, nicht zu kämpfen. Der Kraftprotz hat lieber Bier zum Frühstück, der Schwächling lieber Quiche. Das bevorzugte Frühstück gibt einen zusätzlichen Payoff von, nicht kämpfen zu müssen einen zusätzlichen Payoff von 2.

41 Spieltheorie (Winter 29/) 7-4 Prof. Dr. Ana B. Ania ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 2 k [μ Schwächling k q ] Quiche Bier [μ b ] n Empfänger k t t 2 n, Natur Empfänger, 9 k [ μ Quiche Bier n q ] [ μ b ] Kraftprotz n Abb. 7.5: Das Bier-Quiche -Spiel ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 3 Betrachten Sie die folgenden Pooling-Gleichgewichte: [(Quiche, Quiche), (n, k), μ q =,, μ b 2 ]. Entlang des Gleichgewichtspfades essen beide Typen Quiche, und es gibt keinen Kampf. Wenn der Empfänger jedoch Bier beobachtet, glaubt er, dass die Wahrscheinlichkeit des Kraftprotzes auf unter gesunken ist, und kämpft. 2 Erfüllen diese Gleichgewichte Bedingung 7.4? Ja, denn Bier ist weder für den Kraftprotz noch für den Schwächling eine strikt dominierte Strategie. Sind diese Gleichgewichte plausibel? Stellen Sie sich vor, der Sender könnte, nachdem er Bier getrunken hat, die folgende Rede an den Empfänger halten:

42 Spieltheorie (Winter 29/) 7-42 Prof. Dr. Ana B. Ania Die Tatsache, dass ich Bier getrunken habe, sollte Dich davon überzeugen, dass ich der Kraftprotz bin: Wenn ich der Schwächling wäre, könnte ich meine Situation durch Biertrinken unmöglich verbes- sern: Anstatt der Gleichgewichtsauszahlung von 3würde ich entweder oder 2 bekommen. Wenn ich jedoch der Kraftprotz bin, dann könnte ich meine Auszahlung von 2 auf 3 verbessern, nämlich wenn Dich mein Frühstück davon überzeugt, dass ich in der Tat der Kraftprotz bin. Also macht diese Abweichung nur Sinn, wenn ich tatsächlich der Kraftprotz bin. Würde Sie diese Rede überzeugen? Wenn ja, dann überzeugt Sie auch die folgende Bedingung von Cho und Kreps (987): Bedingung 7.5 (Intuitives Kriterium) Gegeben sei ein PBGG eines Signalisierungsspiels mit Senderstrategie m und Empfängerstrategie a.wenndie Informationsmenge, die nach Botschaft m erreicht wird, außerhalb des Gleichgewichtspfades liegt, und wenn die Botschaft m für den Sender vom Typ t i gleichgewichtsdominiert ist, d.h., U S(t i,m (t i ),a (m (t i ))) > max a A U S(t i, m, a),

43 Spieltheorie (Winter 29/) 7-43 Prof. Dr. Ana B. Ania dann sollte der Empfänger Typ t i Wahrscheinlichkeit zuordnen, vorausgesetzt, es existiert wenigstens ein anderer Typ t j,für den m nicht gleichgewichtsdominiert ist. Bemerkungen: ) Das Intuitive Kriterium vergleicht die höchstmögliche Auszahlung, wenn m gesendet wird, nicht mit der niedrigstmöglichen Auszahlung, die Typ t i durch eine andere Botschaft hätte erhalten können, sondern mit der (höheren) Auszahlung von Typ t i,wennersichandas Gleichgewicht gehalten hätte. Dieses Kriterium steht auf deutlich schwächeren Füßen als Bedingung ) Wenn ein Gleichgewicht das Intuitive Kriterium erfüllt, dann muss es auch Bedingung 7.4 erfüllen. 3) Das Intuitive Kriterium unterstellt eine Art Hyperrationalität : Wenn es zu Abweichungen vom Gleichgewichtspfad kommt, dann sollten die Spieler versuchen, auch diese Abweichungen rational zu erklären. Dies steht im Gegensatz zur Idee nicht-intendierter Fehler (Zittern). 4) Cho und Kreps zeigen, dass jedes Signalisierungsspiel wenigstens ein PBGG hat, das das Intuitive Kriterium erfüllt.

