Mikroökonomik B (Bachelor) Probeklausur

Transkript

1 Mikroökonomik B (Bachelor) Probeklausur Wichtige Hinweise: Sie haben 90 Minuten Zeit, um die folgenden drei Aufgaben zu insgesamt 90 Punkten zu bearbeiten. Teilen Sie sich Ihre Zeit sorgfältig ein! Der Prüfungsbogen umfasst 14 Seiten einschliesslich dieses Deckblatts. Überprüfen Sie Ihr Exemplar auf Vollständigkeit! Benützen Sie nur die ausgeteilten Blätter für die Lösung der Aufgaben. Benützen Sie wenn nötig die Rückseiten der Blätter und vermerken Sie dies unbedingt. Entfernen Sie nicht die Heftklammer! Tragen Sie Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer auf diesem Deckblatt sowie auf jeder beschriebenen Seite ein. Lassen Sie auf jeder Seite rechts einen Rand von ca. 3cm frei. Legen Sie bitte Ihren Studentenausweis zur Kontrolle bereit. VIEL ERFOLG! (a) (b) (c) (d) (e) Σ Aufgabe 1 /30 Aufgabe 2 /5 /10 /5 /20 Aufgabe 3 /5 /7 /8 /8 /12 /40 Total /90 1

2 Aufgabe 1: Multiple-Choice- und Kurz-Fragen (30 Punkte) Geben Sie zu jeder der folgenden Fragen die korrekte Antwort. Multiple-Choice-Fragen: In jedem Fall ist nur eine Antwort korrekt! Eine korrekte Antwort gibt 3 Punkte, jede falsch oder nicht beantwortete Frage gibt 0 Punkte. Kurz-Fragen: Geben Sie eine kurze und präzise Antwort (max. 3 Sätze!). Jede korrekt beantwortete Frage gibt 3 Punkte. (a) Zinsanstieg: Anton konsumiert über zwei Perioden. Im folgenden Diagramm sind eingezeichnet: seine Budgetgerade B(r), seine Geldausstattung m, sowie sein Konsumpunkt x samt Indifferenzkurve. Konsum in Periode 2 m x B(r) Konsum in Periode 1 Nun steige der Zinssatz auf r. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? Der Zinsanstieg muss zu einer Zunahme des Konsums in Periode 2 führen. Der Zinsanstieg muss zu einer Abnahme des Konsums in Periode 2 führen. Anton muss unter r Kreditgeber sein, damit sich sein Nutzen durch den Zinsanstieg nicht verringert. Anton muss unter r Kreditnehmer sein, damit sich sein Nutzen durch den Zinsanstieg nicht verringert. 2

3 (b) Sicherheitsäquivalent: Ein VNM-Erwartungsnutzenmaximierer mit Nutzenfunktion u(w) = w +1 und einem Geldvermögen von 16 sieht sich einer Lotterie gegenüber, welche ihn mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit um 8 reicher bzw. ärmer macht. Wie hoch ist das Sicherheitsäquivalent ( certainty equivalent ) für diese Lotterie? π (c) Nachfolgend zwei Geldlotterien g und h mit jeweils zwei möglichen Ergebnissen: h 1 / 3 2 / 3 g 2 / 3 1 / / 2 0 x Für welchen Wert von x ist g ein Mean-Preserving-Spread von h? nicht möglich (also: für keinen Wert x). (d) Bertrand-Duopol: Betrachten Sie das Modell des homogenen Bertrand-Duopols (Firmen verkaufen ein homogenes Gut, welches jede Firma zu Grenzkosten c produziert). Erklären Sie, warum p 1,p 2 < c kein Nash-Gleichgewicht sein kann. 3

4 (e) Betrachten Sie folgendes Spiel: Player 1 Player 2 L M R U 1,0 1,2 0,1 D 0,3 0,1 2,0 Iterierte Elimination strikt dominierter Strategien führt in diesem Spiel zu folgender Vorhersage: (U,L) (U,M) (D,M) Der 1. FC Köln wird nächstes Jahr Meister. (f) Betrachten Sie das Meeting in New York -Spiel: Spieler 1 Spieler 2 Central Station Empire State Central Station 100, 100 0, 0 Empire State 0, 0 100, 100 Welche der folgenden Aussagen ist falsch? Das Spiel besitzt kein eindeutiges Nash-Gleichgewicht. Das Spiel besitzt ein Nash-Gleichgewicht in dem jeder Spieler (echt) mischt. Es wäre irrational, wenn Spieler 1 Central Station und Spieler 2 Empire State spielt. Das Spiel besitzt ein Nash-Gleichgewicht, in welchem beide Spieler zum Empire State gehen. 4

5 (g) Gemischte Strategien: Erläutern Sie, warum in einem Gleichgewicht in gemischten Strategien (in Spielen in strategischer Form) Spieler indifferent sein müssen zwischen allen Strategien, welche sie mit strikt positiver Wahrscheinlichkeit spielen (sie müssen es nicht beweisen geben Sie eine kurze verbale Intuition). (h) Teilspiele: Wie viele Teilspiele (inklusive dem ganzen Spiel selber) besitzt das folgende Spiel? 1 R L 2 L 2 l r l r

