5. Spiele mit unvollständiger Information

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1 5. Spiele mit unvollständiger Information 5.. Grundlegende Konzepte Bisher haben wir immer angenommen, dass alle Daten des Spiels Common knowledge sind, d. h., dass alle Spielerinnen sie kennen, wissen, dass alle sie kennen etc. Die Daten des Spiels sind dabei für ein Normalformspiel die Spielerinnenmenge, die Strategiemengen sowie die Auszahlungsfunktionen und für eine Extensivformspiel der komplette Spielbaum, d. h. alle Knoten und Äste, die Informationsmengen und wer dort an der Reihe ist sowie die Auszahlungen an den Endknoten. Mit anderen Worten haben wir bisher nur Spiele mit vollständiger Information [complete information] betrachtet. Eine solche Annahme ist allerdings sehr restriktiv. Es gibt häufig Situationen, in denen bestimmte Details des Spiels nicht allen Spielerinnen bekannt sind. Denken wir z. B. an das Cournot Modell eines Duopols. Hier ist es nicht unbedingt klar, dass eine Firma für jede Mengenkombination den Gewinn ihrer Konkurrentin (also deren Auszahlungen kennt. Zwar kennt sie den Preis und damit den Erlös, aber dass dies auch für die Kosten der Konkurrentin gilt ist in der Realität sicherlich fraglich. Ebensowenig ist klar, dass die Handlungsmöglichkeiten (also die Strategienmenge der Konkurrentin bekannt ist. Denkbar wären etwa Kapazitätsgrenzen, deren genaue Höhe bei der Konkurrenzfirma in der Regel nicht bekannt sind. In solchen Fällen spricht man von Spielen mit unvollständiger Information [incomplete information]. Zwar wurde diese Unterscheidung bereits von von Neumann und Morgenstern (953, S. 30 eingeführt, es gab aber bis zu der bahnbrechenden Arbeit von John C. Harsanyi (967; 968a; 968b kaum Fortschritte in der Behandlung von Spielen mit unvollständiger Information. Wir werden im weiteren zur Vereinfachung davon ausgehen, dass sich die unvollständige Information nur auf die Auszahlungen bezieht unvollständige Information über andere Parameter kann auf analoge Weise behandelt werden. Anders gesagt, nehmen wir an, dass die Spielform (vgl. Abschnitt.. Common knowledge ist, nicht aber die Nutzenfunktionen über die Ausgänge und damit die Auszahlungsfunktionen. Mit der Konzentration auf diesen Fall der unvollkommenen Information, betrachten wir den si- Für Spiele in Extensivform hatten wir keine explizite Definition einer Spielform gegeben; es sollte aber an dieser Stelle klar sein, dass es sich dabei um den Spielbaum ohne die Auszahlungen an den Endknoten handelt. Die Endknoten, bzw. die zu ihnen führenden Pfade oder Partien des Spiels stellen die Ausgänge dar. Darüber, wie diese von den Spielerinnen bewertet werden, herrscht unvollständige Information. 7

2 5. Spiele mit unvollständiger Information 8 cherlich wichtigsten Fall; denn während es bei den restlichen Daten des Spiels um eher physische Dinge geht wer sind die Spielerinnen, welche Aktionen / Strategien stehen ihnen zur Verfügung und welche Ausgänge des Spiels sind möglich handelt es sich bei den Auszahlungen um die Bewertung der Ausgänge durch die individuellen Spielerinnen, also um den klassischen Fall von privater Information [private informtion]. Im übrigen ist es gelegentlich auch unmittelbar einsichtig, wie sich andere Fälle von unvollständiger Information als unvollständige Information über Auszahlungen modellieren lassen: Betrachten wir z. B. das Cournot Modell mit Kapazitätsschranken, die die Konkurrentinnen nicht kennen, also mit unvollständiger Information über die Strategiemengen. Stattdessen können wir auch sämtliche denkbaren Angebotsmengen zulassen, aber für Mengen oberhalb der Kapazitätsschranke prohibitiv hohe Kosten annehmen; dadurch haben wir das Problem in eines mit unvollständiger Information über die Auszahlungen transformiert. Um das Problem der Modellierung von Spielen mit unvollständiger Information zu verdeutlichen und Harsanyis Ansatz zu seiner Lösung zu erläutern, betrachten wir folgendes Beispiel. Beispiel 5.. (Markteintrittspiel mit unvollständiger Information Im wesentlichen handelt es sich um das aus Beispiel 3..4 bekannte Spiel: Firma will in einen Markt eintreten, in dem sich Firma als Monopolistin befindet. Ohne Markteintritt erhält die Monopolistin einen Gewinn von, Firma macht keinen Gewinn. Tritt Firma in den Markt ein, gibt es zwei mögliche Reaktionen der Firma : Sie lässt den Eintritt zu. In diesem Fall erhält Firma einen Gewinn von, Firma einen Gewinn von. Firma kämpft. In diesem Fall macht die eintretende Firma einen Verlust von 3. Über die Auszahlung von Firma in diesem Fall herrscht unvollständige Information: Firma erhält die Auszahlung, aber dies ist Firma nicht bekannt. Wie dieses Spiel aus Sicht der beiden Firmen aussieht ist in Abbildung 5. dargestellt. Firma ist vollständig informiert. Die unvollständige Information der Firma haben wir durch das Fragezeichen an Stelle der Auszahlung für Firma bei einem Preiskampf nach erfolgtem Markteintritt gekennzeichnet. Die entscheidende Frage für die eintretende Firma ist, ob die Monopolistin den Eintritt bekämpfen wird oder nicht. Das hängt natürlich von der Auszahlung ab, die die Monopolistin in diesem Fall erhält. Wüsste Firma, dass die Monopolistin in diesem Fall einen Verlust von macht, könnte sie überlegen, dass nicht kämpfen wird und in den Markt eintreten. Hält sie es aber für denkbar, dass die Monopolistin, wenn sie sich für das Kämpfen entscheidet, eine Auszahlung erhält, die diese Entscheidung wahrscheinlich macht, wäre ein Markteintritt für Firma nicht lohnend. Universität des Saarlandes

