Exkurs zur Spieltheorie. 1 Statische Spiele mit unvollständiger Information

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1 Wettbewerbstheorie und -politik Spieltheorie-1 Dr. Florian Englmaier Exkurs zur Spieltheorie Bisher haben wir stets Spiele mit vollständiger Information analysiert (complete information). Alle Spieler kennen das Spiel, die Spieler, deren Strategien und deren Auszahlungen. Im folgenden werden wir von dieser Annahme abgehen und Spiele mit unvollständiger Information betrachten. Insbesondere sollen die Spieler asymmetrische Information über die Auszahlungsfunktion der Gegenspieler haben. 1 Statische Spiele mit unvollständiger Information Beispiel: Cournotwettbewerb mit zwei Unternehmen. Die konstanten Grenzkosten von Unternehmen 1 seien c und diese Information sei allgemein bekannt. Die Produktionskosten von Unternehmen 2 seien hingegen nur dem Unternehmen selbst bekannt, nicht aber Unternehmen 1. Unternehmen 1 kennt also nicht die Auszahlungsfunktion von Unternehmen 2. Ohne genaue Kenntnis der jeweiligen Auszahlungsfunktionen ist es aber nicht möglich, optimales Verhalten im Sinne eines Nash-Gleichgewichts zu bestimmen.

2 Wettbewerbstheorie und -politik Spieltheorie-2 Dr. Florian Englmaier Harsanyi (1967) ersann folgenden Trick, um solche Spiele mit unvollständiger Information doch mit den bisher bekannten Methoden analysieren zu können: Man modelliert asymmetrische Information über Auszahlungsfunktionen so, dass ein Spieler verschiedene Typen mit verschiedenen Auszahlungsfunktionen annehmen kann. Zu Beginn eines Spieles wählt ein zusätzlicher Spieler namens Natur nach einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung für jeden Spieler die Realisation seines bestimmten Typen. Dem Spieler selbst ist die Realisation bekannt, d.h. er kennt seine Auszahlungsfunktion. Die Gegenspieler können diesen Zug der Natur aber nicht beobachten, sondern kennen nur die a priori Wahrscheinlichkeitsverteilung. Diese a priori Verteilung ist allen bekannt (common knowledge). Aus einem Spiel mit unvollständiger Information wird so ein Spiel mit unvollkommener Information! Ein solches Spiel können wir mit den bekannten Methoden analysieren.

3 Wettbewerbstheorie und -politik Spieltheorie-3 Dr. Florian Englmaier Fortsetzung unseres Beispiels: Die asymmetrische Information über die Kosten von Unternehmen 2 modellieren wir so, dass Unternehmen 2 hohe Kosten c H mit Wahrscheinlichkeit θ und niedrige Kosten c L mit Wahrscheinlichkeit 1 θ hat. Firma 2 wird, je nach Realisation ihrer Kosten, eine unterschiedliche Menge präferieren. Wenn sie hohe Kosten hat, ist ihre optimale Menge x 2(c H ), bei niedrigen Kosten ist sie x 2(c L ). Firma 1 kann ihre eigene Mengewahl nicht auf die Kostenrealisierung von Firma 2 konditionieren. Ihre optimale Menge sei x 1. Definition: In einem Bayesianischen Spiel ist eine (reine) Strategie von Spieler i eine Funktion s i, die jedem Typ von Spieler i eine Aktion a i zuordnet. Als Gleichgewichtskonzept verwenden wir das modifizierte Konzept eines Nash-Gleichgewichts.

4 Wettbewerbstheorie und -politik Spieltheorie-4 Dr. Florian Englmaier Bayesianisches Nash-Gleichgewicht: Ein Bayesianisches Nash-Gleichgewicht ist eine Kombination von Strategien (s 1, s 2,...), einefür jeden Spieler(typ), für die gilt: gegeben die Strategienwahl der anderen Spieler(typen) hat keiner der Spieler(typen) einen Anreiz, von seiner Strategie abzuweichen. Fortsetzung unseres Beispiels: Angenommen, die Nachfragefunktion, der sich die beiden Firmen gegenübersehen, sei p(x) =a x 1 x 2. Firma 2 maximiert, wenn ihre Kosten hoch sind, folgende Gewinnfunktion G 2 (c H )=[(a x 1 x 2 ) c H ]x 2 (1) Wenn ihre Kosten niedrig sind, maximiert sie folgende Gewinnfunktion G 2 (c L )=[(a x 1 x 2 ) c L ]x 2 (2) Firma 1 hingegen maximiert folgende Gewinnfunktion G 1 =[(a x 1 x 2 ) c]x 1 (3)

5 Wettbewerbstheorie und -politik Spieltheorie-5 Dr. Florian Englmaier Ein Bayesianisches Nash-Gleichgewicht in diesemspiel ist eine Kombination von Strategien (x 1, x 2(c h ), x 2(c L )), für die gilt: x 2(c H ) maximiert G 2 (c H ) gegeben x 1. x 2(c H ) = arg max x 2 G 2 (c H )=[(a x 1 x 2 ) c H ]x 2 (4) BEO: x 2(c H )= a x 1 c H 2 x 2(c L ) maximiert G 2 (c L ) gegeben x 1. x 2(c L ) = arg max x 2 G 2 (c L )=[(a x 1 x 2 ) c L ]x 2 (5) BEO: x 2(c L )= a x 1 c L 2 x 1 maximiert G 1 gegeben x 2(c H ) und x 2(c L ). x 1 = arg max x 1 G 1 = θ[(a x 1 x 2(c H ) c]x 1 (6) +(1 θ)[(a x 1 x 2(c L ) c]x 1 (7)