6 (i) Betrachten Sie folgendes Spiel in extensiver Form: Spieler 2 l Spieler 1 u r d (2,3) (1,1) (3,2) Geben Sie ein Strategienprofil an, welches ein Nash-Gleichgewicht darstellt, aber welches nicht Teilspielperfekt ist. (j) Wiederholte Spiele: Nehmen Sie an das folgende Spiel wird zwei Mal hintereinander gespielt: Spieler 1 Ä Ö Ü Spieler 2 Ä Ö Ü 3,3 4,1 0,0 1,4 2,2 0,0 0,0 0,0 1,1 Wie viele mögliche (reine) Strategien hat Spieler 1? 3 9 = = = = 729 6

7 Aufgabe 2: Entscheidung bei Unsicherheit (20 Punkte) Fußballfan Karl hat ein Vermögen von EUR und denkt darüber nach auf bzw. gegen den Abstieg des 1. FC Köln aus der 1. Bundesliga zu wetten. Ein Wettanbieter bietet ihm folgende Wetten an: Wette 1: Für 4 EUR das Stück kann er Lotterietickets kaufen, die jeweils 10 EUR auszahlen, falls der 1. FC Köln in der nächsten Saison absteigt und nichts auszahlen, falls der 1. FC Köln in der 1. Bundesliga verbleibt. Wette 2: Für 6 EUR das Stück kann er Lotterietickets kaufen, die jeweils 10 EUR auszahlen, falls der 1. FC Köln in der nächsten Saison in der 1. Bundesliga verbleibt und nichts auszahlen, falls der 1. FC Köln absteigt. Karl ist an seinem Endvermögen interessiert und bewertet ein Vermögen der Höhe w anhand der Nutzenfunktion u(w) = ln(w). Aufgrund der bewegten Geschichte des Vereins geht er davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit eines Verbleibs in der Bundesliga bei 1/2 liegt. (a) Geben Sie eine Formel für Karls erwarteten Nutzen, an sofern er x-mal die 1. Wette und y-mal die 2. Wette eingeht. (5 Punkte) 7

8 (b) Bestimmen Sie den für Karl optimalen Zusammenhang zwischen x und y. Kann es für Karl optimal sein y > 0 zu wählen? (Bemerkung: Die Bedingungen 2. Ordnung müssen nicht überprüft werden. Konkrete Werte für x und y sind nicht gefordert, lediglich deren optimaler Zusammenhang.) (10 Punkte) 8

9 (c) Nehmen Sie nun an der Wettanbieter ist risikoneutral und erwartet, wie Karl, dass der 1. FC Köln mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 absteigt. Ist es für den Wettanbieter profitabel beide Wetten anzubieten, wenn Karl sein einziger Kunde ist? Begründen Sie Ihre Antwort mit einer Rechnung und verwenden Sie Ihr Ergebnis aus (b). (5 Punkte) 9

10 Aufgabe 3: Spiele in Normalform und deren Wiederholung (40 Punkte) Betrachten Sie das folgende Spiel in Normalform: Spieler 1 T M B Spieler 2 L C R 3,1 2,1 1,4 0,0 1,3 0,1 5,0 3,1 4,4 (a) Bestimmen Sie alle Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien. (5 Punkte) (b) Finden Sie ein gemischtes Nash-Gleichgewicht, in dem Spieler 1 lediglich T und M mit positiver Wahrscheinlichkeit spielt und Spieler 2 lediglich L und C mit positiver Wahrscheinlichkeit spielt. Wie hoch sind die erwarteten Auszahlungen der beiden Spieler in diesem Gleichgewicht? (7 Punkte) 10

11 (c) Gibt es neben den in (a) und (b) gefundenen Gleichgewichten noch weitere Gleichgewichte? Begründen Sie Ihre Antwort. (Bemerkung: Die Beantwortung dieser Teilfrage ist für die Bearbeitung der Teilfrage (d) nicht notwendig.) (8 Punkte) 11

12 Betrachten Sie nun die Situation, bei der das obige Spiel zweimal hintereinander gespielt wird, einmal in Periode t = 1 und einmal in Periode t = 2. Beiden Spieler beobachten das Ergebnis des Spiels in t = 1 bevor Sie ihre Aktion im Spiel der Periode t = 2 wählen. (d) Listen Sie für beide Spieler alle möglichen Aktionen auf. Beschreiben Sie verbal, was der Begriff der Strategie für dieses Spiel bedeutet. Geben Sie beispielhaft eine Strategie für Spieler 1 an. Wie viele reine Strategien hat jeder der beiden Spieler? (8 Punkte) 12

13 (e) Eine Auszahlung von X 1 in t = 1 und X 2 und t = 2 wird von den Spielern mit X 1 +δx 2, δ (2/3,1) bewertet. Geben Sie ein teilspielperfektes Nashgleichgewicht an, in dem in t = 1 der Auszahlungsvektor (4; 4) erreicht (d.h. (B;R) gespielt) wird. Benutzen Sie Ihre Ergebnisse aus (a) und (b). (12 Punkte) 13

14 zusätzlicher Platz zur Lösung Teilaufgabe (e) 14