44 Spieltheorie (Winter 29/) 7-44 Prof. Dr. Ana B. Ania 7. Das Intuitive Kriterium im Spence- Modell Wir hatten gesehen, dass es im Spence Modell sehr viele (Trenn- und Pooling-)Gleichgewichte gibt. Wir zeigen jetzt, dass nur ein einziges dieser Gleichgewichte das Intuitive Kriterium überlebt.. Schritt: Bedingung 7.4 impliziert μ(e) =, falls e < e<e. Das Beste, was Typ θ L passieren kann, wenn er e>e wählt, ist, dass er den Lohn w = θ H bekommt. Der Punkt (e, θ H ) (e >e ) ist aber schlechter als der Punkt (,θ L ), was das mindeste ist, das der Arbeiter bekommen muss, wenn er e =wählt. Also wird e>e für Typ θ L strikt von e =dominiert. Falls e <e<e, gilt dieses Dominanzargument für Typ θ H nicht. Also impliziert Bedingung 7.4, dass für e <e<e μ(e) =sein muss. 2. Schritt: Der. Schritt impliziert, dass das einzige separierende Gleichgewicht, das Bedingung 7.4 überlebt, das Pareto-beste separierende Gleichgewicht ist, in dem Typ θ H das Ausbildungsniveau e wählt und den Lohn θ H bekommt.

45 Spieltheorie (Winter 29/) 7-45 Prof. Dr. Ana B. Ania w Abb. 7.6: Separierende Gleichgewichte und Bedingung 7.4 im Spence-Modell e 3. Schritt: Der. Schritt impliziert auch, dass Typ θ H in allen Gleichgewichten wenigstens den Nutzen U(θ H,e,θ H ) bekommen muss, den er im Punkt (e,θ H ) erhielte. Im letzten Schritt werden wir die Pooling-Gleichgewichte eliminieren. Dazu müssen wir zwei Fälle unterscheiden.

46 Spieltheorie (Winter 29/) 7-46 Prof. Dr. Ana B. Ania 4. Schritt, Fall : Die Wahrscheinlichkeit von Typ θ H ist so niedrig, dass die konstante Lohnfunktion w(e) =ŵ = μ θ H +( μ )θ L unterhalb der Indifferenzkurve von Typ θ H durch den Punkt (e,θ H ) verläuft: w Abb. 7.7: Pooling-Gleichgewichte Fall e In diesem Fall kann kein Pooling-Gleichgewicht existieren, das Bedingung 7.4 erfüllt, weil Typ θ H in einem solchen Gleichgewicht einen geringeren Nutzen hätte, als den, den er im Punkt (e,θ H ) erhielte.

47 Spieltheorie (Winter 29/) 7-47 Prof. Dr. Ana B. Ania 4. Schritt, Fall 2: Die Wahrscheinlichkeit von Typ θ H ist so hoch, dass die konstante Lohnfunktion w(e) =ŵ = μ θ H +( μ )θ L die Indifferenzkurve von Typ θ H durch den Punkt (e,θ H ) schneidet: w Abb. 7.8: Pooling Gleichgewichte Fall 2 e Betrachten wir ein Pooling-Gleichgewicht auf e P. Hier hilft uns Bedingung 7.4 nicht weiter, wohl aber das stärkere Intuitive Kriterium. Alle e>esind für Typ θ L gleichgewichtsdominiert: Das beste, was Typ θ L bekommen kann, wenn er ein solches e wählt, ist schlechter als seine Auszahlung bei e p. Dagegen sind alle e ]e, e[ für Typ θ H nicht gleichgewichtsdominiert.

48 Spieltheorie (Winter 29/) 7-48 Prof. Dr. Ana B. Ania Wenn die Firmen e ]e, e[ beobachten, verlangt das Intuitive Kriterium also, dass sie glauben, mit Wahrscheinlichkeit Typθ H gegenüberzustehen. Also werden sie in diesem Fall w = θ H anbieten. Dann aber hat Typ θ H einen Anreiz, von dem Pooling-Gleichgewicht abzuweichen, was dieses Gleichgewicht zerstört. Beachten Sie, dass dieses Argument für alle e p gilt. Es existiert also kein Pooling-Gleichgewicht, das dem Intuitiven Kriterium genügt. Bemerkungen: ) Wenn es mehr als zwei Typen im Spence-Modell gibt, ist das Intuitive Kriterium zu schwach, um ein eindeutiges Gleichgewicht auszuzeichnen. Eine stärkere Verfeinerung ist dann notwendig, z.b.: D ( universal divinity ). 2) Es gibt eine ganze Reihe anderer Verfeinerungen. Fast alle wählen im Spence-Modell das sog. Riley-Ergebnis (das Pareto-beste separierende Gleichgewicht) als einziges Gleichgewicht aus. In komplizierteren Spielen führen verschiedene Verfeinerungen aber oft zu einer unterschiedlichen Gleichgewichtsauswahl. Es existiert kein Konsens über die richtige Verfeinerung.