3 9 Spieltheorie Sommersemester 007 Sicht der Firma : Extensivform Sicht der Firma : Extensivform Firma Firma E N E N Firma K Z ( 0 Firma K Z ( 0 ( 3 ( ( 3? ( Normalform K Z E 3,, N 0, 0, Normalform K Z E 3,?, N 0, 0, Abbildung 5..: Unterschiedliche Sicht der beiden Firmen auf das Markteintrittspiels mit unvollständiger Information Wie in diesem Beispiel werden wir stets annehmen, dass jede Spielerin ihre eigene Auszahlungen kennt, unvollständige Information also nur hinsichtlich der Auszahlungen der anderen Spielerinnen besteht. In dem Beispiel handelt es sich um einseitige unvollständige Information, da Firma auch sämtliche Auszahlungen ihrer Konkurrentin kennt. Dennoch kann man schon beim Nachdenken über dieses einfache Spiel die Probleme erkennen, die die unvollständige Information aufwirft: Wenn Firma überlegt, welche Strategie sie wählen soll, muss sie Vermutungen über die ihr unbekannte Auszahlung der Firma im Falle eines Preiskampfes nach Eintritt in den Markt anstellen. Dies führt aber dazu, dass Firma, obwohl sie selbst vollständig informiert ist, wenn sie die Situation analysiert ihrerseits ebenfalls Vermutungen anstellen muss. Denkt sie nämlich darüber nach, was Firma tun wird, muss sie dazu Vermutungen über deren Vermutungen hinsichtlich ihrer eigenen Auszahlung anstellen. Und so weiter, ganz wie bei unseren Überlegungen über die Bedeutung der Annahme der Common knowledge (vgl. Abschnitt... Diesen unausweichlichen unendlichen Regress von Vermutungen [befiefs] sieht Harsanyi als den Grund dafür an, dass die Behandlung von Spielen mit unvollständiger Information nicht voran kam. Seine Idee bestand darin, ein Spiel mit unvollständiger Information in ein Spiel mit vollständiger aber unvollkommener Information zu transformieren. Dieses Spiel kann dann mit den vorhandenen Methoden analysiert werden. Die grundlegende Idee ist einfach: Harsanyi nimmt an, dass sämtliche für das Spiel relevanten Attribute Jörg Naeve

4 5. Spiele mit unvollständiger Information 0 einer Spielerin in deren Typ [type] zusammengefasst werden können. Welche Typen für die einzelnen Spielerinnen möglich sind ist Common knowledge. Zu Beginn des Spiels, ex ante, wählt die Natur für jede Spielerin eine Typ aus. In mediis (in der Literatur wird dieser Zeitpunkt auch interim genannt erfährt dann jede Spielerin ihren eigenen Typ, aber nicht unbedingt den der anderen. In einem Spiel mit vollständiger Information ist also der Typ sämtlicher Spielerinnen Common knowledge, in einem Spiel mit unvollständiger Information ist dies (zumindest für den Typ einiger Spielerinnen nicht der Fall; es liegt unvollkommene Information über den Anfangszug der Natur vor. Ex post erhalten alle Spielerinnen die Auszahlungen gemäß der gewählten Strategiekombination und der von der Natur gezogenen Typkombination; man kann sich also vorstellen, dass ex post die tatsächlichen Typen aller Spielerinnen allgemein bekannt sind. Wir werden stets annehmen, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung gemäß derer die Natur die Typen auswählt Common knowledge ist. Dieser Fall wird in der Literatur auch als gemeinsame a priori Verteilung [common prior] oder als konsistente Vermutungen [consistent beliefs] bezeichnet. Harsanyi selbst wie auch Mertens und Zamir (985, die zeigen, dass seine Idee mathematisch korrekt modelliert werden kann, betrachten den allgemeineren Fall, dass jede Spielerin ihre individuelle subjektive Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Zug der Natur hat. Unsere Annahme macht nicht nur das Modell weitaus leichter handhabbar sondern kann auch durch gute Argumente gestützt werden, wie etwa die von Aumann (976 formulierten. Neben der Wahrscheinlichkeitsverteilung nach der die Natur zu Beginn die Typen zieht, sind auch die Informationsmengen aller Spielerinnen Common knowledge, d. h., Spielerin i weiß, dass Spielerin j in mediis ihren eigenen Typ kennt, und weiß auch, welche weiteren Informationen Spielerin j gegebenenfalls erhält. Insbesondere bedeutet die Annahme von Common knowledge der Verteilung über die Typkombinationen aller Spielerinnen und deren Informationsmengen, dass jede Spielerin in mediis, wenn sie ihren eigenen Typ kennt (und möglicherweise noch weitere Informationen besitzt, aufgrund dieser Information gemäß Bayes Regel eine bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Typkombinationen berechnen kann. darüber hinaus weiß sie, dass alle Typen aller anderen Spielerinnen das selbe tun, so dass sich aus dem Typ jeder Spielerin automatisch auch die Vermutungen hinsichtlich der Typen aller anderen ergeben. Ehe wir dies alles im folgenden Abschnitt 5. noch einmal zu einer formalen Definition zusammenfassen und näher auf das Bayesianische Aktualisieren der Vermutungen eingehen, wollen wir uns ansehen, wie das Markteintrittspiel mit unvollständiger Information aus dem obigen Beispiel nach der Harsanyi Transformation aussieht. Beispiel 5.. (Markteintrittspiel mit unvollständiger Information Fortsetzung Sie konstruieren einen sogenannten universellen Typenraum [universal type space], der die Anforderungen von Harsanyis Modell erfüllt. Diese Konstruktion ist mathematisch recht anspruchsvoll und führt zu unendlich dimensionalen Typenräumen. Eine kurze Darstellung ihrer Arbeit findet sich im Lehrbuch von Myerson (99, Abschnitt.9, S Universität des Saarlandes

