Einführung in die Geometrie SS 2005 Prof.Dr.R.Deissler

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2 Literatur Kirsche, Peter Einführung in die bbildungsgeometrie Kongruenzabbildungen und Ähnlichkeiten (Mathematik-C für das Lehramt) Teubner, Stuttgart 1998 Noch am ehesten besten für die Vorlesung geeignet. Mitschka,. ; Strehl, R.; Hollmann, E. Einführung in die Geometrie Grundlagen, Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildungen. Franzbecker, Hildesheim 1998 Für Vorlesungen für Lehramtsstudenten, gut zum Nachlesen, etwas alt, nicht immer ganz einfach. Stein, Martin Geometrie (Mathematik Primarstufe) Spektrum, kad. Verl., Heidelberg 1999 Für Vorlesungen für Grundschullehrer geschrieben, aber weicht stark von unserem Zugang ab. Für unsere Vorlesung: Ornamente und Parkette; Sätze über Dreiecke, Vierecke und Kreise. Darüber hinaus eine axiomatische Entwicklung der euklidischen Geometrie. Literatur 1 Scheid, Harald Elemente der Geometrie I-Wiss.-Verl., Mannheim 1991 Für Vorlesungen für Lehramtsstudenten. Sehr umfangreich, tiefer gehend, gut zum Nachschlagen. Wittmann, Erich Elementargeometrie und Wirklichkeit Vieweg, raunschweig 1987 Sehr umfassend. Viele interessante geometrische Sachverhalte, sehr gut zum Nachschlagen. nspruchsvoll aber gut verständlich. Kratz, Johannes Zentrale Themen des Mathematikunterrichts aus didaktischer Sicht ayerischer Schulbuchverlag, München 1993 Elementargeometrie und Didaktik der Geometrie Literatur 2 DIFF- Heft Elementargeometrie DIFF Tübingen 1974 Sehr alt, gibt sorgfältige, korrekte aber sehr abstrakte Einführung in ein xiomensystem für die Geometrie. Hat man früher von Lehrern der SI verlangt! Wer s genau wissen will, kann hier nachlesen. Franke, Marianne Didaktik der Geometrie Spektrum Verlag, Heidelberg 2000 Didaktik der Geometrie, nur für die Grundschule. Viel theoretischer Hintergrund und empirische Daten. Geometrievorlesungen im Internet Rinkens, H.D. Elemente der Geometrie Gut verständlich, Inhalte vergleichbar mit denen unserer Vorlesung. Elemente der Geometrie (Hauptschule) - SS Gut verständlich, Inhalte vergleichbar mit denen unserer Vorlesung. Weigand, H.-G., Weth, Th., Computer im Mathematikunterricht Spektrum, kad. Verl., Heidelberg 2002 Kapitel über Geometrie (S ), im Wesentlichen über den Einsatz von DGS im Unterricht. Literatur 3 Literatur 4

3 Hintergrund-Geschichte Hilbert-ild Euklid-ild Einstein-ild Hintergrund Geschichte - Grundbegriffe Vom Wesen der Geometrie Empirische Wissenschaft Erfahrungswissenschaft wie die Physik Experimente, eobachtungen, Formal-logische Theorie Keine egründung durch Erfahrung, keine anschaulichen rgumente Formale bleitung von Sätzen nach Regeln der Logik aus xiomen (nicht weiter begründetes System von Grundtatsachen) Die Personen xiomatische Methode: egonnen von Euklid 300 v.chr. uch Elemente ussagen über die Natur Deutung der Theorie in der Welt Schule, lltag, Technik nschauung nur als Hinweis auf eweisführungen Grundlage für Theorien der Physik Hochschulmathematik Vermittlung der Idee des eweisens auch in der Schule (sogenanntes lokales Ordnen) Die Personen Die Personen xiomatische Methode: Vollendet von David Hilbert 1900 n.chr. uch Grundlagen der Geometrie Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit. lbert Einstein, Geometrie und Erfahrung

