Seminar: Algorithmische Spieltheorie. Soziale Auswahltheorie (Social Choise Theory) von Georg Birkenheuer

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1 socialchoice- 1 Seminar: Algorithmische Spieltheorie Soziale Auswahltheorie (Social Choise Theory) von Georg Birkenheuer

2 socialchoice- 2 Soziale Auswahltheorie Inhalt: Soziale Wohlfahrtsfunktion bei 2 Alternativen Arrow s Unmöglichkeitstheorem Schlüsse aus Arrow s Unmöglichkeitstheorem Soziale Entscheidungen

3 socialchoice- 3 Soziale Auswahltheorie Die Wohlfahrtsfunktion Die Vorlieben (Präferenzen) von allen Agenten (Individuen) in einer Gesellschaft werden durch eine Entscheidungsregel (Funktion) zu einer (kollektiven) sozialen Präferenz (Vorliebe) aggregiert. Ziel der sozialen Auswahltheorie: Finden einer Entscheidungsregel für gutes Maß an sozialem Wohlergehen. Eine soziale Wohlfahrtsfunktion. (social welfare funktional) Beispiel: In einem Land gibt es zwei Politiker, die für die Präsidentschaft kandidieren. Nach welchen Maßstäben wird die Wahl durchgeführt? Darf die gesamte Bevölkerung wählen oder nur ein Teil? Sind alle Stimmen gleichwertig oder haben die Stimmen Adeliger oder Personen, z.b. mit Verdiensten für das Land oder hohen Ämtern ein höheres Gewicht?

4 socialchoice- 4 Spezialfall: Soziale Vorlieben bei 2 Alternativen Soziale Auswahl Definition 1.1: Jeder Agent hat eine individuelle Präferenz α {1, 0, 1} (Zustimmung, Gleichgültigkeit, Ablehnung) zu einem Thema. Eine soziale Wohlfahrtsfunktion (social welfare functional) ist eine Abbildung von jedem möglichen Bündel individueller Präferenzen der Menge I von Agenten (α 1,..., α I ) {1, 0, 1} I in eine soziale (kollektive) Präferenz F (α 1,..., α I ) {1, 0, 1}. Definition 1.2: Eine soziale Wohlfahrtsfunktion ist Paretisch (Paretian) oder hat die Pareto Eigenschaft (Pareto property) wenn sie Einheitlichkeit (Einmütigkeit) unter den Agenten respektiert. F (1,..., 1) = 1 F ( 1,..., 1) = 1

5 socialchoice- 5 Spezialfall: Soziale Vorlieben bei 2 Alternativen Eine soziale Wohlfahrtsfunktion (social welfare function) ist eine: Definition 1.3: Diktatur (Dictatorship), wenn es einen Agenten h I gibt für den gilt: (α 1,..., α I ), α h = x, x 0 F (α 1,..., α I ) = α h x h = 1 F (α 1,..., α I ) = 1 x h = 1 F (α 1,..., α I ) = 1 Definition 1.4: Mehrheitsentscheidung (majority voting), wenn gilt: F (α 1,..., α I ) = sign i α i Sei i α i = a a > 0 F (α 1,..., α I ) = 1 a = 0 F (α 1,..., α I ) = 0 a < 0 F (α 1,..., α I ) = 1

6 socialchoice- 6 Spezialfall: Soziale Vorlieben bei 2 Alternativen Eine soziale Wohlfahrtsfunktion (social welfare function) ist : Definition 1.5: Anonym (symmetric among agents oder anonymous), wenn gilt π : {1,..., I} {1,..., I}, wobei für jedes i I gilt, es gibt ein Agenten h mit π(h) = i. Daraus folgt (α 1,..., α I ) gilt F (α 1,..., α I ) = F (α π(1),..., α π(i) ). Eine Permutation der individuellen Präferenzen hat keinen Einfluss auf die soziale Präferenz. Definition 1.6: Neutral (neutral between alternatives), wenn (α 1,..., α I ) gilt: F (α 1,..., α I ) = F ( α 1,..., α I ) Für jedes Präferenzbündel wird die (kollektive) soziale Präferenz umgekehrt, wenn die die Präferenzen aller Agenten umgekehrt werden.

