Bewegungsgeometrie. Hans-Gert Gräbe, Leipzig. 23. Januar 2000

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1 ewegungsgeometrie Hans-Gert Gräbe, Leipzig 23. Januar 2000 Geometrische rgumentationen verwenden an vielen Stellen Kongruenzaussagen, die gewöhnlich mit verschiedenen Kongruenzsätzen begründet werden. ekanntlich heißen zwei geometrische Figuren kongruent, wenn es eine ewegung gibt, die die eine Figur mit der anderen zur Deckung bringt. In diesem eitrag soll an einigen eispielen aufgezeigt werden, wie für Kongruenzaussagen direkt mit solchen Deckbewegungen argumentiert werden kann. ufgabe 1 Konstruieren Sie ein gleichseitiges Dreieck, dessen Eckpunkte auf drei vorgegebenen parallelen Geraden g, g, g liegen. g_ g_ g_ g_ ild 1: Konstruktion des Dreiecks Wegen der Translationsinvarianz kann man einen der Eckpunkte, etwa, auf seiner Geraden beliebig wählen. Sei nun ein Dreieck mit den geforderten Eigenschaften. Dreht man die Ebene in um 60, so geht in über. muss also auf g und der ildgeraden g liegen, die man aus g durch die Drehung erhält. Da g nicht parallel zu g verläuft, ist bei fixiertem als Schnittpunkt dieser beiden Geraden eindeutig bestimmt. Ein Dreieck mit den geforderten Eigenschaften kann man also wie folgt konstruieren: (1) Wähle g beliebig aus. This material belongs to the Public Domain KoSemNet data base. It can be freely used, distributed and modified, if properly attributed. Details are regulated by the reative ommons ttribution License, see For the KoSemNet project see 1

2 (2) Konstruiere das ild g von g bei Drehung um 60 mit Zentrum. (Wähle dazu zwei Punkte auf der Originalgeraden, konstruiere deren ilder und verbinde diese zur ildgeraden). Der Schnittpunkt von g und g ist. (3) Der dritte Eckpunkt ist der Schnittpunkt von g mit der Mittelsenkrechten auf. us unseren bisherigen etrachtungen ergibt sich, dass das so konstruierte Dreieck die edingungen der ufgabenstellung erfüllt und umgekehrt jedes solche Dreieck auch auf diese Weise konstruiert werden kann. ei fixiertem erhalten wir zwei Lösungen, da man die Drehung um 60 mit Zentrum in zwei Richtungen ausführen kann. Die beiden Lösungen liegen symmetrisch bzgl. einer chse durch, die senkrecht zu den drei parallelen Geraden verläuft. g_ g_ g_ g_ ild 2: Die beiden Lösungen bei gegebenem ufgabe 2 In einem regelmäßigen Tetraeder D mit der Kantenlänge a seien E, F, G und H die Mittelpunkte der Kanten,, D und D. Zeigen Sie, dass EF GH ein (ebenes) Quadrat ist. D G H F E ild 3: Tetraeder D mit Quadrat EF GH 2

