Mikroökonomik B (Bachelor)

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1 Bitte eintragen: atrikel-nr.: USTERLÖSUNG ikroökonomik B (Bachelor) Prüfung vom Wichtige Hinweise: Sie haben 90 inuten Zeit, um die folgenden drei Aufgaben zu insgesamt 90 Punkten zu bearbeiten. Teilen Sie sich Ihre Zeit sorgfältig ein! Der Prüfungsbogen umfasst 20 Seiten einschließlich dieses Deckblatts. Überprüfen Sie Ihr Exemplar auf Vollständigkeit! Benützen Sie nur die ausgeteilten Blätter für die Lösung der Aufgaben. Benützen Sie wenn nötig die Rückseiten der Blätter und vermerken Sie dies unbedingt. Entfernen Sie nicht die Heftklammer! Tragen Sie Ihre atrikelnummer und Ihre Platznummer auf diesem Deckblatt sowie auf jeder beschriebenen Seite ein. Lassen Sie auf jeder Seite rechts einen Rand von ca. 3cm frei. Taschenrechner sind nicht erlaubt. Legen Sie bitte Ihren Studentenausweis zur Kontrolle bereit. VIEL ERFOLG! Für Korrektur bitte frei lassen. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) Σ Aufgabe 1 /30 Aufgabe 2 /3 /5 /3 /5 /5 /6 /27 Aufgabe 3 /4 /4 /4 /5 /6 /3 /7 /33 Total /90 1

2 Aufgabe 1: ultiple-choice- und Kurz-Fragen (30 Punkte) Geben Sie zu jeder der folgenden Fragen die korrekte Antwort. ultiple-choice-fragen: In jedem Fall ist nur eine Antwort korrekt! Eine korrekte Antwort gibt 3 Punkte, jede falsch oder nicht beantwortete Frage gibt 0 Punkte. Kurz-Fragen: Geben Sie eine kurze und präzise Antwort (max. 3 Sätze!). Jede korrekt beantwortete Frage gibt 3 Punkte. (a) Zinssenkung: Ernie konsumiert über zwei Perioden. Im folgenden Diagramm sind eingezeichnet: seine Budgetgerade B(r), seine Geldausstattung m, sowie sein Konsumpunkt x samt Indifferenzkurve. Konsum in Periode 2 B(r) x m Konsum in Periode 1 Nun sinke der Zinssatz auf r < r. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? Die Zinssenkung muss zu einer Zunahme des Konsums in Periode 2 führen. Die Zinssenkung muss zu einer Abnahme des Konsums in Periode 2 führen. Ernie muss unter r Kreditgeber sein, damit sich sein Nutzen durch die Zinssenkung nicht verringert. x Ernie muss unter r Kreditnehmer sein, damit sich sein Nutzen durch die Zinssenkung nicht verringert. (b) ean-preserving Spread: Betrachten Sie die Geld-Lotterie h= ( 1 3 3, 2 3 6). Welche der folgenden Lotterien ist kein ean-preserving Spread von h? ( 16 0, 5 6 6) ( 13 1, 2 3 7) x ( 1 2 4, 1 2 6) ( 16 1, 1 2 5, 1 3 7) 2

3 (c) aße der Risikoaversion: In der Vorlesung wurde jeweils ein aß für absolute Risikoaversion R a (w) = u (w)/u (w) und eines für relative Risikoaversion R r (w) = u (w) w/u (w) definiert. Welche der folgenden Aussagen ist im Allgemeinen für risikoaverse Individuen (und w>0) nicht richtig? Ist R r (w) konstant in w, so fällt R a (w) in w. Fällt R r (w) in w, so fällt R a (w) in w. x Steigt R r (w) in w, so steigt R a (w) in w. Steigt R a (w) in w, so steigt R r (w) in w. Herleitung: R r (w)=r a (w) w, und daher w R r = R }{{} a + }{{} w w R a + + (d) Cournot-Wettbewerb: Im linearen Cournot-odell ist die beste Antwort auf bestimmte engen des anderen Null. Erklären Sie intuitiv, für welche engenwahl des anderen dies zutrifft. Wenn der vom anderen gewählte Output so hoch ist, dass der Absatz nur seines Outputs bereits zu einem Preis (schwach) unterhalb der Grenzkosten führt, dann habe ich keinen Anreiz, selbst zu produzieren (schwach negative arge). 3

