Einführung in die Geometrie SS Prof.Dr.R.Deissler

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1 Einführung in die Geometrie SS 2007 Prof.Dr.R.Deissler Einführung Literatur Titelblatt Hintergrund Geschichte - Grundbegriffe Vom Wesen der Geometrie Empirische Wissenschaft Formal-logische Theorie Erfahrungswissenschaft wie die Physik Keine egründung durch Erfahrung, keine anschaulichen rgumente Experimente, Formale bleitung von Sätzen nach Regeln der Logik aus xiomen (nicht weiter begründetes System von Grundtatsachen) eobachtungen, ussagen über die Natur nschauung nur als Hinweis auf eweisführungen Deutung der Theorie in der Welt Grundlage für Theorien der Physik Schule, lltag, Technik Hochschulmathematik Vermittlung der Idee des eweisens auch in der Schule (sogenanntes lokales Ordnen) Hintergrund-Geschichte

2 Euklid-ild Hilbert-ild Die Personen xiomatische Methode: egonnen von Euklid 300 v.chr. uch Elemente Die Personen xiomatische Methode: Vollendet von David Hilbert 1900 n.chr. uch Grundlagen der Geometrie

3 Einstein-ild Die Personen Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit. lbert Einstein, Geometrie und Erfahrung bbildungen wozu? Welche der unten erscheinenden Gesichter sind einander gleich? Was kann Gleichheit bedeuten? bbildungen wozu?

4 bbildungen wozu? Welche der unten erscheinenden Gesichter sind einander gleich? lles sind bbildungen mit Hilfe eines Graphikprogramms Was kann Gleichheit bedeuten? bbildungen 2 Die ntwort: Das hängt davon ab, ob man Figuren als gleich bezeichnet, die identisch sind, durch Drehungen und Verschiebungen auseinander hervorgehen, durch Drehungen, Verschiebungen und Spiegelungen auseinander hervorgehen durch noch allgemeinere bbildungen auseinander hervorgehen. In der Schulgeometrie meint man meist, eine Figur sei eindeutig bestimmt, wenn sie bis auf Kongruenzabbildungen eindeutig festgelegt ist. Daher werden wir in der Vorlesung bbildungen der Ebene in sich untersuchen. bbildungen 3

5 Definitionen und Sprechweisen E ist die nschauungsebene (Zeichenebene) Eine Figur F ist eine nichtleere Teilmenge F der Ebene E Figur F heißt beschränkt, wenn sie ganz in ein Rechteck eingeschlossen werden kann beschränkte Figur beschränkte Figur unbeschränkte Figur Definitionen 1 bbildungen der Ebene in sich Eine bbildung f der Ebene E in E ist eine Zuordnung, die jedem Punkt P der Ebene E eindeutig einen ildpunkt P zuordnet. f: E E f bildet E in E ab f: P a P f bildet bildet den Punkt P auf den Punkt P ab eispiel: Verschiebung der Ebene mit Hilfe einer Transparent-Folie Jedem Punkt P der verschobenen Ebene wird der darunter liegende Punkt P zugeordnet. Dies gibt eine bbildung von E in E. bbildungen der Ebene

6 bbildungen, Funktionen allgemein Eine bbildung f der der Menge nach ist eine Zuordnung, die jedem Element x eindeutig ein ildelement y zuordnet. f: f bildet nach ab f : x a y f bildet bildet das Element x auf das Element y ab eispiele aus dem ereich der Zahlen: f : f : x a x 2 f : -7 a? g : g : x a größte ganze Zahl x g : 2,3 a h : h : x a x 1 bbildungen allgemein Injektive bbildungen Eine bbildung heißt injektiv, wenn keine zwei verschiedenen Punkte den gleichen ildpunkt besitzen. P P Q Nicht injektiv Injektiv