7 socialchoice- 7 Spezialfall: Soziale Vorlieben bei 2 Alternativen Definition 1.7: Eine soziale Wohlfahrtsfunktion (social welfare function) ist Positiv sensibel (positive responsive), wenn gilt: (α 1,..., α I ) (α 1,..., α I ), (α 1,..., α I ) (α 1,..., α I ) und F (α 1,..., α I ) 0 F (α 1,..., α I ) = +1. Das bedeutet, wenn x sozial bevorzugt oder gleichgestellt vor y ist und einige Agenten ihre Entscheidung zu Gunsten von x ändern und die anderen ihre Meinung behalten, wird x sozial bevorzugt.

8 socialchoice- 8 Spezialfall: Soziale Vorlieben bei 2 Alternativen May s Theorem Eine soziale Wohlfahrtsfunktion (social welfare function) F (α 1,..., α I ) ist eine Mehrheitswahlfunktion (Demokratie) genau dann, wenn sie anonym, neutral und positiv sensibel ist.

9 socialchoice- 9 Arrow s Unmöglichkeitstheorem Arrows Impossibility Theorem Arrow s Idee bestand darin, wünschenswerte Eigenschaften einer sozialen Wohlfahrtsfunktion zu finden. Diese Eigenschaften beziehen sich auf den Aggregationsmechanismus, der die einzelnen Präferenzen der Individuen verarbeitet, sowie der Eigenschaft der Ordnung, die als Ergebnis entsteht. Diese Eigenschaften sind, ein uneingeschränkter Definitionsbereich, das schwache Paretoprinzip, die paarweise Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen und keine Diktatur!

10 socialchoice- 10 Arrow s Unmöglichkeitstheorem Betrachtung von individuellen Präferenzen über eine beliebige Anzahl von Alternativen. Definitionen 2: Menge aller Alternativen ist X. Jeder Agent i I hat eine rationelle Präferenzrelation in der alle Alternativen x X strikt geordnet oder gleichwertig (indifferent) sind. ist vollständig und transitiv. R ist die Menge von alle möglichen rationellen Präferenzrelationen auf X. P ist die Menge von alle möglichen Präferenzen auf X mit der Eigenschaft, dass keine 2 verschiedenen Alternativen als indiffernziert betrachtet werden. Es giltp R.

11 socialchoice- 11 Arrow s Unmöglichkeitstheorem Definition 2.1: Eine soziale Wohlfahrtsfunktion (social welfare function) definiert auf einer Teilmenge A R I ist eine Funktion F : A R, die jedes Bündel von individuellen rationellen Präferenzrelationen ( 1,..., I ) zulässig in A auf eine (soziale) kollektive rationelle Präferenzrelation F ( 1,..., I ) R abbildet. F ( 1,..., I ) ist vollständig und transitiv. Die Präferenzrelation xf ( 1,..., I )y bedeutet: x ist sozial mindestens so beliebt wie y. Wenn x echt beliebter ist als y für alle {x, y} X, x y ist, existiert eine strikte Präferenzrelation xf P ( 1,..., I )y.

12 socialchoice- 12 Arrow s Unmöglichkeitstheorem Eine soziale Wohlfahrtsfunktion (social welfare function) F : A R Definition 2.2: heißt Paretisch (Paretian), wenn für jedes beliebige Paar {x, y} X und jedes Präferenzprofil ( 1,..., I ) A mit x i y für jeden Agenten i gilt: x wird y sozial vorgezogen xf P ( 1,..., I )y. Definition 2.3: erfüllt die Paarweise Unabhängigkeit von (irrelevanten) Alternativen Kondition (pairwise independence condition oder independence of irrelevant alternatives condition) wenn die kollektive (soziale) Präferenz zwischen je zwei beliebigen Alternativen nur von dem Profil der Ordnung von individuellen Präferenzen der gleichen Alternativen abhängt. Formal: wenn {x, y} X, gilt ( 1,..., I ), ( 1,..., I ) A mit i I: x i y x i y, y i x y i x xf ( 1,..., I )y xf ( 1,..., I )y und yf ( 1,..., I )x yf ( 1,..., I )x