4 bbildungen wozu? bbildungen wozu? Welche der unten erscheinenden Gesichter sind einander gleich? Welche der unten erscheinenden Gesichter sind einander gleich? lles sind bbildungen mit Hilfe eines Graphikprogramms Was kann Gleichheit bedeuten? Was kann Gleichheit bedeuten? bbildungen wozu? bbildungen 2 Die ntwort: Das hängt davon ab, ob man Figuren als gleich bezeichnet, die identisch sind, durch Drehungen und Verschiebungen auseinander hervorgehen, durch Drehungen, Verschiebungen und Spiegelungen auseinander hervorgehen durch noch allgemeinere bbildungen auseinander hervorgehen. In der Schulgeometrie meint man meist, eine Figur sei eindeutig bestimmt, wenn sie bis auf Kongruenzabbildungen eindeutig festgelegt ist. Daher werden wir in der Vorlesung bbildungen der Ebene in sich untersuchen. E Definitionen und Sprechweisen ist die nschauungsebene (Zeichenebene) Eine Figur F ist eine nichtleere Teilmenge F der Ebene E Figur F heißt beschränkt, wenn sie ganz in ein Rechteck eingeschlossen werden kann beschränkte Figur beschränkte Figur unbeschränkte Figur bbildungen 3 Definitionen 1

5 bbildungen der Ebene in sich Eine bbildung f der Ebene E in E ist eine Zuordnung, die jedem Punkt P der Ebene E eindeutig einen ildpunkt P zuordnet. f: E E f bildet E in E ab f: P a P f bildet bildet den Punkt P auf den Punkt P ab bbildungen, Funktionen allgemein Eine bbildung f der der Menge nach ist eine Zuordnung, die jedem Element x eindeutig ein ildelement y zuordnet. f: f bildet nach ab f : x a y f bildet bildet das Element x auf das Element y ab eispiel: Verschiebung der Ebene mit Hilfe einer Transparent-Folie eispiele aus dem ereich der Zahlen: f : g : f : x a x 2 g : x a größte ganze Zahl x f : -7 a? g : 2,3 a h : h : x a x 1 Jedem Punkt P der verschobenen Ebene wird der darunter liegende Punkt P zugeordnet. Dies gibt eine bbildung von E in E. bbildungen der Ebene bbildungen allgemein Injektive bbildungen Surjektive bbildungen Eine bbildung heißt injektiv, wenn keine zwei verschiedenen Punkte den gleichen ildpunkt besitzen. Eine bbildung heißt surjektiv, wenn jeder Punkt aus E als ildpunkt vorkommt. P P P P Q Nicht surjektiv Q Nicht injektiv Q kommt nicht als ildpunkt vor Injektiv Surjektiv

6 ijektive bbildungen Hintereinanderausführen von bbildungen E E Eine bbildung heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Definition: Es seien f: E E und g: E E bbildungen der Ebene E in sich. P Q Keine zwei verschiedenen Punkte haben gleiche ildpunkte P Q lle Punkte kommen als ildpunkte vor Die Verkettung f o g : E E wird erklärt durch f o g (x) = g (f(x)) Zuerst wird f ausgeführt; auf das Ergebnis f(x) wird g angewandt! f g g(f(x)) x f(x) fog(x) fog Statt Verkettung sagt man auch Hintereinanderausführung oder Produkt bijektiv Verkettung 1 Satz 1.1 a) ssoziativgesetz (f o g ) o h = f o (g o h) b) Das Kommutativgesetz gilt nicht: im llgemeinen ist f o g g o f (egründung?) x f f(x) g fo(goh) goh g(f(x)) h h(g(f(x))) Inverse einer bbildung Definition: Ist f eine bijektive bbildung, dann kann man f umkehren, d.h. jedem ildpunkt wird sein eindeutig bestimmter Urbildpunkt zugeordnet. Die so definierte bbildung wird mit f -1 bezeichnet und Inverse zu f oder Umkehrabbildung zu f genannt. P P Q f f -1 Q Jedem ildpunkt P wird durch f -1 sein Urbild P zugeordnet fog (fog)oh Es gilt: fof -1 = id und f -1 of = id id und id sind die identischen bbildungen auf bzw. auf. Für id ist f o id = id o f = f für alle bbildungen f von nach. Verkettung 2 Inverse

