Making Group Decisions & Forming Coalitions

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1 Making Group Decisions & Forming Coalitions Falko Klaaßen Kevin Schön 22. Juni 2010

2 Übersicht 1. Making Group Decisions (Falko) 2. Forming Coalitions (Kevin) 3. Klausurfragen und Diskussion

3 Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Making Group Decisions Falko Klaaßen 22. Juni 2010 Falko Klaaßen Making Group Decisions

4 Inhalt Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren 1 Einleitung 2 Grundlagen 3 Durchführung und Manipulation Mehrheitsgraph 4 Weitere Wahlverfahren Die Borda-Wahl Slater Ranking Falko Klaaßen Making Group Decisions

5 Motivation Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Das Treffen von Entscheidungen in einer Gruppe bedarf anderer Regeln und Überlegungen, als wenn man für sich alleine eine Entscheidung fällen muss. Wie kann man in einer Gruppe Entscheidungen treffen? Welche Verfahren, Möglichkeiten, Regeln? Eigenschaften von Wahlverfahren Strategien, Beeinflussbarkeit, Manipulationen Falko Klaaßen Making Group Decisions

6 Grundlegendes Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Endliche Menge von Agenten: Ag = {1,..., n} Ag ungerade verhindert Unentschieden Menge verschiedener Kandidaten bzw. Ergebnisse: Ω = {ω 1, ω 2,... } Falko Klaaßen Making Group Decisions

7 Grundlegendes Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Wähler haben i. A. unterschiedliche Interessen Rangordnung der Kandidaten/Ergebnisse Bsp. Agent i bevorzugt ω 2 vor ω 1 vor ω 3 (ω 2, ω 1, ω 3 ) Präferenz Agenten 1 bis n: ϖ 1,..., ϖ n ω i ω bedeutet Agent i bevorzugt ω vor ω in ϖ i Falko Klaaßen Making Group Decisions

8 Grundlegendes Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Wohlfahrtsfunktion f : (Ω) (Ω) (Ω) }{{} n mal Falko Klaaßen Making Group Decisions

9 Grundlegendes Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Kollektive Entscheidungsfunktion f : (Ω) (Ω) Ω }{{} n mal Falko Klaaßen Making Group Decisions

10 Motivation Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Durchführung und Manipulation Mehrheitsgraph Wahlverfahren und Durchführung beeinflussen Ergebnis der Wahl: Wie funktioniert die? Welche Vor- und Nachteile hat sie? Wie beeinflusst die Durchführung das Ergebnis? Falko Klaaßen Making Group Decisions

11 Die Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Durchführung und Manipulation Mehrheitsgraph Algorithmus der : 1 Jeder Wähler gibt Präferenzliste ab 2 Zähle Erstplatzierte 3 Gewinner: Der am häufigsten Erster Falko Klaaßen Making Group Decisions

12 Die Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Durchführung und Manipulation Mehrheitsgraph Vor- und Nachteile Vorteile: Einfach zu implementieren Leicht verständlich Nachteile: Viele Informationen ungenutzt Anomalien bei mehr als zwei Parteien Beeinflussbarkeit Falko Klaaßen Making Group Decisions

13 Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Beispiel einer Anomalie Durchführung und Manipulation Mehrheitsgraph Drei Parteien, Wähler: Liberal, Wähler Mitte, Wähler Konservativ, Wähler Konservativ gewinnt. Betrachten wir einmal die Präferenzlisten. Falko Klaaßen Making Group Decisions

14 Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Beispiel einer Anomalie Durchführung und Manipulation Mehrheitsgraph Präferenzliste der Wähler: Liberal: ω L ω M ω K, Wähler Mitte: ω M ω L ω K, Wähler Konservativ: ω K ω M ω L, Wähler Frage: Was fällt auf? Falko Klaaßen Making Group Decisions