7 Surjektive bbildungen Eine bbildung heißt surjektiv, wenn jeder Punkt aus E als ildpunkt vorkommt. P P Nicht surjektiv Q Q kommt nicht als ildpunkt vor Surjektiv ijektive bbildungen Eine bbildung heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. P Q P Q Keine zwei verschiedenen Punkte haben gleiche ildpunkte lle Punkte kommen als ildpunkte vor bijektiv

8 Hintereinanderausführen von bbildungen E E Definition: Es seien f: E E und g: E E bbildungen der Ebene E in sich. Die Verkettung f o g : E E wird erklärt durch f o g (x) = g (f(x)) Zuerst wird f ausgeführt; auf das Ergebnis f(x) wird g angewandt! f g x f(x) g(f(x)) fog(x) fog Statt Verkettung sagt man auch Hintereinanderausführung oder Produkt Verkettung 1 Satz 1.1 a) ssoziativgesetz (f o g ) o h = f o (g o h) b) Das Kommutativgesetz gilt nicht: im llgemeinen ist f o g g o f (egründung?) fo(goh) goh x f f(x) g g(f(x)) h h(g(f(x))) fog (fog)oh Verkettung 2

9 Inverse einer bbildung Definition: Ist f eine bijektive bbildung, dann kann man f umkehren, d.h. jedem ildpunkt wird sein eindeutig bestimmter Urbildpunkt zugeordnet. Die so definierte bbildung wird mit f -1 bezeichnet und Inverse zu f oder Umkehrabbildung zu f genannt. f P P Q Q f -1 Jedem ildpunkt P wird durch f -1 sein Urbild P zugeordnet Es gilt: fof -1 = id und f -1 of = id id und id sind die identischen bbildungen auf bzw. auf. Für id ist f o id = id o f = f für alle bbildungen f von nach. Inverse eispiele für bbildungen in der Ebene Durch folgendes ild wird eine bbildung von E nach E definiert (Transparentfolie). Welche Eigenschaften von bbildungen liegen vor: injektiv, surjektiv, bijektiv? Worauf werden Geraden abgebildet? Skizzen! ( x, y) f ( x, y) = 1 2, y x für x 1 für x > 1 eispiele bb.1 Prüfen Sie an ausgewählten Punkten, dass durch die nebenstehende Vorschrift eine solche bbildung angegeben wird.

10 eispiele für bbildungen in der Ebene Durch folgendes ild wird eine bbildung von E nach E definiert (Transparentfolie). Welche Eigenschaften von bbildungen liegen vor: injektiv, surjektiv, bijektiv? Worauf werden Geraden abgebildet? Skizzen! ( x, y) a ( x, y) (2 x, y) ( x 2, y) für x 1 für 1 < x 2 für x > 2 Prüfen Sie an ausgewählten Punkten, dass durch die nebenstehende Vorschrift eine solche bbildung angegeben wird. eispiele bb.2 nimation eispiele für bbildungen in der Ebene Durch folgendes ild wird eine bbildung von E nach E definiert. Welche Eigenschaften von bbildungen liegen vor: injektiv, surjektiv, bijektiv? Worauf werden Geraden abgebildet? Skizzen! eispiele bb.3

11 eispiele für bbildungen in der Ebene Durch folgendes ild wird eine bbildung von E nach E definiert. x' = x 2 + x y y' = x 2 + y y Kreisabbildung-Formeln Zurück bbildungsbegriff in der Mathematik Physik, Technik, bei der Oma Der Weg ist bedeutsam s gibt Kratzer im Parkett!!! Die Verkettung der beiden Verschiebungen kann ersetzt werden durch eine Verschiebung. Mathematik Nur das Ergebnis ist bedeutsam Die Verkettung der beiden Verschiebungen ist eine Verschiebung. bbildungsbegriff Mathematik