49 Spieltheorie (Winter 29/) 7-49 Prof. Dr. Ana B. Ania 7. Reputationsmodelle Wir betrachten jetzt wiederholte Spiele mit asymmetrischer Information. Hier kann ein Spieler, dessen Typ private Information ist, versuchen, eine Reputation dafür aufzubauen, ein bestimmter Typ zu sein. Der Aufbau einer Reputation ist immer dann interessant, wenn es Commitment-Probleme (Probleme der Selbstbindung) gibt. Beispiele: Die Zentralbank möchte sich binden, nicht zu inflationieren. Ein Monopolist möchte sich binden, etwaige Marktzutreter rigoros zu bekämpfen. Die Spieler im Gefangenendilemma möchten sich binden, Tit-for-tat zu spielen. Ein Verkäufer möchte sich binden, seinen Preis nicht zu senken. In allen diesen Fällen ist die Aktion, an die der Spieler sich ex ante binden möchte, ex post nicht mehr optimal. In einmaligen Spielen ist die Selbstbindung deshalb nicht glaubwürdig.

50 Spieltheorie (Winter 29/) 7-5 Prof. Dr. Ana B. Ania Wir haben bereits gesehen, dass in unendlich oft wiederholten Spielen implizite Verträge möglich sind, die eine Selbstbindung stützen können. Jetzt betrachten wir einen anderen Mechanismus der Selbstbindung, der auch in endlich oft wiederholten Spielen funktionieren kann: Reputationseffekte. 7.2 Das Handelsketten-Paradoxon Betrachten Sie erneut das folgende Marktzutrittsspiel: Zutreter O ( ) a I k Monopolist n ( ) ( ) Abb. 7.9: Marktzutrittsspiel Dieses Spiel hat zwei Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien: (I,n) und (O, k), aber das zweite ist nicht teilspielperfekt. Darum sollten wir erwarten, dass der Zutreter zutritt und der Monopolist den Markt teilt.

51 Spieltheorie (Winter 29/) 7-5 Prof. Dr. Ana B. Ania Betrachten Sie jetzt das folgende wiederholte Spiel: Der Monopolist hat eine Ladenkette mit Filialen in 2 Orten. In jedem Ort gibt es einen lokalen potentiellen Marktzutreter. Die Marktzutreter müssen in einer festen Reihenfolge, einer pro Periode, über Marktzutritt entscheiden. Nach jedem Marktzutritt entscheidet der Monopolist, ob er kämpft. Auch dieses wiederholte Spiel hat ein eindeutiges TPGG: Alle Zutreter treten zu, der Monopolist gibt immer nach. Handelsketten-Paradoxon (Chain-Store Paradox) (Selten, 978): Der Monopolist sollte die ersten Zutreter bekämpfen, um dadurch zukünftige Zutreter vom Zutritt abzuschrecken. Aber das ist kein TPGG.

52 Spieltheorie (Winter 29/) 7-52 Prof. Dr. Ana B. Ania 7.3 Das Handelsketten-Spiel mit asymmetrischer Information Angenommen, die Zutreter sind sich nicht sicher, welchem Typen von Monopolist sie gegenüberstehen: Der normale Typ (N) hat dieselben Auszahlungen wie in Abb Seine ex-ante-wahrscheinlichkeit sei ɛ. Der Commitment -Typ (C) hat die folgenden Auszahlungen: Zutreter O ( ) a k I Monopolist n ( ) ( ) Abb. 7.2: Auszahlungen des Commitment -Typen Für C ist es eine streng dominante Strategie, jeden Zutreter zu bekämpfen. Seine ex-ante-wahrscheinlichkeit sei ɛ. Wir nehmen an, dass a>und der Monopolist seine Auszahlungen nicht diskontiert.

53 Spieltheorie (Winter 29/) 7-53 Prof. Dr. Ana B. Ania Analyse des Spiels Wir bezeichnen die Zutreter mit Z t, wobei der Zeitindex rückwärts läuft und angibt, wieviele Zutreter (einschließlich Z t ) noch kommen werden. Der erste Zutreter hat somit den Index T, der letzte den Index. Sei μ t (h t ) der Belief von Zutreter Z t, dass er dem Commitment-Typen gegenübersteht, gegeben, dass er die Geschichte h t beobachtet hat. Angenommen, der Monopolist hat gegen den Zutreter Zˆt nicht gekämpft. Da nicht zu kämpfen für C eine strikt dominierte Strategie ist, hat der Monopolist damit offenbart, dass er nicht C ist. Das bedeutet: μ t =für alle t<ˆt (d.h. für alle Zutreter, die nach Zˆt kommen). Von da an haben wir ein Fortsetzungsspiel mit vollständiger Information und einem eindeutigen TPGG. Die Auszahlung des Monopolisten im TPGG dieses Fortsetzungsspiels ist Null. Wir gehen induktiv vor und betrachten zunächst die letzte Runde, dann die vorletzte, etc. Dabei bezeichnen wir mit U N,t die Gesamtauszahlung von N in der Auseinandersetzung mit Zutretern Z t bis Z.