5 Spieltheorie Sommersemester 007 In unserem Beispiel können wir uns darauf beschränken, mögliche Typen für Firma anzugeben, die festlegen, welche Auszahlung sie im Falle eines Markteintritts der Firma und anschließendem Preiskampf erhält. Dabei sollten wir natürlich den tatsächlichen Typ der Firma als eine der Möglichkeiten vorsehen. Über diese möglichen Typen müssen wir dann noch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung festlegen. In mediis erfährt dann Firma ihren Typ, während für Firma sämtliche auf den Zug der Natur folgende Knoten, in denen sie über den Markteintritt zu entscheiden hat, in einer Informationsmenge liegen. Nehmen wir an, dass es zwei mögliche Typen der Firma gibt. Ihre Typmenge sei T = {, }. Ferner sei die Wahrscheinlichkeitsverteilung, gemäß derer die Natur die Typen wählt gegeben durch P mit P( = 0.7 und P( = 0.3. Dann können wir das transformierte Spiel in Extensivform darstellen wie in Abbildung 5. gezeigt. Durch die Harsanyi Transformation verfügen wir wieder über ein geschlos- Natur Firma Firma E N E N Firma K Z ( 0 Firma K Z ( 0 ( 3 ( ( 3 ( Abbildung 5..: Extensivform des Markteintrittspiels mit unvollständiger Information senes Modell des Spiels, über das zwischen beiden Spielerinnen Common knowledge herrscht. Zwei Bemerkungen sind angezeigt. Zum einen besteht zwischen der ursprünglichen Beschreibung des Markteintrittsspiels mit unvollständiger Information und obiger Modellierung ein Unterschied bezüglich der Information der Firma. Im Modell haben wir die Unwissenheit der Firma deutlich strukturiert; sie kennt die möglichen Typen und deren Wahrscheinlichkeiten. Zum anderen haben wir eine Metaebene eingeführt. Zu Beginn des Spiels, bevor die Natur die Typen der Firma zieht, hat auch Firma keine Informationen. Da wir wie üblich die Wahl einer Strategie für das gesamte Spiel zu diesem, in unserem Falle fiktiven, Zeitpunkt Jörg Naeve

6 5. Spiele mit unvollständiger Information ansiedeln, bedeutet das, dass Firma in ihrer Strategie auch Typen berücksichtigen muss, von denen sie weiß, dass sie tatsächlich nicht gezogen worden sind. Dies ist deshalb wichtig, weil es in der Analyse des Spiels unabdingbar ist, zu wissen, welche Strategien für die anderen Typen der Firma als den tatsächlich vorliegenden Firma in Betracht zieht. Dabei müssen wir im Hinterkopf behalten, dass die Harsanyi Transformation lediglich ein Instrument zur Analyse des ursprünglichen Spiels mit unvollständiger Information ist. In diesem zeigt Firma keinerlei Anzeichen von Schizophrenie (vgl. die Diskussion in Myerson (99, Beginn von Abschnitt.8, S Das formale Modell Definition 5. (Spiel mit unvollständiger Information Gegeben eine Spielform mit Spielerinnenmenge I und möglichen Ausgängen A d.h. in der Normalform ist A = S = i I S i und in der Extensivform gilt A = K. Aus dieser Spielform wird ein Spiel mit unvollständiger Information [game with incomplete information], oder genauer seine Harsanyi Transformation, durch das Hinzufügen folgender Komponenten: Für alle i I einer Menge möglicher Typen T i. Die Menge aller Typkombinationen ist T := i I T i. Einer a priori Wahrscheinlichkeitsverteilung P über T. Für alle i I einer Partition W i von T, ihrer in mediis Informationspartition. Für alle i I einer Auszahlungsfunktion u i : A T i R. Um ein Gefühl für diese Definition zu bekommen und mit ihr arbeiten zu können, sehen wir uns die einzelnen Elemente noch einmal näher an und stellen dabei noch einiges an zusätzlicher Notation bereit. Solange nicht explizit etwas anderes gesagt wird, nehmen wir im folgenden stets an, dass die Typmenge T eine endliche Menge ist. Da wir dies auch für die Spielerinnenmenge verabredet haben, die wir daher als I = {,,..., n} annehmen, schreiben wir t T als t = (t,t,...,t n. Analog zu der Notation für Strategien, definieren wir für Spielerin i I T i := und schreiben j (I\{i} T j T t = (t i,t i T i T i, Universität des Saarlandes

7 3 Spieltheorie Sommersemester 007 wobei wir, falls t als Argument innerhalb einer Funktion auftaucht, oft die Klammern um (t i,t i weglassen, also schreiben f(t = f (t i,t i := f ( (t i,t i. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung P über T ist für endliche Typmengen eine Funktion P : T [0, ] mit =. t T Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A T, also dafür, dass der tatsächliche Typ in der Menge A liegt, ist P(A := t A P(t. Von besonderem Interesse sind Ereignisse der Form A = {t i } T i, d. h. alle Typkombinationen in denen Spielerin i vom Typ t i ist. Für die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses schreiben wir kurz p i (t i = P ({t i } T i = P (t i,t i. t i T i Dies definiert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung p i auf T i, die ite Randverteilung [i th marginal distribution]. Wir nehmen an, dass für alle i I und für alle t i T i die Wahrscheinlichkeit p i (t i strikt positiv ist. Wäre dies nicht der Fall, würde der entsprechenden Typ nie auftreten und wir könnten ihn aus der Typmenge streichen. Die Typen der Spielerinnen sind unabhängig verteilt [independently distributed] genau dann, wenn P(t = i I p i (t i für alle t T, d. h., wenn P ein Produktmaß über T ist. Für den Spezialfall von Zweipersonenspielen können wir P als Wahrscheinlichkeitsmatrix schreiben: ( P = P (t,t t T,, t T die Randverteilungen erhalten wir dann durch Aufsummieren der Zeilen bzw. der Spalten der Matrix. Die Informationspartitionen W i beschreiben, welche Informationen die Spielerinnen in mediis haben. Ist der tatsächliche Typ t T, so erfährt Spielerin i, dass das Ereignis Jörg Naeve

