Mathematik und Politik: Von Macht, Quadratwurzeln und Ministern. Werner Kirsch Fakultät für Mathematik und Informatik

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1 Mathematik und Politik: Von Macht, Quadratwurzeln und Ministern Werner Kirsch Fakultät für Mathematik und Informatik Zum Jahr der Mathematik FernUniversität Hagen, Oktober 2008

2 Parlamente

3 Parlamente

4 Parlamente

5 Parlamente

6 Parlamente gleiches Stimmrecht für alle

7 Parlamente gleiches Stimmrecht für alle Abstimmungsmodus

8 Parlamente gleiches Stimmrecht für alle Abstimmungsmodus Jedes Mitglied des Parlaments hat eine Stimme.

9 Parlamente gleiches Stimmrecht für alle Abstimmungsmodus Jedes Mitglied des Parlaments hat eine Stimme. Für einen Beschluss ist (in der Regel) mehr als die Hälfte der Stimmen notwendig.

10 Parlamente gleiches Stimmrecht für alle Abstimmungsmodus Jedes Mitglied des Parlaments hat eine Stimme. Für einen Beschluss ist (in der Regel) mehr als die Hälfte der Stimmen notwendig. (Quorum: 1/2)

11 Parlamente gleiches Stimmrecht für alle Abstimmungsmodus Jedes Mitglied des Parlaments hat eine Stimme. Für einen Beschluss ist (in der Regel) mehr als die Hälfte der Stimmen notwendig. (Quorum: 1/2) Gelegentlich werden auch andere Mehrheiten verlangt, z.b.: Zwei-Drittel-Mehrheit bei Verfassungsänderungen.

12 Parlamente gleiches Stimmrecht für alle Abstimmungsmodus Jedes Mitglied des Parlaments hat eine Stimme. Für einen Beschluss ist (in der Regel) mehr als die Hälfte der Stimmen notwendig. (Quorum: 1/2) Gelegentlich werden auch andere Mehrheiten verlangt, z.b.: Zwei-Drittel-Mehrheit bei Verfassungsänderungen. (Quorum: 2/3)

13 Parlamente gleiches Stimmrecht für alle Abstimmungsmodus Jedes Mitglied des Parlaments hat eine Stimme. Für einen Beschluss ist (in der Regel) mehr als die Hälfte der Stimmen notwendig. (Quorum: 1/2) Gelegentlich werden auch andere Mehrheiten verlangt, z.b.: Zwei-Drittel-Mehrheit bei Verfassungsänderungen. (Quorum: 2/3) Ein Mitglied des Parlamentes vertritt die Wähler seines Wahlkreises. Die Wahlkreise haben ungefähr die gleiche Größe.

14 Ra te Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008

15 Ra te Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008

16 Ra te Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008

17 Ra te Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008

18 Ra te Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008

19 Bundesrat unterschiedliche Stimmgewichte Abstimmungsmodus

20 Bundesrat unterschiedliche Stimmgewichte Abstimmungsmodus Die Mitglieder des Bundesrates vertreten ihre Länder.

21 Bundesrat unterschiedliche Stimmgewichte Abstimmungsmodus Die Mitglieder des Bundesrates vertreten ihre Länder. Wegen ihrer unterschiedlichen Größe haben die Länder drei bis sechs Stimmen im Bundesrat.

22 Bundesrat unterschiedliche Stimmgewichte Abstimmungsmodus Die Mitglieder des Bundesrates vertreten ihre Länder. Wegen ihrer unterschiedlichen Größe haben die Länder drei bis sechs Stimmen im Bundesrat. Stimmgewichte g i {3, 4, 5, 6}

23 Bundesrat unterschiedliche Stimmgewichte Abstimmungsmodus Die Mitglieder des Bundesrates vertreten ihre Länder. Wegen ihrer unterschiedlichen Größe haben die Länder drei bis sechs Stimmen im Bundesrat. Stimmgewichte g i {3, 4, 5, 6} Die Stimmen können nur im Block abgegeben werden.

24 Bundesrat unterschiedliche Stimmgewichte Abstimmungsmodus Die Mitglieder des Bundesrates vertreten ihre Länder. Wegen ihrer unterschiedlichen Größe haben die Länder drei bis sechs Stimmen im Bundesrat. Stimmgewichte g i {3, 4, 5, 6} Die Stimmen können nur im Block abgegeben werden. Für einen Beschluss ist (in der Regel) mehr als die Hälfte der Stimmen notwendig. (Quorum: 1/2)

25 Bundesrat unterschiedliche Stimmgewichte Abstimmungsmodus Die Mitglieder des Bundesrates vertreten ihre Länder. Wegen ihrer unterschiedlichen Größe haben die Länder drei bis sechs Stimmen im Bundesrat. Stimmgewichte g i {3, 4, 5, 6} Die Stimmen können nur im Block abgegeben werden. Für einen Beschluss ist (in der Regel) mehr als die Hälfte der Stimmen notwendig. (Quorum: 1/2) Gelegentlich werden auch andere Mehrheiten verlangt, z.b.: Zwei-Drittel-Mehrheit (Quorum: 2/3)

26 Der Rat der Europäischen Union

27 Der Rat der Europäischen Union Der Rat der EU ist (gemeinsam mit dem Europa-Parlament) das gesetzgebende Organ der EU.

28 Der Rat der Europäischen Union Der Rat der EU ist (gemeinsam mit dem Europa-Parlament) das gesetzgebende Organ der EU. Der Rat (Ministerrat) besteht aus je einem Regierungsvertreter der Mitgliedsstaaten.

29 Der Rat der Europäischen Union Der Rat der EU ist (gemeinsam mit dem Europa-Parlament) das gesetzgebende Organ der EU. Der Rat (Ministerrat) besteht aus je einem Regierungsvertreter der Mitgliedsstaaten. Traditionell haben die Vertreter im Rat ein Stimmgewicht, das von der Bevölkerungsgröße des jeweiligen Landes abhängt.