12 Winkelbegriffe Zwei Halbgeraden g S und h S mit gemeinsamem nfangspunkt S bilden eine Winkelfigur. Diese Winkelfigur legt zwei Winkelfelder fest, ein inneres und ein äußeres, wenn die Halbgeraden nicht auf einer Geraden liegen. S h S g S h S h S S g S S g S Winkel g S,h S Winkel S Winkel h S,g S Winkel S Winkelbegriff 1 h S h S S g S S g S Winkel g S,h S Winkel S Winkel h S,g S Winkel S Zur Unterscheidung: Orientierung von Winkeln g S,h S : Das Winkelfeld, das überstrichen wird, wenn g S im Gegenuhrzeigersinn um S auf h S gedreht wird Winkelmessung in Grad. Keine Orientierung, nur positive Winkel. Keine Unterscheidung von Winkel und Winkelmaß. Winkelbegriff 2

13 Winkelmaße nehmen nur Werte aus dem ereich [0,360 [ an. Ein Winkel von 360 ist gleich groß wie ein Winkel von 0. Winkelfelder werden stets im mathematisch positiven Sinn notiert. ei technischen oder physikalischen nwendungen: ei Drehungen ist der Verlauf der Drehung von edeutung dort wichtig, orientierte Winkel zu betrachten. C h S C h S g S positiver orientierter Winkel g S negativer orientierter Winkel Winkelbegriff 3 Winkelmaße mit Werten größer als 360 Umdrehung eines Karussells mit -900 : Das Karussell hat sich zweieinhalb mal im Uhrzeigersinn gedreht. Wir benutzen in der Geometrie auch negative Winkel und Winkel mit Maßen über 360, um intuitive ezeichnungen zu ermöglichen und erechnungen zu erleichtern. Diese Winkel sind aber stets gleich einem nicht orientierten Winkel mit Maß aus dem ereich [0,360 [. Winkelbegriff 4

14 Dynamische Geometrie Systeme Winkelbezeichnung ohne Orientierung: Unterscheidung zwischen innerem und äußerem Winkelfeld nicht möglich. DynaGeo Grundeinstellung: Wählen, ob Winkelorientierung berücksichtigt wird oder nicht. Ohne Orientierung können dann nur Winkel zwischen 0 und 180 gemessen werden. Winkelbegriff 5 Parallele Geraden Es gibt mehrere Möglichkeiten, Parallelität von Geraden zu definieren. Definition: Zwei Geraden g und h heißen parallel, wenn sie beide auf einer dritten Geraden k senkrecht stehen. Wir schreiben dafür g h. Nach dieser Definition gilt insbesondere g g! Unter Voraussetzung von genügend vielen xiomen kann man folgern: g h und g h g und h haben keinen gemeinsamen Punkt. g h g und h haben überall den gleichen bstand. Diese beiden Eigenschaften könnte man auch zur Definition von Parallelität verwenden. Wie lautet die Definition in diesen Fällen?. Parallele

15 Einige emerkungen zur xiomatik Wir wollen hier keine axiomatische Geometrie betreiben, wollen aber unter Verwendung von hinreichend vielen nicht weiter begründeten Voraussetzungen, geometrische Sätze beweisen. Diese Voraussetzungen können wir als xiome auffassen Folgende Sachverhalte, die wir immer wieder im Sinne von xiomen verwenden wollen, sollen hier noch einmal kurz festgehalten werden. Winkel an geschnittenen Parallelen Die Parallelen g, h, g h, werden von einer Geraden k geschnitten. Dann sind - die Stufenwinkel α und γ gleich groß, - die Wechselwinkel β und γ bzw. α und δ gleich groß α β g γ δ h k Zur xiomatik 1 Sätze über die Größe von Seitenlängen und Winkelgrößen in Dreiecken (Kongruenzsätze) Die aus der Schule geläufigen Kongruenzsätze in der folgenden Form ( sws als eispiel): Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seiten(längen) und der Größe des eingeschlossenen Winkels überein, dann stimmen sie auch in allen anderen Seitenlängen und Winkelgrößen überein. C γ b α a c β ' β' c' a' C' γ' b' α ' ' Zur xiomatik 2