67. Aufgabe. Lösungen Übungsaufgaben Prof. Dr. Friedel Bolle Lehrstuhl für Volkswirtschaftslehre, insbesondere Wirtschaftstheorie

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Fritz Waltz
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1 Lösungen Übungsaufgaben Prof. Dr. Friedel Bolle Lehrstuhl für Volkswirtschaftslehre, insbesondere Wirtschaftstheorie (Mikroökonomie) Lösungen Übungsaufgaben Aufgabe Prisoners Dilemma Spieler C p D -p Erwartungswert Spieler : C D E = p 4 + ( p) 5 + p( ) 0 + ( p)( ) = p p Erwartungswert : E = p 4 + ( p) 0 + p( ) 5 + ( p)( ) = p + 3p + Beste von Spieler auf von : E = p( ) > 0 > beste : p = = 0 = beste : p beliebig < 0 < beste : p = 0

2 Lösungen Übungsaufgaben Beste von auf p von Spieler : E = (p ) + 3p + p > 0 p > beste : = p = 0 p = beste : beliebig p < 0 p < beste : = 0 Beste Spieler Nash- Gleichgewicht Beste p oder: Ein Gleichgewicht in gemischten Strategien existiert nur, wenn 0 < p < und 0 < < : Spieler C D C D 4 a 5 b α 4 β 0 0 c d γ 5 δ

3 Lösungen Übungsaufgaben für 0 < p < muss gelten: β < δ und α > γ oder β > δ und α < γ für 0 < < muss gelten: c < d und a > b oder c > d und a < b im Prisoners Dilemma gilt: β < δ und α < γ im Prisoners Dilemma gilt: c < d und a < b Neben dem Gleichgewicht in reinen Strategien existiert kein Gleichgewicht in gemischten Strategien. 68. Aufgabe Kampf der Geschlechter Spieler B p K -p B K Erwartungswert Spieler : E = p + ( p) 0 + p( ) 0 + ( p)( ) = 3p p + Erwartungswert : E = p + ( p) 0 + p( ) 0 + ( p)( ) = 3p p +

4 Lösungen Übungsaufgaben Beste von Spieler auf von : E = p(3 ) + 3 > 0 > 3 beste : p = 3 = 0 = 3 beste : p beliebig 3 < 0 < 3 beste : p = 0 Beste von auf p von Spieler : E = (3p ) p + 3p > 0 p > 3 beste : = 3p = 0 p = 3 beste : beliebig 3p < 0 p < 3 beste : = 0 Beste Beste Nash-Gleichgewichte Spieler p

5 Lösungen Übungsaufgaben oder: Ein Gleichgewicht in gemischten Strategien existiert nur, wenn 0 < p < und 0 < < : Spieler B K B K a 0 b α β 0 0 c d γ 0 δ für 0 < p < muss gelten: β < δ und α > γ oder β > δ und α < γ für 0 < < muss gelten: c < d und a > b oder c > d und a < b im Kampf der Geschlechter gilt: β < δ und α > γ im Kampf der Geschlechter gilt: c < d und a > b p = = δ β α β γ + δ = = 3 d c a b c + d = = 3 Wie ist dieses Gleichgewicht aus der Sicht der Spieler zu beurteilen? E = = 3 E = = 3 Das Gleichgewicht in gemischten Strategien ist ineffizient: Beide können sich besser stellen, wenn sie sich auf ein Gleichgewicht in reinen Strategien einigen können.