4 (e) Hotelling-Wettbewerb: Betrachten Sie das odell des räumlichen (Hotelling-) Wettbewerbs aus Vorlesung/Übung: Konsumenten sind gleichförmig auf dem Intervall [0, 1] verteilt. Zwei Firmen i = A, B wählen gleichzeitig ihren Standort x i { 0, 1 γ, 2 γ 1 γ,..., γ,1 } auf diesem Intervall. Jeder Konsument kauft anschliessend zu einem fixen (und für beide Firmen gleichen) Preis bei der näher gelegenen Firma. 0 1 γ 2 γ 1 2 γ 2 γ γ 1 γ 1 Erläutern Sie kurz, warum es für Firmen keine strikt dominierte Strategie ist, sich auf x i = 1 γ zu setzen. Setzt sich die andere Firma auf x j = 0, so ist es für Firma i strikt optimal, sich auf x i = 1 γ zu setzen. (f) Iterierte Elimination strikt dominierter Strategien: Betrachten Sie folgendes Normalformspiel: P1 U D L 1, 1 3, 3 4, 4 P2 R 0, 0 2, 2 1, 1 Wie viele (reine) Strategieprofile überleben die iterierte Elimination strikt dominierter Strategien? 0 2 x 4 6 [alle ausser(, L) und (, R)] 4

5 (g) 3-Spieler Nash-Gleichgewicht: Betrachten Sie ein simultanes Spiel zwischen drei Spielern. Hierbei wählt Spieler 1 die Zeile (U oder D), Spieler 2 die Spalte (L oder R), und Spieler 3 die atrix (A oder B), welche gespielt wird. Die erste Zahl in jeder Zelle gibt den Payoff von Spieler 1, die zweite jenen von Spieler 2, und die dritte jenen von Spieler 3 an. atrix A L R atrix B L R U 6,3,2 4,8,6 U 7,2,2 0,0,2 D 2,3,9 4,2,2 D 9,4,8 0,0,0 Welches der folgenden (reinen) Strategieprofile ist ein Nash-Gleichgewicht dieses Spiels? (U,L,atrix A) x (U,R,atrix A) (U,L,atrix B) (D,L,atrix B) (h) Gemischte Strategien I: Erläutern Sie, warum in einem Gleichgewicht in gemischten Strategien (in Spielen in strategischer Form) Spieler indifferent sein müssen zwischen allen Strategien, welche sie mit strikt positiver Wahrscheinlichkeit spielen (sie müssen es nicht beweisen geben Sie eine kurze verbale Intuition). Falls nicht, so kann ischen keine beste Antwort sein: Der Payoff kann durch Erhöhung der Wahrscheinlichkeit der Strategie mit dem höheren Payoff strikt erhöht werden. 5

6 (i) Gemischte Strategien II: Betrachten Sie folgendes symmetrisches Normalformspiel zwischen 2 Spielern: P1 L R P2 L R 1,1 0,0 0,0 Betrachten Sie symmetrische Strategieprofile, in denen jeder Spieler mit Wahrscheinlichkeit p(l) bzw. p() Aktion L bzw. wählt (und dementsprechend Aktion R mit Wahrscheinlichkeit 1 p(l) p()). Welches der folgenden Strategieprofile ist kein Nash-Gleichgewicht? p(l) p() 0 0 x 1/3 2/3 2/3 1/3 6/11 3/11 0,0 2,2 0,0 0,0 0,0 3,3 (j) Teilspiele: Wie viele mögliche reine Strategien hat Spieler 3 im folgenden Spiel in Extensivform? 1 L R 2 2 L R L R L R L R L R 8 x