13 socialchoice- 13 Arrow s Unmöglichkeitstheorem Beispiel die Borda - Regel (Borda-Count) Gegeben ist eine Präferenzrelation i R. Wir weisen jeder Alternative x X einen Wert c i (x) für jeden Agenten i zu. c i (x) = n bedeutet das x den nten Rang in i des Agenten i hat. Für jedes Profil ( 1,..., I ) gilt c(x) = i c i(x). Borda-Regel: xf ( 1,..., I )y c(x) c(y) Die Borda-Regel ist vollständig und transitiv: c(x) = i c i(x) Paretisch wenn x i y für alle Agenten i gilt, folgt daraus, dass c i (x) c i (y) für alle i. c(x) c(y). Aber die Borda-Regel erfüllt nicht die Paarweise Unabhängigkeit von Alternativen Kondition. Beispiel: 3 Alternativen {x, y, z} und 2 Agenten, 2 Fälle: Agent 1 : x 1 z 1 y Agent 2 : y 2 x 2 z c(x) = 3, c(y) = 4 xf ( 1, 2 )y. Agent 1 : x 1 y 1 z Agent 2 : y 2 z 2 x c(x) = 4, c(y) = 3 yf ( 1, 2 )x. Aber die relative Ordnung von x und y bleibt gleich.

14 socialchoice- 14 Arrow s Unmöglichkeitstheorem Wie kann die Paarweise Unabhängigkeit erreicht werden? Einfach: Die Bestimmung der sozialen Präferenz zwischen zwei beliebigen Alternativen nutzt einzig die Ordnung dieser 2 Alternativen in den individuellen Präferenzen der Agenten. Bildung der sozialen Präferenz geschieht durch Mehrheitswahl. Das Condocret-Paradoxon Problem: 3 Agenten, 3 Alternativen, Mehrheitswahl: Agent 1 x 1 y 1 z Agent 2 z 2 x 2 y Agent 3 y 3 z 3 x xf p ( 1, 2, 3 )y yf p ( 1, 2, 3 )z zf p ( 1, 2, 3 )x Der Zyklus verletzt die Transitivität und die ist Voraussetzung für eine soziale Wohlfahrtsfunktion.

15 socialchoice- 15 Arrow s Unmöglichkeitstheorem Sei die Anzahl von Alternativen mindestens 3 und der Definitionsbereich von individuellen Präferenzen nicht eingeschränkt (A = R I oder A = P I ). Jede soziale Wohlfahrtsfunktion F A R, die Paretisch ist und die Paarweise Unabhängigkeitskondition erfüllt, ist eine Diktatur im folgenden Sinne: Es gibt einen Agenten h, so dass gilt: für jedes Paar {x, y} X und jedes Profil ( 1,..., I ) A gilt xf p ( 1,..., I )y immer wenn x h y.

16 socialchoice- 16 Beweis: Arrow s Unmöglichkeitstheorem Definition 2.4: Gegeben eine soziale Wohlfahrtsfunktion und eine Teilmenge von Agenten S I. Diese ist: (i) Entscheidend für x über y, wenn immer jeder Agent, in S x y vorzieht und jeder Agent der nicht in S ist y x vorzieht, gilt, dass x sozial bevorzugt vor y ist. (ii) Entscheidend für jedes Paar {x, y} X, wenn S x über y entscheidet. (iii) Vollständig entscheidend für x über y, wenn immer jeder Agent in S x y vorzieht, und es gilt: x ist sozial bevorzugt vor y. Beweis über 10 Schritte.

17 socialchoice- 17 Beweis: Arrow s Unmöglichkeitstheorem Schritt 1: Wenn für einige {x, y} X, S I entscheidend ist für x über y, dann auch für x über z. z X ist jede andere Alternative z x. Ähnlich für z y. S ist entscheidend z über y. Gegeben ein Profil ( 1,..., I ) A, in dem gilt: x i y i z für alle i S y i z i x für alle i I\S Dann folgt, da S entscheidend für x über y ist, dass x sozial bevorzugt vor y ist xf p ( 1,..., I )y. Da zusätzlich y i z für jedes i I gilt und die Funktion Paretisch ist, folgt yf p ( 1,..., I )z. Da die Funktion auch transitiv ist, gilt weiter xf p ( 1,..., I )z. Aufgrund der Paarweisen Unabhängigkeitskondition folgt das x sozial z vorgezogen wird, immer dann, wenn jeder Agent in S x z vorzieht und kein Agent in S z x vorzieht. Darum ist S entscheidend für x über z.

