9.4Teilspiel-perfekteGleichgewichte

Transkript

1 1 9.4Teilspiel-perfekteGleichgewichte In diesem Abschnitt werden wir, von einer Variation der Auszahlungsmatrix des vorangegangenen Abschnitts ausgehend, einige weitere Kritikpunkte an dem Cournot- Modellaufgreifen.DamitwerdenwirdannquasiautomatischzudemSelten'schenKonzept einesteilspiel-perfektengleichgewichtsgeführt. Wir werden nun davon ausgehen, daß beide Spieler drei Strategien wählen können: eine hohe Menge (H), eine mittelgroße Menge(M)odereineniedrigeMenge(N).DieAuszahlungsmatrixseiwiefolgt: Spieler1 Spieler2 H M N H (0,0) (48,32) (72,36) M (32,48) (64,64) (80,60) N (36,72) (60,80) (72,72) VergleichtmandiebeidenAuszahlungsmatrizenmiteinander,sowirdmanfeststellen,daß die hohe Menge aus der vorangegangenen Matrix jetzt der mittleren Menge entspricht. Zunächst kann man feststellen, daß (M, M) das eindeutige Nash-Gleichgewicht dieses Spielsist. Wir werden uns nun der Frage widmen, warum - sagen wir - der erste Spieler nicht erreichenkann,daßerselbsthwähltundseingegenspielern.dannstehtersichoffenbar besseralsimcournot-gleichgewicht.wirwerdendiesefragedadurchbeantworten,daß wirzunächsteinszenariovorstellen,indemdererstespielerdiesesituationerreichen kann: Der erste Spieler wählt seine Menge zuerst. Der zweite Spieler beobachtet diese Wahlundreagiertdaraufoptimal.WennderersteSpielerHwählt,wirdderandereSpieler mit N reagieren. Sie können leicht überprüfen, daß der erste Spieler unter diesen UmständentatsächlichHwählt.DamitdieseinerationaleEntscheidungssituationabbildet, habenwirdemnachzweianforderungengestellt:(1)einspielerwähltzuerst.(2)der zweitespielerbeobachtet,welcheentscheidungdererstespielergetroffenhat.reichtdies aus?dieantwortistnein.wirbrauchennochdieannahme,daßdererstespielerseine Entscheidungnichtmehrrevidierenkann.Könnteerdiesnämlichtun,dannwäreesfürihn besser,erwürdemwählen.dannwäreesfürdenzweitenspielerlohnend,seinestrategie ebenfallsaufmzuändern.wirmüssenalsofordern,daß(3)derspieler,derzuerstwählt, seinewahlnichtrevidierenkann.unterdiesenumständenistestatsächlichmöglich,daß dererstespielereinebesserepositionerreichtalsimcournot-gleichgewicht.

