1. Was sind Nullsummenspiele? 2. Dominante Strategien 3. Sattelpunkt 4. Spiele ohne Sattelpunkt: Gemischte Strategien 5. Beispiele 6.

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1 Nullsummenspiele

2 1. Was sind Nullsummenspiele? 2. Dominante Strategien 3. Sattelpunkt 4. Spiele ohne Sattelpunkt: Gemischte Strategien 5. Beispiele 6. Einige Sätze

3 1. Nullsummenspiele Nullsummenspiele sind Modelle für Entscheidungssituationen mit antagonistischen Interessen der Akteure. Der Gewinn des einen ist der Verlust des anderen Spielers. Beispiele: Die meisten Gesellschaftsspiele

4 Genauer: Konstantsummenspiel Die Nutzenskala hat keinen natürlichen Nullpunkt. Sie kann linear transformiert werden (Intervallskala). Die Interessen der Akteure sind antagonistisch, wenn die Summe der Auszahlungen in jeder Zelle der Spielmatrix konstant ist. Durch Addition einer Konstanten können die Auszahlungen Immer so normiert werden, dass die Summe null ergibt.

5 Bimatrixspiel S1 S2 Z1 4, -4 3, -3 Z2 1, -1 2, -2 Weil für die Auszahlung an Spaltenspieler = Konstante minus Auszahlung an Zeilenspieler gilt, genügt es, in der Spielmatrix die Summe auf Null zu normieren und nur die Auszahlung an den Zeilenspieler anzugeben. Matrixspiel S1 S2 Z1 4 3 Z2 1 2

6 Die rationale Entscheidung? S1 S2 Z1 4, -4 3, -3 Z2 1, -1 2, -2 S1 S2 Z1 4 3 Z2 1 2

7 2. Nullsummensiele mit dominanter Strategie (für Zeile) S1 S2 Z1 4, -4 3, -3 Z2 1, -1 2, -2 S1 S2 Z1 4 3 Z2 1 2 Der Zeilenspieler wählt Z1, der Spaltenspieler wählt S2, Die Auszahlung ist u(z1,s2) = (3,-3)

8 Und hier? S1 S2 Z1 2 3 Z2 1 4

9 Dominante Strategie für Spalte S1 S2 Z1 2 3 Z2 1 4 Spalte wählt S1. Zeile muss entsprechend Z1 wählen.

10 3. Sattelpunkt S1 S2 S3 Z Z Z Dominante Strategie?

11 S1 S2 S3 Z Z Z Zeile und Spalte haben beide keine dominante Strategie.

12 S1 S2 S3 Z Z Z Zeile und Spalte haben beide keine dominante Strategie. Aber es gibt einen Sattelpunkt: Minimum in der Zeile, Maximum in der Spalte ( Minimax ). Zeile wählt Z2, Spalte wählt S2

13 Weshalb Sattelpunkt?

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15 Sattelpunkt-Theorem Minimum in der Zeile, Maximum in der Spalte

16 Dominante Strategie (für Zeile) S1 S2 Z1 4 3 Z2 1 2 Der Zeilenspieler wählt Z1, der Spaltenspieler wählt S2, Die Auszahlung ist u(z1,s2) = (3,-3) Auch hier ist das Resultat wechselseitig rationaler Wahl ein Sattelpunkt. Bei einer dominanten Strategie existiert immer ein Sattelpunkt (das Umgekehrte gilt allerdings nicht). Und: Ein Sattelpunkt ist ein Nash-Gleichgewicht.

17 Problem multipler Gleichgewichte? 3, 3 2, 4 4, 2 1, 1 Bei Nicht-Nullsummenspielen, hier z.b. Chicken

18 S1 S2 S3 S4 Z Z Z Z Z Was ist hier los?

19 S1 S2 S3 S4 Z Z Z Z Z Z2 und Z3 und S2 und S4 sind Sattelpunktstrategien Alle Kombinationen dieser Strategien ergeben einen Sattelpunkt (vergleiche dagegen Chicken!) Alle Sattelpunkte haben den gleichen Wert.

20 Sattelpunktstrategien sind austauschbar (d.h. jede Kombination der Strategien ergibt einen Sattelpunkt). Alle Sattelpunkte haben den gleichen Wert.

