Skript zur Vorlesung Elementare und analytische Geometrie

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1 Robert Labus Skript zur Vorlesung Elementare und analytische Geometrie Studienkolleg für ausländische Studierende Universität Kassel Wintersemester 2016/2017

2 Inhaltsverzeichnis 1 Elementargeometrie Punkte, Geraden und Ebenen Strecken, Halbgeraden und Halbebenen Dreiecke und Kreise Winkel und Winkelmaß i

3 Kapitel 1 Elementargeometrie 1.1 Punkte, Geraden und Ebenen Die grundlegenden Objekte der Geometrie sind Punkte, Geraden und Ebenen. Wir bezeichnen Punkte mit Großbuchstaben wie,, C,..., P, Q,..., Geraden mit Kleinbuchstaben wie a, b,..., g, h,... und Ebenen mit griechischen Großbuchstaben wie Γ,, Θ, Λ,... später werden wir auch die uchstaben E,F verwenden, wenn keine Verwechslungsgefahr mit Punkten besteht. Im Folgenden unterscheiden wir neben Definitionen (Namensgebungen) und Sätzen (nachweisbaren ussagen) sogenannte xiome. Die xiome beschreiben Zusammenhänge zwischen den Objekten. lle Sätze der Geometrie werden mithilfe der xiome bewiesen. Die xiome selbst stellen der nschauung entnommene ussagen dar, die nicht weiter beweisbar sind. Solche xiome bilden das Grundgerüst der Geometrie und dürfen daher nicht im Widerspruch zueinander stehen. Wir verwenden die Mengenlehre, um die ussagen der Geometrie zu formulieren. Das heißt, (a) wir fassen Geraden und Ebenen als Mengen von Punkten auf und (b) Geraden als Teilmengen von Ebenen. Wir stellen jetzt eine kleine uswahl der xiome vor. Die vollständige Zusammenstellung aller xiome würde hier zu umfangreich. Wer hierzu mehr erfahren möchte, dem sei das uch Günter Ewald, Geometrie, VandenHoeck-Ruprecht, Göttingen 1

4 2 KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE 1965] empfohlen. xiom 1: Zu je zwei verschiedenen Punkten und gibt es genau eine Gerade g, so dass und auf der Geraden liegen. ǫg und ǫg ezeichnung: Die Gerade g durch die Punkte und bezeichnen wir auch mit g = xiom 2: uf jeder Geraden gibt es mindestens drei verschiedene Punkte. xiom 3: Es gibt drei paarweise verschiedene Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen. us dem xiom 3 folgt, dass es überhaupt Punkte geben muss (mindestens drei). Ebenso folgt, dass es auch mindestens drei Geraden geben muss, denn zu jeder uswahl von 2 der 3 Punkte gibt es nach xiom 1 eine Gerade, welche die beiden Punkte enthält. Da die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen, gehört der dritten Punkt nicht zu der Geraden durch die beiden ausgewählten Punkte. xiom 4: In jeder Ebene gibt es mindestens drei verschiedene Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen. xiom 5: Drei nicht auf ein und derselben Geraden liegende Punkte bestimmen stets eine Ebene. xiom 6: Zu jeder Ebene gibt es (mindestens) einen Punkt, der nicht in dieser Ebene liegt. Wir benötigen nun auf jeder Geraden noch so etwas wie eine Richtung des Durchlaufens. Dann können wir davon sprechen, dass ein Punkt vor einem Punkt liegt im Sinne dieser Richtung. Wir verwenden für diesen Sachverhalt die ezeichnung <. Eine solche nordnung der Punkte heißt in der Mathematik eine Relation. xiom 7: (nordnungsaxiome) uf jeder Geraden g ist für ihre Punkte eine Relation < ( liegt vor ) definiert, so dass gilt: a) < gilt für kein g (nicht reflexiv).