2 2 WashatimCournot-ModelldieseLösungausgeschlossen?Wirhabendortimplizitdas Gegenteilzu den obigen Forderungen angenommen. Zum Zeitpunkt der Festlegung der MengeweißkeinerderbeidenSpieler,welcheMengederjeweilsandereSpielergewählt hat. Dies ist ja der Grund, warum beide Spieler rationale Erwartungen darüber bilden müssen,wasdergegenspielermacht.wenndererstespieleralsersterwähltundseine Entscheidung beobachtbar und irreversibel ist, dann braucht der zweite Spieler keine Erwartungmehrbilden.DieTatsache,daßderersteSpielerdannunabänderlicheFakten schaffen kann, verschafft ihm in unserem Beispiel einen Vorteil, der in der angelsächsischenliteraturfirstmoveradvantagegenanntwird. WennwirimCournot-ModellsolchemöglichenVorteiledesfrühenZugesausgeschlossen haben, so hat dies natürlich seine Konsequenzen darauf, welche wirtschaftlichen SituationendurchdiesesModellsinnvollabgebildetwerdenkönnen.EineSituation,inder einunternehmeneinengroßenvorsprungbeidereinführungeinesneuenprodukteshat undfrühzeitigkundenansichbindenkann,gehörtoffenbarnichtzudiesensituationen. DiebeispielhafteSituationunsererbeidenMarmeladeproduzentenistjedocheinesolche Situation.BeachtenSie,daßderzweiteSpielereinenAnreizhat,nichtzuwissen,welche MengenentscheidungderersteSpielertrifft.ErwirdsichdaheraufdenStandpunktstellen, daßjedesunternehmenfürsichhandelnsollundsichostentativvondemerstenspieler fernhalten.dietatsache,daßdasersteunternehmensichnundarübergedankenmachen muß,welcheerwartungendaszweiteunternehmenbildet,verschafftihmeinenvorteil. Hier ist natürlich anzunehmen, daß beide Unternehmen gleichzeitig über ihre Mengen entscheiden,ohnezuwissen,wasdasjeweilsandereunternehmenmacht. SicherlichpaßtdasCournot-Modellnichtimmer.DieSituation,indereinUnternehmen irreversible Fakten vor anderen Unternehmen schaffen kann und damit eine dominante Stellung auf einem Markt erreichen kann, wurde von dem deutschen WirtschaftswissenschaftlervonStackelbergzumAnlaßgenommen,umeineModellierung vorzuschlagen,diediesersituationrechnungträgt.dielösung(h,n)indemobigenspiel nennt man auch Stackelberg-Gleichgewicht oder Stackelberg-Lösung. Die Formulierung dieses Spiels mit nur drei möglichen Mengenentscheidungen ist ein Spezialfall. Im allgemeinen kann man von beliebig teilbaren Mengen ausgehen. In diesem Kontext bestimmtmandiestackelberg-lösungwiefolgt:dererstespielergehtdavonaus,daßder zweiteaufseinestrategiewahloptimalreagiert.mitanderenworten,erwirdsichgemäß seiner Reaktionsfunktion verhalten. Setzt man die Reaktionsfunktion in die Gewinnfunktion des ersten Spielers ein und maximiert diese, dann erhält man die

3 3 StrategieentscheidungdeserstenSpielers.SetztmandieseindieReaktionsfunktionein,so erhältmandieentscheidungdeszweitenspielers. WirhabenebendieStackelberg-LösungauchGleichgewichtgenannt.Offenbaristesaber nicht das Nash-Gleichgewicht des obigen Spiels. Wenn wir beide vergleichen, ist es hilfreich,daranzudenken,daßwirfürdiebeidenlösungencournot-gleichgewichtund Stackelberg-Lösung verschiedene zeitliche Abläufe und verschiedene Informationsannahmengetroffenhaben.DieseerscheineninderobigenMatrix-Darstellungnicht.Dazu isteineanderebeschreibungsformnotwendig,diewirnuneinführen:dieextensiveform einesspiels.daruntermußmansichvorstellen,daßmangenausagt,welcherspielerzu welchenzeitpunktenmitwelcherinformationwelcheentscheidungentrifft.dieextensive Form wird üblicherweise durch einen Spielbaum dargestellt, der diese Gesichtspunkte graphisch darstellt. Die Idee wird schnell klar, wenn wir uns das Stackelberg-Spiel in extensiverformansehen: 1 HMN 222 HMNHMNHMN DieumkreistenPunktediesesSpielbaumsheißenEntscheidungsknoten.DieunterenEnden desspielbaumsheißenendknoten.derbaumistzeitlichimmervonobenzulesen.der oberste Entscheidungsknoten entspricht also der zeitlich ersten Entscheidung. In den kleinen Kreisen stehen die Bezeichnungen der Spieler, die an einem bestimmten Entscheidungsknoten entscheiden können. In dem Stackelberg-Spiel entscheidet der Spieler 1 zuerst, dann entscheidet der Spieler 2. Die Verzweigungen des Spielbaums entsprechendenentscheidungenderspieler(spielzüge)beiihrementscheidungsknoten. AndenEndknotenwerdendieAuszahlungenangegeben,diedurchdieEntscheidungen festgelegtwerden.obenstehendieauszahlungenandenersten,untendiejenigenanden zweitenspieler. DieserextensivenFormkannimmereineNormalformeinesSpielszugeordnetwerden. DieNormalformkennenwirschon:esisteinfachdieBeschreibungdesSpielsmitden