8 5. Spiele mit unvollständiger Information 4 W i (t eingetreten ist, wobei W i (t, das eindeutige Element der Informationspartition der Spielerin i ist, das t enthält, also W i (t := {W i W i t W i }. Ist eine Spielerin vollständig informiert, so gilt W i = T. Häufig betrachten wir Modelle, in denen jede Spielerin in mediis genau ihren eigenen Typ kennt, nicht jedoch den irgendeiner anderen Spielerin. Auf jeden Fall nehmen wir stets an, dass sie in mediis wenigstens ihren eigenen Typ kennt, d. h., die Informationspartition jeder Spielerin i ist feiner als die Partition ({t i } T i ti T i. Ex ante stimmen alle Spielerinnen in der Wahrscheinlichkeitsverteilung P über T überein. In mediis bilden sie Vermutungen [beliefs] über T, die durch Bayesiansiches Aktualisieren [Bayesian updating] gebildet werden; d. h., Spielerin i bildet aufgrund ihrer in mediis Information W i (t aus der a priori Wahrscheinlichkeitsverteilung P eine bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung P ( W i (t. Bevor wir auf diese Form des Lernens als der Revision von a priori Vermutungen im Lichte zusätzlicher Information etwas näher eingehen, abschließend noch zu den Auszahlungsfunktionen, die dann im Abschnitt 5.3 noch eine Rolle spielen. Die Auszahlungsfunktion u i von Spielerin i hängt ab vom Ausgang des Spiels und ihrem eigenen Typ, nicht aber von den Typen der anderen Spielerinnen. Dies lässt sich allgemeiner formulieren, wir wollen hier aber an der Annahme festhalten, dass jede Spielerin in mediis ihre eigene Auszahlung kennt, sich die unvollständige Information also nur auf die Auszahlungen der anderen Spielerinnen bezieht. Ex post, wenn der Typ jeder Spielerin bekannt ist, liegen auch sämtliche Auszahlungen fest Bedingte Wahrscheinlichkeiten und der Satz von Bayes Als kurzen Einschub erinnern wir uns an das Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit, das aus den Grundstudiumsvorlesungen der Statistik bekannt sein sollte. (T, P ist ein Wahrscheinlichkeitsraum. Für jede Spielerin i bildet ihre Informationspartition W i eine endliches vollständiges System von Ereignissen; allgemein ist ein vollständiges System eine Partition von T. Sei im folgenden B T ein beliebiges Ereignis und A eine endliche vollständige Familie von Ereignissen. Definition 5. (Bedingte Wahrscheinlichkeit Seien A, B T zwei Ereignisse. Vorausgesetzt, P(A > 0 ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von B gegeben das Ereignis A definiert als P (B A = P (B A. (5. P (A Zwei Sätze sind oft hilfreich zur Berechnung von (bedingten Wahrscheinlichkeiten. Universität des Saarlandes

9 5 Spieltheorie Sommersemester 007 Satz 5.3 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit Für ein Ereignis B T und eine beliebige endliche vollständige Familie von Ereignissen A gilt P (B = A k A P (B A k P(A k Der zweite Satz ist benannt nach, Thomas Bayes (70 76, dem Namensgeber einiger wichtiger Konzepte in diesem Kapitel. In Teilen der ökonomischen Literatur findet man die Bezeichnung Satz von Bayes auch für die obige Formel, die die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert. Satz 5.4 (Satz von Bayes Für ein Ereignis B T mit P(B > 0 und eine beliebige endliche vollständige Familie von Ereignissen A gilt für alle A l A P (A l B = P (B A l P (A l A k A P (B A k P(A k. Beispiele 5.. Wir betrachten I = {, }, T = { t, ˆt } und T = { t, ˆt }. Sei zunächst P gegeben durch P (t = 4 für alle t T. Dann gilt p (t = P (t,t + P ( t, ˆt = = p (ˆt = P (ˆt,t + P (ˆt, ˆt = = und p (t = P (t,t + P (ˆt,t = = ( p (ˆt = P t, ˆt + P (ˆt, ˆt = =. Wir schreiben für die Vermutungen für i I und t i T i p i (t i t i := P ( T i {t i } {t i } T i. Erfährt Spielerin, dass sie vom Typ t ist, so lauten ihre Vermutungen p (t t = P (t,t p (t p (ˆt t P ( t =, ˆt p (t = = 4 4 = = p (t = = p (ˆt. Jörg Naeve

10 5. Spiele mit unvollständiger Information 6 Weiß sie, dass ihr Typ ˆt ist, so lauten ihre Vermutungen ( p t P (ˆt,t ˆt = = p (ˆt P p (ˆt (ˆt, ˆt ˆt = p (ˆt = 4 4 = = p (t = = p (ˆt. Für Spielerin lauten ihre Vermutungen wenn t = t ist p (t t = P (t,t p (t p (ˆt t P (ˆt,t = p (t = = 4 4 = = p (t = = p (ˆt. Ist t = ˆt, so lauten ihre Vermutungen ( p t P ( t ˆt =, ˆt = p (ˆt P p (ˆt (ˆt, ˆt ˆt = p (ˆt = 4 4 = = p (t = = p (ˆt. Für beide Spielerinnen stimmen ihre Vermutungen jeweils mit den Randverteilungen überein. Mit anderen Worten, wegen der Unabhängigkeit der Wahrscheinlichkeitsverteilung P kann keine Spielerin aus ihrem Typ zusätzliche Informationen über die Wahrscheinlichkeiten der Typen der anderen gewinnen. Für Wahrscheinlichkeitsverteilungen, in denen die Typen nicht unabhängig verteilt sind, ist dies anders. Sei etwa P gegeben durch folgende Wahrscheinlichkeitsmatrix ( Dann gilt p (t = P (t,t + P ( t, ˆt = = 0.5 p (ˆt = P (ˆt,t + P (ˆt, ˆt = = 0.5 und p (t = P (t,t + P (ˆt,t = = 0.5 p (ˆt = P ( t, ˆt + P (ˆt, ˆt = = 0.5. Universität des Saarlandes

11 7 Spieltheorie Sommersemester 007 Erfährt Spielerin, dass sie vom Typ t ist, so lauten ihre Vermutungen p (t t = P (t,t p (t p (ˆt t P ( t =, ˆt p (t = = 0.6 > p (t = = 0.4 < p (ˆt. Weiß sie, dass ihr Typ ˆt ist, so lauten ihre Vermutungen ( p t P (ˆt,t ˆt = = p (ˆt = 0.4 < p (t P p (ˆt (ˆt, ˆt ˆt = = p (ˆt = 0.6 > p (ˆt. Für Spielerin lauten ihre Vermutungen wenn t = t ist p (t t = P (t,t p (t p (ˆt t P (ˆt,t = p (t = = 0.6 > p (t = = 0.4 < p (ˆt. Ist t = ˆt, so lauten ihre Vermutungen p ( t ˆt = P ( t, ˆt p (ˆt ˆt = P (ˆt, ˆt p (ˆt = = 0.4 < p (t p (ˆt = = 0.6 > p (ˆt. In diesem Falle ändert sich also durch die in mediis Information über ihren eigenen Typ die Einschätzung einer Spielerin über die Typen der anderen Bayesianisches Nash Gleichgewicht Da die Harsanyi Transformation eines Spiels mit unvollständiger Information ein Spiel mit vollständiger wenn auch unvollkommener Information ist, können wir sie im Prinzip mit den ins Kapitel 3 entwickelten Methoden analysieren. Tatsächlich ist das Bayesianische Nash Gleichgewicht nichts anderes als ein Nash Gleichgewicht dieses Spiels. Die zusätzliche Sprechweise und Notation, die wir in diesem Abschnitt vorstellen, dienen lediglich dazu, die spezielle Interpretation zu betonen. Jörg Naeve

