Kapitel 6: Glaubwürdigkeit und Sequentielle Rationalität. Literatur: Tadelis Chapters 7 und 8

Transkript

1 Kapitel 6: Glaubwürdigkeit und Sequentielle Ratinalität Literatur: Tadelis Chapters 7 und 8

2 Nrmalrm und Extensive Frm Ein Spiel mit simultanen Zügen der Spieler kann swhl in Nrmalrm (als Matrix), als auch in extensiver Frm (als Spielbaum) dargestellt werden: Spieler Spieler O,, F,, O F /

3 Interessanterweise kann auch ein Spiel mit sequentiellen Zügen (und perekten Inrmatinen) der Spieler swhl in extensiver Frm (als Spielbaum), als auch in Nrmalrm (als Matrix) dargestellt werden: O F Spieler Spieler O,,,, F,,,,

4 Kapitel 6.: Nash Gleichgewicht und Spielpade

5 Nash Gleichgewicht Man kann das Knzept des Nash Gleichgewichts auch au sequentielle Spiele anwenden Die Anwendung ist am einachsten, wenn sequentielle Spiele in Matrixrm dargestellt sind 5/

6 Beispiel Spieler Spieler O,,,, F,,,, Die Nash Gleichgewichte in reinen Strategien sind (O, ), (O, ) und (F,) Die Nash Gleichgewichte (O,), (O,) ühren beide zum selben Ergebnis: die Spieler gehen in die Oper Die tatsächlich gespielten Aktinen sind bei beiden Gleichgewichten als identisch Aber in einer Inrmatinsmenge, welche nicht im Gleichgewicht erreicht wird, unterscheiden sich die beiden Gleichgewichte 6/

7 Au und abseits des Gleichgewichtspades Inrmatinsmengen welche im Nash Gleichgewicht mit psitiver Wahrscheinlichkeit erreicht werden sind au dem Gleichgewichtspad Inrmatinsmengen welche im Nash Gleichgewicht niemals erreicht werden sind abseits des Gleichgewichtspades 7/

8 Prblem Das Nash Gleichgewichtsknzept verlangt, dass sich Spieler ratinal au dem Gleichgewichtspad verhalten, gegeben ihre belies Aber das Nash Gleichgewichtsknzept erlegt keine Restriktinen au, was die belies abseits des Gleichgewichtspades anbelangt 8/

9 Knkret kann man dieses Prblem am vrangegangenen Beispiel erkennen: Im Nash Gleichgewicht (F,) drht Spieler dem Spieler an zu spielen, alls dieser O spielt Dies ist eine Drhung abseits des Gleichgewichtspades Sern Spieler ratinal ist, ist diese Drhung nicht glaubhat Es handelt sich um eine sgenannte leere Drhung Auch das Nash Gleichgewicht (O,) weist dieses Prblem au O F

10 Kapitel 6.: Sequentielle Ratinalität und Rückwärtsinduktin

11 Sequentielle Ratinalität Um das vrangegangene Prblem zu beseitigen verlangen wir, dass die Strategien der Spieler im Gleichgewicht in jeder Inrmatinsmenge ratinal sind Die Spieler verhalten sich dann stets ratinal, swhl au als auch abseits des Gleichgewichtspades Deinitin Die Strategie σ i ist sequentiell ratinal alls σ i eine beste Antwrt au σ i S i in jeder Inrmatinsmenge ist. /

12 Sequentieller Kamp der Geschlechter Was macht Spieler? Wenn Spieler O spielt, dann ist die beste Antwrt vn Spieler zu spielen Wenn Spieler F spielt, dann ist die beste Antwrt vn Spieler zu spielen O F /

13 Was macht Spieler? Spieler weiß, dass Spieler sequentiell ratinal ist Wenn er O spielt, wird Spieler spielen und die Auszahlungen sind (,) O F Wenn er F spielt, wird Spieler spielen und die Auszahlungen sind (,) Die beste Antwrt vn Spieler ist daher O zu spielen

14 Sequentiell ratinale Nash Gleichgewichte Das Nash Gleichgewicht (O,) ist sequentiell ratinal O F Die Nash Gleichgewichte (F,) und (O,) sind nicht sequentiell ratinal

