Wahlen, Macht und Mathematik

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1 Lehrstuhl für Wirtschaftsmathematik Universität Bayreuth 3. Tag der Mathematik

2 Der EU-Gipfel in Brüssel: Juni 2007

3 Um was ging es? Rat der Europäischen Union umgangssprachlich (EU-)Ministerrat wichtigstes Entscheidungsorgan der Europäischen Gemeinschaft besteht aus je einem Regierungsvertreter der Mitgliedsstaaten Vertreter im Rat haben ein Stimmgewicht, das von der Bevölkerungsgröße des jeweiligen Landes abhängt genauer: Stimmgewichte haben sich im Zuge von EU-Erweiterungen verändert nicht jedes Land ist mit den aktuellen Stimmgewichten zufrieden

4 EU-Erweiterungen

5 Stimmgewichte im Ministerrat vor der Osterweiterung Staat Stimmen Deutschland 10 Frankreich 10 Großbritannien 10 Italien 10 Spanien 8 Niederlande 5 Griechenland 5 Portugal 5 Staat Stimmen Belgien 5 Schweden 4 Österreich 4 Dänemark 3 Finnland 3 Irland 3 Luxemburg 2 Quorum 71,2 % mindestens 62 aus 87 Stimmen Qualifizierte Mehrheit

6 Der Vertrag von Nizza (2001) Staat Bevölk. Stimmen Deutschland 82,5 29 Frankreich 59,6 29 Großbritannien 59,3 29 Italien 57,3 29 Spanien 41,6 27 Polen 38,2 27 Rumänien 21,8 14 Niederlande 16,2 13 Griechenland 11,0 12 Portugal 10,4 12 Belgien 10,4 12 Tschechien 10,2 12 Ungarn 10,1 12 Schweden 8,9 10 Staat Bevölk. Stimmen Österreich 8,1 10 Bulgarien 7,9 10 Dänemark 5,4 7 Slowakei 5,4 7 Finnland 5,2 7 Irland 4,0 7 Litauen 3,5 7 Lettland 2,3 4 Slowenien 2,0 4 Estland 1,4 4 Zypern 0,7 4 Luxemburg 0,5 4 Malta 0,4 3 Summe 484,3 345 (1) Mehrheit der Staaten kleineren Staaten (2) Quorum: mindestens 255 (258) aus 345 Stimmen (3) mindestens 62 % der Bevölkerung Bonbon für Deutschland

7 Der Vertrag von Nizza (2001) (1) Mehrheit der Staaten (2) Quorum 71,2 % mindestens 255 (258) aus 345 Stimmen (3) mindestens 62 % der Bevölkerung Kompromiss nach nächtelangem Tauziehen Regel 1 ist für die kleineren Staaten Regel 3 ist der Kompromiss für Deutschland statt einer Stimmzahlerhöhung auf 30 (Ablehnung von Frankreich)

8 Der Vertrag von Nizza (2001) Frage War dies ein guter Kompromiss aus deutscher Sicht? Antwort eines Mathematikers (Werner Kirsch) vor Nizza hatten die großen EU-Staaten Deutschland, Frankreich, Großbritannien und Italien gleich viele Stimmen (je 10) nach der Wiedervereinigung hat Deutschland ein Drittel mehr Einwohner als Frankreich oder Großbritannien Frankreich lehnte Deutschlands Wunsch nach mehr Stimmen ab die 62 % Bevölkerungsregel als Ausgleich bringt quasi nichts: in der EU-15 nur in 1 von Fällen in der EU-27 nur in 1 von Fällen

9 Die EWG Staat Stimmen Deutschland 4 Frankreich 4 Italien 4 Niederlande 2 Belgien 2 Luxemburg 1 Quorum 70 % mindestens 12 aus 17 Stimmen Welche Macht hat Luxemburg?

10 Wie kann man Macht messen? Macht Bezeichnet die Fähigkeit von Individuen und Gruppen, das Verhalten und Denken sozialer Gruppen oder Personen - in ihrem Sinn und Interesse - zu beeinflussen. Abstimmung St.o.L. St.m.L. N N N N N 0 1 N N N N J 2 3 N N N J N 2 3 N N N J J 4 5 N N J N N 4 5 N N J N J 6 7 N N J J N 6 7 N N J J J 8 9 N J N N N 4 5 N J N N J 6 7 N J N J N 6 7 N J N J J 8 9 N J J N N 8 9 N J J N J N J J J N N J J J J Eine Ja/Nein Frage Abstimmung St.o.L. St.m.L. J N N N N 4 5 J N N N J 6 7 J N N J N 6 7 J N N J J 8 9 J N J N N 8 9 J N J N J J N J J N J N J J J J J N N N 8 9 J J N N J J J N J N J J N J J J J J N N J J J N J J J J J N J J J J J Fazit: Luxemburg hat keinen Einfluss.