5 1.1. PUNKTE, GERDEN UND EENEN 3 b) us,, C g und folgt <, < C < C (transitiv). c) us, g mit folgt entweder < oder < (Linearität). d) us, g mit < folgt: es gibt Punkte C, D, E g mit C < < D < < E. d.h. es gibt jeweils einen Punkt vor, zwischen und und nach. us den nordnungsaxiomen kann man nun erste Schlüsse ziehen. Satz 1.1 uf jeder Geraden g Γ in einer Ebene Γ liegen unendlich viele Punkte. eweis: Laut xiom 3 existieren mindestens zwei Punkte, Γ mit, g. nnahme: Es existiert eine Gerade mit endlich vielen Punkten. Dann existiert bezüglich der nordnungsrelation < aufgrund der Linearität und Transitivität ein erster Punkt C g mit C < D für alle D g \{ C } im Widerspruch zum xiom 7 d), da die Gerade g durch C und D geht und somit einen Punkt vor C enthalten muss. Somit besitzt jede Gerade unendlich viele Punkte. Satz 1.2 Es gibt in jeder Ebene Γ unendlich viele Geraden g Γ. eweis: Sei P Γ mit P / g. Für je zwei Punkte, g,, gilt P P, denn aus P = P folgt P und somit wegen xiom 2 g = = P und folglich P g im Widerspruch zur Voraussetzung. Damit gibt es mindestens so viele Geraden durch P wie es Punkte auf der Geraden g gibt. Nach Satz 1.1 existieren demnach unendlich viele Geraden.

6 4 KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE P P g = P bbildung 1.1: Geradendarstellung 1.2 Strecken, Halbgeraden und Halbebenen Definition 1.3 Strecken Sei Γ eine Gerade mit der Orientierung <. Dann bezeichnet := {X (X = ) (X = ) ( < X < )} die Strecke mit nfangspunkt und Endpunkt. Soll ein Randpunkt der Strecke ausgenommen werden, dann verwenden wir runde statt eckige Klammern. ( ] ) ( ) bbildung 1.2: Strecke zwischen den Punkten und Satz 1.4 Eine Strecke enthält unendlich viele Punkte. eweis: Hätte die Strecke P \{} mit mit < nur endlich viele Punkte, so würde ein Punkt P < C für alle C \{, P } (1.2.1)

7 1.2. STRECKEN, HLGERDEN UND HLEENEN 5 existieren. Wegen P existiert laut xiom 5 d) ein D mit Folglich gilt D < D < P., womit ein Widerspruch zu Gleichung (1.2.1) vorliegt. emerkung 1.5 Satz 1.4 macht deutlich, dass es zu einem Punkt auf einer Geraden keinen Nachbarpunkt gibt. Punkte liegen auf einer Geraden nicht wie Perlen auf einer Schnur. Stattdessen befindet sich zwischen zwei verschiedenen Punkt (egal wie eng sie beieinander liegen) stets ein weiterer Punkt. Definition 1.6 Für eine Gerade g Γ, und,, C g mit < < C bezeichnen wir mit ] := {X g (X = ) (X < )} und C := {X g (X = ) ( < X)} die negative respektive positive Halbgerade (Strahl) von g mit nfangspunkt. Entsprechend werden die Halbgeraden ohne den nfangspunkt mit runden Klammern geschrieben: ) bzw. ( C ] < C bbildung 1.3: Halbgerade bzgl. und

8 6 KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE Ganz offensichtlich gilt hiermit die Folgerung 1.7 g = = C ] sowie C C = g ] C = C und ] C = {} C < C C C Satz 1.8 Jede Halbgerade hat unendlich viele Punkte. eweis: Wir betrachten beispielhaft den Fall < D. Hiermit gilt Punkte und folglich auch C. Mit xiom 7 d) existiert ein D C mit D C. Laut Satz 1.4 besitzt C. D bereits unendlich viele

9 1.2. STRECKEN, HLGERDEN UND HLEENEN 7 Jede Gerade scheint die Ebene in zwei Teile zu zerlegen. Um diese ussage genauer zu spezifizieren, müssen wir einen egriff einführen, der uns die Möglichkeit gibt, zu entscheiden, wann zwei Punkte auf verschiedene Seiten oder der gleichen Seite bezüglich einer Geraden g liegen. Fall 1: Fall 2: g g Verschiedene Seiten Gleiche Seiten bbildung 1.4: Lage von Punkten bzgl. einer Geraden Definition 1.9 Sei g Γ eine Gerade und, Γ \ g (d. h., / g) mit, dann sagen wir, dass und auf derselben Seite von g liegen, wenn gilt. g = g xiom 8: (M. Pasch ( )) Sei g Γ eine Gerade und,, C Γ \ g. Schneidet g eine der drei Strecken, C und C, so noch eine weitere (siehe bbildungen 1.5 und 1.6). Definition 1.10 Unter der offenen Halbebene (g ; / g) bezüglich einer Geraden g Γ versteht man die Menge aller Punkte Γ, die auf derselben Seite wie bezüglich g liegen. Die Menge (g ; / g) g heißt abgeschlossene Halbebene mit Rand g.