4 4 Auszahlungsfunktionen. In dem Spielbaum sind Spielzüge wiedergegeben, aber nicht unbedingt Strategien. Diese werden jedoch benötigt, wenn die Auszahlungsfunktionen bestimmtwerdensollen.wasistalsohiereinestrategie?wenneinspielzunächstin Extensivform - wie oben - angegeben ist, besteht eine Strategie eines Spielers in der AngabedervorgesehenenSpielzügeanallenihmzugeordnetenEntscheidungsknoten.Das heißtindemobigenbeispiel,daßeinestrategiedeszweitenspielersfürdreisituationen angebenmuß,wasertunwill:fürdenfall,daßspieler1hwählt,daßermwähltunddaß ernwählt.möglichestrategiensindz.b.(m,m,m)-hierwählterinjedemfalldenzug M-oder(N,M,M)-hierwählterN,fallsderSpieler1Hgewählthat,undsonstM.Esgibt für den zweiten Spieler in dieser Situation demnach viel mehr Strategien, als in der Normalform,diewirobenbetrachtethaben.Schondaransiehtman,daßdieNormalform desstackelberg-spielsnichtinderobigenmatrixbestehenkann.dadererstespielernur einen Entscheidungsknoten hat, entsprechen seine Strategien wieder der Entscheidung zwischenh,modern.dieauszahlungsmatrix,diejanichtsanderesistalseinespezielle Darstellung einer Normalform des Stackelberg-Spiels, ist auf der folgenden Seite dargestellt.diezeilendertabelleentsprechendenverschiedenenstrategiendeszweiten Spielers,dieSpaltendenStrategiendeserstenSpielers.DiejeweilsersteZahlindenZellen beziehtsichaufdieauszahlungandenzweitenspieler.überprüfensieanhandeiniger Stichproben,obSiedieseTabellenachvollziehenkönnen.Wirwerdennuneinigespezielle Strategienkombinationenherausgreifenundnachweisen,daßsieNash-Gleichgewichtefür diesesspielinnormalformsind. DieStrategieHfürdenerstenSpielerunddieStrategie(N,M,M)fürdenzweitenSpieler istz.b.einnash-gleichgewicht.gegeben,dererstespielerwählth,istesfürdenzweiten Spieleroptimal,eineseinerStrategienzuwählen,diemitNbeginnen,z.B.diegenannte Strategie.Gegeben,derzweiteSpielerwähltdieseStrategie,istesfürdenerstenSpieler auchoptimal,hzuwählen.diesentsprichtgeradedemstackelberg-gleichgewicht.dieses ist also kein neues spieltheoretisches Konzept. Sondern es ergibt sich als Nash- Gleichgewicht in der Normalform des Spiels, das den zeitlichen Ablauf des Spiels wiedergibt.

5 5 Spieler1 H M N Spieler2 (H,H,H) (0,0) (48,32) (72,36) (H,H,M) (0,0) (48,32) (80,60) (H,H,N) (0,0) (48,32) (72,72) (H,M,H) (0,0) (64,64) (72,36) (H,M,M) (0,0) (64,64) (80,60) (H,M,N) (0,0) (64,64) (72,72) (H,N,H) (0,0) (60,80) (72,36) (H,N,M) (0,0) (60,80) (80,60) (H,N,N) (0,0) (60,80) (72,72) (M,H,H) (32,48) (48,32) (72,36) (M,H,M) (32,48) (48,32) (80,60) (M,H,N) (32,48) (48,32) (72,72) (M,M,H) (32,48) (64,64) (72,36) (M,M,M) (32,48) (64,64) (80,60) (M,M,N) (32,48) (64,64) (72,72) (M,N,H) (32,48) (60,80) (72,36) (M,N,M) (32,48) (60,80) (80,60) (M,N,N) (32,48) (60,80) (72,72) (N,H,H) (36,72) (48,32) (72,36) (N,H,M) (36,72) (48,32) (80,60) (N,H,N) (36,72) (48,32) (72,72) (N,M,H) (36,72) (64,64) (72,36) (N,M,M) (36,72) (64,64) (80,60) (N,M,N) (36,72) (64,64) (72,72) (N,N,H) (36,72) (60,80) (72,36) (N,N,M) (36,72) (60,80) (80,60) (N,N,N) (36,72) (60,80) (72,72) DiesistabernichtdaseinzigeNash-GleichgewichtindiesemSpiel.Hieristeinweiteres: DerersteSpielerwähltMundderzweiteSpielerwähltimmerM:(M,M,M).Dieskann man schnell überprüfen. An dieser Stelle setzt die Kritik von Selten ein. Diese Strategienkombination ist zwar ein Nash-Gleichgewicht, aber ihm unterliegt kein