7 Aufgabe 2: Steuerhinterziehung / Investition (27 Punkte) Steuerzahler S besitzt ein zu versteuerndes Einkommen von y bei einem konstanten prozentualen Steuersatz von 0<t < 1. Er kann sich entscheiden, welchen Teil 0 α 1 von seinem Einkommen er beim Finanzamt melden möchte, jedoch kann es passieren, dass S einer Steuerprüfung unterzogen wird. Nehmen Sie an, dass die Wahrscheinlichkeit einer Steuerprüfung π ist. Kommt es nicht zu einer Prüfung, zahlt S nur Steuern für den gemeldeten Teil seines Einkommens. Kommt es jedoch zu einer Prüfung, so muss S zusätzlich die zu wenig gezahlten Steuern sowie eine Strafe von s>0 mal die zu wenig gezahlten Steuern zahlen. an sieht also, dass das verfügbare Einkommen von S in den beiden Fällen keine Prüfung (KP) bzw. Prüfung (P) durch gegeben ist. c KP =[1 tα]y c P =[1 t st(1 α)]y (a) Geben Sie die Lotterie an, der sich S gegenübersieht. Die Lotterie lautet: (π c P,(1 π) c KP ) (3 Punkte) 7

8 (b) Zeigen Sie, dass man das Entscheidungsproblem von S als Investitionsentscheidung interpretieren kann, bei dem ein Teil des Einkommens in eine sichere Anlage und der andere Teil in eine riskante Anlage investiert wird. Zeigen Sie dazu, dass man c KP und c P in der Form c KP = r αy+r H (1 α)y c P = r αy+r N (1 α)y schreiben kann (wobei die Renditen r, r H und r N nur von s und t abhängen). Geben Sie auch die Ausdrücke für r, r H und r N an. (5 Punkte) an kann die Einkommen in den beiden States wie folgt schreiben: c KP =(1 t)αy+ 1 (1 α)y c P =(1 t)αy+(1 t st)(1 α)y Es gilt also r=(1 t) für die sichere Anlage (das Einkommen, das man meldet), r N =(1 t st) für die niedrige und r H = 1 für die hohe Rendite der riskanten Anlage (das Einkommen, das man nicht meldet). 8

9 S ist Erwartungsnutzenmaximierer mit der Bernoulli-Nutzenfunktion wobei c das verfügbare Einkommen angibt. u(c)=ln(c), (c) Stellen Sie das Optimierungsproblem von S für den Anteil seines Einkommens α auf, den er optimalerweise dem Finanzamt meldet. (3 Punkte) Der Anteil α muss folgendes Problem lösen: ( ) ( ) max π ln [1 t st(1 α)]y +(1 π)ln [1 tα]y α 9

10 (d) Zeigen Sie, dass das optimale α unabhängig vom Einkommen y ist und bestimmen Sie die Bedingung erster Ordnung für eine innere Lösung 0 < α < 1. [Hinweis: Sie müssen die Bedingung erster Ordnung nicht nach α auflösen.] (5 Punkte) Die Zielfunktion hat die Form π ln(ay)+(1 π)ln(by). Wegen dem Logarithmengesetz ln(ay) = ln(a) + ln(y) kann man das schreiben als π ln(a)+(1 π)ln(b)+ln(y). Da ln(y) eine Konstante ist, wenn man nach α ableitet, ist α unabhängig von y. Die Bedingung erster Ordnung lautet dann πst 1 t st(1 α ) = (1 π)t 1 tα. (S1) 10

11 (e) Zeigen Sie, dass S niemals sein volles Einkommen (also α = 1) melden wird, falls für die Parameter gilt, dass 1 π sπ > 0. [Hinweis: Leiten Sie die Zielfunktion des Optimierungsproblems an der Stelle α = 1 ab.] (5 Punkte) Angenommen S würde α = 1 wählen. Für die Ableitung an der Stelle gilt dann Eu(α) = πst α 1 t (1 π)t 1 t α=1 = 1 t[1 π sπ]<0, falls 1 π sπ > 0. 1 t Da die Steigung negativ ist, steigt also der Erwartungsnutzen von S, wenn er α ein wenig kleiner als 1 wählt. 11