18 socialchoice- 18 Beweis: Arrow s Unmöglichkeitstheorem Schritt 2: Wenn für einige {x, y} X, S I entscheidend ist für x über y und z eine dritte Alternative ist, dann ist S entscheidend für w über z und z über w, wobei w X jede mögliche Alternative ungleich z ist. Aus Schritt 1: folgt S entscheidet x über z und z über y. Durch nochmaliges Ausführen von Schritt 1 mit dem Paar {x, z} und der Alternative w, folgt dass S entscheidend ist für w über z. Das gleiche gilt für {z, y} und w. Es folgt, dass S für z über w entscheidend ist. Schritt 3: Wenn für einige {x, y} X, S I entscheidend ist für x über y, dann ist S entscheidend. Schritt 3 ist eine direkte Konsequenz aus Schritt 2.

19 socialchoice- 19 Beweis: Arrow s Unmöglichkeitstheorem Schritt 4: Wenn S I und T I entscheidend sind, dann ist auch S T entscheidend. Gegeben ein beliebiges Tripel von verschiedenen Alternativen {x, y, z} X und ein Profil von Präferenzen ( 1,..., I ) A, wobei gilt: z i y i x für jedes i S\(S T ), x i z i y für jedes i S T, y i x i z für jedes i T \(S T ), y i z i x für jedes i I\(S T ). Dann ist zf p ( 1,..., I )y, da S = [S\(S T )] (S T ) entscheidend ist. Genauso gilt xf p ( 1,..., I )z, da T = [T \(S T )] (S T ) entscheidet. Aufgrund der Transitivität folgt xf p ( 1,..., I )y. Aus der Paarweise Unabhängigkeitskondition folgt, dass S T entscheidend für x über y ist. Nach Schritt 3 ist S T eine entscheidende Teilmenge.

20 socialchoice- 20 Beweis: Arrow s Unmöglichkeitstheorem Schritt 5: Für jede Teilmenge S I ist entweder S oder sein Komplement I\S I entscheidend. Gegeben ein beliebiges Tripel von verschiedenen Alternativen {x, y, z} X und ein Profil von Präferenzen ( 1,..., I ) A, wobei gilt: x i z i y für jedes i S, y i x i z für jedes i I\S, Es gibt 2 Möglichkeiten: Entweder gilt xf p ( 1,..., I )y wobei aufgrund der Paarweisen Unabhängigkeitskondition S entscheidend ist für x über y (nach Schritt 3 entscheidend für alle Paare). Oder es gilt yf ( 1,..., I )x. Wegen der paretischen Kondition gilt xf p ( 1,..., I )z. Aufgrund der Transitivität gilt dann yf p ( 1,..., I )z im zweiten Fall. In diesem Fall, wieder unter Nutzung der Paarweisen Unabhängigkeitskondition gilt, dass I\S entscheidend ist.

21 socialchoice- 21 Beweis: Arrow s Unmöglichkeitstheorem Schritt 6: Wenn S I entscheidend ist und S T ist, dann ist T auch entscheidend. Aufgrund der paretischen Eigenschaft kann die leere Menge von Agenten nicht entscheidend sein. Deshalb kann I\T nicht entscheidend sein, weil sonst, nach (Schritt 4) S (I\T ) = entscheidend wäre. So gilt (nach Schritt 5) T ist entscheidend.