12 5. Spiele mit unvollständiger Information 8 Insbesondere wollen wir den Begriff der Strategie [strategy] für den in mediis Zeitpunkt reservieren, um zu unterstreichen, dass das eigentliche Spiel mit unvollständiger Information dann stattfindet, wenn jede Spielerin zumindest ihren eigenen Typ kennt. Die Strategien im Spiel mit unvollständiger Information sind also diejenigen der zu Grunde liegenden Spielform. Die Menge der Strategiekombinationen in mediis bezeichnen wir mit S = i I S i. 3 Die Festlegung dessen, was eine Spielerin tun will, erfolgt aber auch hier vor Beginn des Spiels, also ex ante. Die ex ante Strategien nennen wir zur Unterscheidung Bayesianische Entscheidungsfunktionen [Bayesian decision functions]. Eine Bayesianische Entscheidungsfunktion für Spielerin i ist eine Abbildung, die jedem ihrer Typen eine Strategie zuordnet. Wir bezeichnen diese Funktion mit s i, d. h., wir treffen folgende Definition. Definition 5.5 (Bayesianische Entscheidungsfunktion Eine Bayesianische Entscheidungsfunktion [Bayesian decision function] für Spielerin i I ist eine Abbildung s i : T i S i,t i s i (t i. Die Menge aller Bayesianischen Entscheidungsfunktionen für Spielerin i ist S i := S T i i = {f : T i S i }. Die Menge alle Kombinationen Bayesianischer Entscheidungsfunktionen, also der ex ante Strategiekombinationen ist dann S i = S s = ( s, s,..., s n. i I Mit dieser Definition können wir nun das Bayesianische Nash Gleichgewicht als Nash Gleichgewicht in Bayesianischen Entscheidungsfunktionen definieren. Ein Bayesianisches Nash Gleichgewicht eines Spiels mit unvollständiger Information ist eine Kombination s S Bayesianischer Entscheidungsfunktionen, die gegenseitig beste Antworten sind. Um diese Definition mit Inhalt zu füllen, müssen wir uns in Erinnerung rufen, was mit gegenseitig bester Antwort gemeint ist. Eine Bayesianische Entscheidungsfunktion für Spielerin i ist dann eine beste Antwort gegen die Bayesianischen Entscheidungsfunktionen der anderen Spielerinnen, wenn es keine andere Bayesianische Entscheidungsfunktion für sie gibt, die eine höhere Auszahlung liefert. Gegeben s i S i ist die (erwartete Auszahlung einer Bayesianischen Entscheidungsfunktion s i S i für Spielerin i gegeben durch π i ( s i, s i = t T P(tu i ( ti, s i (t i, s i (t i. 3 Im allgemeinen kann auch die Spielform und damit die Menge der Strategiekombinationen in mediis mit der von der Natur gezogenen Typkombination variieren; wir ersparen uns diese Komplikation durch unsere Annahme, dass sich die unvollständige Information lediglich auf die Auszahlungen erstreckt. Universität des Saarlandes

13 9 Spieltheorie Sommersemester 007 Damit können wir die Definition des Bayesianischen Nash Gleichgewichts wie folgt schreiben. Definition 5.6 (Bayesianisches Nash Gleichgewicht Ein Bayesianisches Nash Gleichgewicht [Bayesian Nash equilibrium] eines Spiels mit unvollständiger Information ist eine Kombination s S Bayesianischer Entscheidungsfunktionen derart, dass für alle Spielerinnen i I und für alle s i S i gilt π i ( s i, s i πi ( si, s i t T P(tu i ( ti, s i (t i, s i (t i t T P(tu i ( ti, s i (t i, s i (t i. (5. Wenn wir die Ungleichung (5. umschreiben als ( P(tu i ti, s i (t i, s i (t i t i T i t i T i t i T i t i T i P(tu i ( ti, s i (t i, s i (t i, erkennen wir, dass sie genau dann erfüllt ist, wenn für alle t i T i gilt ( P(tu i ti, s i (t i, s i (t i ( P(tu i ti, s i (t i, s i (t i, (5.3 t i T i t i T i was wegen p i (t i > 0 für alle t i T i äquivalent ist zu P (t i,t i ( u i ti, s i (t i, s i (t i P (t i,t i ( u i ti, s i (t i, s i (t i p i (t i p i (t i t i T i t i T i ( p i (t i t i u i ti, s i (t i, s i (t i ( p i (t i t i u i ti, s i (t i, s i (t i. t i T i t i T i (5.4 In einem Bayesianischen Nash Gleichgewicht gilt also für alle Spielerinnen i I und alle Typen t i T i die Ungleichung (5.4. Dies bedeutet, dass in einem Bayesianischen Nash Gleichgewicht für jede Spielerin i I und für jeden ihrer Typen t i T i durch die Bayesianische Entscheidungsfunktion s i eine in mediis Strategie s = s i (t i gewählt wird, die ihre in mediis (erwartete Auszahlung für den Typ t i maximiert. Vorausgesetzt wird dabei,. dass alle anderen Spielerinnen ihre Strategien gemäß ihrer Entscheidungsfunktionen s i wählen und. dass die Vermutungen der Spielerin i durch Bayesianisches Aktualisieren gebildet werden. Das Konzept des Bayesianischen Nash Gleichgewichts wird im folgenden am Beispiel des Markteintrittsspiels mit unvollständiger Information illustriert. Beispiel (Bayesianisches Nash Gleichgewicht des Markteintrittsspiels mit unvollständiger Information Jörg Naeve