10 8 KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE C g bbildung 1.5: Lage einer Geraden zu den Strecken zwischen den Punkten, und C (,, C nicht auf einer Geraden ). g C bbildung 1.6: Lage einer Geraden zu den Strecken zwischen den Punkten, und C (,, C auf einer Geraden ). Definition 1.11 Mengen M 1, M 2,..., M n heißen paarweise disjunkt, wenn alle paarweise gebildeten Schnittmengen leer sind, das heißt gilt. M i M j = für alle i j, i, j {1,..., n} Folgerung 1.12 Jede Gerade zerlegt die Ebene paarweise disjunkt in zwei offene Halbebenen und die Gerade selbst. 1.3 Dreiecke und Kreise Definition 1.13 (Kollinear) Seien,, C Γ. Wenn es eine Gerade g Γ mit,, C g gibt, dann heißen,, C Γ kollinear. Definition 1.14 (Dreieck) Seien,, C Γ drei verschiedene Punkte, die nicht kollinear sind. Dann heißt C C

11 1.3. DREIECKE UND KREISE 9 Dreiecksrand mit Dreiecksseiten, C und C. Ein P Γ heißt innerer Punkt bezüglich des Dreiecksrandes, wenn P / C C (kein Randpunkt) ist und jede Halbgerade mit nfangspunkt P genau einen Punkt mit dem Dreiecksrand gemeinsam hat. Ein Punkt Q Γ heißt äußerer Punkt bezüglich des Dreiecksrandes, wenn Q weder Randpunkt noch innerer Punkt ist. Die Menge aller inneren Punkte und Randpunkte heißt Dreieck, kurz C. Die Punkte,, C werden als Ecken des Dreiecks bezeichnet. Q P C bbildung 1.7: Dreieck C evor wir in der Lage sind, einen Kreis einzuführen, benötigen wir zunächst einen bstandsbegriff. xiom 9: (bstandsaxiom) Zwei Punkten, Γ lässt sich eindeutig eine nichtnegative reelle Zahl (genannt Entfernung oder bstand) derart zuordnen, dass a) = 0 = b) = c) + C = C für C, C Γ \ {} d) + C > C für / C, C Γ \ {} (Dreiecksungleichung) gilt. emerkung 1.15 Für, Γ mit folgt > 0 aus dem xiom 9a) und der Eigenschaft 0. Kreis mit Radius r um M:

12 10 KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE r M bbildung 1.8: Kreisdarstellung Definition 1.16 Sei M Γ und r IR 0 (r 0), dann heißt die Menge Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r. K r (M) = { Γ M = r.} Möglichkeiten von Kreisschnitten verschiedener Kreise sind in bbildung 1.9 (links) dargestellt. P bbildung 1.9: Kreisschnitte (links), bstand auf Halbgeraden (rechts) l xiom 10: Zwei verschiedene Kreise haben höchstens zwei gemeinsame Punkte. Es sind genau zwei Punkte, wenn zum einen Kreis mindestens ein innerer und äußerer Punkt des anderen Kreises gehört. bstände bei Halbgeraden: xiom 11: uf jeder Halbgeraden P mit gibt es zu gegebenem l 0 genau einen Punkt P = l.

13 1.3. DREIECKE UND KREISE 11 Definition 1.17 Seien, Γ mit. Ein Punkt P, falls P = P. heißt Mittelpunkt der Strecke Konstruktion 1 (Mittelpunkt) M bbildung 1.10: Mittelpunktkonstruktion bei Strecken 1. Schritt: Ziehe um und jeweils einen Kreis mit Radius. 2. Schritt: Verbinde die Schnittpunkte der beiden Kreise. 3. Schritt: Der erzeugte Schnittpunkt mit stellt den Mittelpunkt der Strecke dar. Satz 1.18 Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt. eweis: Seien, Γ mit. Sei g die Halbgerade g =. Existenz des Mittelpunktes: Zu r := 1 > 0 existiert laut xiom 11 genau ein Punkt P g mit P = r. 2 nnahme: P / Dann gilt P und folglich mit dem bstandsaxiom 9c) + P = P, }{{} = 1 2

