Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie. Teil 5: Spiele in extensiver Form

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1 Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie Teil 5: Spiele in extensiver Form Dr. Thomas Krieger Wintertrimester 29 Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie

2 Das Steuer-Spiel nach Selten () Informelle Beschreibung der Konfliktsituation: Finanzamt (Spieler ) steht einem Steuerpflichtigen (Spieler 2) gegenüber. Steuerpflichtiger ist möglicherweise unehrlich kann eine Steuerhinterziehung von Geldeinheiten erwägen. Das Finanzamt weiss, dass im Mittel 2% aller Steuerpflichtigen Steuern in Höhe von Geldeinheiten hinterziehen, falls die Situation dafür günstig ist (potentieller Betrüger). Das Finanzamt kann zunächst eine oberflächliche Überprüfung (K) durchführen, an die eine gründlichere (N) angeschlossen wird, falls sich Anhaltspunkte für einen Steuerbetrug ergeben haben. Die oberflächliche Überprüfung belastet das Finanzamt mit Kosten in Höhe von die gründlichere mit zusätzlichen Kosten in Höhe von 4. Falls tatsächlich Steuern hinterzogen werden, wird bei einer oberflächlichen Überprüfung immer ein Anzeichen des Steuerbetruges entdeckt eine eventuelle anschließende gründliche Untersuchung deckt den Betrug immer auf. Im Falle der Aufdeckung muß das Zweieinhalbfache des hinterzogenen Betrages, also 25, vom Steuerpflichtigen an das Finanzamt entrichtet werden. Anzeichen für einen Steuerbetrug können sich bei der oberflächlichen Überprüfung mit Wahrscheinlichkeit.25 auch dann ergeben, wenn keine Steuern hinterzogen werden. Jedoch stellt die genaue Nachprüfung dann klar, daß keine Steuerhinterziehung vorliegt. Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 2

3 Das Steuer-Spiel nach Selten (2).8.2 x 2 B μ B x 4 x 3 x 2 V K μ K K μ K K μk x z 9 x 9 z 8 x 8 x 7 z 5 x W z 2 z N μ N N μ N N μ N z 5 z z z 6 z 4 5 z 3 Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 3

4 Das Steuer-Spiel nach Selten (3) Erläuterungen zur letzten Folie: Finanzamt ist Spieler Steuerpflichtiger ist Spieler 2 Zufallszug ist Spieler B: Betrugsversuch des Steuerpflichtigen B: Kein Betrugsversuch des Steuerpflichtigen K: Oberflächliche Überprüfung des Finanzamtes K: Keine Überprüfung des Finanzamtes N: Genaue Nachprüfung durch das Finanzamt N: Keine Nachprüfung durch das Finanzamt Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 4

5 Vorbereitung () Ein gerichteter Graph besteht aus einer hier stets endlichen Menge K von Knoten einer Menge E K K von Kanten (u, v) vom Knoten u zum Knoten v. Ein Pfad von u nach v ist eine Folge u, u,..., u n von Knoten, n, so daß (u i, u i+ ) Kante des Graphen ist, i =,..., n, mit u = u, u n = v. Ein Baum ist ein gerichteter Graph mit einem ausgezeichneten Knoten, Wurzel genannt, so daß gilt (siehe z.b. Knuth 968): (i) Zu der Wurzel geht keine, zu jedem anderen Knoten genau eine Kante, (ii) von der Wurzel gibt es zu jedem Knoten einen Pfad. Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 5

6 Vorbereitung (2) Für eine Kante (u, v) des Baumes heißt u Vater von v v Sohn von u. Für einen Pfad von u nach v heißt v Nachfahr von u (auch für u = v). Ein Knoten ohne Söhne heißt Blatt, sonst innerer Knoten. Der Baum heißt geordnet, wenn unter Brüdern, d.h. den Söhnen jedes inneren Knotens, stets eine Reihenfolge festgelegt ist, z.b. von links nach rechts bei der graphischen Darstellung. Dabei heißt a(x) Anzahl der Söhne von x S(x, l) l-ter Sohn von x, l {,..., a(x) }. Kanten von oben nach unten gehen. Für eine Kante (u; v) des Baumes heißt u Vater von v v Sohn von u. Für einen Pfad von u nach v heißt v Nachfahr von u (auch für u = v). Ein Knoten ohne Söhne heißt Blatt, sonst innerer Knoten. ffl Wurzel ffl ffl u x ffl ffl ffl ffl ffl w ffl ffl v ffl Blatt Figur 2.2: Graphische Darstellung eines Baumes. u ist Vater von v, v Sohn von u, w Nachfahr von u. Anzahlen von Söhnen sind a(u) =2,a(x) =3. Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 6