6 6 besondersrationalesverhalten.betrachtensie,wiedererstespielerdazugebrachtwird,m zuwählen.diesgeschiehtdurchdie"drohung",daßderzweitespielermspielt,wennder erstespielerhspielt.diesedrohungistabernichtglaubhaft: Wennnämlich der erste SpielerHspielt,istesfürdenzweitenSpielerrational,Nzuspielen.EineStrategie,die leeredrohungenenthält,welchefürdasergebnisderinteraktionaberentscheidendsind, solltennichtalsergebnisrationalenverhaltensangesehenwerden.mitanderenworten: nicht jedes Nash-Gleichgewicht entspricht rationalem Verhalten. Wir brauchen eine VerfeinerungdesKonzepts. EinsolchesKonzeptliefertdasSelten'scheTeilspiel-perfekteGleichgewicht.Esgehtvon dererkenntnisaus,daßdienormalformdenzeitlichenablaufdesspielsnichtvollständig wiedergibt.esverlangt,daß die Strategien in jedem Teilspiel Gleichgewichtsstrategien sind. Was heißt nun Teilspiel? In erster Annäherung kann man sagen, daß mit jedem Entscheidungsknoten ein Teilspiel beginnt. In dem obigen Spielbaum haben wir also insgeamt4teilspiele.dasgesamtespielisteins.derteildesspielbaums,derbeidem linkenentscheidungsknotendesspielers2beginnt,istselbsteinspielbaumunddaherein Spiel-ebeneinTeilspieldesgesamtenSpiels.Dasselbegiltfürdenmittlerenundden rechtenentscheidungsknotendeszweitenspielers. Was heißt es nun, daß die Strategien in jedem Teilspiel Gleichgewichtsstrategien sein sollen? I.a. heißt dies, daß die Strategien für jedes Teilspiel ein Nash-Gleichgewicht darstellensollen.inunserembeispielistdiesganzeinfach.beidenteilspielen,diebeiden EntscheidungsknotenvonSpieler2beginnen,entscheidetnurSpieler2.Dasbedeutet,daß esindiesemteilspielnureinenspielergibt.dannistdieforderungnacheinemnash- GleichgewichtäquivalentmitderForderung,daßderSpielerseineWahlsotreffensoll, daßseineauszahlungmaximiertwird.dieslegtinunserembeispieleindeutigfest,wasin einerteilspiel-perfektenstrategiedeszweitenspielerssteht:imlinkenteilspielstehter sichambesten,wennernwählt,immittleren,wennermwählt,undimrechten,wenner ebenfallsmwählt.dieseinformationkannnundererstespielerbenutzen,umselbstseine Strategiefestzulegen.DarausfolgtdieeindeutigeFestlegungvonHfürdenerstenSpieler. Das,waswirobenStackelberg-Lösunggenannthaben,istalsodaseindeutigeTeilspielperfekteGleichgewichtdesStackelberg-Spiels. Kommen wir nun nochmals auf das Cournot-Spiel zurück, das am Anfang dieses Abschnittsstand.WirhabenschonobenaufdieunterschiedlichenEntscheidungsstrukturen zum Stackelberg-Spiel hingewiesen. Insbesondere wissen die Spieler nicht, was der