12 Nehmen Sie nun an, dass für die Parameter π = s=t = 1 2 gilt und dass S nur die Hälfte seines Einkommens (α = 1 2 ) meldet. S hat nun die öglichkeit, sein Einkommen am Finanzamt vorbei in ein Nachbarland zu bringen. Er entgeht damit im eigenen Land den Steuern sowie der Gefahr einer Strafe, zahlt dafür aber den Steuersatz t im Nachbarland. (f) Wie hoch müsste der Steuersatz t im Nachbarland sein, damit S gerade indifferent ist zwischen der Lotterie im eigenen Land und einer Versteuerung seines kompletten Einkommens im Nachbarland? [Hinweis: Bestimmen Sie das Sicherheitsäquivalent. Das Ergebnis muss nicht komplett vereinfacht werden.] (6 Punkte) Für das Sicherheitsäquivalent e muss ln(e)=π ln(c P )+(1 π)ln(c KP ) gelten. Also folgt, nachdem man Logarithmengesetze benutzt und die Exponentialfunktion auf beiden Seiten angewandt hat, Einsetzen der Parameter liefert e= e=c π P c (1 π) KP. ( ) 1 ( ) y y 2 9 = 32 y. Das Sicherheitsäquivalent ist also genau 3 32 Teile seines Einkommens. Andersherum gesehen muss also gelten. t =

13 Aufgabe 3: Dynamische Verhandlungsspiele (33 Punkte) iraculix () und Verleihnix (V) streiten über zwei Fische. Verleihnix schlägt folgendes Verfahren vor, um die Fische aufzuteilen (Ultimatum-Regel): Erst nennt Verleihnix eine Aufteilung der Fische (0, 1 oder 2 Fische für ihn und den Rest für iraculix) und dann sagt iraculix ob er der Aufteilung zustimmt. Stimmt er zu, so werden die Fische so aufgeteilt wie vorgeschlagen, und lehnt er ab, so werden beide Fische weggeschmissen. (a) Stellen Sie das Verfahren als Spiel in extensiver Form dar. Der Payoff bzw. Nutzen wird dabei in Anzahl Fische gemessen. (4 Punkte) V ja nein ja nein ja nein (0,2) (0,0) (1,1) (0,0) (2,0) (0,0) 13

14 (b) Finden Sie alle teilspielperfekten Nash-Gleichgewichte des Spiels. Die Gleichgewichte sind (4 Punkte) V : 1 :{0 ja,1 ja,2 nein} und V : 2 :{0 ja,1 ja,2 ja}. 14

15 (c) Ist das Strategienprofil V : 0 :{0 ja,1 nein,2 nein} ein Nash-Gleichgewicht? Ist es teilspielperfekt? Begründen Sie. Ja, es ist ein NGG, aber es ist nicht teilspielperfekt. iraculix Drohung, nein zu spielen, wenn Verleihnix 1 spielt ist nicht glaubwürdig. (4 Punkte) 15

16 iraculix schlägt nun ein anderes Verfahren vor: Zuerst schlägt Verleihnix eine Aufteilung der Fische vor ((x,y) mit x+y = 2 und x,y N 0 ), sagt aber noch nicht, wer welchen Teil bekommt. Danach darf sich iraculix einen Teil der Fische (x oder y) aussuchen und Verleihnix erhält den anderen Teil. (d) Stellen Sie dieses Verfahren als Spiel in extensiver Form dar und zeigen Sie, dass jedes teilspielperfekte Gleichgewicht zu dem Ergebnis (1, 1) führt, wo also jeder genau einen Fisch erhält. (5 Punkte) x (0,2) y x V (1,1) y (2,0) x y (2,0) (0,2) (1,1) (1,1) (0,2) (2,0) Für sind die Strategien {y,x,x} und {y,y,x} dominant, die beste Antwort von V darauf ist es, (1, 1) zu spielen. Beide Gleichgewichte führen zu dem Ergebnis von(1,1). Bemerkung: an kann das Spiel auch so formulieren, dass nach der Aufteilung(1,1) nur noch eine Aktion zur Verfügung steht. 16