14 5. Spiele mit unvollständiger Information 30 In diesem Spiel (vgl. oben Beispiel 5.. ist I = {, }, für Spielerin ist die Typmenge T = {, }, wobei wir die Typen direkt mit der Auszahlung für Firma bei Kampf nach Eintritt der Firma identifizieren. Da für Firma keine verschiedenen Typen existieren, setzten wir T = T. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung P über T ist gegeben durch P( = 0.7 und P( = 0.3. Die Extensivform dieses Spiels hatten wir oben in Abbildung 5. dargestellt. Die typenabhängigen Auszahlungsmatrizen für dieses Spiel sind gegeben durch für den Typ t = und für t =. K Z E 3,, N 0, 0, K Z E 3,, N 0, 0, Da es nur einen Typ von Firma gibt, ist ihre Bayesianische Entscheidungsfunktion identisch mit der Wahl einer Strategie s {E,N}. Diese Strategie muss ihre erwartete Auszahlung maximieren, gegeben die Bayesianische Entscheidungsfunktion s der Firma und die Vermutung p ( = P( = 0.7 und p ( = P( = 0.3. Firma hat vier mögliche Bayesianische Entscheidungsfunktionen, die wir in der Form ( s (, s ( darstellen. Es ist S = {ZZ,ZK,KZ,KK}. Da sie vollständig informiert ist, sind ihre Vermutungen in mediis, dass der tatsächlich gezogene Typ t die Wahrscheinlichkeit hat. Die erwarteten Auszahlungen der Firma sind π (s, s = 0.7π (s, s ( + 0.3π (s, s (. Wir berechnen diese Auszahlung für die verschiedenen Strategien der Firma und die möglichen Bayesianischen Entscheidungsfunktionen der Firma und fassen die Ergebnisse in Tabelle 5. zusammen. π (N, = 0.7π (N, + 0.3π (N, = = 0 π (E,ZZ = 0.7π (E,Z + 0.3π (E,Z = = π (E,ZK = 0.7π (E,Z + 0.3π (E,K = = 0.5 π (E,KZ = 0.7π (E,K + 0.3π (E,Z = =.5 π (E,KK = 0.7π (E,K + 0.3π (E,K = = 3 Universität des Saarlandes

15 3 Spieltheorie Sommersemester 007 ZZ ZK KZ KK E N Tabelle 5..: Auszahlungsmatrix für Firma im Markteintrittspiel mit unvollständiger Information. Aus Tabelle 5. können wir direkt die besten Antworten der Firma auf die möglichen Bayesianischen Entscheidungsfunktionen der Firma ablesen: Diese sind in Tabelle 5. dargestellt. s s ZZ E ZK E KZ N KK N Tabelle 5..: Beste Antworten der Firma im Markteintrittspiel mit unvollständiger Information. Betrachten wir nun Firma. Ist ihr Typ t =, so ist in mediis die Strategie Z eine dominante Strategie. Typ t = der Firma ist indifferent zwischen den beiden in mediis Strategien K und Z. Firma wird also eine der Bayesianischen Entscheidungsfunktionen ZK oder ZZ wählen (oder eine beliebige Mischung. Für beide ist die beste Antwort der Firma die Strategie E. Wir haben also zwei Bayesianische Nash Gleichgewichte in reinen Strategien (bzw. Bayesianischen Entscheidungsfunktionen gefunden, nämlich (E,ZK und (E,ZZ Verfeinerungen des Bayesianisches Nash Gleichgewichts Das Bayesianische Nash Gleichgewicht für Spiele mit unvollständiger Information ist das Analogon zum Nash Gleichgewicht für Spiele mit vollständiger Information. Bei letzteren konnten Gleichgewichte mit unglaubwürdigen Drohungen durch das Konzept der Teilspielperfektheit ausgeschlossen werden. In Spielen, in denen alle Spielerinnen unvollständig informiert sind, schließt die Anforderung der Teilspielperfektheit aber keine Nash Gleichgewichte aus, da das einzige Teilspiel das gesamte Spiel selbst ist. Dies liegt daran, dass auch wenn die Aktionen aller Spielerinnen beobachtbar sind, die die Unkenntnis der Typen der anderen Spielerinnen repräsentierenden Informationsmengen dazu führen, dass kein Knoten des Spiels nach Jörg Naeve

16 5. Spiele mit unvollständiger Information 3 der Wurzel eine einelementige Informationsmenge bildet, so dass außer im Anfangsknoten nirgends ein Teilspiel beginnt. Da wir Spiele mit unvollständiger Information mittels ihrer die Harsanyi Transformation analysieren, die ein Spiel mit vollständiger aber unvollkommener Information liefert, sind alle Konzepte, die wir im folgenden betrachten auch für Spiele mit vollständiger Information relevant, sobald sie unvollkommene Information, d. h. Informationsmengen enthalten. Dass wir sie erst an dieser Stelle behandeln, liegt an der wichtigen Rolle, die alle Konzepte den Vermutungen in einer Informationsmenge zumessen. Wir beginnen mit einem einfachen Beispiel eines Spiels mit vollständiger Information, das auf Selten (975a zurückgeht; die hier dargestellte Version stammt von Fudenberg und Tirole (996, Figure 8., S. 3. Beispiel In diesem Spiel gibt es zwei Spielerinnen, d. h., I = {, }. Die Extensiv- und Normalform dieses Spiels sind in Abbildung 5.3 dargestellt. ( L A M B R A B A B L,, M 0, 0 0, R, 0 3, ( 0 0 ( 0 ( 0 ( 3 Abbildung 5.3.: Seltens Beispiel für Schwächen des Konzepts der Teilspielperfektheit. Das Spiel besitzt zwei Nash Gleichgewichte in reinen Strategien, nämlich (L, A und (R,B. Da es keine echten Teilspiele gibt, d. h. das einzige Teilspiel aus dem gesamten Spiel besteht, sind beide Nash Gleichgewichte teilspielperfekt. Allerdings beruht das Nash Gleichgewicht (L, A auf einer unglaubwürdigen Drohung: Wenn Spielerin am Zug ist, dominiert die Aktion B die Aktion A strikt. Daher sollte Spielerin diese Drohung nicht ernst nehmen. Das Beispiel zeigt, dass es mit der formalen Definition der Teilspielperfektheit noch nicht gelungen ist, Nash Gleichgewichte zu eliminieren, die durch unglaubwürdige Drohungen gestützt werden und daher unplausibel erscheinen. In den Konzepten, die wir in diesem Anschnitt diskutieren, geht es darum, genau dies zu erreichen. Universität des Saarlandes