7 7 Gegenspielermachenwird.WennwirdiesinextensiverFormdarstellenwollen,können wirdieswiefolgttun: 1 HMN 2 HMNHMNHMN DereinzigegraphischeUnterschiedzumSpielbaumdesStackelberg-Spielsbestehtdarin, daßalledreientscheidungsknotendeszweitenspielersineinermengezusammengefaßt werden.diesezusammenfassungsollbedeuten,daßderspieler2zumzeitpunktseiner Entscheidung nicht weiß, in welchem seiner Entscheidungsknoten er sich befindet. Die MengederKnoten,dieeinSpielerzueinembestimmten Zeitpunkt nicht unterscheiden kann,heißtinderspieltheorieinformationsmenge.wenndieinformationsmengender Spieler-wieindemStackelberg-Spiel-nurjeweilseinElemententhalten,sprechenwir voneinemspielmitperfekterinformation.dieobigedarstellungdescournot-spielsist einspielmitimperfekterinformation.beisolchenspielenistessinnvoll,denbegriffder Strategie anzupassen. Allgemein ist eine Strategie die Festlegung der Züge an allen Informationsmengen des Spielers. Da er innerhalb einer Informationsmenge nichts unterscheidenkann,kannerproinformationsmengeauchnureinenzugfestlegen.indem obigenbeispielbedeutetdies,daßsichderzweitespielerfüreineseinerdreialternativen entscheiden muß. Die eingangs dargestellte Auszahlungsmatrix ist daher gerade die NormalformfürdiesesSpiel. Auch auf den Begriff des Teilspiels hat die Situation eines Spiels mit imperfekter Information seine Auswirkungen. Grob gesprochen kann man jetzt sagen, daß jedes Teilspiel mit einer Informationsmenge beginnt. Umgekehrt ausgedrückt: Von jeder InformationsmengeausbeginnteinweiteresTeilspiel.IndemobigenBeispielhabenwir also nur noch zwei Teilspiele, das gesamte Spiel und das Spiel, das mit der InformationsmengedeszweitenSpielersbeginnt.DiesebeidenSpielesindjedochvonden Spielernnichtzuunterscheiden.ImGrundehabenwirnureinTeilspiel,dasganzeSpiel.

8 8 InderLiteraturfindensichnochweitereCharakterisierungenderobigenbeidenSpiele.Das Stackelberg-Spiel ist ein Beispiel für ein sequentielles oder dynamisches Spiel. Das Cournot-SpielisteinBeispielfüreinsimultanesoderstatischesSpiel.DieBegriffsbildung dürfteeinleuchten. Zum Abschluß dieses Abschnitts wollen wir kurz auf das Preissetzungsverhalten im Cournot-Modell zurückkommen. Damit kommen wir auch gleichzeitig auf einen Kritikpunkt am Bertrand-Modell zurück. Als erstes interpretieren wir die Mengen im Cournot-ModellnichtalsMengensondernalsKapazitäten.Stellenwirunsvor,daßdie UnternehmenzuerstüberdieKapazitätenentscheidenunddannüberdiePreise,diesiefür ihreprodukteverlangenwollen.dakapazitätengeldkosten,istesnaheliegend,daßsie keineüberkapazitätenaufbauenwollen.daherwirdimergebnisdieoutputmengewieder mitdenkapazitätenübereinstimmen.wieaberschonbeiderkritikambertrand-modell angedeutetwurde,habendiekapazitäteneinenwichtigeneinflußaufdenpreiswettbewerb. DiesläßtsichineinemzweistufigenSpielmodellieren.IndererstenStufeentscheidendie UnternehmensimultanüberihreKapazitäten.Wenn dies geschehen ist, beobachten die UnternehmendieseKapazitätenundentscheidensimultanüberdiePreise.Diesläßtsich als Spiel modellieren. Wenn man das Teilspiel-perfekte Gleichgewicht dieses Spiels bestimmt,ergibtsich,daßdieunternehmengeradedie"cournot-mengen"alskapazitäten wählen und die Preise genau diejenigen sind, die vom Cournot-Modell vorhergesagt werden. Dafür müssen natürlich einige Annahmen getroffen werden. Die notwendige Analyseistauchvielzuumfangreich,umhierpräsentiertzuwerden.DieDetailsfindet manbeispielsweiseindervorlesung"preistheorie".hiersollnurfestgehaltenwerden,daß diekritikamcournot-modell,eskönnediepreisgestaltungnichterklären,nichtfundiert ist. Imfolgendenwerdenwir daher das Cournot-Modell weiter benutzen. Auf die weiteren spieltheoretischenkonzeptewerdenwirwiederholtzurückgreifen.