54 Spieltheorie (Winter 29/) 7-54 Prof. Dr. Ana B. Ania Die letzte Runde Z habe Belief μ, der sich aus der Vorgeschichte des Spiels und den Gleichgewichtsstrategien aller Spieler ergibt. Wenn Z zutritt, wird C kämpfen; N nicht kämpfen. Zutritt ist für Z genau dann strikt besser, wenn das heißt, ( μ ) +μ ( ) >, μ < 2. In der letzten Runde müssen Gleichgewichtsstrategien also folgendes vorschreiben: Wenn μ < 2,trittZ zu. Wenn μ > 2, bleibt Z draußen. N kämpft nicht. ist dabei (noch) unbe- Das Verhalten von Z bei μ = 2 stimmt.

55 Spieltheorie (Winter 29/) 7-55 Prof. Dr. Ana B. Ania Die vorletzte Runde Z 2 habe Belief μ 2.Diemöglichen Beliefs des Z hängen vom Verhalten des Z 2 und des Monopolisten ab; wir bezeichnen sie mit μ (I,n), μ (I,k) und μ (O). Dabei gilt μ (I,n)= und μ (O) =μ 2. Wir müssen zwei Fälle unterscheiden: Fall : μ 2 2. Falls Z 2 zutritt, wird auch N kämpfen; dies zeigen die folgenden Überlegungen: Nehmen wir einmal an, dass N mit Wahrscheinlichkeit x 2 < kämpft. Dann ist nach Bayes Regel μ (I,k)= μ 2 μ 2 +( μ 2 ) x 2 >μ 2 2. Kämpfen heute würde also Zutritt morgen verhindern. Wegen U N,2 (k) = +a>würde es sich für N also lohnen, heute mit Wahrscheinlichkeit zu kämpfen dies ist ein Widerspruch zur obigen Annahme. Wenn nach Zutritt von Z 2 aber sicher gekämpft wird, bleibt Z 2 besser draußen.

56 Spieltheorie (Winter 29/) 7-56 Prof. Dr. Ana B. Ania Fall 2: μ 2 < 2. Gibt es ein Pooling-Gleichgewicht? Nehmen wir an, auch N kämpft. Dann ist μ (I,k)=μ 2 < 2. Das bedeutet Zutritt morgen. U N,2 (k) = +<. Es wäre für N daher besser, heute nicht zu kämpfen: Pooling ist also unmöglich. Gibt es ein separierendes Gleichgewicht? Nehmen wir an, N kämpft nicht. Dann ist μ (I,k)=. Kämpfen heute würde also Zutritt morgen verhindern. Es würde sich für N daher lohnen, heute doch zu kämpfen: U N,2 (k) = +a>. Separierung ist also auch unmöglich. Einzige verbleibende Möglichkeit: Hybrides Gleichgewicht.

57 Spieltheorie (Winter 29/) 7-57 Prof. Dr. Ana B. Ania Sei x 2 die Wahrscheinlichkeit, mit der N bei Zutritt von Z 2 kämpft. Im Gleichgewicht muss x 2 so gewählt sein, dass der aktualisierte Belief von Z nach Beobachtung von (I,k) diesen gerade indifferent macht zwischen Zutritt und Nicht-Zutritt. Gemäß Bayes Regel ist dieser Belief μ 2 μ (I,k)=. μ 2 +( μ 2 ) x 2 Indifferenz von Z erfordert μ (I,k)= 2,also x 2 = μ 2 μ 2. Sei y die Wahrscheinlichkeit, mit der Z nach Beobachtung von (I,k) zutritt. Im Gleichgewicht muss y so gewählt sein, dass N tatsächlich indifferent zwischen k und n ist. Da U N,2 (k) = +y +( y ) a, ist N indifferent genau dann, wenn y = a a.

