Methodenlehreklausur 4/04 Diplom Name: 1. Bearbeitungszeit: 2 Stunden 30 Minuten Zugelassene Hilfsmittel: Taschenrechner. Teil I: Offenes Beispiel

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1 Methodenlehreklausur 4/04 Diplom Name: 1 Bearbeitungszeit: 2 Stunden 30 Minuten Zugelassene Hilfsmittel: Taschenrechner Teil I: Offenes Beispiel Werner Kirsch: Europa, nachgerechnet. In der EU müssen die Stimmgewichte der Mitglieder gerecht verteilt werden. Eine praktikable Lösung wäre das Quadratwurzelgesetz. DIE ZEIT vom Nr.25, S. 13 [...] Jede formale Untersuchung von Abstimmungssystemen beruht auf dem Konzept des Machtindexes, das 1946 von dem britischen Arzt und Mathematiker Lionel Penrose und dem amerikanischen Rechtsanwalt John Banzhaf eingeführt wurde. Ihm liegt der Gedanke zugrunde, dass Macht in einem Gremium die Fähigkeit ist, das Resultat einer Abstimmung durch eigenes Stimmverhalten zu ändern. Um den Machtindex zu berechnen, zählt man für jedes Mitglied, wie häufig seine Stimme bei allen denkbaren Abstimmungskonstellationen den Ausschlag gibt. Zu diesem Zweck werden alle Möglichkeiten durchgespielt, wie die anderen Mitglieder mit Ja oder Nein abstimmen könnten. Die Stimme eines Mitgliedes gibt den Ausschlag, wenn sein Ja dem Vorschlag zum Erfolg verhilft und sein Nein zur Ablehnung führt. Die so für jedes Mitglied zusammengezählten Fälle, in denen es das Geschehen bestimmt (absoluter Machtindex), werden in prozentuale Anteile an der Macht umgerechnet: Dies ist der Machtindex. Hat also ein Mitglied einen Machtindex von zehn Prozent, ein anderes einen Index von fünf Prozent, dann ist das Abstimmungsverhalten des ersten Mitgliedes doppelt so oft wahlentscheidend wie das Abstimmungsverhalten des zweiten Mitgliedes. Trotz seiner relativen Einfachheit wies bereits das Abstimmungsverfahren der EWG von 1958 eine Ungereimtheit auf. Die großen Staaten Frankreich, Deutschland, Italien hatten je vier Stimmen, Belgien und die Niederlande je zwei und Luxemburg als kleinster Mitgliedsstaat hatte nur eine Stimme. Für einen Beschluss waren mindestens zwölf Stimmen erforderlich. Erstaunlicherweise nützte die Stimme von Luxemburg dem Großherzogtum gar nichts: Egal, wie die anderen votierten, die Stimme Luxemburg konnte das Ergebnis nicht ändern, denn dazu wären ohne Luxemburg gerade elf Stimmen nötig gewesen, was rechnerisch unmöglich war. Luxemburg hatte also den Machtindex null. Kann man die Machtverhältnisse im Ministerrat der EWG mit sechs Mitgliedern noch ohne Hilfsmittel analysieren, so ist dies für die vorgeschlagenen Verfahren in der EU mit ihren 25 (und demnächst 27) Mitgliedern unmöglich. Hier muss man sich eines Computers bedienen, der alle möglichen Abstimmungsvarianten der Mitglieder durchspielt. Dem Vertrag von Nizza zufolge... besteht das Abstimmungsverfahren aus drei Schritten. Zunächst müssen mehr als die Hälfte der Mitgliedsländer einem Vorschlag zustimmen. Dann wird nach ausgehandelten Stimmgewichten abgestimmt, hier haben Deutschland, Frankreich, Großbritannien und Italien je 29 Stimmen, Spanien und Polen je 27, bis hin zu Malta als kleinstem Land mit 3 Stimmen. Dabei ist für die Annahme eines Vorschlages ein Quorum (Mindeststimmenzahl) von 232 bei 321 möglichen Stimmen erforderlich. Die in nächtelangem Feilschen ausgehandelten Stimmgewichte lassen leider keinerlei Systematik erkennen. Deutschland hat mit 82,5 Millionen Einwohnern genau so viele Stimmen wie Italien mit 57 Millionen Einwohnern, nämlich 29, Polen mit weniger als der Hälfte der Einwohner Deutschlands immerhin noch 27 Stimmen. Wohl als Kompensation für das geringe Stimmgewicht Deutschlands wurde ein drittes Kriterium eingeführt, nach dem die Befürworter eines Vorschlages mindestens 62 Prozent der EU-Bevölkerung repräsentieren müssen. Hier scheint auf den ersten Blick die hohe Bevölkerungszahl Deutschlands von Vorteil zu sein. Tatsächlich zeigt aber die Berechnung der Machtindizes für das Verfahren von Nizza, dass das erste Abstimmungskriterium (einfache Mehrheit der Staaten) und das dritte Kriterium (62 Prozent der Bevölkerung) kaum messbaren Einfluss auf die Entscheidungen des Ministerrates haben. Insbesondere liegen die Machtindizes der vier größten Staaten Deutschland, Frankreich, Großbritannien und Italien bei 8,56 Prozent mit Unterschieden erst in der vierten Nachkommastelle, während Spanien und Polen bei 8,12 Prozent liegen. Das Bevölkerungskriterium bringt Deutschland also so gut wie gar nichts ein. Der Verfassungsentwurf des Europäischen Konvents hingegen enthält ein durchschaubareres Abstimmungssystem für den Ministerrat: Für die Annahme eines Antrages sind die einfache Mehrheit der Staaten und mindestens 60 Prozent der Bevölkerung nötig. Im Wesentlichen wurde also der mittlere und entscheidende Schritt von Nizza, die Abstimmung nach Gewichten, weggelassen. Eine Analyse der Machtverhältnisse zeigt, dass sie sich damit im Vergleich zu Nizza erheblich ändern. Die vier großen Staaten erhalten deutliche Machtzuwächse: Der Machtindex von Deutschland steigt auf 13,35, der Machtindex von Frankreich auf 9,52. Dagegen verlieren die weniger großen Staaten von Spanien und Polen (6,8) bis Litauen deutlich an Einfluss. Erst die kleinen Staaten (von Lettland bis Malta) gewinnen etwas Macht. [...]