6 Lösungen Übungsaufgaben Aufgabe a) Schere, Papier, Brunnen: Schere schneidet Papier. Papier bedeckt den Brunnen. Schere fällt in den Brunnen. Spieler Schere Papier Brunnen Schere Papier Brunnen b). keine dominierten Strategien. Beste en: Spieler : spielt Schere Brunnen Papier Schere Brunnen Papier : Spieler spielt Schere Brunnen Papier Schere Brunnen Papier keine gegenseitig besten en 3. Abweichungsdiagramm (s.o.) kein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien

7 Lösungen Übungsaufgaben c) Das Nash-Gleichgewicht könnte sein: Spieler spielt ( 3, 3, ) 3 spielt ( 3, 3, ) 3 Damit es sich dabei um ein Nash-Gleichgewicht handelt, müssen die einzelnen Strategien jedes Spielers den gleichen Erwartungswert haben. Damit wären die Spieler zwischen ihren Strategien indifferent: Für die Erwartungswerte von Spieler gilt: E,Schere = ( ) = 0 E,Papier = 3 ( ) = 0 E,Brunnen = ( ) = 0 E,Schere = E,Papier = E,Brunnen Für die Erwartungswerte von gilt: E,Schere = ( ) = 0 E,Papier = 3 ( ) = 0 E,Brunnen = ( ) = 0 E,Schere = E,Papier = E,Brunnen Es handelt sich um ein Nash-Gleichgewicht. Hinweis: Es ist nicht notwendig, dass E = E gilt. 70. Aufgabe Freiwillige Bereitstellung eines öffentlichen Gutes für n Personen: U i (z, z,..., z n ) = = n v z j c z i z i... Strategie von Person i (0 oder ) j= n v z j + (v c) z i j= j i Bei welchen Relationen von c und v ergeben sich Effizienzprobleme? (.) (.) (3.) v n v c

8 Lösungen Übungsaufgaben wenn c < v kein Problem es ergibt sich das sozialoptimale Gleichgewicht. wenn v < c < n v siehe Vorlesung keiner stellt das Gut bereit Prisoners Dilemma 3. wenn c > n v es ist nicht mehr paretooptimal, wenn alle das Gut bereitstellen 7. Aufgabe Spiel A Spieler a b p -p c d - * * * * 4 Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien: (a,c) (a,d) (b,c) (b,d) Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien: Erwartungswert Spieler : E = p + ( p) + p( ) + ( p)( ) = Erwartungswert : E = p + ( p) + p( ) + ( p)( ) = Die Erwartungswerte der Spieler sind unabhängig von p und. Deshalb können beide ihre jeweiligen Wahrscheinlichkeiten beliebig wählen. Es existieren unendlich viele Gleichgewichte in gemischten Strategien.

9 Lösungen Übungsaufgaben Spiel B Spieler a b p -p c d * - 0 * 0-0 Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien: (a,d) (b,c) Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien: Erwartungswert Spieler : E = p ( ) + ( p) 0 + p( ) + ( p)( ) 0 = 3p + p Erwartungswert : E = p ( ) + ( p) 0 + p( ) ( ) + ( p)( ) 0 = p p Beste von Spieler auf von : E = p( 3 + ) 3 + > 0 < 3 beste : p = 3 + = 0 = 3 beste : p beliebig 3 + < 0 > 3 beste : p = 0 Beste von auf p von Spieler : E = ( p) p p > 0 p < 0 beste : = p = 0 p = 0 beste : beliebig p < 0 p > 0 beste : = 0

10 Lösungen Übungsaufgaben Nash- Gleichgewichte Beste Spieler Beste p 7. Aufgabe a) helfen anderer Passant nicht helfen Sie helfen nicht helfen 3 * * 0 3 0

11 Lösungen Übungsaufgaben b) Nashgleichgewichte in reinen Strategien: (nicht helfen, helfen) und (helfen, nicht helfen) Nashgleichgewicht in gemischten Strategien: p = = A spielt ( 3, ) 3 B spielt ( 3, ) 3 c) Game of Chicken 73. Aufgabe δ β α β γ + δ = = 3 = 3 d c a b c + d = = 3 = 3 a) beste von auf α ist: α beste von auf β = α ist: α b) Nash-Gleichgewicht: gegenseitig beste (α, α) c) Eine Möglichkeit wäre (, ), da es von den meisten als gerecht angesehen wird.

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