17 Nehmen Sie nun an, dass iraculix die öglichkeit hat, die Anzahl der Fische durch einen Zaubertrick zu verdoppeln. Dabei entsteht ihm ein negativer Nutzen vergleichbar mit 1.5 Fischen. Danach wird das Verfahren aus Teilaufgabe (d) gespielt. (e) Wird iraculix im teilspielperfekten Nash-Gleichgewicht dieses Spiels die Anzahl der Fische verdoppeln? Begründen Sie Ihre Antwort. (6 Punkte) Ähnliche Überlegungen wie in der vorigen Teilaufgabe ergeben, dass in dem Teilspiel, wo die Fische verdoppelt hat, die Aufteilung der Fische (2, 2) ist. erleidet aber einen Nutzenverlust von 1.5 durch das Zaubern, weshalb sein Payoff in dem Teilspiel 0.5 ist. Das ist weniger als in dem Teilspiel, wo er die Fische nicht verdoppelt (1, siehe vorige Aufgabe). Deshalb wird er die Fische nicht verdoppeln. 17

18 (f) Ist das Ergebnis Pareto-effizient? Begründen Sie Ihre Antwort. (3 Punkte) Das Ergebnis ist nicht Pareto-effizient, weil die vier Fische nach dem Zaubertrick so aufgeteilt werden könnten, dass V einen Fisch bekommt und drei Fische bekommt. Die Payoffs wären dann(1,1.5), eine Pareto- Verbesserung von(1,1). 18

19 Nehmen Sie an, iraculix verdoppelt die Fische nicht und macht stattdessen noch einen anderen Vorschlag: Erst fängt Verleihnix an, eine Aufteilung vorzuschlagen (wie in Aufgabenteil (a)). Akzeptiert iraculix, so werden die Fische entsprechend der Aufteilung verteilt. Lehnt er ab, so geht das Verfahren am nächsten Tag mit vertauschten Rollen weiter (das heißt, iraculix schlägt vor und Verleihnix nimmt an oder lehnt ab), und so weiter, bis jemand ein Angebot annimmt. Die Fische fangen dabei jeden Tag an, immer mehr zu stinken, was durch den Diskontfaktor δ mit 0<δ < 1 modelliert wird. Ein Fisch in n Tagen bringt also nur noch einen Payoff von δ n. (g) Zeigen Sie, dass für alle δ folgendes Strategienprofil ein teilspielperfektes Gleichgewicht dieses Spiels ist: Sowohl Verleihnix als auch iraculix schlagen immer einen Fisch für sich vor und nehmen jeden Vorschlag des anderen an, bei dem sie mindestens einen Fisch bekommen. Gehen Sie dabei wie folgt vor: Nehmen Sie an, dass die angegebenen Strategien ab morgen immer gespielt werden, und zeigen Sie dann, dass es optimal für beide Spieler ist, die Strategien auch heute zu spielen. (7 Punkte) Wenn die Strategien ab morgen gespielt werden, bekommen morgen beide Spieler einen Fisch. Die reduzierte Version des Spiels in extensiver Form sieht dann so aus: ja nein 0 ja V 1 nein 2 ja nein (0,2) (δ,δ) (1,1) (δ,δ) (2,0) (δ,δ) Hier ist der Payoff in den Teilspielen, wo nein sagt, (δ,δ), weil dann das Spiel morgen weitergespielt wird und morgen beide einen Fisch bekommen, der schon etwas stinkt. Da 0<δ < 1, ist es jetzt für eine dominante Strategie, {ja, ja, nein} zu spielen, und V s beste Antwort darauf ist in der Tat, 1 zu spielen. Also bilden die angegebenen Strategien für alle δ ein TSPNGG. 19

20 zusätzlicher Platz zur Lösung Teilaufgabe (g) 20