2 Methodenlehreklausur 4/04 Diplom Name: 2 Auf den ersten Blick scheint das Abstimmungssystem des Verfassungsentwurfes klar und einleuchtend und vor allem gerecht zu sein. Durch den ersten Schritt werden die kleinen Staaten vor einer Dominanz der großen geschützt. Im zweiten Schritt erhält jeder Staat ein Stimmgewicht, das proportional zu seiner Bevölkerung ist, hier scheint also jeder Bürger auf dem Umweg über seine Regierung gleich viel Einfluss auf die Entscheidungen des Ministerrates zu erhalten, egal, aus welchem Land er kommt. Vermutlich war es die Intention des Verfassungskonvents, in diesem Abstimmungsschritt den Grundsatz One person, one vote zu realisieren. Nun mag es zwar einleuchtend sein, dass jeder Bürger den gleichen Einfluss hat, wenn die Stimmgewichte der Staaten ihrer Bevölkerungszahl entsprechen, dieser Schluss ist aber dennoch falsch. Der Einfluss eines Bürgers auf seine Regierung lässt sich wie bei Staaten im Ministerrat daran messen, wie häufig seine Stimme bei einer Abstimmung den Ausschlag gibt. Das ist nur dann der Fall, wenn die anderen Bürger seines Landes in zwei gleich große Lager gespalten sind. Natürlich hat der Bürger eines großen Staates weniger Einfluss auf seine Regierung als der Bürger eines kleinen, weil es in großen Staaten seltener vorkommt, dass genauso viele Ja-Stimmen wie Nein-Stimmen auftreten. Der Anteil solcher Pattsituationen unter allen denkbaren Abstimmungsergebnissen ist umgekehrt proportional zur Quadratwurzel der Bevölkerung. Das bedeutet: Hat ein Staat A viermal so viele Einwohner wie ein Staat B, dann hat ein Bürger von A gerade halb so viel Einfluss wie ein Bürger von B. Damit der Bürger aus A im Ministerrat genau so viel Einfluss hat wie ein Bürger aus B, muss der Staat A also doppelt (und nicht viermal) soviel Einfluss im Rat haben wie der Staat B. Mit anderen Worten: Der Einfluss eines Staates im Ministerrat sollte wie die Quadratwurzel aus seiner Bevölkerung wachsen, nicht etwa wie die Bevölkerung selbst. Dieses Quadratwurzelgesetz hatte bereits Lionel Penrose aufgestellt und bewiesen. Um nach dem Quadratwurzelgesetz das gerechte Stimmgewicht eines Landes zu berechnen, muss man also aus seiner Bevölkerungszahl die Wurzel ziehen und daraus einen prozentualen Anteil an der Macht herleiten. Dabei heißt gerecht : Jeder Bürger hat den gleichen Einfluss im Ministerrat, unabhängig von seinem Herkunftsland. Das ergibt für Deutschland einen Machtanteil von 10,3 Prozent, für Frankreich 8,8 Prozent und für Polen 7,1 Prozent. Die Analyse zeigt, dass das Abstimmungssystem des Verfassungsentwurfes den großen Staaten wie zum Beispiel Deutschland zu viel Gewicht, den weniger großen Staaten wie Polen zu wenig Einfluss gibt. Im Vertrag von Nizza ist es gerade andersherum. Ein System, das auf dem Penroses Gesetz aufbaut, bietet sich mithin nicht nur als eine wissenschaftlich fundierte Architektur an, sondern auch als ein fairer Kompromiss zwischen den widerstreitenden Interessen der Gewinner und Verlierer des Verfassungsentwurfes. Außerdem ließe sich ein solches System ohne Schwierigkeiten auf zukünftige Erweiterungen der EU übertragen. Indes genügt es nicht, die Gewichte entsprechend den Quadratwurzeln der Bevölkerungszahlen zu wählen, denn Stimmgewichte sagen nur bedingt etwas über die tatsächliche Machtverteilung aus, wie wir am Beispiel Luxemburgs gesehen haben. Wählt man aber zusätzlich noch das Quorum bei 62 Prozent, dann ergibt sich ein Abstimmungsverfahren, mit dem das Quadratwurzelgesetz praktisch perfekt erfüllt ist, wie man mit Hilfe eines Computers ausrechnen kann. [...] [...] Eine Voraussetzung für die Gültigkeit des Quadratwurzelgesetzes ist, dass jeder Mitgliedsstaat im Rat seine Stimmen als Block abgibt. Das ist anders in einem Parlament, in dem die Stimmen jedes Staates sich auf unabhängige Abgeordnete verteilen. Hier wäre eine Anzahl von Abgeordneten proportional zur Bevölkerung korrekt. Würde man in Europa die Macht auf das Parlament übertragen, gäbe es die hier diskutierten Probleme nicht.

