Teil 1: Statische Spiele mit vollständigen Informationen

Transkript

1 Teil 1: Statische Spiele mit vollständigen Informationen

2 Kapitel 1: Grundlagen und Notation Literatur: Tadelis Chapter 3 Prof. Dr. Philipp Weinschenk, Lehrstuhl für Mikroökonomik, TU Kaiserslautern

3 Statisches Spiel In einem statischen Spiel werden die Auszahlungen durch die Aktionen der Spieler bestimmt... entscheiden sich die Spieler simultan und unabhängig voneinander für eine Aktion Dies kann bedeuten, dass (i) die Spieler sich zum exakt gleichen Zeitpunkt entscheiden, oder dass (ii) die Spieler sich entscheiden ohne die Entscheidung der anderen Spieler zu kennen Beispiel: Im Gefangenendilemma ist es egal für Spieler 1, ob er sich exakt gleichzeitig mit Spieler 2 entscheidet, oder ob er sich entscheidet, ohne die Entscheidung von Spieler 2 zu kennen Mit unabhängigen Entscheidungen ist gemeint, dass die Spieler keine bindenden Vereinbarungen treffen können 3/35

4 Vollständige Informationen Bei vollständigen Informationen ist es allgemein bekannt (engl. common knowledge) welche Aktionen alle Spieler durchführen können wie die Ergebnisse sind wie die Aktionen die Ergebnisse beeinflussen welche Präferenzen (d.h. Auszahlungen) die Spieler über die Ergebnisse haben 4/35

5 Common Knowledge Ein Ereignis E ist allgemein bekannt (engl. common knowledge) wenn jeder Spieler E kennt, jeder Spieler weiß, dass jeder Spieler E kennt, jeder Spieler weiß, dass jeder Spieler weiß, dass jeder Spieler E kennt... 5/35

6 Beispiel 1 Max und Anna gehen spazieren Es regnet Es ist sehr plausibel anzunehmen, dass das Ereignis Regen common knowledge ist 6/35

7 Beispiel 2 Ein Professor gibt in der Vorlesung Informationen über die Klausur bekannt Sie hören die Informationen Das heißt aber nicht zwangsläufig, dass alle anderen anwesenden Studenten diese Informationen kennen Es ist dann nicht plausibel, dass die Informationen common knowledge sind 7/35

8 Annahmen Wir fassen nun die Annahmen an die Spieler zusammen: Spieler haben vollständige Informationen Spieler sind rational: Ein rationaler Spieler wählt eine Strategie s i S i um seine Auszahlung zu maximieren, gegeben das was er über das Spiel weiß Die Tatsache, dass Spieler rational sind und vollständige Informatione haben ist common knowledge 8/35

9 Kapitel 1.1: Spiel in Normalform

10 Definition Strategie Definition 1 Eine reine Strategie für Spieler i s i ist ein deterministischer Plan von Aktionen. Beispiel: Wir greifen Land A an Es gibt auch nicht deterministische Strategien (später hierzu mehr; Beispiel: Wir werfen eine Münze ob wir angreifen) Die Menge aller reinen Strategien von Spieler i bezeichnen wir mit S i Ein Profil von reinen Strategien s = (s 1,s 2,...,s n ), wobei s i S i für alle Spieler i = 1,2,...,n, beschreibt eine bestimmte Kombination reiner Strategien der Spieler 10/35

11 Definition Normalform Definition 2 Ein Spiel in Normalform besteht aus folgenden drei Komponenten: 1 Einer endlichen Menge an Spielern, N = {1,2,...n} 2 Einer Kollektion von Mengen reiner Strategien, {S 1,S 2,...,S n } 3 Einer Menge von Auszahlungsfunktionen, {v 1,v 2,...,v n }, welche für jede Strategiekombination den Spielern Auszahlungen zuordnet. D.h., v i : S 1 S 2... S n R für jeden Spieler i N. 11/35

12 Erläuterung Die Spieler wählen also simultan eine Strategie: Spieler 1 wählt eine Strategie aus S 1, Spieler 2 eine Strategie aus S 2,... Dann haben wir ein Profil von reinen Strategien s = (s 1,s 2,...,s n ) Die Auszahlung an Spieler 1 ist dann v 1 (s 1,s 2,...,s n ), die an Spieler 2 ist v 2 (s 1,s 2,...,s n ),... Anmerkung: Statt v i (s 1,s 2,...,s n ) kann man auch v i (s) schreiben 12/35