21 Die Schlacht in der Bismarcksee im Süd-Pazifik 1943 General Imamura (Japan) hatte Befehl, Truppen durch die Bismarcksee nach Neuguinea zu transportieren. General Kenneys (USA) Ziel war es, die Schiffe durch Bombardierung aus der Luft zu zerstören. Es gibt zwei Routen durch die Bismarcksee nach Neuguinea: Eine kürzere Nordroute und eine längere Südroute. Dirigieren Imamura die Schiffe und Kenney die Bomber zu verschiedenen Routen, können die Flugzeuge nur mit Verzögerung zur anderen Route wechseln. Die Bombardierung ist weniger wirkungsvoll.

22 Bismarcksee

23 Die Schlacht in der Bismarcksee im Süd-Pazifik 1943 Imamura Kenney Nord Süd Nord 2 2 Süd 1 3 Nach Rasmussen (2005)

24 Die Schlacht in der Bismarcksee im Süd-Pazifik 1943 Imamura Kenney Nord Süd Nord 2 2 Süd 1 3 Nach Rasmussen (2005) Imamura hat eine schwach dominante Strategie.

25 Die Schlacht in der Bismarcksee im Süd-Pazifik 1943 Imamura Kenney Nord Süd Nord 2 2 Süd 1 3 Nach Rasmussen (2005) Nord/Nord ist das Ergebnis, das 1943 eingetreten ist Soldaten und Seeleute starben (Wikipedia).

26 Wikipedia Commons

27 4. Ist hier ein Sattelpunkt? S1 S2 Z1 2 3 Z2 4 1

28 4. S1 S2 Z1 2 3 Z2 4 1 Weder dominante Strategie noch Sattelpunkt. Was nun?

29 4. S1 S2 Z1 2 3 Z2 4 1 Weder dominante Strategie noch Sattelpunkt. Was nun? Gemischte Strategie z = (p 1, p 2 ) = (p 1, 1-p 1 ) s = (q 1, q 2 ) = (q 1, 1-q 1 )

30 S1 S2 Z1 2 3 Z2 4 1 Gemischte Strategie Zeile: z = (p 1, p 2 ) Gemischte Strategie Spalte: s = (q 1, q 2 ). Erwartungswert der Auszahlung: E = 2p 1 q 1 +3p 1 q 2 +4 p 2 q 1 +1p 2 q 2 wobei Spalte -E erhält.

31 Rationale Wahl gemischter Strategien? Welche Strategie werden rationale Spieler wählen? Die Lösung z*, s* hat folgende Eigenschaft: Wenn beide Spieler z*, s* wählen, hat keiner der beiden Spieler einen Anreiz, einseitig auf eine andere Strategie umzusteigen. p 1 und q 1 wird so gewählt, dass dieses Kriterium erfüllt wird. Zeile wählt p 1 * so, dass Spalte indifferent ist zwischen S1 und S2. Spalte wählt q 1 * so, dass Zeile indifferent ist zwischen Z1 und Z2. Zeile: 2p 1 +4(1-p 1 ) = 3p 1 +1(1-p 1 ) Spalte: 2q 1 +3(1-q 1 ) = 4q 1 +1(1-q 1 ) Lösung: p 1 * = 0,75, q 1 * = 0,50. S1 S2 Z1 2 3 Z2 4 1 oder: z* = (0,75; 0,25), s* = (0,50; 0,50).

32 Voraussetzung: Die Zahlen in der Matrix sind nicht Ränge, sondern kardinale Nutzenmessungen Erwartungswert: E = 2p 1 q 1 +3p 1 q 2 +4 p 2 q 1 +1p 2 q 2 E = 2 0,75 0, ,75 0, ,25 0,50 + 0,25 0,50 = 2,5 Das Gleichgewicht ist nicht strikt. Wenn ein Spieler einseitig abweicht, gewinnt er nicht, aber er verliert auch nicht.

33 Matching Pennies Spieler 2 Wappen Rechts Wappen 1-1 Spieler 1 Kopf -1 1

34 Matching Pennies Spieler 2 Wappen Rechts Wappen 1-1 Spieler 1 Kopf -1 1 Spieler 1 (Zeile): 1 p 1 + (-1) p 2 = (-1) p p 2 mit p 1 = 1 p 2 p 1 = p 2 = ½. Entsprechend für Spieler 2.