17 33 Spieltheorie Sommersemester Trembling Hand Perfektheit Das erste dieser Konzepte, das perfekte Nash Gleichgewicht [perfect Nash equilibrium], das wir bereits in Abschnitt.4.3 erwähnt haben, stammt von Selten (975a. Zur besseren Unterscheidung vom teilspielperfekten Nash Gleichgewicht wird diese Verfeinerung oft auch als trembling hand perfektes Nash Gleichgewicht [trembling hand perfect Nash equilibrium] bezeichnet. 4 Der Name deutet bereits auf die Idee hin, die hinter dem Konzept steht und die Selten (975a, Fußote Harsanyi zuschreibt: Eine Nash Gleichgewichtsstrategie ist eine beste Antwort auf die Nash Gleichgewichtsstrategien der anderen Spielerinnen. Im perfekten Gleichgewicht wird die Frage gestellt, ob sie dies auch dann noch ist, wenn die Möglichkeit in Betracht gezogen wird, dass die Mitspielerinnen kleine Fehler begehen, indem sie mit zittriger Hand aus Versehen andere als ihre Gleichgewichtsstrategien spielen. Man sieht schnell, dass im Spiel des Beispiels 4 die Strategie A zwar eine beste Antwort von Spielerin auf die reine Strategie L von Spielerin ist, Spielerin aber nicht mehr A spielen würde, sobald die geringste Wahrscheinlichkeit dafür besteht dass Spielerin eine ihrer anderen reinen Strategien spielt. Formal wird die Idee der Trembles in folgende Definition gefasst (vgl. Fudenberg und Tirole, 996, Definition 8.5B, die äquivalent zu der anders gearteten Definition in Selten (975a ist (vgl. Fudenberg und Tirole, 996, Theorem 8.4. Definition 5.7 (perfektes Nash Gleichgewicht Sei Γ ein Spiel in Normalform. Eine Strategiekombination σ Σ ist ein perfektes Nash Gleichgewicht [perfect Nash equilibrium] des Spiels Γ genau dann, wenn es eine Folge σ n σ vollständig gemischter Strategiekombinationen gibt derart, dass für alle Spielerinnen i I und alle n N ( ( π i σ i,σ i n πi si,σ i n für alle s i S i. Um eine sinnvolle Definition perfekter Nash Gleichgewichte für Extensivformspielen zu erhalten, die insbesondere sicher stellt, dass jedes perfekte Nash Gleichgewicht teilspielperfekt ist, reicht es nicht aus, Perfektion in der zugehörigen (reduzierten Normalform des Extensivformspiels zu fordern. Der richtige Ansatz besteht darin, Perfektheit des Nash Gleichgewichts in der Agentennormalform [agent normal form] zu verlangen. In der Agentennormalform wird jeder Informationsmenge eine künstliche Spielerin zugeordnet, die als Agentin der dieser Informationsmenge zugeordneten Spielerin agiert. Die Strategiemenge einer solchen Agentin sind die in der Informationsmenge verfügbaren Aktionen, ihre Auszahlungen entsprechen denen der ursprünglichen Spielerin. Genauer: Jeder Strategiekombination τ in der Agentennormalform entspricht eine Kombination 4 Das Bedürfnis einer klaren Unterscheidung zur Teilspielperfektheit rührte insbesondere daher, dass Selten (965 bei Einführung der Teilspielperfektheit teilspielperfekte Nash Gleichgewichte als perfekt bezeichnet hatte und diese Bezeichnung auch noch später verwendete (Selten, 975b. Erst in Selten (975a wird die heute übliche Definition des perfekten Nash Gleichgewichts gegeben und gleichzeitig für die ursprüngliche Definition die Bezeichnung teilspielperfektes Nash Gleichgewicht vorgeschlagen. Jörg Naeve

18 5. Spiele mit unvollständiger Information 34 σ von Verhaltensstrategien im Extensivformspiel, dementsprechend erhält jede Agentin der Spielerin i in der Agentennormalform bei der Strategiekombination τ die Auszahlung die Spielerin i im Extensivformspiel bei der Verhaltensstrategiekombination σ bekommt Perfektes Bayesianisches Nash Gleichgewicht Das perfekte Bayesianisches Nash Gleichgewicht wie auch das sequentielle Gleichgewicht (Kreps und Wilson, 98b, das wir im folgenden Abschnitt betrachten, betonen die Bedeutung der Vermutungen einer Spielerin. Beide postulieren die folgenden beiden Anforderungen an rationales Verhalten der Spielerinnen. Anforderung In jeder Informationsmenge muss die Spielerin, die dort am Zug ist, eine Vermutung [belief] darüber haben, welcher Knoten in dieser Informationsmenge erreicht wurde. Eine Vermutung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die in der Informationsmenge enthaltenen Knoten. Für einelementige Informationsmengen erhält der entsprechende Knoten die Wahrscheinlichkeit. Anforderung Gegeben die Vermutungen, müssen die Strategien der Spielerinnen sequentiell rational sein; d. h., in jeder Informationsmenge muss die Fortsetzungsstrategie die die Spielerin wählt, die am Zug ist, optimal sein, gegeben die Vermutung der Spielerin in dieser Informationsmenge und gegeben die Fortsetzungsstrategien der anderen Spielerinnen. Eine Fortsetzungsstrategie ist eine Strategie für alle nach dem Erreichen der Informationsmenge verbleibenden Eventualitäten. Gemeinsam wirken diese beiden Anforderungen in gewissem Sinne, als beginne in jeder Informationsmenge ein neues Teilspiel. Wir machen uns dies an dem Spiel aus Beispiel 4 klar. In diesem Spiel gibt es nur eine Informationsmenge, nämlich diejenige der Spielerin. Anforderung besagt, dass Spielerin, dort eine Vermutung haben muss, in welchem Knoten sie sich befindet, falls die Informationsmenge erreicht wird, m. a. W., welche der beiden Aktionen M und R Spielerin gewählt hat. Bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeit, die Spielerin darauf legt, dass M gewählt hat mit p. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, die sie auf die Aktion R legt p. Gegeben die Vermutung der Spielerin, ist ihre erwartete Auszahlung bei Wahl der Strategie A p 0 + ( p 0 = 0 und bei Wahl der Strategie B p + ( p =. Unabhängig von p führt also die Strategie B zu einer höheren Auszahlung nach erreichen der Informationsmenge als die Strategie A. Damit schließt Anforderung aus, dass Spielerin die Strategie A wählt. Schon durch diese beiden Anforderungen ist also das unplausible Nash Gleichgewicht (L,A des Spiels ausgeschlossen. Universität des Saarlandes