22 socialchoice- 22 Beweis: Arrow s Unmöglichkeitstheorem Schritt 7: Wenn S I entscheidend ist und es mehr als einen Agenten hat, dann gibt es eine strikte Teilmenge S S, S S, so dass S entscheidend ist. Nehme ein beliebiges h S. Wenn S\{h} entscheidend ist, sind wir fertig. Deswegen die Annahme S\{h} ist nicht entscheidend. Dann folgt wegen (Schritt 5) das I\(S\{h}) = (I\S) {h} entscheidend ist. Es folgt aus (Schritt 4), dass {h} = S [(I\S) {h}] auch entscheidend ist. Darum sind wir ebenfalls fertig, mit der Feststellung, {h} ist eine strikte Teilmenge von S. Schritt 8: Es gibt einen Agenten h I, so dass gilt S = {h} ist entscheidend. Schritt 8 wird durch Iterieren von (Schritt 7) bewiesen. Mit dem Wissen, dass 1. die Teilmenge von Agenten endlich ist, und 2. aufgrund der Pareto Eigenschaft die Menge von allen Agenten I entscheidend ist.

23 socialchoice- 23 Beweis: Arrow s Unmöglichkeitstheorem Schritt 9: Wenn S I entscheidend ist, dann für jedes Paar {x, y} X. S ist vollständig entscheidend für x über y. Wir wollen beweisen, dass für jede Teilmenge T I\S gilt: x ist sozial bevorzugt vor y, wenn immer jeder Agent in T x sozial mindestens so gut wie y findet und jeder andere Agent y x vorzieht. Zur Verifikation nehmen wir eine dritte Alternative z X, die von x, y verschieden ist. Aufgrund der Paarweisen Unabhängigkeitsrelation genügt es, ein Profil ( 1,..., I ) A zu betrachten mit: x i z i y für jedes i S, x i y i z für jedes i T, y i z i x für jedes i I\(S T ). Dann gilt xf p ( 1,..., I )z, weil nach (Schritt 6) S T entscheidend ist und zf p ( 1,..., I )y weil S entscheidend ist. Wegen der Transitivität der sozialen Präferenz gilt auch xf p ( 1,..., I )y, was zu zeigen war.

24 socialchoice- 24 Beweis: Arrow s Unmöglichkeitstheorem Schritt 10: Wenn für einige h I, S = {h} entscheidend ist, dann ist h ein Diktator. Wenn {h} entscheidend ist, dann gilt (nach Schritt 9) {h} ist vollständig entscheidend für alle x über y. Das bedeutet für das Profil ( 1,..., I ) mit der Eigenschaft, dass x h y gilt: xf p ( 1,..., I )y. Das ist präzise, was mit h I ist ein Diktator gemeint wurde.

25 socialchoice- 25 Schlüsse aus Arrow s Unmöglichkeitstheorem Es gibt 2 Möglichkeiten, einer Diktatur aus dem Weg zu gehen: 1. Lockerung der rationalen Anforderungen für die Aggregation der Präferenzen. 2. Verwenden der Aggregation in einem eingeschränkten Definitionsbereich.

26 socialchoice- 26 Schlüsse aus Arrow s Unmöglichkeitstheorem (Definition 3.1:) Annahme: Abschwächung der Transitivität Die Präferenzrelation ist reflexiv und vollständig. Dann gilt: (i) ist quasi-transitiv, wenn die strikte Präferenz induziert von transitiv ist. (ii) ist azyklisch, wenn ein maximales Element in jeder Teilmenge X X hat, so dass {x X : x y für alle y X } gilt. Es ist also nicht mehr notwendig, dass xf ( 1,..., I )y und yf ( 1,..., I )z xf ( 1,..., I )z gilt. Stattdessen werden Zyklen ausgeschlossen. xf ( 1,..., I )y und yf ( 1,..., I )z und zf ( 1,..., I )x darf nicht gelten.

27 socialchoice- 27 Schlüsse aus Arrow s Unmöglichkeitstheorem Beispiel 3.1: Oligarchie (Oligarchy) Sei S I eine gegebene Teilmenge von Agenten die eine Oligarchie (Herrschaft von Wenigen) darstellt. Gegeben ein beliebiges Profil ( 1,..., I ) R I die soziale Präferenz ist wie folgt geformt: Für jedes x,y X gilt: xf ( 1,..., I )y wenn es mindestens einen Agenten h S gibt für den x h y gilt. xf p ( 1,..., I )y dann und nur dann, wenn für jeden Agenten h S x h y gilt. Diese Präferenzrelation ist quasitransitiv aber nicht transitiv weil soziale Indifferenz nicht transitiv seien kann. Dies ist aber die einzige Kondition von Arrow s Unmöglichkeitstheorem, die verletzt wird. Trotzdem ist dies eine kaum befriedigende Lösung des sozialen Aggregationsproblems. Denn in einem Extrem kann die Oligarchie die ganze Population ausmachen und im anderen eine Diktatur darstellen.