35 Torwart und Elfmeterschütze: Links oder rechts? (siehe Vorlesung 1) Elfmeterschütze Links Rechts Links 1-1 Torwart Rechts -1 1

36 Der unberechenbare Torwart beim Elfmeter Optimale Strategie: Den Ball in die rechte oder in die linke Ecke schiessen, Torwart nach links oder rechts mit jeweils p = 0,5. Gleiches für matching pennies.

37 Elfmeter in der dt. Bundesliga Daten auf aggregierter Ebene konsistent Mit spieltheoretischer Rationalität. Aber Auf individueller Ebene? Elfmeterschütze Links Rechts Links 202 (23%) 220 (25%) Torwart Rechts 225 (26%) 231 (26%) 878 Elfmeter aus der Spielsaison 92/93 bis 03/04. Nach Berger und Hammer (2007).

38 Schweiz gegen Ukraine 2006

39 Tennis Serve-and-Return Play Receiver Vorhand Rückhand Server Vorhand -1 1 Rückhand 1-1

40 Tennis Serve-and-Return Play Vorhand Receiver Rückhand Server Vorhand 1-1 Rückhand -1 1 Walker, M. and Wooders, John, Minimax Play at Wimbledon. American Economic Review 91: Analyse von 40 Spielsituationen. Profi-Spieler verwenden näherungsweise gemischte Strategien. Allerdings wird häufiger alterniert als bei einem Münzwurf. Fiktives Beispiel: VRVVRVRVRRVRV Die Abweichung ist aber gering und kann vom Gegner nicht ausgenutzt werden. (Dixit, A. und Skeath, S., Games of Strategy. 2. Aufl. New York: Norton.)

41 D-Day Juni 1944 Nazi-Deutschland Calais Normandie Allierte Calais -1 1 Normandie 1-1 Einmaliges Spiel : Münze werfen? Täuschung? Kann Täuschung überhaupt erfolgreich sein?

42 D-Day Juni 1944 Nazi-Deutschland Calais Normandie Allierte Calais -1 1 Normandie 1-1 Falsche Signale an den Gegner: Doppelagent wird den Deutschen als solcher angepriesen. Gibt er Information A, tritt nicht-a ein. So glauben die Deutschen, er sei ein Doppelagent der Briten. Nach dieser Phase gibt der Agent die Nachricht weiter: Die Invasion wird in der Normandie erfolgen. (Dixit, A. und Nalebuff, B., Thinking Strategically. New York: Norton; Andrew, C., Her Majesty s Secret Service. New York: Penguin.)

43 Allgemein für 2x2-Nullsummenspiele S1 (q) S2 (1-q) Z1 (p) a b Z2 (1-p) c d Methode 1: Ableitung nach Indifferenztheorem p* = (d-c)/((a+d)-(b+c)) q* = (d-b)/((a+d)-(b+c)

44 Allgemein für 2x2-Nullsummenspiele S1 (q) S2 (1-q) p* = (d-c)/((a+d)-(b+c)) Z1 (p) a b q* = (d-b)/((a+d)-(b+c) Z2 (1-p) c d Methode 2: Ableitung mittels Erwartungswert E: (E Z ist Erwartungswert Zeile, E S ist Erwartungswert Spalte) E Z = pqa + p(1-q)b + (1-p)qc + (1-p)(1-q)d de Z /dp = 0 q* E S = -E Z de S /dq = 0 p*

45 Stein Schere Papier Stein Schere Papier 1-1 0

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47 Stein Schere Papier Stein Schere Papier Rock-Strategie : Payoff = -1

48 Stein Schere Papier Stein Schere Papier Gemischte Strategie: (1/3, 1/3, 1/3) Erwartungswert: 0

49 The Final Problem : Sherlock Holmes und Professor Moriarty

50 Canterbury Dover Canterbury Dover Holmes Strategie: z* = (0,53; 0,47). Moriartys Strategie: s* = (0,47; 0,53). Das Beispiel (mit anderen Zahlen) ist von Oskar Morgenstern (1928). John von Neumann und Oskar Morgenstern, 1944: Theory of Games and Economic Behavior. Princeton, Princeton University Press:

51 C (q) D (1-q) C 3, 3 2, 4 (p) D (1-p) 4, 2 1, 1 3p + 2(1-p) = 4p + 1(1-p) 3q + 2(1-q) = 4q + 1(1-q) Gemischte Strategien im Chickenspiel. Das dritte Gleichgewicht Achtung: Dies ist kein Nullsummenspiel. Zeiles Berechnung muss die Auszahlungen von Spalte in seiner Indifferenzgleichung aufführen. Deshalb 3 und 2 sowie 4 und 1, denn Spaltes Auszahlungen sind nun nicht mehr (-1) mal Zeile. Gleiches gilt für Spalte. p* = 0,5; q* = 0,5 und E* = 0,25 ( ) = 2,5 Symmetrisch, aber nicht Pareto-optimal. Frage: Rationalität im Chickenspiel?