13 Aufgabe 1.1* Bestimmen Sie für das Gefangenendilemma die Menge an Spielern, die Menge reiner Strategien für jeden Spieler und die Menge der Auszahlungsfunktionen für jeden Spieler 13/35

14 Anwendung Mengenwettbewerb Auf einem Markt gibt es zwei Spieler, Firma 1 und Firma 2 Es herrscht Mengenwettbewerb, auch Cournotwettbewerb genannt: die Firmen wählen ihre Produktionsmengen q 1 und q 2 Das Marktangebot ist also q = q 1 +q 2 Die Kosten einer Firma i sind c(q i ) = qi 2 für i {1,2} Die Marktnachfrage ist q(p) = 100 p 14/35

15 Aufgabe 1.2* Stellen Sie das Spiel Mengenwettbewerb in Normalform dar Hinweis: Gehen Sie davon aus, dass Preise nicht negativ sein können 15/35

16 Kapitel 1.2: Darstellung in Matrix-/Tabellenform

17 Idee Spiele mit einer endlichen Anzahl von Spielern und einer endlichen Anzahl von Strategien in S i können als Matrix/Tabelle dargestellt werden Dies macht man besonders häufig bei Spielen mit zwei Spielern Beispiel: Gefangenendilemma Spieler 1 Spieler 2 M F M 2, 2 5, 1 F 1, 5 4, 4 17/35

18 Allgemein Hat Spieler 1 k reine Strategien in S 1, dann hat die Matrix k Zeilen Hat Spieler 2 m reine Strategien in S 2, dann hat die Matrix m Spalten Jeder Eintrag in der Matrix enthält die Auszahlungen der Spieler (v 1,v 2 ), gegeben das Spieler 1 die reine Strategie der zugehörigen Zeile wählt und Spieler 2 die reine Strategie der zugehörigen Spalte 18/35

19 Illustration S 1 = {A,B,C}, S 2 = {X,Y} Wir erhalten eine Matrix/Tabelle mit drei Zeilen und zwei Spalten Spieler 1 Spieler 2 X Y A v 1 (A,X),v 2 (A,X) v 1 (A,Y),v 2 (A,Y) B v 1 (B,X),v 2 (B,X) v 1 (B,Y),v 2 (B,Y) C v 1 (C,X),v 2 (C,X) v 1 (C,Y),v 2 (C,Y) 19/35

20 Aufgabe 1.3* Kann man auch das Spiel Mengenwettbewerb als Matrix/Tabelle darstellen? 20/35

21 Aufgabe 1.4* Kann man das Spiel Schere-Stein-Papier als Matrix/Tabelle darstellen? Falls ja, probieren Sie es. 21/35

22 Kapitel 1.3: Lösungskonzepte

23 Idee Bisher haben wir nur erforscht wie man Spiele darstellen kann Wie werden sich Spieler verhalten? Wie sollen sich Spieler verhalten? Wir werden nun versuchen Spiele zu analysieren und zu lösen 23/35

24 Gefangenendilemma Betrachten Sie das Spiel Gefangenendilemma Spieler 1 Spieler 2 M F M 2, 2 5, 1 F 1, 5 4, 4 Wir beraten nun Spieler 1, was er tun soll Aus Kapitel 0 wissen wir bereits, dass, unabhängig davon was Spieler 2 macht, Spieler 1 optimalerweise gestehen sollte Zumindest wenn Spieler 1 nur an sich denkt 24/35

25 Sind unsere Spieler zwangsläufig egoistisch? Gilt dies auch wenn die Spieler auch das Wohlergehen der anderen Spieler berücksichtigen? Wir nehmen nun an, dass jedes Jahr Gefangenschaft des anderen Spielers den Wert 1/2 hat Dann ändern sich die Auszahlungen der Spieler Wir erhalten das Spiel altruistisches Gefangenendilemma : Spieler 2 M F Spieler 1 M 3, , 31 2 F 3 1 2, 51 6, 6 2 Wir empfehlen Spieler 1 nun die Strategie leugnen 25/35

