2. Normative Theorie kollektiver Entscheidungen 2.1. Arrows Unmöglichkeitstheorem

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1 2. Normative Theorie kollektiver Entscheidungen 2.1. Arrows Unmöglichkeitstheorem Social choice: wie aggregiert Gesellschaft individuelle Präferenzen zu kollektiver Entscheidung? Arrow: Gesellschaftliche Entscheidung sollte bestimmte Kriterien erfüllen (demokratisch und rational sein) Theorem: Dies ist nicht widerspruchsfrei möglich Rainald Borck 1

2 Motivation Was ist der Wählerwille? Bsp. 1: Mitglieder einer Berufungskommission sollen einen Kandidaten wählen. Präferenzen von 3 Gruppen (A, B, C) über 3 Kandidaten x, y, z (x y bedeutet x ist besser als y) x A y A z y B z B x z C x C y Condorcet Paradox: bei Abstimmung mit einfacher Mehrheit kommt es zu einem Zyklus: x schlägt y, y schlägt z, z schlägt x. Rainald Borck 2

3 Bsp. 2: Abstimmung Bonn oder Berlin als Parlaments-/Regierungssitz. 3 Vorschläge: (1) Berlin, (2) Bonn, (3) Konsens: Parlament Berlin, Regierung Bonn. Ergebnis mit einfacher Mehrheit: Berlin Mit Borda Verfahren hätte Bonn gewonnen (intensivere Präferenz der Befürworter), mit Zustimmungsverfahren Konsensantrag. Rainald Borck 3

4 Denitionen X = {x, y, z...}: Menge der Alternativen. Individuelle Präferenzen auf X: x i y: Individuum i präferiert x schwach gegen y. vollständig : x i y oder y i x oder beides (x y) reexiv : x i x transitiv : x i y, x i y x i y Eine gesellschaftliche Entscheidungsregel f ordnet jedem Vektor von individuellen Präferenzordnungen eine gesellschaftliche Präferenzrelation zu. Eine gesellschaftliche Entscheidungsregel heiÿt soziale Wohlfahrtsfunktion (SWF), genau dann wenn die gesellschaftliche Präferenzrelation vollständig, reexiv und transitiv ist. Rainald Borck 4

5 Arrows Axiome: vernünftige Anforderungen an SWF: (U) Universelle Gültigkeit: f ist für alle logisch denkbaren Kombinationen individueller Präferenzordnungen deniert. (I) Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen: Die gesellschaftliche Entscheidung zwischen x und y hängt nur von den individuellen Präferenzen über x, y ab. (P) Schwaches Pareto-Prinzip: Wenn x i y i x y. (D) Nicht-Diktatur: Es gibt kein Individuum i so dass für alle Kombinationen individueller Präferenzordnungen und alle Paare x, y gilt: x i y x y Rainald Borck 5

6 Theorem (Arrow 1951) Sei n 3 und enthalte X mindestens 3 Elemente. Dann gibt es keine SWF, die die Bedingungen U, I, P und D erfüllt. Beweisidee: Zeige, dass U, I, P Diktator impliziert. Rainald Borck 6

7 Beweisskizze 1. Schritt: Ausgehend von Einstimmigkeit, wann kippt Entscheidung entscheidender Wähler hier 2: a) S x x x x y y y y z z z z P 2. Schritt: Aus b) und c): b) S z x x x x z y y y z Ann. c) S z z x z x x y x y y z y x y wg. P d) S z z y z y x x x y z aus c) wg. I e) S z x y x y z x z x y z y aus b): x z, aus d): z y Rainald Borck 7

8 3. Schritt: Aus d): f) S y x y x z y x y x z z z aus e) wg. I, P g) S y x y x z y z y x z x z aus f) wg. I, P Gesellschaftliche Präferenz immer Präferenz von 2: Diktator. Rainald Borck 8

9 Beispiel 1. Einfache-Mehrheits-Regel Wenn U, P, I, D erfüllt keine Ordnung (nicht transitiv). Bsp.: 3 Alternativen x, y, z, 3 Individuen A, B, C mit x A y A z y B z B x z C x C y Condorcet-Paradox: x y z x. Rainald Borck 9