15 Rückwärtsinduktin Die Methde, zuerst die Knten zu betrachten, welche direkt den Endknten vrangehen und dann weiter rückwärts zu gehen wird Rückwärtsinduktin genannt Durch Rückwärtsinduktin erhalten wir die sequentiell ratinalen Strategien der Spieler Diese bilden dann ein sequentiell ratinales Nash Gleichgewicht 5/

16 Frage 6. Kann es auch mehrere sequentiell ratinale Nash Gleichgewichte in einem Spiele geben? Antwrt: 6/

17 Ergebnisse Prpsitin In jedem endlichen Spiel mit perekten Inrmatinen gibt es eine Lösung durch Rückwärtsinduktin die sequentiell ratinal ist. Wenn es keine Endknten gibt, welche ür irgendeinen Spieler zu gleichen Auszahlungen ühren, dann gibt es nur eine Lösung durch Rückwärtsinduktin. Daraus lgt unmittelbar das lgende Ergebnis Crllary In jedem endlichen Spiel mit perekten Inrmatinen gibt es mindestens ein sequentiell ratinales Nash Gleichgewicht in reinen Strategien. Wenn es keine Endknten gibt, welche ür irgendeinen Spieler zu gleichen Auszahlungen ühren, dann gibt es nur ein sequentiell ratinales Nash Gleichgewicht. 7/

18 Beweis erster Teil der Prpsitin Wir angen mit der Kntenebene berhalb der Endknten an und bestimmen bei jedem Knten die beste(n) Antwrt(en) Bei jedem Knten gibt es mindestens eine beste Antwrt Wir setzen diesen Przess bei der nächsthöheren Kntenebene rt... Es gibt nun mindestens einen Pad, welcher vm Wurzelknten zu einem Endknten ührt D.h. es gibt mindestens eine Lösung durch Rückwärtsinduktin 8/

19 Beweis zweiter Teil der Prpsitin Wir angen mit der Kntenebene berhalb der Endknten an und bestimmen bei jedem Knten die beste Antwrt(en) Bei jedem Knten gibt es nur eine beste Antwrt, da es keine Endknten mit gleichen Auszahlungen ür einen Spieler gibt Wir setzen diesen Przess bei der nächsthöheren Kntenebene rt... Es gibt nun genau einen Pad, welcher vm Wurzelknten zu einem Endknten ührt D.h. es gibt genau eine Lösung durch Rückwärtsinduktin 9/

20 Kapitel 6.3: Teilspielperekte Nash Gleichgewichte

21 Prbleme mit Rückwärtsinduktin In diesem Spiel entscheidet Spieler b er das Spiel Kamp der Geschlechter spielen will der nicht Falls nicht, erhalten die Spieler eine Auszahlung vn je,5 Wenn wir das Spiel per Rückwärtsinduktin lösen wllen gibt es ein Prblem Die beste Antwrt vn Spieler hängt vn seinem belie ab was Spieler spielt der gespielt hat Belies werden aber durch Rückwärtsinduktin nicht bestimmt O Y F N,5,5 Freiwilliger Kamp der Geschlechter /

22 Bei Spielen mit imperekter Inrmatin kann man die Methde der Rückwärtsinduktin als nicht anwenden Ähnliche Prbleme gibt es bei Spielen welche nicht ntwendigerweise in endlicher Zeit enden Einige durchaus interessante strategisch Situatinen enden nicht ntwendigerweise in endlicher Zeit

23 Deinitin Teilspiel Wir können das Knzept der sequentiellen Ratinalität auch in Spielen mit imperekten Inrmatinen anwenden, wenn wir Spiele in Teilspiele zerlegen Deinitin Ein Teilspiel G eines Spiels in extensiver Frm Γ besteht aus einem einzelnen Knten und allen nachlgenden Knten mit der Eigenschat, dass wenn ein Knten x Element des Teilspiels G ist, x G, auch Knten in der selben Inrmatinsmenge Elemente des Teilspiels sind, x h(x) x G. Das Teilspiel G besteht selbst aus einem Spielbaum dessen Inrmatinsmengen und Auszahlungen vm Spiel Γ abstammen. 3/

24 Beispiel Wir zerlegen lgendes Spiel in seine Teilspiele: Y N O F,5,5 4/

25 Die vier Teilspiele sind: F O F O N Y,5,5

26 Weiteres Beispiel Wir zerlegen den reiwilligen Kamp der Geschlechter in seine Teilspiele: Y N O F,5,5 6/

27 Die zwei Teilspiele sind: Y N O F O F,5,5

28 Dies sind keine Teilspiele Die beren Knten gehören zur selben Inrmatinsmenge und gehören damit zum selben Teilspiel Und jedes Teilspiel muss mit einem Knten beginnen, nicht mit zwei