7 Definition extensives Spiel () Definition 28 Ein n-personen-spiel in extensiver Form ist ein 5-Tupel (K, h, P, w, U) mit den folgenden Komponenten: K ist ein endlicher geordneter Baum; x K steht für x ist ein Knoten des Baumes. Einen inneren Knoten nennen wir Entscheidungspunkt, ein Blatt einen Spielausgang. Die Menge der inneren Knoten sei I, die Menge der Blätter (Endknoten) sei E genannt. h ist eine Funktion, die jedem Spielausgang z E einen Wert im R n zuordnet. Die i-te Komponente von h für i {,..., n }, heißt die Auszahlung an Spieler i. P ordnet jedem Entscheidungspunkt x I einen Wert aus,,..., n zu. P(x) ist der Spieler, der in x am Zug ist, Spieler heißt der Zufall. Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 7

8 Definition extensives Spiel (2) Definition 28- Fortführung w bestimmt für jeden Knoten x mit P(x) = eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf seinen Söhnen. U ist eine Partition der Menge I der Entscheidungspunkte, wobei für jede Klasse A U gilt: (i) In A ist nur ein Spieler i, bezeichnet mit P(A), am Zug, d.h. P(x) = i für alle x A falls P(A) = i. Dann heißt A Informationsbezirk für Spieler i. (ii) Alle Knoten in A haben gleich viele, etwa k Söhne. Die Zahl k der Auswahlen von A heißt a(a). (iii) Für l {,..., a(a) } sei N l (A) := {y K y Nachfahr von S(x, l) für ein x A}. Dann ist jedes B U mit P(B) = P(A) entweder in der Menge N l (A) enthalten oder aber zu ihr disjunkt. Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 8

9 Reine Strategien Bearbeiten Sie Aufgabe 2 des Übungsblattes 5. Definition 29 Eine reine Strategie s i des Spielers i, i {,..., n }, in einem extensiven n-personenspiel (K, h, P, w, U) ist eine Funktion, die jedem Informationsbezirk A U des Spielers i (d.h. mit P(A) = i) genau einen Zug, d.h. eine Zahl zwischen a(a) zuordnet, also s i (A) {,... a(a) }. Anschaulich kann eine reine Strategie als ein vollständiger Verhaltensplan beschrieben werden, der einem Spieler i genau vorschreibt, was er in jeder überhaupt nur denkbaren Situation zu tun hat. (Wozu braucht man das?) Menge der reinen Strategien im Steuerspiel: S Finanzamt = { KN, KN, KN, KN } S Steuerpflichtiger = { B, B }. Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 9

10 Erwartete Auszahlung () Zu jeder reinen Strategienkombination s = (s,..., s n ) gehört eine Menge von Endpunkten Z(s), die mit positiver Wahrscheinlichkeit erreicht werden können, falls s gespielt wird. z.b. für s = (KN, B) erhalten wir im Steuerspiel die Endpunktmenge Z(s) = { z 2, z 4, z 9, z }. Die Wahrscheinlichkeit, mit der jeder der Endpunkte z Z(s) erreicht wird, falls s gespielt wird, ist nichts anderes als das Produkt aller Wahrscheinlichkeiten von Zufallszügen auf dem Pfad von der Wurzel nach z. Wir bezeichnen diese Wahrscheinlichkeit mit p(z). Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie

11 Erwartete Auszahlung (2) Endpunkt p(z) Auszahlungsbeiträge p(z) h (z) p(z) h 2 (z) z.2 z z z z z z z 8.8 z z.2.2 z.2 Allgemein gilt für jede reine Strategienkombination s (ohne Beweis): z Z(s) p(z) =. Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie

12 Erwartete Auszahlung (3) Definition 3 Die Erwartungsauszahlung oder kurz Auszahlung H i (s) des Spielers i für s ist der Erwartungswert von h i (z), falls s gespielt wird. Dies ist die Summe der Beiträge p(z) h i (z) mit z Z(s), wobei Z(s) die Menge der Endpunkte ist, die für s erreicht wird, H i (s) = p(z) h i (z). z Z(s) Die Auszahlungsfunktion H ordnet jedem s S den zugehörigen Auszahlungsvektor H(s) = (H (s),..., H n (s)) zu. Achtung: wenn es einen Zufallszug im Spiel G gibt zusätzlich gemischte Strategien betrachtet werden, findet eine zweifache Erwartungswertbildung für jeden Spieler statt! Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 2

13 Zurück zum Steuer-Spiel () Für das Steuerspiel erhalten wir mit Definition 3 Reine Strategien realisierte End- Erwartungsauszahlung s s 2 punktmenge Z(s) H (s) H 2 (s) KN B z 7, z 9, z KN B z2, z 4, z 9, z 2 K N B z 6, z 9, z 3 2 K N B z 2, z 3, z 9, z KN B z 5, z KN B z, z 8 K N B z 5, z K N B z, z 8 Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 3

14 Zurück zum Steuer-Spiel (2) Die reinen Strategienmengen { KN, KN, KN, KN } für das Finanzamt { B, B } für den Steuerpflichtigen bilden zusammen mit der auf der letzten Folie angegebenen Auszahlungsfunktion H die Normalform G = ({, 2}, (S, S 2 ); H) des Steuer-Spiels: 2 KN K μn μkn μk μn B B μ 5 2: Figur 2.6: Normalform des Spieles von Figur 2. Bestimmen Sie alle Nash-Gleichgewichte des Steuer-Spiels. seiner Analyse zunächst einmal überlegen, welche Strategie er für jeden einzelne Fall einer gegnerischen Strategienkombination 'μ i wählt. Dabei steht 'μ i für ein Tu pel von Strategien ohne die Komponente für Spieler i; beim Zwei-Personen-Spi (n = 2) also einfach 'μ = ' 2, 'μ 2 = '. Dr. Definition Thomas Krieger 2.5 Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 4

15 Verallgemeinerung dieses Vorgehens Die reinen Strategienmengen S,..., S n bilden zusammen mit der in Definition 3 angegebenen Auszahlungsfunktion H die Normalform G = (S,..., S n ; H) eines extensiven Spieles (K, h, P, w, U). Auch hier können nun gemischte Strategien betrachtet werden der Satz von Nash garantiert, dass jedes extensive Spiel ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien besitzt. Weiteres Strategiekonzept: Eine Verhaltensstrategie b i für Spieler i ordnet jedem Informationsbezirk A mit P(A) = i eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf der Menge {,..., a(a)} der Auswahlen zu. Bei Einsatz von b i wählt i die Alternative l, l {,..., a(a) }, mit der Wahrscheinlichkeit b i (A, l). Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 5

16 Teilspiele Spiele in extensiver Form Definition 3 fahren eines Knotens o 2 K ( damit o als Wurzel) sowie die entsprechenden Kanten die gleiche Reihenfolge der Nachfahren; Ein n-personen-spiel (ii) (K, h, P, w, U h ) in extensiver Form heißt, P, w sind Einschränkungen von h, P, w auf K ; (iii) U Teilspiel eines Spieles ist genau die Menge der in K (K, h, P, w, enthaltenen Informationsbezirke ausu. U), wenn gilt (i) K istder Teilbaum Anschein, daßvon jeder Teilbaum K, d.h. K K hat als Knotenmenge die des Spielbaumes K durch entsprechende Einschränkungen" ein Teilspiel definiert, trügt. Es könnte Menge aller Nachfahren eines Knotens o Informationsbezirke K ( damit o A 2 U geben, für die zwar nicht A ρ K gilt, die jedoch in K hineinragen", also Elemente mit K als Wurzel) sowie gemeinsam haben, etwa x 2 A K die entsprechenden Kanten. Die in K enthaltenen Informationsbezirke aus U würden dann die Menge der inneren Knoten von Kdie gleiche nicht überdecken (nämlich insbesondere nicht x) bildeten kein System von Reihenfolge der Nachfahren; Informationsbezirken von K. Beispielsweise muß die Wurzel eines Spielbaumes, wenn dieser nicht gerade nur aus einem Blatt besteht, nach Definition 2. (iii), zu (ii) h, P einem, w einelementigen sind Einschränkungen Informationsbezirk gehören; von höchstens h, P, für Knoten w auf K o ; eines Spieles (K; h; P; w; U), die in einem einelementigen Informationsbezirk fo g 2 U liegen, kann also der Teilbaum aller Nachfahren von o ein Teilspiel definieren. (iii) U ist genau die Menge der in K enthaltenen Informationsbezirke Beispiel aus U. In Figur 3. sind Beispiele für Teilspiele eines Spieles angegeben. 2 2 Figur 3.2: Extensives Spiel mit Teilspielen (gestrichelt) Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 6

