11. Vorlesung Spieltheorie in der Nachrichtentechnik

Transkript

1 11. Vorlesung Spieltheorie in der Nachrichtentechnik Vorlesung: Eduard Jorswieck Übung: Rami Mochaourab Sommersemester 2010

2 Mechanism Design und Implementation Theory Motivation durch einfaches Wahlbeispiel mit drei Kandidaten Menge der drei Kandidaten K = {A,B,C} und Menge der (z.b. drei) Wähler W = {1,2,3}. Jeder Wähler w W hat eine Präferenzrelation über K: A > 1 B > 1 C, B > 2 C > 2 A, C > 3 A > 3 B. (1) Gemeinsames Mehrheitsurteil: A > B > C > A Sobald mehr als zwei Kandidaten zur Wahl stehen, muß eine komplexere Wahlmethode verwendet werden, um die soziale Wahl (social choice) durchzuführen. 1

3 Marie Jean Antoine Nicolas Caritat, Marquis de Condorcet (* 17. September 1743 in Ribemont; 28. März 1794 in Bourg-la-Reine) war ein französischer Philosoph, Mathematiker, Politiker und Kommunikationstheoretiker. Er bemerkte bereits 1785 die o.g. Inkonsistenz bei mehr als zwei Kandidaten. Condorcet war ein überzeugter Liberaler und kultureller Neuerer der Moderne vor und während der Französischen Revolution. 2

4 Beschreibung des formalen Modells: Jeder Wähler (Spieler) hat eine Preferenzrelation, die vom Typ θ k abhängt. Diese ist i.a. nicht öffentlich bekannt. Bei der Wahl hat jeder Spieler eine Strategie s k. (Strategische Wahl) Eine Social Choice Function versucht eine Alternative basierend auf allen Preferenzrelationen der Wähler zu bestimmen: f : Θ 1 Θ 2... Θ K X. Die Ergebnisregel bildet die Strategien der Spieler auf eine Alternative ab: g : S 1 S 2... S K X. Im Idealfall stimmt die Theorie (SCF) mit der Praxis (Ergebnisregel) überein, d.h. f(θ 1,...,θ K ) = g(s 1 (θ 1 ),...,s K (θ K )). 3

5 Konzept von Mechanism Design 4

6 Die Lösungskonzepte werden durch die Eigenschaften der Social Choice Function (SCF) bestimmt. Definition 1. Eine SCF erfüllt Einstimmigkeit, falls alle Spieler denselben Ausgang präferieren, wird dieser erhalten. Definition 2. Der Wähler k W heißt Diktator in f, wenn für alle individuellen Präferenzrelationen nur seine den Ausgang bestimmt. Definition 3. SCF ist unabhängig von irrelevanten Alternativen (uia), wenn die soziale Präferenz zwischen zwei Alternativen a und b nur von den individuellen Präferenzen zwischen a und b abhängt. Theorem 1. [Arrow 1951] Jede SCF mit mehr als zwei Kandidaten, die Einstimmigkeit und uia erfüllt ist diktatorisch. 5

7 KennethJosephArrow(*23.August 1921 in New York City) ist ein amerikanischer Ökonom erhielt er den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften gemeinsam mit John Richard Hicks veröffentlichte Arrow das nach ihm benannte Unmöglichkeitstheorem im Rahmen seiner Doktorarbeit Social Choice and Individual Values. Es zeigt auf, dass es unmöglich ist, ein Regelwerk aufzustellen, nach dem man gesellschaftliche Entscheidungen über eine Anzahl von vernünftigen Kriterien fällt. 6

8 Mechanism mit transferierbaren Nutzen: Auktionen Modell: Alternativen A, Spieler K = {1,...,K} Präferenzen sind nun Funktionen (Wert) v i : A R. Nutzenfunktionen des Spielers i K: (m - Geld) u i = v i +m. Einfache Auktion: Ein Gegenstand zwischen K Spielern versteigern. Jeder Spieler i K hat einen skalaren Wert w i, den er bereit ist zu zahlen (type). Falls Spieler i gewinnt, muß er p bezahlen und sein Nutzen ist u i = w i p. Manipulierbare Auktionen: keine Bezahlung, Bezahlung des Einsatzes,... 7