3 Da EF die Mittellinie im Dreieck ist, gilt EF und EF = a 2. nalog erhalten wir GH, EH D F G und F G = GH = EH = a 2. Die vier Punkte liegen also in einer Ebene (die z.. von den parallelen Geraden EF und GH bestimmt wird) und spannen ein Rhombus auf. Um zu zeigen, dass das Rhombus ein Quadrat ist, zeigen wir, dass es gleichlange Diagonalen EG = F H besitzt. Dazu betrachten wir zunächst die Deckbewegungen, die ein reguläres Tetraeder in sich selbst überführen. Es gibt genau 12 solche Drehbewegungen: (1) 8 Drehungen, deren chse durch je einen Eckpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seitenfläche verläuft (es gibt 4 solche chsen; um jede kann man um ±120 drehen. ezeichnung: d +, d für die Drehungen um die chse durch ), (2) 3 Drehungen, deren chse jeweils durch durch die Mitten gegenüberliegender Kanten verläuft (es gibt 3 solche chsen; um jede muss man um 180 drehen. ezeichnung: d D für die Drehung um die chse durch die Kantenmitten von und D) und (3) die identische ewegung. Die Drehung d + D vertauscht die Eckpunkte,, zyklisch, bildet damit E auf F und G auf H und so auch EG auf F H ab. Die beiden Strecken sind also gleichlang. (N: Der Schnittpunkt beider Strecken ist unter der Drehung invariant, liegt also auf der Drehachse.) Werden zwei ewegungen aus obiger Liste nacheinander ausgeführt, so ergibt wieder eine ewegung aus der Liste. Führen wir z.. zuerst die Drehung d + D aus, die,, zyklisch vertauscht, und danach die Drehung d um die chse durch den (neuen!) Eckpunkt, so entspricht das genau der Drehung d D. In der Tat, die Punkte werden dabei wie folgt abgebildet: D,,, D D. Weiterführende ufgabe: Erstellen Sie eine Übersicht, zu welcher ewegung sich je zwei ewegungen aus obiger Liste zusammen setzen. Wir wollen nun die Zusammensetzung von Drehungen in der Ebene näher betrachten. Sei ein gleichseitiges Dreieck. ildpunkte nach den ersten k-ten Drehungen werden wir im Folgenden mit dem Index k kennzeichnen. 2 1=2 =2 1 =1 ild 4: Gleichseitiges Dreieck in den verschiedenen Positionen 3

4 Drehen wir die Ebene in um 120, so geht in das Dreieck mit 1 = über. Drehen wir weiter in 1 um 120, so geht in das Dreieck mit 2 = 1 und 2 = über. Und drehen wir schließlich in 2 um 120, so geht in das usgangsdreieck über. Da eine ewegung durch die ngabe der ildpunkte von drei nicht kollinearen Punkten eindeutig bestimmt ist, ergibt die Nacheinanderausführung der drei angegebenen Drehungen also die identische bbildung. ufgabe 3 Zeigen Sie, dass eine analoge ussage für jedes beliebige Dreieck gilt. Genauer: Zeigen Sie, dass das Nacheinanderausführen der Drehung mit Zentrum um den Winkel 2α, der Drehung mit Zentrum 1 um den Winkel 2β und der Drehung mit Zentrum 2 um den Winkel 2γ die identische bbildung ist. 2 1=2 =2 1 ild 5: eliebiges Dreieck in den verschiedenen Positionen Die erste Drehung überführt das Dreieck in das Dreieck mit 1 =, wobei nach Konstruktion = 1 = 1 1 = α gilt. Das Dreieck 1 ist also nach (sws) zum Dreieck kongruent und die zweite Drehung überführt auch im allgemeinen Fall das Dreieck in ein Dreieck mit 2 = 1 und 2 = und 2 1 = 1 = = γ. Die dritte Drehung überführt das Dreieck also wieder in seine usgangslage. Ein gleichseitiges Dreieck hat eine zweite interessante Eigenschaft. Führen wir Drehungen um jeweils 60 um, 1, 2, 3, 4, 5 aus (ezeichungen wie oben), so erhalten wir ebenfalls die identische bbildung. 4

5 D ild 6: Gleichseitiges Dreieck in den verschiedenen Positionen Das Dreieck wechselt dabei ständig zwischen zwei verschiedenen Lagen hin und her und dreht sich um sich selbst. Die Lagen der drei Eckpunkte nach jeder Drehung sind in der folgenden Tabelle aufgelistet. usgangslage : 0 = 0 = 0 = nach 1. Drehung : 1 = 1 = 1 = D nach 2. Drehung : 2 = 2 = 2 = nach 3. Drehung : 3 = 3 = D 3 = nach 4. Drehung : 4 = 4 = 4 = nach 5. Drehung : 5 = D 5 = 5 = nach 6. Drehung : 6 = 6 = 6 = uch hier können wir dasselbe Problem für ein allgemeines Dreieck stellen: ufgabe 4 Welche ewegung ergibt sich, wenn man die Drehung mit Zentrum um den Winkel α, die Drehung mit Zentrum 1 um den Winkel β, die Drehung mit Zentrum 3 um den Winkel γ, die Drehung mit Zentrum 3 um den Winkel α, die Drehung mit Zentrum 4 um den Winkel β und die Drehung mit Zentrum 5 um den Winkel γ nacheinander ausführt? Offensichtlich wird insgesamt um den Winkel 2(α + β + γ) = 360 gedreht. Die Zusammensetzung all dieser Drehungen ist also eine Verschiebung um einen Vektor XX 6, wobei X ein beliebiger Punkt und X 6 dessen ildpunkt unter der zusammen gesetzten ewegung ist. Weiterführende ufgabe: Zeigen Sie mit elementargeometrischen Mitteln, dass die Verschiebung in Wirklichkeit die identische bbildung ist. Wir wollen hier einen anderen Weg beschreiten und eine analytische Lösung unter Verwendung der komplexen Zahlen angeben. Ich setze dabei die Kenntnis entsprechender Zusammenhänge voraus und verweise den unkundigen Leser bzw. Leserin auf das schöne uch [1] von H. Pieper. Fixieren wir ein Koordinatensystem und identifizieren x- bzw. y-chse mit der reellen bzw. imaginären chse der Gaußschen Zahlenebene, so können wir den Punkt X = (x, y) unserer Ebene als komplexe Zahlen z = x + i y interpretieren (und umgekehrt). Eine Drehung mit 5

