Nash equilibrium. Sven Jakumeit

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1 Nash equilibrium Die genaue Aussage Das Spiel Die gemischten Strategien Das Gleichgewicht Direkte Anwendungen Einschränkungen Das "prisonner's dilemma" Wilde Konkurenz Auswirkungen Sven Jakumeit

2 Nash equilibrium Die genaue Aussage Das Spiel Die gemischten Strategien Das Gleichgewicht Direkte Anwendungen Einschränkungen Das "prisonner's dilemma" Wilde Konkurenz Auswirkungen

3 Das Spiel Definition des "n-player game" n Spieler p Strategien S k "Pay-off vector" : für jedes n-tuplet Strategien S ein n-tuplet aus R n ( Bezahlung ) V

4 Gemischte Strategien Definition der "gemischten Strategien" Probabilitäts-Verteilungen über mehrere reine Strategien c k S k mit c k =1 Die Strategien-n-tuplets sind Punkte im Produktraum der einzelnen Strategieräume der Spieler

5 Beispiel Das Stein-Schere-Blatt Spiel 2 Spieler 3 reine Strategien: "Stein" "Schere" & "Blatt" Pay-off : Stein Schere Blatt Stein ( 0 ; 0 ) ( 0 ; 1 ) ( 1 ; 0 ) Schere ( 1 ; 0 ) ( 0 ; 0 ) ( 0 ; 1 ) Blatt ( 0 ; 1 ) ( 1 ; 0 ) ( 0 ; 0 ) Beispiel einer gemischten Strategie : "Ich spiele abwechselnd jedes zweite Spiel Blatt oder Schere" = ½ "Blatt" + ½ "Schere"

6 Das Gleichgewicht Überlegenheit eines n-tuplets Ein Strategien- n-tuplet S 2 ist einen anderen S 1 überlegen, wenn der Gewinn jedes Spielers mit der Strategie aus S 2 am höchsten ist, falls die n-1 anderen sich an S 1 halten. Gleichgewichtspunkt Ein n-tuplet das sich selbt überlegen ist

7 Wie bitte? Wenn einem Spieler gesagt wird, dass alle sich an das n-tuplet S 1 halten, dann wird er die ihm zustehende Strategie aus S 2 spielen um zu gewinnen z.b. ( Schere ; Schere ) > ( Blatt ; Blatt )

8 Das Gleichgewicht Ein Nash Gleichgewicht ist vorhanden, wenn eine Bekanntgebung der Strategien keine Änderungen hervorruft. Obwohl ich jetzt die Strategien der anderen kenne, bleibe ich bei meiner ersten Entscheidung z.b. ( 1/3 Stein +1/3 Schere +1/3 Blatt ; 1/3 Stein +1/3 Schere +1/3 Blatt ) ist ein Gleichgewichtspunkt.

9 Nash equilibrium Die genaue Aussage Das Spiel Die gemischten Strategien Das Gleichgewicht Direkte Anwendungen Einschränkungen Das "prisonner's dilemma" Wilde Konkurenz Auswirkungen

10 Nash equilibrium Die genaue Aussage Das Spiel Die gemischten Strategien Das Gleichgewicht Direkte Anwendungen Einschränkungen Das "prisonner's dilemma" Wilde Konkurenz Auswirkungen

11 Anwendungen Unparteiische Beratung der Spieler Vorraussagen (z.b. in der Wirtschaft): In ein dynamisches Verfahren, in welchem nach jedem Spiel alle Spieler ihre Strategie überdenken, ist das Nash Gleichgewicht ein stabiler Punkt, denn wenn es einmal erreicht wurde erhält es sich von selbst

12 Nash equilibrium Die genaue Aussage Das Spiel Die gemischten Strategien Das Gleichgewicht Direkte Anwendungen Einschränkungen Das "prisonner's dilemma" Wilde Konkurenz Auswirkungen

13 Nash equilibrium Die genaue Aussage Das Spiel Die gemischten Strategien Das Gleichgewicht Direkte Anwendungen Einschränkungen Das "prisonner's dilemma" Wilde Konkurenz Auswirkungen

14 Einschränkungen Das "prisonner's dilemma": 2 Festgenommene (Spieler) schweigen (kooperieren) entweder oder reden (versagen) Kooperieren Versagen Kooperieren ( 0,5 ; 0,5 ) ( 5 ; 10 ) Versagen ( 10 ; 5 ) ( 5 ; 5 )

15 Einschränkungen 2 Firmen für 1 Produkt (Konkurrenz) Das billigste Angebot gewinnt Nash Gleichgewicht : beide verkaufen für den Herstellungspreis Also kein Gewinn für beide... Eine Absprechung ist nötig!

16 Nash equilibrium Die genaue Aussage Das Spiel Die gemischten Strategien Das Gleichgewicht Direkte Anwendungen Einschränkungen Das "prisonner's dilemma" Wilde Konkurenz Auswirkungen

17 Nash equilibrium Die genaue Aussage Das Spiel Die gemischten Strategien Das Gleichgewicht Direkte Anwendungen Einschränkungen Das "prisonner's dilemma" Wilde Konkurenz Auswirkungen

18 Auswirkungen "Poker-Face", introspektives Denken, Streben nach Gerechtigkeit etc... Der Einfluss der Psychologie in der Wirtschaft und in den Spielen wurde bewiesen Nobel Preis 2002 für Wirtschaft an den Psychologen D. Kahneman Anfang der experimentellen Wirtschaft

19 Auswirkungen dynamische und stochastische Modellentwicklung Anfänger bilden nicht gleich ein Nash- Gleichgewicht, aber mit der Zeit nähern sie sich diesem an dennoch kann es sein, dass dynamische Abweichungen ("noise") immer bleiben

20 Danke für ihre Aufmerksamkeit Original Paper "Equilibrium in n-person games" J.F. Nash 1949 Princeton University "The Nash equilibrium: a perspective" C.A.Holt A.E.Rot 2004 PNAS "Competitions and bargaining in games and markets" B.Molduvanu 1990 Universität Bonn