3 Methodenlehreklausur 4/04 Diplom Name: 3 Frage 1 Analysieren Sie mithilfe des erwähnten Machtindexes die Machtverteilung im Fakultätsrat der Fakultät für Psychologie, bestehend aus 8 Professoren, 2 Wissenschaftlichen Mitarbeitern, 2 Nichtwissenschaftlichen Mitarbeitern und 3 Studenten. Unterstellen Sie, dass jede Statusgruppe ihre Stimmen einheitlich, also als Block abgibt dass also, anders formuliert, der Fakultätsrat aus nur vier Mitgliedern mit unterschiedlicher Stimmenzahl besteht und dass ein Beschluss mehr als 50 % der Stimmen erfordert. a) Listen Sie alle möglichen Abstimmungsergebnisse auf dichotom unterscheidend nur + für Zustimmung und - für Ablehnung. Geben Sie eine allgemeine Formel an für die Anzahl möglicher Abstimmungsergebnisse in einem Gremium mit N Mitgliedern. b) Bestimmen Sie für alle vier Statusgruppen im Fakultätsrat jeweils den Machtindex.

4 Methodenlehreklausur 4/04 Diplom Name: 4 Frage 2 a) Wie würden sich die Machtindizes der vier Statusgruppen unter den Prämissen der Frage 1 ändern, hätten die Professoren statt 8 nur noch 7 Stimmen? Und wie, hätten alle vier Statusgruppen die gleiche Stimmenzahl, also ohne Beschränkung der Allgemeinheit jeweils genau eine Stimme? b) Wie viele von den möglichen Abstimmungsergebnissen in einem Gremium aus N gleichberechtigten Mitgliedern mit jeweils genau einer Stimme ( one man, one vote ) gibt es, die ein Patt, also Stimmengleichheit bedeuten? Geben Sie eine (möglichst einfache) allgemeine Formel an, natürlich unterstellend, dass N eine gerade Zahl ist.

5 Methodenlehreklausur 4/04 Diplom Name: 5 Frage 3 a) Formal ist der Banzhaf Power Index BPI mit Bezug auf jedes der N+1 gleichberechtigten Mitgliedern (N gerade) eines Gremiums definiert als BPI = N 2 N 2. Im Nenner dieses Bruchs steht offensichtlich die Anzahl der möglichen Abstimmungsergebnisse in dem N+1-sitzigen Gremium. Die An- N+ 1 2 zahl welcher Abstimmungsergebnisse steht im Zähler? b) Dieser BPI eines Gremiummitglieds wird in der Literatur häufig als eine Wahrscheinlichkeit interpretiert, als Wahrscheinlichkeit nämlich dafür, dass die Stimme gerade dieses Mitglieds den Ausschlag gibt. Welcher Wahrscheinlichkeitsbegriff Laplace, frequentistisch, subjektiv liegt dieser Interpretation zu Grunde? Welche Konsequenz hat dies für die Eignung des BPI nicht als normativer Maßstab etwa für die Konstruktion von Wahlsystemen, sondern als deskriptives Maß für tatsächliche Macht in Gremien?

6 Methodenlehreklausur 4/04 Diplom Name: 6 Frage 4 a) Auch für den BPI gilt das im Text so genannte Quadratwurzelgesetz : BPI und N sind umgekehrt proportional, d.h. das Produkt aus BPI und N ist zumindest angenähert für wachsendes N eine n n n Konstante. Welche? (Hilfe: Es gilt die Approximation n! 2πn = e n 2πn.) e b) Das Quadratwurzelgesetz ließe sich auch als Eins-durch-Wurzel-N-Gesetz formulieren, ist doch die umgekehrte Proportionalität zu N äquivalent zur Proportionalität zu 1/ N. Gilt ein vergleichbares Gesetz auch in der Inferenzstatistik mit Bezug auf die Zufallsstichprobengröße N? Wenn ja, was ist die Kernaussage dieses Gesetzes? n