28 socialchoice- 28 Schlüsse aus Arrow s Unmöglichkeitstheorem Mit einer Einschränkung des Definitionsbereiches der Eingipfeligkeit ist es möglich, eine nicht diktatorische Aggregation zu schaffen. Ziel ist es zu zeigen, dass Eingipfeligkeit mit einer paarweisen Mehrheitsentscheidung eine soziale Wohlfahrtsfunktion möglich macht. Definition 3.2: Die binäre Relation auf einem Satz von Alternativen X ist eine lineare Ordnung auf X, wenn sie reflexiv, transitiv und total ist. Beispiel: für eine Relation ist eine Teilmenge der reellen Zahlen: x R und ist eine größer gleich Ordnung dieser Zahlen.

29 socialchoice- 29 Schlüsse aus Arrow s Unmöglichkeitstheorem (Definition 3.3:) Eingipfeligkeit (single Peakness) Eine rationelle Präferenzrelation eines Agenten ist eingipfelig mit Beachtung der linearen Ordnung, wenn folgende Eigenschaften hat: Es gibt ein x X, für das gilt ist steigend mit Beachtung von auf {y X : x y} und ist fallend mit Beachtung von auf {y X : y x}. Daraus folgt: wenn x z > y folgt z y wenn y > z x folgt z y. Es gibt eine Alternative x die einen Gipfel der Zufriedenheit darstellt. Außerdem steigt die Zufriedenheit je näher eine Alternative dem Gipfel ist.

30 socialchoice- 30 Schlüsse aus Arrow s Unmöglichkeitstheorem (Definition 3.4:) Gegeben eine lineare Ordnung auf X. Die Auswahl von allen rationellen Präferenzen die eingipfelig sind und unterliegen werden als R R. R I bezeichnet den eingeschränkten Definitionsbereich in dem alle individuellen Präferenzen von Agenten Eingipfeligkeit auf der Ordnung haben. Definiere eine soziale Präferenz über eine Wohlfartsfunktion, für die die Kondition Paarweise Mehrheitsentscheidung gilt. Gegeben ein Profil ( 1,..., I ) R I und ein beliebiges Paar {x, y} X so schreibt man x ˆF ( 1,..., I )y für x ist sozial gleich oder bevorzugt vor y dann, wenn die Anzahl von Agenten die x bevorzugen größer ist, als die Anzahl von Agenten die y bevorzugen. #{i I : x i y} #{i I : y i x}

31 socialchoice- 31 Schlüsse aus Arrow s Unmöglichkeitstheorem (Definition 3.5:) Der Agent h ist ein mittlerer Wähler (median agent) für ein Profil ( 1,..., I ) R I, wenn #{i I : x i i x h } I/2 und #{i I : x h i x i } I/2 gilt. Es existiert immer ein mittlerer Wähler.

32 socialchoice- 32 Schlüsse aus Arrow s Unmöglichkeitstheorem (Proposition 3.1:) Annahme ist eine lineare Ordnung auf X und das Profil ( 1,..., I ) in dem gilt i I : i ist eingipfelig mit Beachtung von. Sei h I ein mittlere Wähler dann ist x h ˆF ( 1,..., I )y y X. Das bedeutet, die Spitze x h des mittleren Wählers kann durch keinen Mehrheitsentscheid von einer anderen Alternative geschlagen werden. x h wird als Condocret Gewinner bezeichnet. (Proposition 3.2:) Annahme I ist ungerade und ist eine lineare Ordnung auf X. Dann generieren Paarweise Mehrheitsentscheidungen eine gut definierte soziale Wohlfahrtsfunktion F : P I R. Da diese Funktion eingipfelig ist, respektiert und keine zwei verschiedenen Alternativen gleich sind, folgt: ˆF ( 1,..., I ) ist vollständig und transitiv.