52 Tic-Tac-Toe O X Anzahl der Strategien beim ersten Zug des zweiten Spielers? Hat das Spiel einensattelpunkt?

53 Einige Theoreme 1. Zermelo (1913) Jedes Nullsummenspiel mit endlicher Anzahl von Strategien und perfekter Information hat mindestens einen Sattelpunkt. (Zermelo, E., 1913: Über eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels. In: Proceedings of the Fifth International Congress of Mathematicians.) z.b. Schach, Mühle, Dame, Tic-tac-toe etc.

54 2. John von Neumann (1928) Minimax-Theorem. Jedes Nullsummenspiel mit endlicher Anzahl Strategien hat ein Gleichgewicht in reinen oder gemischten Strategien (John von Neumann, 1928: Theorie der Gesellschaftsspiele) Anmerkung: Ein Nullsummenspiel mit einem Sattelpunkt ist ein Spezialfall mit einer reinen Gleichgewichtsstrategie. Eine reine Strategie ist ein Spezialfall einer gemischten Strategie mit p = 1.

55 3. John F. Nash (1950, 1951) Jedes endliche Spiel (= Spiel mit endlicher Zahl von Spielern und endlicher Anzahl von Strategien) hat mindestens ein Gleichgewicht in reinen oder gemischten Strategien. Nash, John F. (1950): Equilibrium points in n-person games. Proceedings of the National Academy of Sciences, USA, 36: Nash, John F. (1951): Non-cooperative games. Annals of Mathematics 54: Beweisskizze in Luce, R. D. und Raiffa, H., Games and Decisions. New York: Wiley. Originaltexte Zermelo, von Neumann und Nash zum Download hier:

56 Nullsummenspiel (bzw. Konstantsummenspiel) Sattelpunkt, Eindeutigkeit der Lösung Nullsummenspiele ohne Sattelpunkt Gemischte Strategie Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien Berechnung des Nash-Gleichgewichts in gemischten Strategien Theorem von Zermelo Minimax-Theorem von John von Neumann Theorem von Nash Beispiele: Matching Pennies u.a.

57 Historisches & Biographisches zur Spieltheorie: Poundstone, William, 1992: Prisoner's Dilemma. John von Neumann, Game Theory, and the Puzzle of the Bomb. New York: Doubleday. In einer Grafik auf S. 64 in von Neumann und Morgenstern (1947) findet man einen Elefanten. Warum versteckt sich das Tier in der Abbildung? Die Antwort findet man im Nachwort von Oskar Morgenstern zur Neuauflage der Theory of Games and Economic Behavior. Warum erfand John von Neuman die Spieltheorie?

58 Warum hat John von Neumann die Spieltheorie entwickelt?

59 Warum hat John von Neumann die Spieltheorie entwickelt? 1. Er war begeisterter Poker-Spieler und wollte Poker auf eine rationale Grundlage stellen.

60 Warum hat John von Neumann die Spieltheorie entwickelt? 1. Er war begeisterter Poker-Spieler und wollte Poker auf eine rationale Grundlage stellen. 2. Er wollte Kontroversen mit seiner Frau rational lösen.

61 Warum hat John von Neumann die Spieltheorie entwickelt? 1. Er war begeisterter Poker-Spieler und wollte Poker auf eine rationale Grundlage stellen. 2. Er wollte Kontroversen mit seiner Frau rational lösen. 3. Frau von Neumann soll gesagt haben, sie interessiere sich nur für Spieltheorie, wenn darin ein Elefant vorkäme.

62 John von Neumann und Oskar Morgenstern, 1947: Theory of Games and Economic Behavior. Princeton, Princeton University Press: 64 (2. Aufl.)

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