15 Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Beispiel einer Anomalie Durchführung und Manipulation Mehrheitsgraph Präferenzliste der Wähler: Liberal: ω L ω M ω K, Wähler Mitte: ω M ω L ω K, Wähler Konservativ: ω K ω M ω L, Wähler Frage: Was fällt auf? 55% der Wähler lehnen die Konservativen ab! Falko Klaaßen Making Group Decisions

16 Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Das Condorcet-Paradoxon Durchführung und Manipulation Mehrheitsgraph Das Condorcet-Paradoxon Es gibt Situationen in denen die Mehrheit unzufrieden sein wird, unabhängig vom Gewinner der Wahl. Wie könnte so ein Fall aussehen? Falko Klaaßen Making Group Decisions

17 Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Das Condorcet-Paradoxon Durchführung und Manipulation Mehrheitsgraph Ω = {ω 1, ω 2, ω 3 } mögliche Ergebnisse Ag = {1, 2, 3} Wähler mit Präferenzen: 1 ω 1 1 ω 2 1 ω 3 2 ω 3 2 ω 1 2 ω 2 3 ω 2 3 ω 3 3 ω 1 Egal wer gewinnt, 2 3 der Wähler sind unzufrieden. Falko Klaaßen Making Group Decisions

18 Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Durchführung und Manipulation Durchführung und Manipulation Mehrheitsgraph Fragen: Welchen Einfluss hat der Aufbau des Wahlverfahrens? Was passiert, wenn man statt einer einzigen Wahl eine Reihe von Wahlen durchführt? Kann man den Ausgang einer Wahl manipulieren, indem man die Reihenfolge ändert? Falko Klaaßen Making Group Decisions

19 Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Sequentielle Durchführung und Manipulation Mehrheitsgraph Sequentielle Gewinner tritt gegen nächsten Kandidaten an Gesamtsieger ist Gewinner der letzten Wahl Falko Klaaßen Making Group Decisions

20 Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Sequentielle Durchführung und Manipulation Mehrheitsgraph Ein Beispiel: Reihenfolge: ω 2, ω 3, ω 4, ω 1 Falko Klaaßen Making Group Decisions

21 Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Bedeutung der Reihenfolge Durchführung und Manipulation Mehrheitsgraph Frage: Welche Bedeutung hat die Reihenfolge? Falko Klaaßen Making Group Decisions

22 Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Bedeutung der Reihenfolge Durchführung und Manipulation Mehrheitsgraph Frage: Welche Bedeutung hat die Reihenfolge? Je weiter vorne, umso mehr Wahlen zu bestreiten. Reihenfolge kann Ergebnis ändern Frage: Wie legt man die Reihenfolge fest? Zufällig? Glück oder Pech beeinflussen Wahlausgang Bestimmt durch Wahlkommitee? Manipulation möglich Ordne Gegner nach Gefährlichkeit Gefährlichste Gegner zuerst Eigene Kandidat zuletzt Falko Klaaßen Making Group Decisions

23 Der Mehrheitsgraph Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Durchführung und Manipulation Mehrheitsgraph Es reicht zu wissen, wer wen besiegt. Mehrheitsgraph Der Mehrheitsgraph Gerichteter Graph mit Kandidaten in Knoten Kante zeigt vom Sieger zum Besiegten Graph komplett ω i, ω j Ergebnisse, dann besiegt ω i ω j oder umgekehrt. Asymmetrie: Besiegt ω i ω j, dann kann ω j niemals ω i besiegen. Irreflexibilität: Ergebnis besiegt sich niemals selber. Falko Klaaßen Making Group Decisions

24 Ein Beispiel Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Durchführung und Manipulation Mehrheitsgraph 99 Wähler 3 Kandidaten: ω 1, ω 2, ω 3 33 Wähler bevorzugen: ω 1 i ω 2 i ω 3 33 Wähler bevorzugen: ω 3 i ω 1 i ω 2 33 Wähler bevorzugen: ω 2 i ω 3 i ω 1 Falko Klaaßen Making Group Decisions