30 Der Rat der Europäischen Union Beispiel: Rat vor der Osterweiterung Deutschland 10 Belgien 5 Frankreich 10 Schweden 4 UK 10 Österreich 4 Italien 10 Dänemark 3 Spanien 8 Finnland 3 Niederlande 5 Irland 3 Griechenland 5 Luxemburg 2 Portugal 5 Quorum 71,2% mindestens 62 aus 87 Stimmen

31 Der Rat der Europäischen Union Der Rat der EU ist (gemeinsam mit dem Europa-Parlament) das gesetzgebende Organ der EU. Der Rat (Ministerrat) besteht aus je einem Regierungsvertreter der Mitgliedsstaaten. Traditionell haben die Vertreter im Rat ein Stimmgewicht, das von der Bevölkerungsgröße des jeweiligen Landes abhängt. Seit dem Vertrag von Nizza (gültig seit der Osterweiterung 2004) ist das Abstimmungsverfahren im Rat deutlich komplizierter:

32 Der Rat der Europäischen Union Der Rat der EU ist (gemeinsam mit dem Europa-Parlament) das gesetzgebende Organ der EU. Der Rat (Ministerrat) besteht aus je einem Regierungsvertreter der Mitgliedsstaaten. Traditionell haben die Vertreter im Rat ein Stimmgewicht, das von der Bevölkerungsgröße des jeweiligen Landes abhängt. Seit dem Vertrag von Nizza (gültig seit der Osterweiterung 2004) ist das Abstimmungsverfahren im Rat deutlich komplizierter: Dreistufiges Verfahren nach dem Vertrag von Nizza.

33 Der Rat der Europäischen Union Der Rat der EU ist (gemeinsam mit dem Europa-Parlament) das gesetzgebende Organ der EU. Der Rat (Ministerrat) besteht aus je einem Regierungsvertreter der Mitgliedsstaaten. Traditionell haben die Vertreter im Rat ein Stimmgewicht, das von der Bevölkerungsgröße des jeweiligen Landes abhängt. Seit dem Vertrag von Nizza (gültig seit der Osterweiterung 2004) ist das Abstimmungsverfahren im Rat deutlich komplizierter: Dreistufiges Verfahren nach dem Vertrag von Nizza. Doppelte Mehrheit nach dem Reformvertrag (Verfassungsentwurf)

34 Räte Weitere Beispiele

35 Räte Weitere Beispiele Der Internationaler Währungsfond

36 Räte Weitere Beispiele Der Internationaler Währungsfond Das Wahlmännergremium der US-Verfassung (Electoral College)

37 Räte Weitere Beispiele Der Internationaler Währungsfond Das Wahlmännergremium der US-Verfassung (Electoral College) Der UN-Sicherheitsrat

38 Räte Weitere Beispiele Der Internationaler Währungsfond Das Wahlmännergremium der US-Verfassung (Electoral College) Der UN-Sicherheitsrat

39 Der Stadt rat ist ein Parlament

40 Gewichtete Abstimmungssysteme

41 Gewichtete Abstimmungssysteme Gewichtete Abstimmungssysteme Ein gewichtetes Abstimmungssystem besteht aus einer Menge W = {1, 2,..., N} von Wählern, Stimmgewichten g 1,..., g N, g i 0 und einem Quorum q. Das Abstimmungsverhalten des Wählers i bezeichnen wir mit X i : X i = 1 bedeutet der Wähler stimmt zu. X i = 0 bedeutet der Wähler stimmt nicht zu. Bei einer Abstimmung werden also N i=1 g i X i Stimmen für den Vorschlag abgegeben. Der Vorschlag ist angenommen, wenn gilt: N g i X i i=1 > q N g i. i=1 Wir bezeichnen ein gewichtetes Abstimmungssystem mit Gewichten g 1,..., g N und Quorum q mit [q; g 1,..., g N ].

42 Stimmgewicht und Einfluss

43 Stimmgewicht und Einfluss Stellen wir uns vor, die Städte Hagen und Dortmund beschließen, demnächst eng zusammenzuarbeiten.

44 Stimmgewicht und Einfluss Stellen wir uns vor, die Städte Hagen und Dortmund beschließen, demnächst eng zusammenzuarbeiten. Dazu bilden die beiden Oberbürgermeister den DoHa Rat, der für beide Städte verbindliche Entscheidungen trifft.

45 Stimmgewicht und Einfluss Stellen wir uns vor, die Städte Hagen und Dortmund beschließen, demnächst eng zusammenzuarbeiten. Dazu bilden die beiden Oberbürgermeister den DoHa Rat, der für beide Städte verbindliche Entscheidungen trifft.

46 Stimmgewicht und Einfluss Stellen wir uns vor, die Städte Hagen und Dortmund beschließen, demnächst eng zusammenzuarbeiten. Dazu bilden die beiden Oberbürgermeister den DoHa Rat, der für beide Städte verbindliche Entscheidungen trifft.

47 Ein Vorschlag für das Abstimmungsverfahren

48 Ein Vorschlag für das Abstimmungsverfahren Hagen hat etwa 195 Tausend Einwohner, Dortmund ca. 583 Tausend.

49 Ein Vorschlag für das Abstimmungsverfahren Hagen hat etwa 195 Tausend Einwohner, Dortmund ca. 583 Tausend. Also erhält Herr Demnitz 2 Stimmen, Herr Langemeyer bekommt 6 Stimmen.

50 Ein Vorschlag für das Abstimmungsverfahren Hagen hat etwa 195 Tausend Einwohner, Dortmund ca. 583 Tausend. Also erhält Herr Demnitz 2 Stimmen, Herr Langemeyer bekommt 6 Stimmen. Entschieden wird mit einfacher Mehrheit.

51 Ein Vorschlag für das Abstimmungsverfahren Hagen hat etwa 195 Tausend Einwohner, Dortmund ca. 583 Tausend. Also erhält Herr Demnitz 2 Stimmen, Herr Langemeyer bekommt 6 Stimmen. Entschieden wird mit einfacher Mehrheit. Herr Dr. Langemeyer freut sich über dieses Verfahren!