11 Wann hat man Einfluss auf eine Abstimmung? Beobachtung Nur, wenn meine Stimme etwas am Abstimmungsergebnis ändert, habe ich einen gewissen Einfluss bzw. eine gewisse Macht. Etwas Theorie Die Menge der Länder, die mit Ja stimmen bezeichnen wir als Koalition. z. B.: K = {Deutschland, Belgien} Eine Koalition K heißt gewinnend, wenn sie einen Beschluss durchsetzen kann. z. B.: K = {Deutschland, Frankreich, Italien, Belgien} mit = 14 Stimmen.

12 Wann hat man Einfluss auf eine Abstimmung? Etwas Theorie (Fortsetzung) Die Menge der Länder, die mit Ja stimmen bezeichnen wir als Koalition. Eine Koalition K heißt gewinnend, wenn sie einen Beschluss durchsetzen kann. z. B.: K = {Deutschland, Frankreich, Italien, Belgien} mit = 14 Stimmen. Ein Wähler w in einer Koalition K heißt entscheidend (für K ), wenn K mit w gewinnend, aber ohne w verlierend ist. Im Beispiel sind Deutschland, Frankreich und Italien entscheidend. Mit η(w) zählen wir, in wie vielen Koalitionen Wähler w entscheidend ist.

13 Machtindex nach Banzhaf Deutschland Frankreich Italien Niederlande Belgien Luxemburg Gewinnende Koalitionen: {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 6}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 3, 5, 6}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4, 6}, {1, 2, 3, 4, 5}, {1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6}, 6}, {1, {1, 2, 2, 4, 4, 5}, 5}, {1, 2, 4, 5, 6}, {1, 3, 4, 5}, {1, 3, 4, 5, 6}, {2, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 5, 6} Anzahl entscheidender Wähler: η(1) = 10, η(2) = 10, η(3) = 10, η(4) = 6, η(5) = 6, η(6) = , , , , =0, 000 0, Tabelle: Relative Machtverteilung.

14 Zugrunde liegende Struktur Beobachtung Es kommt nicht direkt auf die Stimmgewichte und das Quorum an. Auch die Stimmgewichte (7, 7, 6, 3, 3, 1) mit einem Quorum von 19 aus 27 Stimmen führen zu einer relativen Machtverteilung von ,238 0,238 0,238 0,143 0,143 0,000 Kritische Koalitionen Eine Koalition K heißt minimal gewinnend falls K gewinnend und alle Wähler w aus K entscheidend sind. Minimal gewinnende Koalitionen im Beispiel: {1, 2, 3}, {1, 2, 4, 5}, {1, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 5}

15 Zurückgewinnung der Information Frage Wie erhält man aus den minimal gewinnenden Koalitionen {1, 2, 3}, {1, 2, 4, 5}, {1, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 5} alle Koalitionen in denen Land 4 entscheidend ist? Beobachtung Eine Koalition ist genau dann gewinnend, wenn sie eine minimal gewinnende Koalition als Teilmenge enthält. {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 6}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 3, 5, 6}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4, 6}, {1, 2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}, {1, 2, 4, 5}, {1, 2, 4, 5, 6}, {1, 3, 4, 5}, {1, 3, 4, 5, 6}, {2, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 5, 6}

16 Zurückgewinnung der Information Antwort Entferne Land 4 und betrachte alle möglichen Erweiterungen der minimal gewinnenden Koalitionen: {1, 2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}, {1, 2, 4, 5}, {1, 2, 4, 5, 6}, {1, 3, 4, 5}, {1, 3, 4, 5, 6}, {2, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 5, 6} Fazit Die Menge der minimal gewinnenden Koalitionen {1, 2, 3}, {1, 2, 4, 5}, {1, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 5} reicht aus, um die Macht jedes Landes zu berechnen.