19 35 Spieltheorie Sommersemester 007 In unserem Beispiel gewinnen die beiden Anforderungen deshalb an Aussagekraft, weil Spielerin bedingt auf das Erreichen ihrer Informationsmenge über eine strikt dominante Strategie verfügt, so dass für jede Vermutung klar ist, was sie tun wird. Generell hängt die optimale Strategie in einer Informationsmenge sehr wohl von den Vermutungen dort ab. Im allgemeinen reichen diese beiden Anforderungen allein noch nicht aus, um unplausible Nash Gleichgewicht zu eliminieren. Sie verlangen zwar, dass die Spielerinnen Vermutungen haben und, gegeben diese Vermutungen, rational handeln. Allerdings werden keine Annahmen darüber getroffen, ob diese Vermutungen vernünftig oder sinnvoll sind. Auch was damit gemeint ist, dass eine Vermutung plausibel ist, kann man sich an obigem Beispiel überlegen. Angenommen, Spielerin erfährt, dass sie am Zug ist. Spielerin hat also vorher entweder M oder R gespielt. Gegeben, dass sie weiß, dass Spielerin rational ist, kann Spielerin sich überlegen, welche dieser beiden Aktionen eher wählen würde. Spielt die Strategie M, so erhält sie die Auszahlung 0, egal ob Spielerin die Strategie A oder B wählt. Spielt hingegen R, so erhält sie bei A eine Auszahlung von, bei B eine Auszahlung von 3. Somit ist also M durch R strikt dominiert (dies erkennt man auch direkt in der Normalform der Abbildung 5.3 und Spielerin sollte in der Informationsmenge vermuten, dass die Aktion R gewählt hat. Auch hier ist diese Idee in unserem Beispiel einfacher zu fassen als allgemein, da eine der beiden Strategien, die in die Informationsmenge führen strikt dominiert ist. In den Anforderungen, die daran gestellt werden, wie die Spielerinnen ihre Vermutungen bilden, liegen die Unterschiede zwischen dem perfekten Bayesianisches Nash Gleichgewicht und dem sequentiellen Gleichgewicht. Im perfekten Bayesianisches Nash Gleichgewicht, dessen Grundideen schon in früherer Literatur erkennbar sind, dessen erste formale Anwendungen sich aber in Milgrom und Roberts (98a und kurz darauf in Kreps und Wilson (98a und Milgrom und Roberts (98b finden, werden Einschränkungen nur für Informationsmengen auf dem Gleichgewichtspfad getroffen, während im sequentiellen Gleichgewicht die zulässigen Vermutungen auch in Informationsmengen außerhalb des Gleichgewichtspfades eingeschränkt werden. Dabei liegt für ein gegebenes Gleichgewicht im Extensivformspiel eine Informationsmenge auf dem Gleichgewichtspfad, wenn sie mit positiver Wahrscheinlichkeit erreicht wird, wenn das Spiel entsprechend der Gleichgewichtsstrategien gespielt wird. Andernfalls liegt sie außerhalb des Gleichgewichtspfades. Die grundlegende Idee entspricht genau dem, was wir bereits in Abschnitt 5. über die Vermutungen gesagt haben, die eine Spielerin in mediis ausgehend von der a priori Verteilung durch Bayesianisches Aktualisieren unter Berücksichtigung ihrer Informationen bildet. In diesem Fall benutzt sie nur das, was sie über den Anfangszug der Natur weiß. In den beiden hier diskutierten Gleichgewichtskonzepten, geht es darum, zu untersuchen, ob die Vermutungen einer Spielerin in einer Informationsmenge mit den Strategien aller Spielerinnen (einschließlich der Natur, wenn diese im Spiel auftaucht konsistent sind in dem Sinne, dass sie sich durch Bayesianisches Lernen erklären lassen. Jörg Naeve

20 5. Spiele mit unvollständiger Information 36 Im perfekten Bayesianisches Nash Gleichgewicht wird dies wie erwähnt zunächst nur auf dem Gleichgewichtspfad gefordert. Anforderung 3 In sämtlichen Informationsmengen auf dem Gleichgewichtspfad werden die Vermutungen durch Bayesianisches Updating abhängig von den Gleichgewichtsstrategien gebildet. Durch die Anforderungen 3 wird die Idee des perfekten Bayesianisches Nash Gleichgewichts erfasst. Der zentrale Unterschied zum Bayesianisches Nash Gleichgewicht besteht darin, dass wir durch die Existenz der Vermutungen bei einem Spiel in Extensivform mit unvollkommener Information auch in mehrelementigen Informationsmengen wissen, was sequentielle Rationalität bedeutet. Dadurch, dass die Vermutungen auf dem Gleichgewichtspfad zudem mit den Gleichgewichtsstrategien konsistent sind, werden Widersprüche vermieden. Allerdings können nach Anforderung 3 alle Vermutungen außerhalb des Gleichgewichtspfades beliebig sein. Für viele Anwendungen reicht dies zwar aus, um aber ein Bayesianisches Nash Gleichgewicht vollständig zu charakterisieren stellen wir noch eine weitere Anforderung. Anforderung 4 In allen Informationsmengen (auch denen außerhalb des Gleichgewichtspfades werden die Vermutungen durch Bayesianisches Updating abhängig von den Gleichgewichtsstrategien gebildet, so weit dies möglich ist. Zwar wird eine Informationsmenge außerhalb des Gleichgewichtspfades gemäß der Gleichgewichtsstrategien nicht erreicht, aber durch die Gleichgewichtsstrategien können sich dennoch Einschränkungen für die Vermutungen ergeben (vgl. die Diskussion der zweiten Strategiekombination in Beispiel 5. Definition 5.8 (perfektes Bayesianisches Nash Gleichgewicht Ein perfektes Bayesianisches Nash Gleichgewicht [perfect Bayesian Nash equilibrium] besteht aus Strategien und Vermutungen, die die Anforderungen 4 erfüllen. Im Spiel aus Beispiel 4 gibt es ein eindeutiges perfektes Bayesianisches Nash Gleichgewicht, das aus der Strategiekombination (R,B und der Vermutung der Spielerin von p = 0 (p war die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Spielerin die Strategie M gespielt hat gegeben ist. Beispiel Das in Abbildung 5.4 dargestellte Spiel hat nur ein echtes Teilspiel, das bei der Informationsmenge von Spielerin beginnt. Das einzige Nash Gleichgewicht dieses Teilspiels mit den Spielerinnen und 3 ist (L,R. Daher ist das einzige teilspielperfekte Gleichgewicht in diesem Spiel (D,L,R. Diese Strategien, zusammen mit der Vermutung p = (wenn p die Wahrscheinlichkeit für den Knoten ist, der auf die Aktion L der Spielerin folgt Spielerin 3, erfüllen die Anforderungen 3. Anforderung 4 ist trivialerweise erfüllt, denn es gibt keine Informationsmenge außerhalb des Gleichgewichtspfades. Das Gleichgewicht ist also ein perfektes Bayesianisches Nash Gleichgewicht. Universität des Saarlandes