7 eispiele für bbildungen in der Ebene Durch folgendes ild wird eine bbildung von E nach E definiert (Transparentfolie). Welche Eigenschaften von bbildungen liegen vor: injektiv, surjektiv, bijektiv? eispiele für bbildungen in der Ebene Durch folgendes ild wird eine bbildung von E nach E definiert (Transparentfolie). Welche Eigenschaften von bbildungen liegen vor: injektiv, surjektiv, bijektiv? Worauf werden Geraden abgebildet? Skizzen! Worauf werden Geraden abgebildet? Skizzen! ( x, y) f ( x, y) = 1 2, y x für x 1 für x > 1 Prüfen Sie an ausgewählten Punkten, dass durch die nebenstehende Vorschrift eine solche bbildung angegeben wird. ( x, y) a ( x, y) (2 x, y) ( x 2, y) für x 1 für 1 < x 2 für x > 2 Prüfen Sie an ausgewählten Punkten, dass durch die nebenstehende Vorschrift eine solche bbildung angegeben wird. eispiele bb.1 eispiele bb.2 nimation eispiele für bbildungen in der Ebene Durch folgendes ild wird eine bbildung von E nach E definiert. f:? Welche Eigenschaften von bbildungen liegen vor: injektiv, surjektiv, bijektiv? Worauf werden Geraden abgebildet? Skizzen! Können sie in dem ild eine bbildung der Ebene in sich erkennen? eschreiben Sie diese bbildung. Wie wird sie gewonnen? Welche Eigenschaften von bbildungen liegen vor: injektiv, surjektiv, bijektiv? Worauf werden Geraden abgebildet? eispiele bb.3 eispiele bb.4

8 bbildungsbegriff in der Mathematik Winkelbegriffe Zwei Halbgeraden und mit gemeinsamem nfangspunkt S bilden eine Winkelfigur. Diese Winkelfigur legt zwei Winkelfelder fest, ein inneres und ein äußeres, wenn die Halbgeraden nicht auf einer Geraden liegen. S Physik, Technik, bei der Oma Mathematik Der Weg ist bedeutsam s gibt Kratzer im Parkett!!! Die Verkettung der beiden Verschiebungen kann ersetzt werden durch eine Verschiebung. Nur das Ergebnis ist bedeutsam Die Verkettung der beiden Verschiebungen ist eine Verschiebung. S Winkel, Winkel S S Winkel, Winkel S bbildungsbegriff Mathematik Winkelbegriff 1 Winkelmaße nehmen nur Werte aus dem ereich [0,360 [ an. Ein Winkel von 360 ist gleich groß wie ein Winkel von 0. S Winkel, Winkel S Zur Unterscheidung: S Winkel, Winkel S, : Das Winkelfeld, das überstrichen wird, wenn im Gegenuhrzeigersinn um S auf gedreht wird Winkelmessung in Grad. Keine Orientierung, nur positive Winkel. Orientierung von Winkeln Keine Unterscheidung von Winkel und Winkelmaß. Winkelfelder werden stets im mathematisch positiven Sinn notiert. Technische oder physikalischen nwendungen ei Drehungen ist der Verlauf der Drehung von edeutung wichtig, orientierte Winkel zu betrachten. C C positiver orientierter Winkel negativer orientierter Winkel Winkelbegriff 2 Winkelbegriff 3

9 Winkelmaße mit Werten größer als 360 Umdrehung eines Karussells mit -900 : Das Karussell hat sich zweieinhalb mal im Uhrzeigersinn gedreht. Wir benutzen in der Geometrie auch negative Winkel und Winkel mit Maßen über 360, um intuitive ezeichnungen zu ermöglichen und erechnungen zu erleichtern. Diese Winkel sind aber stets gleich einem nicht orientierten Winkel mit Maß aus dem ereich [0,360 [. Dynamische Geometrie Systeme Winkelbezeichnung ohne Orientierung: Unterscheidung zwischen innerem und äußerem Winkelfeld nicht möglich. DynaGeo Grundeinstellung: Wählen, ob Winkelorientierung berücksichtigt wird oder nicht. Ohne Orientierung können dann nur Winkel zwischen 0 und 180 gemessen werden. Winkelbegriff 4 Winkelbegriff 5 Parallele Geraden Es gibt mehrere Möglichkeiten, Parallelität von Geraden zu definieren. Definition: Zwei Geraden g und h heißen parallel, wenn sie beide auf einer dritten Geraden k senkrecht stehen. Wir schreiben dafür g h. Nach dieser Definition gilt insbesondere g g! Unter Voraussetzung von genügend vielen xiomen kann man folgern: g h und g h g und h haben keinen gemeinsamen Punkt. g h g und h haben überall den gleichen bstand. Diese beiden Eigenschaften könnte man auch zur Definition von Parallelität verwenden. Wie lautet die Definition in diesen Fällen?. Einige emerkungen zur xiomatik Wir wollen hier keine axiomatische Geometrie betreiben, wollen aber unter Verwendung von hinreichend vielen nicht weiter begründeten Voraussetzungen, geometrische Sätze beweisen. Diese Voraussetzungen können wir als xiome auffassen Folgende Sachverhalte, die wir immer wieder im Sinne von xiomen verwenden wollen, sollen hier noch einmal kurz festgehalten werden. Winkel an geschnittenen Parallelen Die Parallelen g, h, g h, werden von einer Geraden k geschnitten. Dann sind - die Stufenwinkel α und γ gleich groß, - die Wechselwinkel β und γ bzw. α und δ gleich groß α β g γ δ h k Parallele Zur xiomatik 1