14 12 KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE womit P = 1 2 < 0 folgt und somit ein Widerspruch zu P 0 vorliegt. Folglich gilt P somit 1 2. P + P = = P = }{{} = 1 2 und Somit liegt mit P ein Mittelpunkt von vor. Eindeutigkeit des Mittelpunktes: Seien M, P zwei Mittelpunkte der Strecke, dann gilt M P M P. Im Fall M P erhalten wir mit xiom 9c) P M + M = P = P M = 0 }{{}}{{} = 1 2 = 1 2 xiom 9a = P = M. nalog ergibt sich der Nachweis im Fall M P. Zur Klassifikation von Dreiecken und Vierecken sowie zum Nachweis zentraler Sätze (z.. Pythagoras, Thales) ist der egriff des Winkels und des Winkelmaßes wichtig. 1.4 Winkel und Winkelmaß Winkelmaß Winkelmaß bbildung 1.11: Winkeldarstellung

15 1.4. WINKEL UND WINKELMß 13 Es gibt offensichtlich zwei Möglichkeiten, einem Winkel ein Maß zuzuordnen. Um eine eindeutige Festlegung zu erhalten, werden wir den Umlaufsinn dreier Punkte betrachten. xiom 12: (Umlaufsinn) llen Punktetripeln,, C Γ mit / C lässt sich ein Umlaufsinn zuordnen. Das ist auf genau zwei Weisen möglich, die in bbildung 1.12 dargestellt sind. I) C II) C C C bbildung 1.12: Positiver (links) und negativer (rechts) Umlaufsinn Der dem Uhrzeigersinn entsprechende Umlaufsinn II wird als (mathematisch) negativ, der andere als (mathematisch) positiv bezeichnet. Definition 1.19 (Winkel) Seien S,, Γ, S / {, } und g = S, h = S zwei Halbgeraden mit nfangspunkt S. Dann versteht man unter dem Winkel g h, kurz (g, h), die Punktmenge bestehend aus der Vereinigung der beiden Halbgeraden mit der Menge aller Punkte, die überstrichen werden, wenn g gegen den Uhrzeigersinn um S auf h gedreht wird. S heißt Scheitelpunkt des Winkels (g, h) und g, h heißen Schenkel des Winkels. eispiel 1.20 T 1, T 2, T 3 (g, h), T 4 / (g, h) b) a)

16 14 KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE T 4 S 00 11h T T g T 1 h g T 3 S T 4 c) T 1 T S T T 4 01 h Den eispielen können wir folgende Eigenschaften der Punkte T 1, T 2, T 3 (g, h) entnehmen: oder oder T / S T T S S S hat folgende Eigenschaft: a) Falls S einen positiven Umlaufsinn besitzt oder S gilt, dann haben ST und ST einen positiven Umlaufsinn. b) Falls S einen negativen Umlaufsinn besitzt, dann hat ST oder ST einen positiven Umlaufsinn. emerkung 1.21 nstelle (g, h) wird auch häufig (S) mit g und h oder ein griechischer uchstabe (α, β, γ,...) verwendet. g

17 1.4. WINKEL UND WINKELMß 15 xiom 13: (Winkelmaße) Sei v IR >0, dann lässt sich jedem Winkel α eindeutig eine Zahl α 0, v zuordnen (genannt Maß des Winkels α), so dass a) (S) = 0 gilt. S b) (S) = 1 2 v, falls S gilt S c) das Maß eines Winkels gleich der Summe der Maße der Teilwinkel ist, in die er durch geeignete Halbgeraden zerlegt werden kann. In mathematischer Schreib- C S bbildung 1.13: Winkelunterteilung weise gilt bezogen auf bbildung 1.13 die Darstellung (S) = (SC) + (CS). Die beiden wichtigsten Winkelmaße in der Mathematik sind das ogenmaß und das Gradmaß. Definition 1.22 (i) Wird v = 2π gewählt, dann heißt das zugehörige Winkelmaß das ogenmaß arc. (ii) Wird v = 360 gewählt, dann heißt das zugehörige Winkelmaß das Gradmaß grad.

