Wer die Wahl hat mathematische Aspekte von Wahlsystemen

Transkript

1 Wer die Wahl hat mathematische Aspekte von Wahlsystemen Dr. Michael Winckler Universität Heidelberg AK Anwendungsorientiert Karlsruhe-Neureuth

2 Übersicht Zum Warmwerden Eigenschaften eines Wahlsystems Wahlsysteme im Überblick Ein paradoxes Beispiel Der Satz von Arrows Ausblick

3 Zum Warmwerden Bürgermeisterwahl in Heidelhausen 101 Wahlberechtigte Kandidat K.Arnold Kandidatin C.Becker Wer gewinnt? Warum?

4 Eigenschaften eines Wahlsystems 1. Anonymität: Alle Wähler werden gleich behandelt. 2. Neutralität: Alle Kandidaten werden gleich behandelt. 3. Monotonie: Steigt ein Kandidat bei einigen Wählern in der Beliebtheit, so kann er sich nicht verschlechtern Sinkt ein Kandidat bei einigen Wählern in der Beliebtheit, so kann er sich nicht verbessern

5 Eigenschaftenstests 1. Anonymität: Wenn zwei beliebige Wähler ihre Präferenzordnung tauschen, sollte das Ergebis gleich bleiben. 2. Neutralität: Wenn alle Wähler zwei Kandidaten bestimmte Kandidaten in ihrer Präferenzordnung tauschen, sollte das Ergebnis gleich bleiben. 3. Monotonie: Wenn ein Kandidat auf manchen Präferenzordnungen steigt, sollte er nicht schlechter abschneiden als vorher (und umgekehrt)

6 Ein spezielles Wahlsystem Die drei Kinder Zoey, Emma und Stan entscheiden, ob der Vater oder die Mutter den nächsten Urlaub planen darf. Zoey V V M V Emma M V M V Stan M M V V Resultat V M M V

7 System 1: Absolute Mehrheit Alle Wähler geben ihre Stimme für ihren beliebtesten Kandidaten ab. Erziehlt dieser Kandidat mehr als 50.0% der Stimmen, so hat er gewonnen. Anmerkung: Bei zwei Kandidaten ist das System das einzige, das alle drei Eigenschaften erfüllt! Anmerkung: Manchmal gibt es keinen Gewinner!!

8 Beispiel: US-Wahl, Florida 2000 George W. Bush Al Gore Ralph Nader Andere

9 System 1b: Relative Mehrheit Alle Wähler geben ihre Stimme für ihren beliebtesten Kandidaten ab. Erziehlt dieser Kandidat mehr Stimmen, als jeder andere, so hat er gewonnen. Anmerkung: (Fast) Jede Wahl kann also entschieden werden! Anmerkung: Manchmal ist der Gewinner nicht der beliebteste Kandidat!!

10 Gegenbeispiel Frank, Gina, Heike und Ian wollen Klassensprecher werden F G H I Ergebnis bei System 1? Ergebnis bei System 1b? Ist das fair? 7 G H I F 5 H I F G 3 I H G F

11 Borda-Count-Verfahren 50 Sportexperten wählen die beste College-Football Mannschaft Notre Dame Nebraska Texas Michigan Southern Cal Auburn Iowa Northwestern

12 System 2: Borda-System Notre Dame Nebraska Texas Michigan Southern Cal Auburn Iowa Northwestern

13 Beispiel Skip, Norm und Jesse wollen Präsident des Jachtklubs werden N S J 28 S N J Ergebnis bei System 1? Ergebnis beim Borda-Count-Verfahren? 20 J N S 17 J S N

14 Das Condorcet-Kriterium Ein Condorcet-Sieger sollte eine Wahl gewinnen (CSC) Ein Condorcet-Verlierer sollte eine Wahl nicht gewinnen (CVC) System 3 - Das Condorcet-Verfahren Wenn es einen Condorcet-Gewinner gibt, erklärt man diesen vorab zum Wahlsieger

15 System 3b: Das Kopf-an-KopfSystem Alle Wähler geben ihre Präferenzordnung ab Es wird eine Wahlreihenfolge festgelegt In dieser Reihenfolge erfolgen 1:1Abstimmungen Der letzte Sieger hat gewonnen

16 Gegenbeispiel Frank, Gina, Heike und Ian wollen Klassensprecher werden F G H I 7 G H I F Ergebnis bei System 3 mit G H F I 5 H I F G 3 I H G F

17 Gegenbeispiel Frank, Gina, Heike und Ian wollen Klassensprecher werden F G H I 7 G H I F Ergebnis bei System 3 mit F G H I? 5 H I F G 3 I H G F

18 System 4: Die Vorzugswahl Alle Wähler geben ihre Präferenzordnung ab Der nach der Präferenzordnung schlechteste Kandidat scheidet aus Diese Ausscheidungen werden wiederholt, bis ein Sieger übrig bleibt Bem.: Man kann diese Wahl u.u. vorzeitig abbrechen (wann?)

19 Beispiel Andreas, Beate und Carla => Beliebteste/r SchülerIn B A C 6 C A B 2 A C B Wer gewinnt bei System 4? Wie wäre die Wahl bei anderen Systemen ausgegangen?

20 Ein ganz paradoxes Beispiel Mehrheitswahlrecht Borda-Count-Verfahren Condorcet-Sieger Vorzugswahl (instant Runoff) Stichwahl-Verfahren

21 Der Satz von Arrows Universalität: Man darf alles Wählen Monotonie Unabhängigkeit von ausscheidenden Verlierern Neutralität Autonomie Keine Diktatur Es gibt kein Wahlsystem, das alle Eigenschaften erfüllt.

22 Beispiele Medaillienspiegel Fussball-Bundesliga! Vergabe der Olympiade Wahl des Bundespräsidenten...

23 Ist das alles nein! Die Präsidentenwahl ist der einfacheste Fall Ein mindestens ebenso komplexes Beispiel ist die Stimmverteilung. Aufgabe: Verteile nach einer Parlamentswahl die Sitze auf die Parteien. Noch ein Beispiel: Faires Tailen zwischen mehreren Personen. Aufgabe: Verteile eine Gesamtheit auf mehrere Beteiligte Hodge, Klima: The Mathematic of Voting and Elections

24 Danke, dass Sie mitgedacht haben!