17 Ein Existenzsatz Ein Spiel in extensiver Form ohne Teilspiel ist das Steuer-Spiel. Theorem 32 Jedes extensive Spiel (K, h, P, w, U) mit vollkommener Information, d.h. A = für alle A U, endlichem Spielbaum K hat einen Gleichgewichtspunkt in reinen Strategien. Der Beweis wird z.b. in Burger (966) oder Rauhut et al. (979) geführt. Welche Gesellschaftspiele erfüllen die Forderung nach vollkommener Information? Welche Beziehung besteht zwischen dem Konzept der perfekten Erinnerung (perfect recall) dem Konzept der vollkommener Information? Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 7

18 Teilspielperfekte Gleichgewichte () Für extensive Spiele mit vollkommener Information können Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien mittels Rückwärtsinduktion gefen werden, vgl. die beiden Beispiele auf den nächsten beiden Folien: Hertfüsslerspiel (strenge Forderung an Rationalität): Spieltheorie Jörg Naeve SoSe ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) Abbildung 3.: Extensivform des Hertfüßerspiels Die mittels Rückwärtsinduktion gefenen Nash-Gleichgewichte haben die Eigenschaft, dass deren Einschränkung auf jedes Teilspiel auch ein Nash-Gleichgewicht im betrachteten Teilspiel ist (daher: teilspielperfekt). Im letzten Knoten wird Spielerin 2 Stop sagen, weil sie dadurch Euro erhält, während sie bei Weiter lediglich Euro erhielte. In vorletzten Re antizipiert Spielerin, dass Spielerin 2 in der letzten Re Stop sagen wird. Sie bekommt demnach 98 Euro, wenn sie W wählt, aber 99 Euro, wenn sie Stop sagt. Dr. Also Thomas wählt Krieger SpielerinVorlesung: in dernicht-kooperative vorletzten Re Spieltheorie S. 8

19 Teilspielperfekte Gleichgewichte (2) Berechnen Sie Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien des abgebildeten extensiven Spiels durch Rückwärstinduktion über die Transformation in Normalform. Was fällt Ihnen auf? Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 9

20 Literatur Spiele in extensiver Form R. Avenhaus: Vorlesungen über Nicht-kooperative Spieltheorie, Vorlesungsskript, Universität der Beswehr München, Frühjahr 999. D. E. Knuth: Famental Algorithms. The Art of Computer Programming Vol. I. Addison-Wesley, Reading Mass., 968. R. Selten: Einführung in die Theorie der Spiele mit unvollständiger Information. Schriften des Vereins für Socialpolitik, Gesellschaft für Wirtschafts- Sozialwissenschaften. Neue Folge Bd. 26: Information in der Wirtschaft, 982, S H. W. Kuhn: Extensive games and the problem of information. Annals of Math. Studies 28, 953, S B. Rauhut, N. Schmitz, E.-W. Zachow: Spieltheorie: Einführung in die mathematische Theorie strategischer Spiele. Teubner-Verlag, Stuttgart, 979. E. Burger: Einführung in die Theorie der Spiele. de Gruyter, 966. T. Arnold, J. Naeve, U. Schwalbe: Spieltheorie. Vorlesungsskript, Universität Hohenheim, Sommersemester 23. Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 2