58 Spieltheorie (Winter 29/) 7-58 Prof. Dr. Ana B. Ania Gegeben dieses Verhalten im Fortsetzungsspiel nach Marktzutritt von Z 2, sollte Z 2 zutreten? Wenn Z 2 zutritt, erhält er die erwartete Auszahlung U Z2 (I) =μ 2 ( ) + ( μ 2 ) [x 2 ( ) + ( x 2 ) ] = μ 2 +( μ 2 )( 2x 2 ) = μ 2 +( μ 2 ) 2μ 2 = 4μ 2. Zutritt ist also genau dann strikt besser für Z 2,wenn μ 2 < 4. Fazit: In der vorletzten Runde müssen Gleichgewichtsstrategien folgendes vorschreiben: Wenn μ 2 < 4,trittZ 2 zu. Wenn μ 2 > 4, bleibt Z 2 draußen. N kämpft mit Wahrscheinlichkeit min { μ 2 μ 2, }. Das Verhalten von Z 2 bei μ 2 = ist (noch) unbestimmt. 4 Dafür wissen wir nun, was Z tut, wenn er indifferent ist: Wenn μ = 2 (und es sich nicht um ein Ein-Perioden- Spiel handelt), tritt Z mit Wahrscheinlichkeit a zu. a

59 Spieltheorie (Winter 29/) 7-59 Prof. Dr. Ana B. Ania Die drittletzte Runde Z 3 habe Belief μ 3.Diemöglichen Beliefs des Z 2 hängen vom Verhalten des Z 3 und des Monopolisten ab; wir bezeichnen sie mit μ 2 (I,n), μ 2 (I,k) und μ 2 (O). Dabei gilt μ 2 (I,n)= und μ 2 (O) =μ 3. Wir müssen wieder zwei Fälle unterscheiden: Fall : μ 3 4. Falls Z 3 zutritt, wird auch N kämpfen; dies zeigen die folgenden Überlegungen: Nehmen wir einmal an, dass N mit Wahrscheinlichkeit x 3 < kämpft. μ 2 (I,k)= Dann ist nach Bayes Regel μ 3 μ 3 +( μ 3 ) x 3 >μ 3 4. Kämpfen heute würde also den Zutritt von Z 2 verhindern. Wegen U N,3 (k) +a>würde es sich für N also lohnen, heute mit Wahrscheinlichkeit zu kämpfen dies ist ein Widerspruch zur obigen Annahme. Wenn nach Zutritt von Z 3 aber sicher gekämpft wird, bleibt Z 3 besser draußen.

60 Spieltheorie (Winter 29/) 7-6 Prof. Dr. Ana B. Ania Fall 2: μ 3 < 4. Gibt es ein Pooling-Gleichgewicht? Nehmen wir an, auch N kämpft. Dann ist μ 2 (I,k)=μ 3 < 4. Das bedeutet Zutritt morgen, worauf N indifferent zwischen Kämpfen und Marktaufteilung sein wird. Es wäre für N daher besser, heute nicht zu kämpfen: U N,3 (k) = +U N,2 (n) = ++<. Pooling ist also unmöglich. Gibt es ein separierendes Gleichgewicht? Nehmen wir an, N kämpft nicht. Dann ist μ 2 (I,k)=. Kämpfen heute würde also Zutritt morgen verhindern. Es würde sich für N daher lohnen, heute doch zu kämpfen: U N,3 (k) +a>. Separierung ist also auch unmöglich. Wir haben also wieder ein hybrides Gleichgewicht.

61 Spieltheorie (Winter 29/) 7-6 Prof. Dr. Ana B. Ania Sei x 3 die Wahrscheinlichkeit, mit der N bei Zutritt von Z 3 kämpft. Im Gleichgewicht muss x 3 so gewählt sein, dass der aktualisierte Belief von Z 2 nach Beobachtung von (I,k) diesen gerade indifferent macht zwischen Zutritt und Nicht-Zutritt. Gemäß Bayes Regel ist dieser Belief μ 3 μ 2 (I,k)=. μ 3 +( μ 3 ) x 3 Indifferenz von Z 2 erfordert μ 2 (I,k)= 4,also x 3 = 3μ 3 μ 3. Sei y 2 die Wahrscheinlichkeit, mit der Z 2 nach Beobachtung von (I,k) zutritt. Im Gleichgewicht muss y 2 so gewählt sein, dass N tatsächlich indifferent zwischen k und n ist. Da die Gesamtauszahlung von N nach Zutritt von Z 2 gleich Null sein wird, ist U N,3 (k) = +y 2 +( y 2 ) [a +]. Deshalb ist N vor Zutritt von Z 2 genau dann indifferent, wenn y 2 = a a.