10 Beispiel 2. Borda-Regel 2 Wähler A, B vergeben Punkte nach Rang der Alternativen (3 für 1., 2 für 2., 1 für 3. Alternative). Gewinner: Alternative mit höchster Punktzahl. Präferenzen: x A z A y y B x B z Gewinner ist x mit 5 Punkten. Wären die Präferenzen statt dessen x A y A z y B z B x gewinnt y, obwohl Präferenzen über x, y unverändert. Borda Regel verletzt I. Rainald Borck 10

11 Bsp. 3. Erweiterte Pareto-Regel x y x i y für alle i und es existiert ein j mit x j y. Ansonsten gilt x y. U, I, P, D erfüllt Aber: Präferenzrelation ist keine Ordnung: Transitivität verletzt. Beispiel: Präferenzen : z A x A y : x B y B z Erw. Pareto-Regel : x y, x z, z y Transitivität : y z und z x y x Rainald Borck 11

12 2.2. Manipulierbarkeit von Entscheidungen Manipulierbarkeit von Entscheidungen Bsp. von oben: einfache Mehrheitsregel: x A y A z y B z B x z C x C y Sei Abstimmungsreihenfolge: x gegen y, Sieger gegen z. x gewinnt gegen y; x gegen z: z gewinnt. Wenn A statt dessen y A x A z angibt, gewinnt y gegen x und z: A stellt sich besser Anreiz zur Manipulation. Rainald Borck 12

13 gesellschaftliche Entscheidungsregel C( ) heiÿt nicht manipulierbar (NM), wenn kein Individuum sich durch Äuÿerung anderer als der wahren Präferenzen besser stellen kann. Äuÿerung der wahren Präferenzen durch alle Individuen ist Nash GGW. Theorem (Gibbard-Satterthwaite) Sei n 2 und enthalte X mindestens 3 Elemente. Dann gibt es keine gesellschaftliche Entscheidungsregel, die die Bedingung U, P und D erfüllt und nicht manipulierbar ist. Rainald Borck 13

14 Beweisskizze: Entscheidungsfunktion, die U, P erfüllt ist diktatorisch Sei N = 2 und X = {x, y, z}. Es existieren 36 mögliche Präferenzprole und wir nehmen an, dass x 1 y 1 z Mögliche Präferenzen für 2: P1 P2 P3 P4 P5 P6 xyz xzy yxz yzx zxy zyx Aus Pareto folgt C(P 1) = C(P 2) = x und P1 P2 P3 P4 P5 P6 x x x oder y x oder y x oder z Rainald Borck 14

15 Wenn C(P 3) = x, folgt aus NM, dass gesellschaftliche Entscheidung in P 4 P 6 nicht y sein darf. (Wenn z.b. C(P 3) = x und C(P 4) = y wäre, könnte Ind. 2 bei wahren Präferenzen wie in P3 yzx (P4) angeben und seine präferierte Alternative y erhalten.) Also folgt C(P 4) = x. Aus NM folgt schlieÿlich C(P 5) = C(P 6) = x (wenn C(P 5) = C(P 6) = z könnte 2 in P4 z.b. zxy angeben und sich besser stellen). Also folgt aus C(P 3) = x: P1 P2 P3 P4 P5 P6 x x x x x x Rainald Borck 15

16 Wenn C(P 3) = y folgt aus NM C(P 4) = y. Ferner muss gelten C(P 5) = C(P 6) = z. Wenn statt dessen C(P 5) = x müsste wegen NM C(P 6) = x oder y Man kann zeigen, dass C(P 6) = y nicht mit NM vereinbar ist (wenn man Präferenz xzy für 1 betrachtet) Wenn C(P 6) = x, könnte 2 durch Angabe von yxz im Fall 6 Alternative y erreichen, was NM widerspricht. Also folgt aus C(P 3) = y: P1 P2 P3 P4 P5 P6 x x y y z z Es wird immer die Präferenz von 1 oder immer die von 2 gewählt. Analoges Vorgehen für alle 36 Fälle: immer 1 oder 2 Diktator. Rainald Borck 16