10 Sätze über die Größe von Seitenlängen und Winkelgrößen in Dreiecken (Kongruenzsätze) Die aus der Schule geläufigen Kongruenzsätze in der folgenden Form ( sws als eispiel): Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seiten(längen) und der Größe des eingeschlossenen Winkels überein, dann stimmen sie auch in allen anderen Seitenlängen und Winkelgrößen überein. b C α γ a c β ' β' c' a' γ' α ' C' b' Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Wenn wir von Konstruktionen sprechen, dann meinen wir stets Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. Dabei versteht man unter einem Lineal ein Gerät ohne Skaleneinteilung, nur zum Zeichnen gerader Linien. ei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal dürfen nur die folgenden Schritte durchgeführt werden: ' Zur xiomatik 2 Zirkel und Lineal 1 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal 1. eliebigen Punkt zeichnen. 2. eliebigen Punkt auf einer Geraden, Strecke oder Kreislinie zeichnen. 3. Gerade durch zwei Punkte zeichnen (Lineal). 4. Zwei Punkte durch eine Strecke verbinden(lineal). 5. Schnittpunkte von Geraden, Strecken und Kreislinien zeichnen. 6. Kreis um einen gegebenen Mittelpunkt M durch einen weiteren Punkt P zeichnen (Zirkel). 7. Kreis um einen gegebenen Mittelpunkt M mit einem Radius zeichnen, der von zwei (schon konstruierten oder gegebenen) Punkten übernommen werden kann (Zirkel). Radius aus der Zeichnung in den Zirkel übernehmen und damit einen Kreis zeichnen. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Wenn wir davon sprechen, eine Streckenlänge oder ein Winkelmaß sei gegeben, dann meinen wir, dass ein Objekt mit diesen Maßen vorgegeben ist, es also nicht konstruiert werden muss. Gegebene Streckenlängen und Winkel müssen prinzipiell mit Zirkel und Lineal übertragen werden, dürfen also nicht abgemessen werden. Nachdem einige Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal als durchführbar erkannt wurden, lassen wir diese als Module in späteren Konstruktionen zu. Sie werden in Konstruktionsbeschreibungen als Ganzes aufgeführt. Zirkel und Lineal 2 Zirkel und Lineal 3

11 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal ei der Durchführung einer Konstruktion dürfen dafür auch die üblichen Zeichenhilfsmittel verwandt werden: eispiel einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal Gegeben: a, b, c. Konstruiere das Dreieck C mit den Seitenlängen a, b, c. Senkrechte zu Geraden oder Strecken durch einen Punkt Geodreieck. Parallele zu Geraden oder Strecken durch einen Punkt Geodreieck. btragen einer gegebenen Streckenlänge auf einer Geraden Lineal mit Maßstab. Übertragen einer gegebenen Winkelgröße an eine Gerade in einem Punkt Winkelmesser. Konstruktionsbeschreibung: Punkt Gerade g durch K 1 ist ein Kreis um mit Radius c ist ein Schnittpunkt der Geraden g mit Kreis K 1 K 2 ist ein Kreis um mit Radius b K 3 ist ein Kreis um mit Radius a a b c K2 b' C1 C2 c' a' K1 K3 g P C 1 ein Schnittpunkt der Kreise K 2 und K 3 C 2 2. Schnittpunkt der Kreise K 2 und K 3 In Euklid stehen Hilfsmittel für diese Grundkonstruktionen ebenfalls zur Verfügung. c' ist die Strecke [ ; ] a' ist die Strecke [ ; C 1 ] b' ist die Strecke [ C 1 ; ] Zirkel und Lineal 4 Zirkel und Lineal 5 eispiel einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal Gegeben: a, b, c. Konstruiere das Dreieck C mit den Seitenlängen a, b, c. Konstruktionsbeschreibung kurz: a Strecke = c K 2 (,b) K 3 (,a) C 1 ein Schnittpunkt K 2,K 3 C 2 der 2. Schnittpunkt K 2,K 3 C = C 1 oder C = C 2 Dreieck C K2 b c b' C1 C2 c' a' K1 K3 g P Zirkel und Lineal 6