25 Ein Beispiel Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Durchführung und Manipulation Mehrheitsgraph Der Mehrheitsgraph sieht dann so aus: Was fällt auf? Falko Klaaßen Making Group Decisions

26 Ein Beispiel Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Durchführung und Manipulation Mehrheitsgraph Der Mehrheitsgraph sieht dann so aus: Was fällt auf? Der Graph enthält einen Zyklus. Wir können bestimmen wer gewinnen soll! Falko Klaaßen Making Group Decisions

27 Ein Beispiel Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Durchführung und Manipulation Mehrheitsgraph ω 1 siegt bei: ω 3, ω 2, ω 1 Frage: Bei welcher Reihenfolge gewinnt ω 2 bzw. ω 3? Falko Klaaßen Making Group Decisions

28 Noch ein Beispiel Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Durchführung und Manipulation Mehrheitsgraph Ein weiterer Mehrheitsgraph: Frage: Bei welcher Reihenfolge gewinnt ω 4? Falko Klaaßen Making Group Decisions

29 Noch ein Beispiel Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Durchführung und Manipulation Mehrheitsgraph Ein weiterer Mehrheitsgraph: Frage: Bei welcher Reihenfolge gewinnt ω 4? Bei ω 1, ω 3, ω 2, ω 4 oder ω 3, ω 1, ω 2, ω 4. Falko Klaaßen Making Group Decisions

30 Die Borda-Wahl Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Die Borda-Wahl Slater Ranking Bei nur Erstplatzierte beachtet viel Information vernachlässigt. Die Borda-Wahl k Kandidaten, Ω = k Jedem Kandidat wird Wert zugeordnet: 1 Betrachte jede Präferenzliste 2 Wenn ω i Erster, erhöhe Wert von ω i um k 1 3 Zweite erhält k 2 4 usw. Letzter bekommt 0 Punkte 5 Reihenfolge hängt von erhaltenen Punkten ab Falko Klaaßen Making Group Decisions

31 Die Borda-Wahl Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Die Borda-Wahl Slater Ranking Nochmal das Beispiel von der Anomalie: Liberal: ω L ω M ω K, Wähler Mitte: ω M ω L ω K, Wähler Konservativ: ω K ω M ω L, Wähler Wie sähe das Ergebnis bei der Borda-Wahl aus? Falko Klaaßen Making Group Decisions

32 Die Borda-Wahl Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Die Borda-Wahl Slater Ranking Nochmal das Beispiel von der Anomalie: Liberal: ω L ω M ω K, Wähler Mitte: ω M ω L ω K, Wähler Konservativ: ω K ω M ω L, Wähler Wie sähe das Ergebnis bei der Borda-Wahl aus? 1 Mitte: Punkte 2 Liberal: Punkte 3 Konservativ: Punkte Falko Klaaßen Making Group Decisions

33 Slater Ranking Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Die Borda-Wahl Slater Ranking Ziel: Minimierung der Diskrepanz zwischen Mehrheitsgraph und der kollektiver Entscheidung durch: Eliminieren von Zyklen. Erzeugen einer stimmigen Rangfolge. Bestimmen der Abweichung vom Ideal. Falko Klaaßen Making Group Decisions

34 Slater Ranking Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Die Borda-Wahl Slater Ranking Slater Ranking 1 Betrachte alle möglichen Reihenfolgen. 2 Bestimme Abweichung zwischen Reihenfolge und Mehrheitsgraph. 3 Kosten = Anzahl der Kanten, die umgedreht werden müssen. 4 Wähle Reihenfolge mit geringsten Kosten. Falko Klaaßen Making Group Decisions

35 Slater Ranking Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Die Borda-Wahl Slater Ranking Reihenfolge: ω 1 ω 3 ω 2 ω 4 Reihenfolge stimmt mit Mehrheitsgraph überein Kosten: 0. Falko Klaaßen Making Group Decisions