52 Die EWG

53 Die EWG Deutschland 4 Frankreich 4 Italien 4 Niederlande 2 Belgien 2 Luxemburg 1 Quorum: 70 % mindestens 12 Stimmen

54 Die EWG Deutschland 4 Frankreich 4 Italien 4 Niederlande 2 Belgien 2 Luxemburg 1 Quorum: 70 % mindestens 12 Stimmen Fazit: Luxemburg hat keinerlei Einfluss.

55 Die EWG Deutschland 4 4 Frankreich 4 4 Italien 4 4 Niederlande 2 3 Belgien 2 2 Luxemburg 1 1 Quorum: mindestens 12 Stimmen

56 Die EWG Deutschland 4 4 Frankreich 4 4 Italien 4 4 Niederlande 2 3 Belgien 2 2 Luxemburg 1 1 Quorum: mindestens 12 Stimmen Fazit: Luxemburg hat den gleichen Einfluss wie Belgien.

57 Die EWG Deutschland 4 Frankreich 4 Italien 4 Niederlande 2 Belgien 2 Luxemburg 1 Quorum: mindestens 11 Stimmen

58 Die EWG Deutschland 4 Frankreich 4 Italien 4 Niederlande 2 Belgien 2 Luxemburg 1 Quorum: mindestens 11 Stimmen Fazit: Luxemburg hat den gleichen Einfluss wie Belgien oder die Niederlande.

59 Etwas Theorie

60 Etwas Theorie Ein Zusammenschluss von Wählern (Abgeordnete, Mitglieder eines Gremiums) heißt Koalition.

61 Etwas Theorie Ein Zusammenschluss von Wählern (Abgeordnete, Mitglieder eines Gremiums) heißt Koalition. Es gibt 2 N Koalitionen. Jeder Wähler ist an 2 N 1 Koalitionen beteiligt.

62 Etwas Theorie Ein Zusammenschluss von Wählern (Abgeordnete, Mitglieder eines Gremiums) heißt Koalition. Es gibt 2 N Koalitionen. Jeder Wähler ist an 2 N 1 Koalitionen beteiligt. Zur Erinnerung: 2 3 = N = }{{} N mal

63 Etwas Theorie Ein Zusammenschluss von Wählern (Abgeordnete, Mitglieder eines Gremiums) heißt Koalition. Es gibt 2 N Koalitionen. Jeder Wähler ist an 2 N 1 Koalitionen beteiligt. Zur Erinnerung: 2 3 = N = }{{} N mal Eine Koalition K heißt gewinnend, wenn sie einen Beschluss durchsetzen kann (über eine ausreichende Mehrheit verfügt).

64 Etwas Theorie Ein Zusammenschluss von Wählern (Abgeordnete, Mitglieder eines Gremiums) heißt Koalition. Es gibt 2 N Koalitionen. Jeder Wähler ist an 2 N 1 Koalitionen beteiligt. Zur Erinnerung: 2 3 = N = }{{} N mal Eine Koalition K heißt gewinnend, wenn sie einen Beschluss durchsetzen kann (über eine ausreichende Mehrheit verfügt). Ein Wähler w in einer Koalition K heißt entscheidend (für K), wenn K mit w gewinnend ist, aber ohne w verlierend ist.

65 Machtindex nach Banzhaf

66 Machtindex nach Banzhaf Für jeden Wähler w zählen wir die Anzahl η(w) der Koalitionen, in denen er entscheidend ist.

67 Machtindex nach Banzhaf Für jeden Wähler w zählen wir die Anzahl η(w) der Koalitionen, in denen er entscheidend ist. Dann ergibt β(w) = η(w) 2 N 1 den Anteil der Koalitionen, für die w entscheidend ist, unter allen Koalitionen, an denen w beteiligt ist. Wir nennen diese Zahl die totale Banzhafmacht von w.

68 Machtindex nach Banzhaf Für jeden Wähler w zählen wir die Anzahl η(w) der Koalitionen, in denen er entscheidend ist. Dann ergibt β(w) = η(w) 2 N 1 den Anteil der Koalitionen, für die w entscheidend ist, unter allen Koalitionen, an denen w beteiligt ist. Wir nennen diese Zahl die totale Banzhafmacht von w. Den (prozentualen) Anteil eines Wählers w an der Macht aller Wähler nenen wir den Banzhaf-Index oder den Machtindex B(w) von w.

69 Beispiel: Ministerrat der EWG Staat Stimmgewicht Machtindex Deutschland 4 23,8 % Frankreich 4 23,8 % Italien 4 23,8 % Niederlande 2 14,3 % Belgien 2 14,3 % Luxemburg 1 0 % Quorum: mindestens 12 Stimmen

70 Abstimmungsverfahren im Rat der EU (aktuell) Das derzeit gültige Abstimmungsverfahren im Rat wurde auf dem EU-Gipfel in Nizza beschlossen. Es umfasst drei Kriterien.

71 Abstimmungsverfahren im Rat der EU (aktuell) Das derzeit gültige Abstimmungsverfahren im Rat wurde auf dem EU-Gipfel in Nizza beschlossen. Es umfasst drei Kriterien. 1 Qualifizierte Mehrheit (ca. 74 %) bei einem gewichteten Abstimmungssystem.

72 Abstimmungsverfahren im Rat der EU (aktuell) Das derzeit gültige Abstimmungsverfahren im Rat wurde auf dem EU-Gipfel in Nizza beschlossen. Es umfasst drei Kriterien. 1 Qualifizierte Mehrheit (ca. 74 %) bei einem gewichteten Abstimmungssystem. 2 Einfache Mehrheit der Staaten.