6 Wettbewerbstheorie und -politik Spieltheorie-6 Dr. Florian Englmaier BEO: x 1 = θ[(a x 2(c H ) c]+(1 θ)[(a x 2(c L ) c] 2 Die Lösungen dieser drei Gleichungen mit drei Unbekannten sind die folgenden: x 2(c H )= a 2c H + c θ 6 (c H c L ) (8) x 2(c L )= a 2c L + c 3 θ 6 (c H c L ) (9) x 1 = a 2c + θc H +(1 θ)c L 3 (10)

7 Wettbewerbstheorie und -politik Spieltheorie-7 Dr. Florian Englmaier 2 Dynamische Spiele mit unvollständiger Information Bei dynamischen Spielen mit unvollständiger Information möchte man wie auch bei dynamischen Spielen mit vollständiger Information Gleichgewichte ausschließen, die auf unglaubwürdige Drohungen basieren. Das Konzept der Teilspielperfektheit ist aber nicht unmittelbar anwendbar, da durch den Zug der Natur, den (zumindest manche) Spieler nicht beobachten können, keine echten Teilspiele existieren. Das einzige Teilspiel ist das gesamte Spiel. Ein Konzept, das ähnlich dem der Teilspielperfektheit optimales Verhalten nicht nur aus der ex ante Sicht, sondern auch im Verlauf des Spiels (auch außerhalb des Gleichgewichtspfades) garantiert, ist das Konzept des Perfekten Bayesianischen Gleichgewichts. Dazu betrachten wir analog zu den Teilspielen sogenannte Fortsetzungsspiele (continuation games) und verlangen, dass die Strategien der Spieler ein Bayesianischen Nash- Gleichgewicht in allen Fortsetzungsspielen bilden.

8 Wettbewerbstheorie und -politik Spieltheorie-8 Dr. Florian Englmaier Perfektes Bayesianisches Gleichgewicht Ein perfektes Bayesianischen Gleichgewicht ist eine Kombination von typenspezifischen Strategien und von Beliefs (Wahrscheinlichkeitsvermutungen) mit den folgenden Eigenschaften: die Strategien sind optimal für jeden Spieler(typ) an jedem Punkt des Spiels gegeben die Strategien der Gegenspieler und gegeben die Beliefs, die Beliefs basieren auf den a priori Wahrscheinlichkeiten und den Gleichgewichtsstrategien und werden aufgrund der beobachteten Aktionen nach der Bayesianischen Regel aktualisiert, wann immer das möglich ist. Ein solches Gleichgewicht verlangt also sequentiell rationales Verhalten der Spieler entlang und außerhalb des Gleichgewichtspfads. Zur Erinnerung: die Bayesianische Regel prob(a B) = prob(a B) prob(b) (11)

9 Wettbewerbstheorie und -politik Spieltheorie-9 Dr. Florian Englmaier Im folgenden betrachten wir eine bestimmte Klasse von dynamischen Spielen mit unvollständiger Information, sogenannte Signalisierungsspiele. Signalisierungsspiel: Es gibt zwei Spieler, einen Sender und einen Empfänger. Die zeitliche Struktur des Spieles ist wie folgt: 1. Die Natur wählt einen Typen für den Sender aus der Menge der möglichen Typen gemäß der a priori Wahrscheinlichkeitsverteilung. 2. Der Sender erfährt seinen Typ und wählt eine Botschaft aus der Menge der möglichen Botschaften. 3. Der Empfänger beobachtet diese Botschaft und wählt daraufhin eine Aktion aus der Menge der möglichen Aktionen. 4. Die Auszahlungen sind eine Funktion des Typen und der Botschaft des Senders, sowie der Aktion des Empfängers.

10 Wettbewerbstheorie und -politik Spieltheorie-10 Dr. Florian Englmaier In solchen Signalisierungsspielen gibt es zwei mögliche Arten von Gleichgewichten in reinen Strategien: Separierende Gleichgewichte: unterschiedliche Typen des Senders wählen unterschiedliche Botschaften. Pooling-Gleichgewichte: unterschiedliche Typen des Senders wählen genau dieselbe Botschaft. Angenommen, der Sender sei Typ L mit Wkt μ und Typ H mit Wkt (1 μ). Dann sind drei Fälle denkbar (bei Gleichgewichten in reinen Strategien): Der Empfänger beobachtet eine Botschaft, die laut Gleichgewichtsstrategien nur vom Typ L gewählt wird. Dann lautet sein aktualisierter Belief über den Typ des Senders: μ =1. Beobachtet er umgekehrt eine Botschaft, die laut Gleichgewichtsstrategien nur vom Typ H gewählt wird, dann lautet sein aktualisierter Belief über den Typ des Senders: μ =0. In diesem Fall handelt es sich um ein separierendes Gleichgewicht.

11 Wettbewerbstheorie und -politik Spieltheorie-11 Dr. Florian Englmaier Der Empfänger beobachtet eine Botschaft, die laut Gleichgewichtsstrategien von beiden Typen mit gleicher Wahrscheinlichkeit gewählt wird. Dann lautet sein aktualisierter Belief über den Typ des Senders: μ = μ. In diesem Fall handelt es sich um ein Pooling-Gleichgewicht. Der Empfänger beobachtet eine Botschaft, die laut Gleichgewichtsstrategien von keinem der beiden Typen gewählt wird. Dann lautet sein aktualisierter Belief über den Typ des Senders: μ beliebig. D.h. die Bayesianische Regel ist nicht anwendbar.