36 Slater Ranking Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Die Borda-Wahl Slater Ranking Reihenfolge: ω 1 ω 2 ω 4 ω 3 Graph hat Zyklus Jede Reihenfolge weicht vom Graph ab. Kante ω 4 ω 1 umdrehen Kosten: 1. Kante ω 3 ω 4 umdrehen Kosten: 2. Falko Klaaßen Making Group Decisions

37 Mindmap Einleitung Grundlagen Weitere Wahlverfahren Die Borda-Wahl Slater Ranking Falko Klaaßen Making Group Decisions

38 Forming Coalitions Grundzüge und Anwendung kooperativer Spieltheorie Kevin Schön 22. Juni 2010

39 Erinnert ihr euch an folgende Situation? C III II D Wodurch könnte das Dilemma aufgelöst werden?

40 C III II D Wodurch könnte das Dilemma aufgelöst werden? bindende Vereinbarungen und keine direkte Gewinnauszahlung an das Individuum!

41 Forming Coalitions Paradigmen und Begriffe Kooperationszyklus Koalitionsbildung Gewinnaufteilung Spielvarianten

42 Übersicht Paradigmen und Begriffe Kooperationszyklus Koalitionsbildung Gewinnaufteilung Spielvarianten

43 Paradigmen und Begriffe Voraussetzung für kooperative Spiele Möglichkeit bindender Vereinbarungen über Handlungen und die Gewinnaufteilung zwischen weiterhin rational handelnden Akteuren (Agenten), die ihren eigenen Gewinn maximieren wollen.

44 Paradigmen und Begriffe Koalition Gruppe aus Agenten Große Koalition Gruppe aller Agenten Einzelkoalition ein Agent

45 Paradigmen und Begriffe kooperatives Spiel besteht aus Agenten und einer Spielfunktion Spielfunktion ordnet jeder möglichen Koalition einen Gewinn zu

46 Übersicht Paradigmen und Begriffe Kooperationszyklus Koalitionsbildung Gewinnaufteilung Spielvarianten

47 Kooperationszyklus Agenten (= Ressourcen + Fähigkeiten + Ziele) Koalitionsbildung Teambildung Koalitionen (= Gruppen aus Agenten) Teams (= Koali<onen + Pläne) Handlungen Gewinn Gewinnverteilung

48 Übersicht Paradigmen und Begriffe Kooperationszyklus Koalitionsbildung Gewinnaufteilung Spielvarianten

49 Koalitionsbildung Versucht, rational zu denken! :-) Warum würdet ihr in einer Gruppe statt alleine arbeiten?

50 $ $ $ $ $ Weil ihr für euch einen Gewinn gegenüber der Arbeit alleine erwartet!

51 Koalitionsbildung Immer noch rational denken! :-) Mit welcher Gruppe würdet ihr arbeiten?

52 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $? Mit der Gruppe, die am meisten Gewinn verspricht!

53 Koalitionsbildung Alle Agenten handeln jedoch genauso! Für eine bestimmte Koalition müssen alle Mitglieder keinen Vorteil davon haben, in einer anderen Koalition zu sein!

54 Koalitionsbildung Stabilität notwendige, aber nicht unbedingt hinreichende Bedingung für die Bildung einer bestimmten Koalition Gewinnaufteilung muss sowohl möglich, als auch effizient sein (vollständige Gewinnallokation) Kern Menge aller Gewinnaufteilungen auf die Mitglieder, die von keinem der Mitglieder abgelehnt werden

55 kleines Zahlenbeispiel Agent Lila und Agent Blau können alleine jeweils 4 verdienen. Die Koalition aus beiden kann 10 verdienen.