73 Abstimmungsverfahren im Rat der EU (aktuell) Das derzeit gültige Abstimmungsverfahren im Rat wurde auf dem EU-Gipfel in Nizza beschlossen. Es umfasst drei Kriterien. 1 Qualifizierte Mehrheit (ca. 74 %) bei einem gewichteten Abstimmungssystem. 2 Einfache Mehrheit der Staaten. 3 Die Befürworter müssen mindestens 62 % der EU-Bevölkerung repräsentieren.

74 Stimmgewichte nach Nizza Staat Bev. Stimmen Staat Bev. Stimmen Deutschland 82,5 29 Österreich 8,1 10 Frankreich 59,6 29 Bulgarien 7,9 10 UK 59,3 29 Dänemark 5,4 7 Italien 57,3 29 Slowakei 5,4 7 Spanien 41,6 27 Finnland 5,2 7 Polen 38,2 27 Irland 4,0 7 Rumänien 21,8 14 Litauen 3,5 7 Niederlande 16,2 13 Lettland 2,3 4 Griechenland 11,0 12 Slowenien 2,0 4 Portugal 10,4 12 Estland 1,4 4 Belgien 10,4 12 Zypern 0,7 4 Tschechien 10,2 12 Luxemburg 0,5 4 Ungarn 10,1 12 Malta 0,4 3 Schweden 8,9 10 Summe 484,3 345 Quorum 255 Stimmen

75 Stimmgewichte nach Nizza Staat Bev. Stimmen Staat Bev. Stimmen Deutschland 82,5 29 Österreich 8,1 10 Frankreich 59,6 29 Bulgarien 7,9 10 UK 59,3 29 Dänemark 5,4 7 Italien 57,3 29 Slowakei 5,4 7 Spanien 41,6 27 Finnland 5,2 7 Polen 38,2 27 Irland 4,0 7 Rumänien 21,8 14 Litauen 3,5 7 Niederlande 16,2 13 Lettland 2,3 4 Griechenland 11,0 12 Slowenien 2,0 4 Portugal 10,4 12 Estland 1,4 4 Belgien 10,4 12 Zypern 0,7 4 Tschechien 10,2 12 Luxemburg 0,5 4 Ungarn 10,1 12 Malta 0,4 3 Schweden 8,9 10 Summe 484,3 345 Quorum 255 Stimmen oder 258?

76 Abstimmungsverfahren im Rat der EU (aktuell) Das derzeit gültige Abstimmungsverfahren im Rat wurde auf dem EU-Gipfel in Nizza beschlossen. Es umfasst drei Kriterien. 1 Qualifizierte Mehrheit (ca. 74 %) bei einem gewichteten Abstimmungssystem. 2 Einfache Mehrheit der Staaten. 3 Die Befürworter müssen mindestens 62 % der EU-Bevölkerung repräsentieren.

77 Machtverhältnisse nach Nizza Staat Bev. BI: Nizza Staat Bev. BI: Nizza Deutschland 82,5 7,78 Österreich 8,1 3,09 Frankreich 59,6 7,78 Bulgarien 7,9 3,09 UK 59,3 7,78 Dänemark 5,4 2,18 Italien 57,3 7,78 Slowakei 5,4 2,18 Spanien 41,6 7,42 Finnland 5,2 2,18 Polen 38,2 7,42 Irland 4,0 2,18 Rumänien 21,8 4,26 Litauen 3,5 2,18 Niederlande 16,2 3,97 Lettland 2,3 1,25 Griechenland 11,0 3,68 Slowenien 2,0 1,25 Portugal 10,4 3,68 Estland 1,4 1,25 Belgien 10,4 3,68 Zypern 0,7 1,25 Tschechien 10,2 3,68 Luxemburg 0,5 1,25 Ungarn 10,1 3,68 Malta 0,4 0,94 Schweden 8,9 3,09 Summe 484,3 100,00

78 Abstimmungsverfahren im Rat der EU (aktuell) Das derzeit gültige Abstimmungsverfahren im Rat wurde auf dem EU-Gipfel in Nizza beschlossen. Es umfasst drei Kriterien. 1 Qualifizierte Mehrheit (ca. 74 %) bei einem gewichteten Abstimmungssystem. 2 Einfache Mehrheit der Staaten. 3 Die Befürworter müssen mindestens 62 % der EU-Bevölkerung repräsentieren.

79 Abstimmungsverfahren im Rat der EU (aktuell) Das derzeit gültige Abstimmungsverfahren im Rat wurde auf dem EU-Gipfel in Nizza beschlossen. Es umfasst drei Kriterien. 1 Qualifizierte Mehrheit (ca. 74 %) bei einem gewichteten Abstimmungssystem. 2 Einfache Mehrheit der Staaten. 3 Die Befürworter müssen mindestens 62 % der EU-Bevölkerung repräsentieren. Der inzwischen gescheiterte Verfassungsentwurf sollte ein neues Abstimmungsverfahren einführen, die doppelte Mehrheit:

80 Abstimmungsverfahren im Rat der EU (aktuell) Das derzeit gültige Abstimmungsverfahren im Rat wurde auf dem EU-Gipfel in Nizza beschlossen. Es umfasst drei Kriterien. 1 Qualifizierte Mehrheit (ca. 74 %) bei einem gewichteten Abstimmungssystem. 2 Einfache Mehrheit der Staaten. 3 Die Befürworter müssen mindestens 62 % der EU-Bevölkerung repräsentieren. Der inzwischen gescheiterte Verfassungsentwurf sollte ein neues Abstimmungsverfahren einführen, die doppelte Mehrheit: 1 Qualifizierte Mehrheit (55 %) der Staaten.

81 Abstimmungsverfahren im Rat der EU (aktuell) Das derzeit gültige Abstimmungsverfahren im Rat wurde auf dem EU-Gipfel in Nizza beschlossen. Es umfasst drei Kriterien. 1 Qualifizierte Mehrheit (ca. 74 %) bei einem gewichteten Abstimmungssystem. 2 Einfache Mehrheit der Staaten. 3 Die Befürworter müssen mindestens 62 % der EU-Bevölkerung repräsentieren. Der inzwischen gescheiterte Verfassungsentwurf sollte ein neues Abstimmungsverfahren einführen, die doppelte Mehrheit: 1 Qualifizierte Mehrheit (55 %) der Staaten. 2 Die Befürworter müssen mindestens 65 % der EU-Bevölkerung repräsentieren.