29 Frage 6. Wieviele Teilspiele hat lgendes Spiel? Natur N A K,5,5 N Y Y C F C F Antwrt: 9/

30 Teilspielperektes Nash Gleichgewicht Deinitin 3 Gegeben ein Spiel in extensiver Frm Γ mit n Spielern. Ein behaviral Strategiepril σ = (σ,...,σ n) ist ein teilspielperektes Nash Gleichgewicht alls σ ein Nashgleichgewicht in jedem Teilspiel ist. Dieses Knzept wurde vm Bnner Öknmen Reinhard Selten entwickelt, wür er den Nbelpreis erhielt Nach diesem Lösungsknzept müssen die Strategien der Spieler nicht nur au dem Gleichgewichtspad gegenseitig beste Antwrten sein (vgl. Nash Gleichgewicht), sndern auch abseits des Gleichgewichtspades in allen Teilspielen 3/

31 Ergebnis Für ein teilspielperektes Nash Gleichgewicht sind die Anrderungen höher (vergleiche die beiden Deinitinen) als ür ein Nash Gleichgewicht Deshalb sind alle teilspielperekten Nash Gleichgewichte auch Nash Gleichgewichte Aber nicht alle Nash Gleichgewichte sind teilspielperekte Nash Gleichgewichte 3/

32 Beispiel: Sequentieller Kamp der Geschlechter Spieler Spieler O,,,, F,,,, Die Nash Gleichgewichte in reinen Strategien sind (O, ), (O, ) und (F,) Das einzige teilspielperekte Nash Gleichgewicht ist (O, ) 3/

33 Ergebnis Prpsitin Bei jedem endlichen Spiel mit perekten Inrmatinen stimmt die Menge der teilspielperekten Nash Gleichgewichte mit der Menge der Nashgleichgewichte überein welche den Przess der Rückwärtsinduktin überleben. Wir können daher den Przess der Rückwärtsinduktin einsetzen um bei endlichen Spielen mit perekter Inrmatin die teilspielperekten Nash Gleichgewichte zu inden 33/

34 Andere Lösungsmethden Wie indet man teilspielperekte Nash Gleichgewichte in Spielen mit imperekter Inrmatin? Methde : Man bestimmt zuerst alle Nash Gleichgewichte und schaut dann welche davn teilspielperekt sind Siehe vrletzte Flie Sequentieller Kamp der Geschlechter Methde : Man löst das Spiel per Rückwärtsinduktin über die Teilspiele Wichtig sind hier die Wörter über die Teilspiele Siehe Beispiele nächste Flien 34/

35 Freiwilliger Kamp der Geschlechter Wir bestimmen nun die teilspielperekten Nash Gleichgewichte (es gibt zwei Gleichgewichte, weshalb das Spiel zweimal abgebildet ist) Y N Y N O F,5,5 O F,5,5 Es gibt nch ein weiteres teilspielperektes Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien, siehe Augabe 8. 35/

36 Kapitel 6.4: Teilspielperekte Nash Gleichgewichte: Beispiele

37 Tausendüßlerspiel Zwei Spieler ziehen abwechselnd und können das Spiel jeweils stppen der rtahren In extensiver Frm sieht das Spiel wie lgt aus: N C n c C N n c /

38 Frage 6.3 Wie lautet das teilspielperekte Nash Gleichgewicht? Antwrt: 38/

39 Stackelbergwettbewerb Wie beim Mengen- der Curntwettbewerb wählen zwei Firmen ihre Prduktinsmengen Aber hier wählt Firma zuerst, dann erst Firma Und Firma sieht was Firma spielt Wir nehmen wieder an, dass die Ksten vn Firma i =, c(q i ) = q i sind und die inverse Nachrage p(q) = q ist 39/

40 Teilspielperektes Nash Gleichgewicht Wir haben ein Spiel mit perekten Inrmatinen Wir lösen per Rückwärtsinduktin Der Gewinn vn Firma ist v (q,q ) = ( q q )q q Da Firma nach Firma zieht nimmt sie q als gegeben hin Maximieren über q lieert die beste Antwrt Funktin vn Firma q (q ) = 9 q 4/