56 Möglichkeiten der Gewinnaufteilung

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58 Agent Lila allein besser gestellt

59 Agent Lila allein besser gestellt Agent Blau allein besser gestellt

60 Agent Lila allein besser gestellt Agent Blau allein besser gestellt $ $$ $ beide in Koalition mindestens gleich oder besser gestellt als allein

61 Agent Lila allein besser gestellt Agent Blau allein besser gestellt $ $$ $ beide in Koalition mindestens gleich oder besser gestellt als allein DER KERN

62 Koalitionsbildung Für eine bestimmte Koalition müssen alle Mitglieder keinen Vorteil davon haben, in einer anderen Koalition zu sein! wird zu Eine Koalition ist stabil, wenn der Kern nicht leer ist.

63 Übersicht Paradigmen und Begriffe Kooperationszyklus Koalitionsbildung Gewinnaufteilung Spielvarianten

64 Gewinnaufteilung Anforderungen an eine gerechte Gewinnaufteilung Symmetrie gleiche Beiträge führen zu gleicher Gewinnbeteiligung Dummy-Spieler erzeugt ein Spieler keinen Synergieeffekt, wird er nur um den Betrag beteiligt, den er alleine verdienen könnte Additivität der Gewinn aus mehreren Spielen wird durch Addition kumuliert, es gibt keinen Vorteil durch mehrfaches Spielen

65 Shapley-Wert ordnet jedem Agenten eine Gewinnbeteiligung zu, die die genannten Anforderungen erfüllt entspricht dem Durchschnitt des marginalen Beitrags zur Koalition, berechnet über alle möglichen Beitrittsreihenfolgen in die Koalition Warum Beitrittsreihenfolgen? Je nach Stelle des Beitritts unterscheidet sich die Veränderung des Koalitionsgewinns durch den Beitritt!

66 Shapley-Wert Formel sh i = 1 Ag! o (Ag) µ i (C i (o)) Ag: Menge aus Agenten z.b. {1, 2} (Ag): Menge aller Sortierungen z.b. {(1, 2), (2, 1)} µ i : marginaler Beitrag des Agenten i C i (o): Anhand Sortierung o vor Agent i beigetretene Agenten

67 Shapley-Wert kleines Zahlenbeispiel v: Gewinn v(1) = 5; v(2) = 5; v(1, 2) = 20 µ 1 ( ) = 5; µ 1 ({2}) = 15; µ 2 ( ) = 5; µ 2 ({1}) = 15 sh 1 = sh 2 = (5 + 15)/2 = 10

68 Übersicht Paradigmen und Begriffe Kooperationszyklus Koalitionsbildung Gewinnaufteilung Spielvarianten

69 Qualitative Koalitionsspiele Agenten haben Mengen von Zielen Koalitionen haben Mengen von Optionen Ein Agent ist zufrieden mit einer Menge von Zielen, wenn mind. eines seiner Ziele erreicht wird Eine Menge von Zielen ist machbar für eine Koalition, wenn sie Teil ihrer Optionen ist Eine Koalition ist erfolgreich, wenn sie alle ihre Mitglieder zufrieden stellt

70 Coalition Structure Formation statt Gewinnmaximierung durch einzelne Agenten, Maximierung der sozialen Wohlfahrt, des Gesamtnutzens System bestimmt zu bildende Koalition, also jene mit größtem Gesamtnutzen

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72 Klausurfragen Wie lautet der Algorithmus der Borda-Wahl? Warum ist die Reihenfolge bei der sequentiellen von Bedeutung? Wann spricht man von einer stabilen Koalition? Verwende das Konzept des Kern zur Erläuterung! Welche Größe wird durch den Shapley-Wert bestimmt und nach welchem grundsätzlichen Ansatz?

73 Diskussion Haltet ihr die Borda-Wahl für gerechter als eine einfache? Sind Verteilungsfragen wirklich intuitiv zu beantworten? Wer könnte hier, vor allem in einem offenen System, Entscheidungen treffen?

74 Danke für die Aufmerksamkeit!