82 Machtverhältnisse: Nizza und doppelte Mehrheit Staat Bev. Nizza R.V. Staat Bev. Nizza R.V. Deutschland 82,5 7,78 11,87 Österreich 8,1 3,09 2,52 Frankreich 59,6 7,78 8,73 Bulgarien 7,9 3,09 2,50 UK 59,3 7,78 8,69 Dänemark 5,4 2,18 2,19 Italien 57,3 7,78 8,44 Slowakei 5,4 2,18 2,19 Spanien 41,6 7,42 6,38 Finnland 5,2 2,18 2,17 Polen 38,2 7,42 5,89 Irland 4,0 2,18 2,02 Rumänien 21,8 4,26 4,22 Litauen 3,5 2,18 1,96 Niederlande 16,2 3,97 3,51 Lettland 2,3 1,25 1,81 Griechenland 11,0 3,68 2,87 Slowenien 2,0 1,25 1,78 Portugal 10,4 3,68 2,80 Estland 1,4 1,25 1,70 Belgien 10,4 3,68 2,80 Zypern 0,7 1,25 1,62 Tschechien 10,2 3,68 2,78 Luxemburg 0,5 1,25 1,59 Ungarn 10,1 3,68 2,76 Malta 0,4 0,94 1,58 Schweden 8,9 3,09 2,62 Summe 484,3 100,00 100,00

83 Der EU-Gipfel in Bru ssel: Juni 2007 Entscheidung u ber das Abstimmungsverfahren im Rat. Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008

84 Quadratwurzel...

85 Quadratwurzel oder Tod!

86 Der EU-Gipfel in Brüssel: Juni 2007 Gipfelergebnis

87 Kommentare

88 Kommentare The square root of all the European Union s problems Financial Times, June 12, 2007 The Poles slogan for the summit - the square root or death - neatly combines obscurity, absurdity and vehemence,... Almost nobody else wants the baffling square root system, but the Poles have the power to block any agreement. The Poles really could bring the whole thing crashing down, says a senior British diplomat...

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90 Trotzdem: Was ist das Quadratwurzelsystem?

91 Trotzdem: Was ist das Quadratwurzelsystem? Man nehme für jeden Staat seine Bevölkerung in Millionen, also z.b. Deutschland 81, Polen 36 usw.

92 Trotzdem: Was ist das Quadratwurzelsystem? Man nehme für jeden Staat seine Bevölkerung in Millionen, also z.b. Deutschland 81, Polen 36 usw. Man ziehe daraus die Quadratwurzel (=Wurzel), also z.b. 81 = 9 für Deutschland, oder 36 = 6.

93 Trotzdem: Was ist das Quadratwurzelsystem? Man nehme für jeden Staat seine Bevölkerung in Millionen, also z.b. Deutschland 81, Polen 36 usw. Man ziehe daraus die Quadratwurzel (=Wurzel), also z.b. 81 = 9 für Deutschland, oder 36 = 6. Diese Zahlen ergeben die Stimmgewichte.

94 Trotzdem: Was ist das Quadratwurzelsystem? Man nehme für jeden Staat seine Bevölkerung in Millionen, also z.b. Deutschland 81, Polen 36 usw. Man ziehe daraus die Quadratwurzel (=Wurzel), also z.b. 81 = 9 für Deutschland, oder 36 = 6. Diese Zahlen ergeben die Stimmgewichte. Man setze das Quorum auf 61%.

95 Trotzdem: Was ist das Quadratwurzelsystem? Man nehme für jeden Staat seine Bevölkerung in Millionen, also z.b. Deutschland 81, Polen 36 usw. Man ziehe daraus die Quadratwurzel (=Wurzel), also z.b. 81 = 9 für Deutschland, oder 36 = 6. Diese Zahlen ergeben die Stimmgewichte. Man setze das Quorum auf 61%. Damit ergibt sich ein gewichtetes Abstimmungssystem.

96 Vergleich der Systeme Bev. Nizza Ref.v. QW Bev. Nizza Ref.v. QW DE 82,5 7,78 11,87 9,54 AT 8,1 3,09 2,52 2,98 FR 59,6 7,78 8,73 8,11 BG 7,9 3,09 2,50 2,94 GB 59,3 7,78 8,69 8,09 DK 5,4 2,18 2,19 2,44 IT 57,3 7,78 8,44 7,95 SK 5,4 2,18 2,19 2,44 ES 41,6 7,42 6,38 6,77 FI 5,2 2,18 2,17 2,40 PL 38,2 7,42 5,89 6,49 IE 4,0 2,18 2,02 2,09 RO 21,8 4,26 4,22 4,90 LT 3,5 2,18 1,96 1,95 NL 16,2 3,97 3,51 4,23 LV 2,3 1,25 1,81 1,60 GR 11,0 3,68 2,87 3,49 SI 2,0 1,25 1,78 1,48 PT 10,4 3,68 2,80 3,39 EE 1,4 1,25 1,70 1,22 BE 10,4 3,68 2,80 3,38 CY 0,7 1,25 1,62 0,89 CZ 10,2 3,68 2,78 3,36 LU 0,5 1,25 1,59 0,70 HU 10,1 3,68 2,76 3,34 MT 0,4 0,94 1,58 0,66 SE 8,9 3,09 2,62 3,14 484,