26 Fazit Wenn ein Spieler seine Auszahlung maximiert bedeutet das nicht zwangsläufig, dass er egoistisch ist Das Wohlergehen der anderen Spieler kann Teil der Auszahlung eines Spielers sein D.h. die Auszahlung eines Spielers entspricht nicht zwangsläufig dem eigenen Vorteil Um eine Strategieempfehlung geben zu können oder das Ergebnis eines Spiels vorauszusagen ist es wichtig die wahren Auszahlungen der Spieler zu kennen Falsche Informationen über Auszahlungen können zu falschen Strategieempfehlungen und falschen Voraussagen führen 26/35

27 Kampf der Geschlechter Betrachten Sie das Spiel Kampf der Geschlechter Alex und Chris wollen den Abend gemeinsam verbringen Sie können aber nicht kommunizieren Jeder entscheidet unabhängig, ob er in die Oper O, oder zum Fußball F geht Alex präferiert Oper gegenüber Fußball Chris bevorzugt Fußball gegenüber Oper 27/35

28 Matrixform Alex Chris O F O 2,1 0,0 F 0,0 1,2 Wie zu erkennen ist, wollen beide lieber den Abend gemeinsam verbringen als getrennt Was sollte Alex tun? Er sollte das gleiche wie Chris spielen Was sollte Chris tun? Sie sollte das gleiche wie Alex spielen Problem: keiner weiß was der andere spielt 28/35

29 Gleichgewicht Wir wenden in den folgenden Kapiteln verschiedene Lösungskonzepte auf Spiele an Die Lösungen bezeichnen wir als Gleichgewichte Gleichgewichte kann man verstehen als Voraussage darüber wie ein Spiel gespielt wird oder wahrscheinlich gespielt wird 29/35

30 Wie gut ist ein Lösungskonzept? Existenz: Ein Lösungskonzept sollte in einer Vielzahl von Spielen anwendbar sein und dann eine Lösung (d.h. Gleichgewicht) bereitstellen Bei einem guten Lösungskonzept existiert daher sehr häufig eine Lösung Einzigartigkeit: Ein Lösungskonzept sollte möglichst nur eine Lösung bereitstellen Grund: bei vielen Lösungen sinkt die Voraussagekraft eines Lösungskonzepts Einzigartigkeit ist, je nach Ausgestaltung des Spiels, oft nicht erreichbar 30/35

31 Invarianz: Ein Lösungskonzept sollte invariant gegenüber kleinen Veränderungen des Spiels sein Wenn es beispielsweise kleine Änderungen bei den Auszahlungen gibt, sollte sich die Lösung nicht ändern Anmerkung: Es ist nicht immer klar, was eine kleine Veränderung ist

32 Self-enforcement: Jedes Gleichgewicht eines Lösungskonzepts sollte self-enforcing sein D.h. in einem Gleichgewicht sollten die Spieler mit ihren Entscheidungen zufrieden sein und diese nicht ändern wollen Die Idee dahinter ist, dass man Spieler nicht zwingen kann, eine bestimmte Entscheidung zu treffen Anmerkung: Bei Tadelis steht self-enforcement unter der Rubrik Annahmen

33 Aufgabe 1.5* Was halten Sie von folgendem Lösungskonzept? Bei einem Spiel, welches als Matrix dargestellt werden kann, werden die Spieler die erste Zeile und die erste Spalte wählen 33/35

34 Zusammenfassung Ein Spiel in Normalform umfasst eine Menge an Spielern, eine Menge reiner Strategien für jeden Spieler und eine Auszahlungsfunktion für jeden Spieler, welche jeder Kombination von Strategien eine Auszahlung zuweist Viele Spiele können in einer Matrix/Tabelle dargestellt werden Jede Zeile entspricht einer reinen Strategie von Spieler 1 Jede Spalte entspricht einer reinen Strategie von Spieler 2 In jeder Zelle der Matrix stehen die entsprechenden Auszahlungen beider Spieler Ein Lösungskonzept sollte idealerweise breit anwendbar sein, nur wenige oder eine Lösung bereitstellen und außerdem invariant gegenüber kleinen Änderungen und self-enforcing sein 34/35

35 Buchaufgaben Wir behandeln folgende Aufgaben aus dem Tadelis Buch: 3.2* (Tutorium) 3.3* (Tutorium) 3.4* (Tutorium) 3.5* (Tutorium) 3.6** (Tutorium) 3.7** (Tutorium) 35/35