9 Vickrey Auktion: Der Gewinner ist der Spieler mit dem höchsten Gebot w i und er bezahlt den zweithöchsten Einsatz. Theorem 2. [Vickrey 1961] Für alle w 1,...,w K und jedes w k. Sei u i die Nutzenfunktion von Spieler i, wenn er w i bietet und u i wenn er w i bietet. Dann gilt u i u i. Die Auktion ist incentive-compatible. Die erste Spektrum Auktion der Welt (UHF, New Zealand 1989) war eine Vickrey Auktion. 8

10 William Spencer Vickrey (* 21. Juni 1914 in Victoria, British Columbia; 11. Oktober 1996 in New York) war ein USamerikanischer Ökonom kanadischer Herkunft. Im Jahr 1996 erhielt er gemeinsam mit James Mirrlees den Preis für Wirtschaftswissenschaften der schwedischen Reichsbank in Gedenken an Alfred Nobel für seine Beiträge zur ökonomischen Theorie von Anreizen bei unterschiedlichen Graden von Information der Marktteilnehmer. Vickreys Ergebnisse hatten direkten Einfluss auf die Tarifpolitik von Versicherungen und die Steuerpolitik. Er gab der Vickreyauktion seinen Namen. 9

11 Anwendung: Broadcast SINR Reporting Game Systemmodell: Broadcast Channel mit SINR feedback (Tafel) Wir definieren ein Spiel mit unvollständiger Information, ein Bayesian Spiel: { } Γ 1 = [0,1] K,R K +,fᾱ,{p 1,...,P K1 }. Jeder Spiele besitzt individuelle Information über seinen Kanal. Diese Information ist der private Typ (bezichnet mit α k R +. Die Typen der anderen Spieler sind dem Spieler k nicht bekannt, daher bildet er sich eine subjektive Wahrscheinlichkeitsverteilung. In unserem Spiel ist die subjektive Wahrscheinlichkeit der Wert für den größten SINR der anderen Spieler, d.h. ᾱ = max{α k }. 10

12 Die Präferenzen sind quasi-linear gegeben als u k (p,t k,α k ) = r k (p,α k )+t k (ˆα k ), (2) mit r k (p,α k ) = log(1+ρp k α k ). (3) Es existieren zwei grundlegende Ergebnisse für die Implementierung von effizienten Resource Allokationen, der Groves und der AGV Mechanismus. Der erste wurde von Groves entwickelt, der zweite von d Aspremont and Gerard-Varet (AGV), und unabhängig von Arrows. Publikation: E. Jorswieck, R. Mochaourab, Power Control Game in Protected and Shared Bands: Manipulability of Nash Equilibrium, GameNets 2009, invited. 11

13 Beispiel aus der Geschichte: König Salomon Zwei Frauen, Ann und Beth, behaupten sie seien die Mutter eines Babies, d.h. zwei (private) Zustände t a und t b. Es gibt drei verschiedene Ausgänge: A = {a,b,c}: Baby zu Ann, Baby zu Beth, Baby wird geteilt. Die Preferenzen von Ann und Beth hängen von ihrem Typ ab: a > t a A b > t a A c,b > t a B c > t a B a, a > t b A c >t b A b,b >t b B a >t b B c Die SCF, die König Salomon möchte, ist f(t a ) = a und f(t b ) = b. Frauen sollen den Zustand mitteilen, bei Einstimmigkeit bekommt die Frau das Baby sonst wird es geteilt. Mitteilungen sind nicht einheitlich, Baby soll geteilt werden. Die wirkliche Mutter Ann beginnt zu weinen und ändert ihre Mitteilung Daraufhin implementiert Salomon a. 12