6 Zentrum z 0 um den Winkel α kann man dann wie folgt beschreiben: Der ildpunkt z eines Originalpunkts z berechnet sich aus der Formel z z 0 = e i α (z z 0 ) bzw. z = e i α z + (1 e i α ) z 0, wobei e i α = cos(α) + i sin(α) eine komplexe Zahl vom etrag 1 ist, die die gegebene Drehung charakterisiert. Sind a 0, b 0, c 0 die Eckpunkte unseres Dreiecks und z 0 ein beliebiger Punkt, so gilt demnach z 1 = e i α z 0 + (1 e i α ) a 0 z 2 = e i β z 1 + (1 e i β ) b 1 z 3 = e i γ z 2 + (1 e i γ ) c 2 z 4 = e i α z 3 + (1 e i α ) a 3 z 5 = e i β z 4 + (1 e i β ) b 4 z 6 = e i γ z 5 + (1 e i γ ) c 5 wobei b 1, c 2,... das ild von b 0 unter der ersten Drehung, das ild von c 0 unter den ersten beiden Drehungen usw. ist. Wir können diese Gleichungen verwenden, um z 6 durch die Eckpunkte a 0, b 0, c 0 des Dreiecks in usgangslage und dessen Innenwinkel auszudrücken. Die entsprechenden Umformungen sind nicht schwierig, aber langweilig, so dass ich das omputeralgebrasystem Maple damit beauftragt habe. Zur bkürzung ist u = e i α, v = e i β, w = e i γ gesetzt: z1:=u*z0+(1-u)*a0; z2:=expand(v*z1+(1-v)*subs(z0=b0,z1)); z3:=expand(w*z2+(1-w)*subs(z0=c0,z2)); z4:=expand(u*z3+(1-u)*subs(z0=a0,z3)); z5:=expand(v*z4+(1-v)*subs(z0=b0,z4)); z6:=expand(w*z5+(1-w)*subs(z0=c0,z5)); z 1 =uz 0 + (1 u)a 0 z 2 =(1 u)a 0 + u(1 v)b 0 + vuz 0 z 3 =wvuz 0 + (1 u)a 0 + u(1 v)b 0 + vu(1 w)c 0 z 4 =wvu 2 z 0 + (u 1)(1 + wvu)a 0 + u(1 v)b 0 + vu(1 w)c 0 z 5 =wv 2 u 2 z 0 + (u 1)(1 + wvu)a 0 + u(1 v)(1 + wvu)b 0 + vu(1 w)c 0 z 6 =(u 1)(1 + wvu)a 0 + u(1 v)(1 + wvu)b 0 + uv(1 w)(1 + wvu)c 0 + w 2 v 2 u 2 z 0 eachten wir, dass uvw = e i(α+β+γ) = e i π = 1 gilt, so folgt z 6 = z 0, d.h. die Zusammensetzung der sechs Drehungen ist in der Tat die identische ewegung. Literatur [1] H. Pieper: Komplexe Zahlen. Verlag der Wissenschaften, erlin und Harry Deutsch Verlag, Frankfurt/M., ttribution Section graebe ( ): ontributed to KoSemNet 6