18 16 KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE Die Indizes arc bzw grad werden wir meistens weglassen, wenn aus dem Zusammenhang klar ist um welches Winkelmaß es sich handelt oder es nicht auf das speziell verwendete Maß ankommt. In der Mathematik wird bevorzugt das ogenmaß verwendet, insbesondere im Zusammenhang mit trigonometrischen Funktionen wie Sinus uns Cosinus wird ausschließlich das ogenmaß verwendet. Wir vereinbaren deshalb, dass grundsätzlich das ogenmaß gemeint ist, wenn im Kontext nichts anderes festgelegt wird. a) (S) = 0 gilt für alle Winkelmaße. S b) arc (S) = π 2, falls S gilt und entsprechend grad (S) = S xiom 14: Seien die Halbgerade g = eine Halbgerade h = S und ein Winkelmaß r gegeben, dann existiert genau S mit (g, h) = r. eim Schnitt zweier Geraden entstehen formal 4 4 = 16 Winkel. Es handelt sich hierbei bezogen auf die bbildung 1.14 um vier Nullwinkel sowie die Winkel α, α β, α β γ, β, β γ, β γ δ, γ, γ δ, γ δ α, δ, δ α, und δ α β. γ β δ α Nebenwinkel Scheitelwinkel α, β α, γ β, γ β, δ γ, δ δ, α bbildung 1.14: Paarweise Winkelbezeichnungen Definition 1.23 (Scheitel- und Nebenwinkel) Zwei Winkel heißen Nebenwinkel, wenn ihr Schnitt eine Halbgerade und ihre Vereinigung eine abgeschlossene Halbebene ist. Zwei Winkel heißen Scheitelwinkel, wenn sie einen gemeinsamen Nebenwinkel haben.

19 1.4. WINKEL UND WINKELMß 17 us xiom 13 c) erhalten wir offensichtlich die folgende ussage. Satz 1.24 Die Summe der Maße zweier Nebenwinkel ist π bzw. im Gradmaß 180. Satz 1.25 Zwei Scheitelwinkel haben gleiches Maß. eweis: Unter Verwendung der ezeichnungen gemäß bbildung 1.15 erhalten wir aus γ β α bbildung 1.15: Winkelbezeichnungen die Gleichung Hiermit ergibt sich γ = α. Definition 1.26 (Winkeltypen) Ein Winkel α = (S) heißt γ + β = π und α + β = π 0 = ( γ + β ) ( α + β ) = γ α. (a) Nullwinkel, falls α = 0 gilt, siehe bbildung 1.16 (links). (b) spitz, falls 0 < α < π 2 gilt, siehe bbildung 1.16 (rechts). (c) rechter Winkel, falls α = π 2 (Zeichen. ) gilt, siehe bbildung 1.17 (links). (d) stumpf, falls π 2 < α < π gilt, siehe bbildung 1.17 (rechts). (e) gestreckter Winkel, falls α = π gilt, siehe bbildung 1.18 (links). (f) überstumpf, falls π < α < 2π gilt, siehe bbildung 1.18 (rechts).

20 18 KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE S S bbildung 1.16: Nullwinkel (links), Spitzer Winkel (rechts) S S bbildung 1.17: Rechter Winkel (links), Stumpfer Winkel (rechts) S S bbildung 1.18: Gestreckter Winkel (links), Überstumpfer Winkel (rechts)

21 1.4. WINKEL UND WINKELMß 19 Definition 1.27 (senkrecht, parallel) a) Zwei Geraden, CD, CD heißen senkrecht. (Zeichen: CD), wenn CD gilt und wenn zwei Halbgeraden vom Schnittpunkt aus existieren, die einen rechten Winkel bilden. b) Zwei Geraden, CD heißen parallel, wenn CD = oder gilt. = CD c) Zwei Halbgeraden, CD bzw. zwei Strecken S, CD heißen senkrecht, respektive parallel, wenn die Geraden, CD es sind. S D bbildung 1.19: Senkrechte Geraden C D C D bbildung 1.20: Senkrechte Halbgeraden und Strecken xiom 13: (Senkrechte, Parallelenaxiom (nach D. Hilbert )) a) Zu jeder Geraden gibt es durch jeden Punkt genau eine senkrechte Gerade. b) Zu jeder Geraden gibt es durch jeden Punkt genau eine parallele Gerade.

22 20 KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE

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