33 socialchoice- 33 Soziale Entscheidungen Wie werden individuelle Präferenzen in sozialen Entscheidungen gewandelt? Definition 4.1 Gegeben ist eine Teilmenge A R I, eine soziale Wahlfunktion f : A X weist ein gewähltes Element f( 1,..., I ) X jedem Profil ( 1,..., I ) von individuellen Präferenzen in A zu. Definition 4.2 Eine soziale Wahlfunktion f : A X, definiert auf A R I, ist ein schwaches Pareto Prinzip (weakly Paretian), wenn für jedes Profil ( 1,..., I ) A die Wahl f( 1,..., I ) X ein schwaches Pareto Optimum ist. Das Bedeutet es existiert ein Paar {x, y} X für das gilt x i y i daraus folgt y f( 1,..., I ).

34 socialchoice- 34 Soziale Entscheidungen Definition 4.3 Eine Alternative x X behält ihre Position aus dem Profil ( 1,..., I ) R I zu dem Profil ( 1,..., I ) RI bei, wenn gilt: x i y impliziert x i y i und y X. Die Position wird beibehalten, wenn der Satz der minderwertigen Alternativen von x gleich bleibt oder größer wird. Definition 4.4 Eine soziale Wahlfunktion f : A X definiert auf A R I ist monoton, wenn für alle zwei Profile ( 1,..., I ) A, ( 1,..., I ) A mit der Eigenschaft, dass die gewählte Alternative x = f( 1,..., I ) ihre Position von ( 1,..., I ) nach ( 1,..., I ) beibehält, gilt: f( 1,..., I ) = x Definition 4.5 Ein Agent h I ist ein Diktator für die soziale Wahlfunktion f : A X, A = P I oder A = R I, wenn für alle Profile ( 1,..., I ) A, ( 1,..., I ) A gilt: f( 1,..., I ) ist die präferierte Alternative von h in X. f( 1,..., I ) {x X : x h y für alle y X, y x}.

35 socialchoice- 35 Soziale Entscheidungen (Proposition 4.1:) Annahme: Die Anzahl von Alternativen ist mindestens 3 und der Definitionsbereich ist nicht eingeschränkt: A = P I oder A = R I. Dann ist jede schwache Pareto und monotone Funktion f : A X eine Diktatur. (Beweis von Proposition 4.1:) Definition 4.6 Gegeben eine endliche Teilmenge X X und ein Profil ( 1,..., I ) R I. Wir sagen das Profil ( 1,..., I ) nimmt X an die Spitze aus ( 1,..., I ) i wenn gilt: x i y für x X und y / X, x i y x i y für alle x, y X. Die Präferenzrelation I erstellt sich aus I indem einfach jede Alternative in X in I nach vorne gestellt wird und dabei die Ordnung aus I erhalten bleibt. Beweis in 7 Schritten:

36 socialchoice- 36 Soziale Entscheidungen (Beweis von Proposition 4.1:) Schritt 1 Wenn beide Profile ( 1,..., I ) A und ( 1,..., I ) A X X an die Spitze aus ( 1,..., I ) nehmen, dann gilt f( 1,..., I ) = f( 1,..., I ). Schritt 2 Definition von F ( 1,..., I ). Schritt 3 Für jedes Profil ( 1,..., I ) A, F ( 1,..., I ) ist eine rationelle Präferenzrelation. Außerdem ist F ( 1,..., I ) P. Dies gilt, da keine zwei verschiedenen Alternativen sozial indifferent sind. Schritt 4 Die soziale Wohlfahrtsfunktion F : A P rationalisiert f : A X. Dies gilt, da für jedes Profil ( 1,..., I ) A, f( 1,..., I ) die beliebteste Alternative von F ( 1,..., I ) in X ist. Schritt 5 Die soziale Wohlfahrtsfunktion F : A P ist paretisch. Schritt 6 Die soziale Wohlfahrtsfunktion F : A P erfüllt die Paarweise Unabhängigkeitskondition. Schritt 7 Die soziale Wahlfunktion f : A X ist eine Diktatur.

37 socialchoice- 37 Ende Danke für die Aufmerksamkeit.