97 Vergleich der Systeme Staat Nizza Reform-V. Staat Nizza Reform-V. Deutschland -18,45 24,34 Österreich 3,63-15,50 Frankreich -4,05 7,67 Bulgarien 5,08-15,15 UK -3,81 7,44 Dänemark -10,52-10,04 Italien -2,14 6,06 Slowakei -10,48-10,00 Spanien 9,58-5,74 Finnland -9,01-9,54 Polen 14,26-9,35 Irland 4,32-3,29 Rumänien -13,10-13,89 Litauen 11,57 0,30 Niederlande -5,98-17,00 Lettland -22,05 13,07 Griechenland 5,66-17,56 Slowenien -15,74 19,72 Portugal 8,69-17,35 Estland 2,21 39,22 Belgien 8,99-17,12 Zypern 40,26 81,38 Tschechien 9,80-17,23 Luxemburg 77,76 126,34 Ungarn 10,15-17,34 Malta 42,30 138,56 Schweden -1,54-16,62

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99

100 Was ist ein gerechtes Abstimmungssystem?

101 Was ist ein gerechtes Abstimmungssystem? Grundannahme: Repräsentative Demokratie funktioniert!

102 Was ist ein gerechtes Abstimmungssystem? Grundannahme: Repräsentative Demokratie funktioniert! Die Regierungen vertreten im Rat die Interessen ihrer Bürger.

103 Was ist ein gerechtes Abstimmungssystem? Grundannahme: Repräsentative Demokratie funktioniert! Die Regierungen vertreten im Rat die Interessen ihrer Bürger. Die Regierungen wissen, wie die Mehrheit in ihrem Land in der zur Abstimmung stehenden Frage denkt.

104 Was ist ein gerechtes Abstimmungssystem? Grundannahme: Repräsentative Demokratie funktioniert! Die Regierungen vertreten im Rat die Interessen ihrer Bürger. Die Regierungen wissen, wie die Mehrheit in ihrem Land in der zur Abstimmung stehenden Frage denkt. Die Regierungen stimmen so ab, wie die Mehrheit in ihrem Land möchte.

105 Was ist ein gerechtes Abstimmungssystem? Grundannahme: Repräsentative Demokratie funktioniert! Die Regierungen vertreten im Rat die Interessen ihrer Bürger. Die Regierungen wissen, wie die Mehrheit in ihrem Land in der zur Abstimmung stehenden Frage denkt. Die Regierungen stimmen so ab, wie die Mehrheit in ihrem Land möchte. Damit ist das System Wähler Ministerrat ein zusammengesetztes Abstimmungssystem, in dem die Wähler (indirekt) Einfluss ausüben. Wir können daher von der Macht eines Wählers bei Abstimmungen im Rat sprechen.

106 Schematische Darstellung Vorschläge Wähler Abstimmung Abstimmung der Wähler im Ministerrat Staat 1 X 12 X 12 X X 1N Y 1 Rat ω Z Staat M X M1 X M2 X M3... X ML Y M

107 Ein Kriterium für Gerechtigkeit

108 Ein Kriterium für Gerechtigkeit Bei einem gerechten Abstimmungssystem im Rat sollte jeder Wähler, unabhängig von seinem Herkunftsland den gleichen Einfluss auf Entscheidungen des Rates haben.

109 Ein bisschen Kombinatorik

110 Ein bisschen Kombinatorik Fragestellung Gegeben N Objekte (z.b. Lotto: Zahlen von 1 bis 49), auf wie viele Arten kann ich daraus K Objekte aussuchen (z.b. 6 Richtige)?

111 Ein bisschen Kombinatorik Fragestellung Gegeben N Objekte (z.b. Lotto: Zahlen von 1 bis 49), auf wie viele Arten kann ich daraus K Objekte aussuchen (z.b. 6 Richtige)? Antwort ( ) Auf N K Dabei ist: Arten. ( ) N K = N! K! (N K)! und N! = N (N 1) (N 2) :

112 Beispiel Beim 6 aus 49 Lotto gibt es ( ) 49 = Möglichkeiten.

113 Der Einfluss eines Wählers in seinem Land

114 Der Einfluss eines Wählers in seinem Land Wir betrachten einen Wähler w in einem Land mit N = 2n + 1 Einwohnern.

115 Der Einfluss eines Wählers in seinem Land Wir betrachten einen Wähler w in einem Land mit N = 2n + 1 Einwohnern. Bei einer Abstimmung in seinem Land ist w entscheidend, wenn eine Abstimmung der anderen Wähler ein Patt ergibt, wenn also n Wähler mit JA und n Wähler mit NEIN stimmen.

116 Der Einfluss eines Wählers in seinem Land Wir betrachten einen Wähler w in einem Land mit N = 2n + 1 Einwohnern. Bei einer Abstimmung in seinem Land ist w entscheidend, wenn eine Abstimmung der anderen Wähler ein Patt ergibt, wenn also n Wähler mit JA und n Wähler mit NEIN stimmen. Es gibt ( ) 2n n solcher Koalitionen.

117 Die Macht eines Wählers

118 Die Macht eines Wählers Danach ist die Macht β(i) eines Wählers gegeben durch: β(i) = 1 ( 2n ) 2 2n n

119 Die Macht eines Wählers Danach ist die Macht β(i) eines Wählers gegeben durch: β(i) = 1 ( 2n ) 2 2n n = (2n)! 2 2n n! n!

120 Die Macht eines Wählers Danach ist die Macht β(i) eines Wählers gegeben durch: 1 ( 2n ) β(i) = 2 2n = (2n)! n 2 2n n! n! 2 2n n 2n e 2n 4πn 2 2n n n n n e n e n 2πn 2πn

121 Die Macht eines Wählers Danach ist die Macht β(i) eines Wählers gegeben durch: β(i) = 1 ( 2n ) 2 2n = (2n)! n 2 2n n! n! 2 2n n 2n e 2n 4πn 2 2n n n n n e n e n 2πn 2πn C N

122 Die Macht eines Wählers Danach ist die Macht β(i) eines Wählers gegeben durch: β(i) = 1 ( 2n ) 2 2n = (2n)! n 2 2n n! n! 2 2n n 2n e 2n 4πn 2 2n n n n n e n e n 2πn 2πn C N Resultat Damit jeder Wähler im Rat den gleichen Einfluss hat, muss der Einfluss des Regierungsvertreters proportional zur Quadratwurzel aus der Bevölkerungszahl seines Landes sein.