17 Warum nicht anders? Alternative Warum wählt man nicht z. B. {1, 2, 3}, {1, 2, 4, 5}, {1, 2, 4, 6}, {1, 2, 5, 6}, {1, 3, 4, 5} {1, 3, 4, 6}, {1, 3, 5, 6}, {2, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 6}, {2, 3, 5, 6} als Menge der minimal gewinnenden Koaltitionen, bzw. (2, 2, 2, 1, 1, 1) mit Quorum 6 als Stimmgewichte? Machtverteilung: neu 0,222 0,222 0,222 0,111 0,111 0,111 alt 0,238 0,238 0,238 0,143 0,143 0,000

18 Wieviel Macht pro Land? Brüssel 2007

19 Kompromiss von Nizza (2001) Staat Bev. St.g. St.g. % Macht Bev. Deutschland 21,69 % 29 12,24 % 12,11 % 13,97 % Frankreich 15,67 % 29 12,24 % 11,99 % 11,84 % Großbritannien 15,59 % 29 12,24 % 11,99 % 11,87 % Italien 15,06 % 29 12,24 % 11,99 % 11,70 % Spanien 10,94 % 27 11,39 % 11,11 % 9,68 % Niederlande 4,26 % 13 5,49 % 5,50 % 6,12 % Griechenland 2,89 % 12 5,06 % 5,16 % 5,00 % Belgien 2,73 % 12 5,06 % 5,16 % 4,93 % Portugal 2,73 % 12 5,06 % 5,16 % 4,87 % Schweden 2,34 % 10 4,22 % 4,30 % 4,59 % Österreich 2,13 % 10 4,22 % 4,30 % 4,38 % Dänemark 1,42 % 7 2,95 % 3,09 % 3,55 % Finnland 1,37 % 7 2,95 % 3,09 % 3,50 % Irland 1,05 % 7 2,95 % 3,09 % 2,98 % Luxemburg 0,13 % 4 1,69 % 1,96 % 1,01 % Quorum 169 (1) Quorum Länder: 8 aus 15 (2) Quorum Stimmgewichte: 71,2 % (3) Quorum Bevölkerung: 62 %

20 Doppelte Mehrheit (2004) Artikel I-25 des am 29. Oktober 2004 unterzeichneten, jedoch nicht in Kraft getretenen EU-Verfassungsvertrags mindestens 15 Mitgliedstaaten (d.h. mehr als 55 Prozent der Mitgliedstaaten) mindestens 65 Prozent der EU-Bevölkerung

21 Vergleich des alten und des neuen Verfahrens

22 Wieviel Macht sollte ein Land haben? (erstes) Gedankenexperiment Mit welcher Wahrscheinlichkeit p n spielt meine Stimme in einem Land mit n Einwohnern eine Rolle? Annahmen: die anderen Wähler stimmen zufällig mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 2 für Ja oder Nein. Lösung: ( n 1 p n = n 2 ) 2 n 1

23 Wieviel Macht sollte ein Land haben? (erstes) Gedankenexperiment (Fortsetzung) Was passiert, wenn sich die Bevölkerungszahl vervierfacht? p 100 7, 9589 % p 400 3, 9867 % meine Macht sinkt mit 4. p 400 p 100 p 4k p k 1 2 = 1 4

24 Was sollte nicht passieren? Kandidat George W. Bush Al Gore Partei Republikaner Demokraten Wahlmänner Bundesstaaten DC Wählerstimmen ,9 % 48,4 %

25 Schematische Darstellung einer mehrstufigen Wahl

26 Demokratiedefizit - wie stark weichen Entscheidungen im Rat vom Wählerwillen ab? Demokratiedefizit Minimierungsaufgabe := Z X Finde Stimmgewichte g i so dass das Demokratiedefizit minimal ist. (g 1, g 2,... ) Etwas genauer: Wir wollen die Stimmgewichte g i so bestimmen, dass die mittlere quadratische Abweichung des Ratsvotums vom Bevölkerungsvotum minimal ist: min E ( Z X 2)

27 Schematische Darstellung einer mehrstufigen Wahl

28 Voraussetzungen Annahmen und Festlegungen (1) Ja 1, Nein -1 (2) Die Vorschläge ω sind zufällig (3) Vorschläge ω und Gegenvorschläge ω treten mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf (4) Wähler reagieren in rationaler Weise auf Vorschläge, insbesondere: X i,j (ω) = X i,j (ω) (5) Die Abstimmungsergebnisse in verschiedenen Staaten sind (stochastisch) unabhängig voneinander. Lösung der Minimierungsaufgabe g i = E ( X i ) = E j X i,j

29 Voraussetzungen - Teil II Annahmen und Festlegungen (6) Die Wähler eines Landes entscheiden unabhängig voneinander. Lösung der Minimierungsaufgabe (Fortsetzung) g i N i mit N i = Bevölkerung von Land i

30 Ende Ende Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Zeit für Fragen.

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