41 Der Gewinn vn Firma ist v (q,q ) = ( q q )q q Firma nimmt q nicht als gegeben hin, sndern weiß (cmmn knwledge der Ratinalität), dass Firma die Menge q (q ) = 9 q wählt Wir setzen ein: v (q,q (q )) = Maximieren über q lieert q = 45 Dann ist q = q (45) =,5 ( q 9 q ) q q

42 Das teilspielperekte Nash Gleichgewicht ist q = 45, q (q ) = 9 q Die Auszahlungen im Gleichgewicht sind v =,5 und v = 56,5 Vergleich zum Spiel mit simultanen Zügen: q = q = 3, v = v = 9 Interpretatin: Es gibt einen Vrteil des ersten Zuges Intutin: Firma legt sich durch den ersten Zug au eine Menge est, während Firma sich anpasst

43 Fragen 6.4 Stellen Sie den Stackelbergwettbewerb und den Curntwettbewerb in extensiver Frm dar Antwrten: 43/

44 Andrhung gegenseitiger Zerstörung 96 stand die Welt kurz vr einem nuklearen Krieg, bei welchem die Welt wahrscheinlich zum Grßteil zerstört wrden wäre Die USA (Spieler ) und die UDSSR (Spieler ) beanden sich schn länger in einem sgenannten kalten Krieg In der Kubakrise drhte der kalte Krieg heiß zu werden Die UDSSR installierten Mittelstreckenraketen au Kuba Mit deren Hile hätten Nuklearsprengköpe in kurzer Zeit die USA treen können Das lgende Spiel analysiert diese Krise 44/

45 Spielbaum E I N B R D r d r d /

46 Geschichte und Ntatin Spieler kann die Statinierung der Raketen ignrieren (I), der die Situatin eskalieren lassen (E) Wenn Spieler die Situatin eskalieren lässt, kann Spieler nachgeben und die Raketen abziehen (B) der nicht nachgeben (N) Wenn Spieler nicht nachgibt eskaliert die Situatin weiter und es kmmt zu einem Spiel mit simultanen Entscheidungen Spieler entscheidet dann zwischen Rückzug R und Dmsday D Spieler entscheidet dann zwischen Rückzug r und Dmsday d 46/

47 Lösung Wir lösen das Spiel per Rückwärtsinduktin über die Teilspiele Wir stellen das letzte Teilspiel R D r d r d in Matrixrm dar: 5 5 Spieler r d Spieler R 5, 5, D,, 47/

48 Nash Gleichgewichte im Teilspiel Im letzten Teilspiel gibt es zwei Nash Gleichgewichte in reinen Strategien Nämlich (R,r) und D,d) Die Auszahlungen sind dann ( 5, 5) und (, ) Wir müssen daher zwei verschiedene Fälle betrachten Im Fall glauben die Spieler, dass im letzten Teilspiel (R,r) gespielt wird und die Auszahlungen ( 5, 5) sind Im Fall glauben die Spieler, dass im letzten Teilspiel (D,d) gespielt wird und die Auszahlungen (, ) sind Es gibt außerdem ein Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien, welches wir hier aber nicht betrachten 48/

49 Reduzierter Spielbaum Fall E I N B /

50 Reduzierter Spielbaum Fall E I N B 5/

51 Anmerkungen Das Spiel hat daher zwei teilspielperekte Nash Gleichgewichte in reinen Strategien: (IR,Nr) (ED, Bd) Obwhl das letzte Teilspiel nicht erreicht wird (es ist in beiden Gleichgewichten abseits des Gleichgewichtspades), hat es einen wesentlichen Einluss au das Gleichgewicht 5/

52 Zusammenassung Spiele in extensiver Frm können auch in Nrmalrm dargestellt werden und umgekehrt Dynamische Spiele haben t Nash Gleichgewichte, welche nicht sequentiell ratinal sind Bei Spielen mit perekter Inrmatin indet man durch Rückwärtsinduktin die sequentiell ratinalen Nash Gleichgewichte Bei Spielen mit imperekter Inrmatin verwendet man das Knzept der teilspielperekten Nash Gleichgewichte um sequentielle Ratinalität sicherzustellen Teilspielperekte Nash Gleichgewichte kann man per Rückwärtsinduktin über die Teilspiele 5/

53 Übungsaugaben Wir behandeln lgende Übungsaugaben aus dem Buch: 7., 7.4, 7.9, 8., 8.5, 8.8, 8., 8., /