123 Die Macht eines Wählers Danach ist die Macht β(i) eines Wählers gegeben durch: β(i) = 1 ( 2n ) 2 2n = (2n)! n 2 2n n! n! 2 2n n 2n e 2n 4πn 2 2n n n n n e n e n 2πn 2πn C N Resultat Damit jeder Wähler im Rat den gleichen Einfluss hat, muss der Einfluss des Regierungsvertreters proportional zur Quadratwurzel aus der Bevölkerungszahl seines Landes sein. Quadratwurzelgesetz von Penrose (1946).

124 Vom Einfluss zum Stimmgewicht

125 Vom Einfluss zum Stimmgewicht Problem Wie finden wir ein Abstimmungssystem, bei dem die Macht gerade nach dem Quadratwurzelgesetz verteilt ist?

126 Vom Einfluss zum Stimmgewicht Problem Wie finden wir ein Abstimmungssystem, bei dem die Macht gerade nach dem Quadratwurzelgesetz verteilt ist? Der Jagiellonische Kompromiss

127 Vom Einfluss zum Stimmgewicht Problem Wie finden wir ein Abstimmungssystem, bei dem die Macht gerade nach dem Quadratwurzelgesetz verteilt ist? Der Jagiellonische Kompromiss Verteile die Stimmgewichte nach den Quadratwurzeln.

128 Vom Einfluss zum Stimmgewicht Problem Wie finden wir ein Abstimmungssystem, bei dem die Macht gerade nach dem Quadratwurzelgesetz verteilt ist? Der Jagiellonische Kompromiss Verteile die Stimmgewichte nach den Quadratwurzeln. Suche systematisch nach einem Quorum, bei dem auch der Machtindex nach den Quadratwurzeln verteilt ist.

129 Vom Einfluss zum Stimmgewicht Problem Wie finden wir ein Abstimmungssystem, bei dem die Macht gerade nach dem Quadratwurzelgesetz verteilt ist? Der Jagiellonische Kompromiss Verteile die Stimmgewichte nach den Quadratwurzeln. Suche systematisch nach einem Quorum, bei dem auch der Machtindex nach den Quadratwurzeln verteilt ist. Ergebnis: Bei q = 61, 2% praktisch vollständig gegeben.

130 Vom Einfluss zum Stimmgewicht Problem Wie finden wir ein Abstimmungssystem, bei dem die Macht gerade nach dem Quadratwurzelgesetz verteilt ist? Der Jagiellonische Kompromiss Verteile die Stimmgewichte nach den Quadratwurzeln. Suche systematisch nach einem Quorum, bei dem auch der Machtindex nach den Quadratwurzeln verteilt ist. Ergebnis: Bei q = 61, 2% praktisch vollständig gegeben. Wurde von Wojchiech S lomczyński und Karol Życzkowski von der Jagiellonischen Universität in Kraukau vorgeschlagen.

131 Ein probabilistischer Zugang

132 Ein probabilistischer Zugang Das Model

133 Ein probabilistischer Zugang Das Model Es gibt M Staaten (Untereinheiten): S 1,..., S M, die eine Zusammenschluss (Union) bilden.

134 Ein probabilistischer Zugang Das Model Es gibt M Staaten (Untereinheiten): S 1,..., S M, die eine Zusammenschluss (Union) bilden. Staat S ν has N ν Wähler.

135 Ein probabilistischer Zugang Das Model Es gibt M Staaten (Untereinheiten): S 1,..., S M, die eine Zusammenschluss (Union) bilden. Staat S ν has N ν Wähler. Das Wahlverhalten des Wählers i im Staat S ν ist X νi.

136 Ein probabilistischer Zugang Das Model Es gibt M Staaten (Untereinheiten): S 1,..., S M, die eine Zusammenschluss (Union) bilden. Staat S ν has N ν Wähler. Das Wahlverhalten des Wählers i im Staat S ν ist X νi. X νi = 1 steht für JA und X νi = 1 für NEIN.

137 Ein probabilistischer Zugang Das Model Es gibt M Staaten (Untereinheiten): S 1,..., S M, die eine Zusammenschluss (Union) bilden. Staat S ν has N ν Wähler. Das Wahlverhalten des Wählers i im Staat S ν ist X νi. X νi = 1 steht für JA und X νi = 1 für NEIN. X νi = X νi (ω) hängt vom Abstimmungsgegenstand, dem Vorschlag ω ab.

138 Schematische Darstellung Vorschläge Wähler Abstimmung Abstimmung der Wähler im Ministerrat Staat 1 X 12 X 12 X X 1N Y 1 Rat ω Z Staat M X M1 X M2 X M3... X ML Y M

139 Die Mehrheitsmeinung

140 Die Mehrheitsmeinung Aus dem Abstimmungsverhalten der Wähler ergibt sich die Mehrheitsmeinung im Staat S ν aus: X ν = N ν i=1 X νi Sie ist JA wenn X ν > 0.

141 Die Mehrheitsmeinung Aus dem Abstimmungsverhalten der Wähler ergibt sich die Mehrheitsmeinung im Staat S ν aus: X ν = N ν i=1 X νi Sie ist JA wenn X ν > 0. Analog ergibt sich die Mehrheitsmeinung (Popular Vote) in der Union aus: X = M X ν = ν=1 M ν=1 N ν i=1 X νi

142 Abstimmung im Rat

143 Abstimmung im Rat Nach unserer Grundannahme stimmen der Vertreter von S ν im Rat so, wie es die Mehrheit in S ν erwartet.

144 Abstimmung im Rat Nach unserer Grundannahme stimmen der Vertreter von S ν im Rat so, wie es die Mehrheit in S ν erwartet. Also ist das Abstimmungsergebnis im Rat: Z = M ν=1 g ν χ(x ν ) = M ν=1 N ν g ν χ( i=1 X νi ) wobei χ(x) = { 1 falls x > 0 1 falls x 0

145 Abstimmung im Rat Nach unserer Grundannahme stimmen der Vertreter von S ν im Rat so, wie es die Mehrheit in S ν erwartet. Also ist das Abstimmungsergebnis im Rat: Z = M ν=1 g ν χ(x ν ) = M ν=1 N ν g ν χ( i=1 X νi ) wobei χ(x) = Die Größe { 1 falls x > 0 1 falls x 0 heißt das Demokratiedefizit. = Z X

146 Demokratische Machtverteilung

147 Demokratische Machtverteilung Wir möchten die Stimmgewichte g ν im Rat so wählen, dass das Demokratiedefizit so klein wie möglich ist.

148 Demokratische Machtverteilung Wir möchten die Stimmgewichte g ν im Rat so wählen, dass das Demokratiedefizit so klein wie möglich ist. Finde die g ν so dass Minimierungs-Aufgabe = (g 1,..., g ν ) miminal ist.

149 Wir suchen die optimalen Gewichte g ν so, dass das Demoklratiedefizit im Mittel möglichst klein ist. Genauer: Wir wollen die g ν so bestimmen, dass die mittlere quadratische Abweichung des Ratsvotums vom Bevölkerungsvotum minimal ist: E( 2 ) = E( Z X 2 )

150 Wir suchen die optimalen Gewichte g ν so, dass das Demoklratiedefizit im Mittel möglichst klein ist. Genauer: Wir wollen die g ν so bestimmen, dass die mittlere quadratische Abweichung des Ratsvotums vom Bevölkerungsvotum minimal ist: E( 2 ) = E( Z X 2 ) E ist der erwartete Wert bezüglich einer Wahrscheinlichkeit P, die wir noch spezifizieren müssen.

151 Schematische Darstellung Vorschläge Wähler Abstimmung Abstimmung der Wähler im Ministerrat Staat 1 X 12 X 12 X X 1N Y 1 Rat ω Z Staat M X M1 X M2 X M3... X ML Y M

152 Symmetrie der Abstimmungsergebnisse

153 Symmetrie der Abstimmungsergebnisse Annahmen

154 Symmetrie der Abstimmungsergebnisse Annahmen 1 Die Vorschläge ω sind zufällig.

155 Symmetrie der Abstimmungsergebnisse Annahmen 1 Die Vorschläge ω sind zufällig. 2 Wir nehmen an, dass jeder Vorschläge ω und sein Gegenteil ω mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten.

156 Symmetrie der Abstimmungsergebnisse Annahmen 1 Die Vorschläge ω sind zufällig. 2 Wir nehmen an, dass jeder Vorschläge ω und sein Gegenteil ω mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten. 3 Die Wähler reagieren in rationaler Weise auf die Vorschläge, insbesondere: X νi ( ω) = X νi (ω)

157 Symmetrie der Abstimmungsergebnisse Annahmen 1 Die Vorschläge ω sind zufällig. 2 Wir nehmen an, dass jeder Vorschläge ω und sein Gegenteil ω mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten. 3 Die Wähler reagieren in rationaler Weise auf die Vorschläge, insbesondere: X νi ( ω) = X νi (ω) Daraus folgt insbesondere: P({X νi } = {a νi }) = P({X νi } = { a νi }) P(X νi = 1) = P(X νi = 1) = 1 2

158 Annahmen II Unabhängigkeit Die Abstimmungsergebnisse in verschiedenen Staaten sind unabhängig voneinander: X νi and X κj sind (stochastisch) unabhängig, falls ν κ

159 Annahmen II Unabhängigkeit Die Abstimmungsergebnisse in verschiedenen Staaten sind unabhängig voneinander: X νi and X κj sind (stochastisch) unabhängig, falls ν κ Ergebnis Die optimalen Gewichte g ν sind gegeben durch: N ν g ν = E( X ν ) = E( X νi ) i=1

160 Annahmen II Unabhängigkeit Die Abstimmungsergebnisse in verschiedenen Staaten sind unabhängig voneinander: X νi and X κj sind (stochastisch) unabhängig, falls ν κ Ergebnis Die optimalen Gewichte g ν sind gegeben durch: N ν g ν = E( X ν ) = E( X νi ) Problem i=1 Berechne E( N i=1 X i )!

161 Unabhängige Wähler

162 Unabhängige Wähler Annahme Die X i sind ebenfalls unabhängig.

163 Unabhängige Wähler Annahme Die X i sind ebenfalls unabhängig. Ergebnis E( N i=1 X i ) N

164 Modelle der statistischen Physik

165 Modelle der statistischen Physik Wähler als Spins

166 Modelle der statistischen Physik Wähler als Spins Statt die Werte X i = 1, 1 als JA oder NEIN zu interpretieren, könnten wir uns auch kleine Elementarmagnete (Spins) vorstellen, die nach oben oder unten ausgerichtet sind.

167 Modelle der statistischen Physik Wähler als Spins Statt die Werte X i = 1, 1 als JA oder NEIN zu interpretieren, könnten wir uns auch kleine Elementarmagnete (Spins) vorstellen, die nach oben oder unten ausgerichtet sind. Damit stehen Modelle der statistischen Mechanik zur Verfügung, z.b. das Curie-Weiss-Modell des Magnetismus.

168 Modelle der statistischen Physik Wähler als Spins Statt die Werte X i = 1, 1 als JA oder NEIN zu interpretieren, könnten wir uns auch kleine Elementarmagnete (Spins) vorstellen, die nach oben oder unten ausgerichtet sind. Damit stehen Modelle der statistischen Mechanik zur Verfügung, z.b. das Curie-Weiss-Modell des Magnetismus. Die Spins (Wähler) interagieren miteinander und versuchen eine gemeinsame Richtung (Meinung) zu finden. Die Stärke der Wechselwirkung wird durch einen Parameter J 0 beschrieben.