Sortieren und Suchen. Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2
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- Sophia Lehmann
- vor 6 Jahren
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1 Sortieren und Suchen Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2
2 Überblick Sortieren kurze Wiederholung Binäre & Ternäre Suche Binäre Suche in einer Liste Bisektionsverfahren (Nullstellensuche) Ternäre Suche (Extremasuche) Range Minimum Query Lowest Common Ancestor Quellen Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 2
3 Sortieren Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 3
4 Warum sortieren? Sortieren gibt Daten Struktur Ermöglicht die Verwendung von effizienten Suchalgorithmen Kosten-Nutzen-Verhältnis meist vorteilhaft Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 4
5 Eigenschaften von Sortieralgorithmen Zusätzlicher Speicherbedarf Stabilität stabil: Die Reihenfolge bei gleichem Schlüssel bleibt erhalten instabil: Die Reihenfolge bei gleichen Schlüssel wird nicht unbedingt behalten Komplexitätsanalyse Best Case Average Case Worst Case Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 5
6 Vergleichsbasierte Sortieralgorithmen Algorithmus Best-Case Average-Case Worst-Case Stabil Zusätzlicher Speicherbedarf Bogosort O(n) O(n n!) Bubblesort O(n) O(n 2 ) O(n 2 ) Insertionsort O(n) O(n 2 ) O(n 2 ) Shellsort O(n) O(n log n ²) O(n 1,25 ) Quicksort O(n log n ) O(n log n ) O(n 2 ) Für den Heap Introsort O(n log n ) O(n log n ) O(n log n ) Selectionsort O(n 2 ) O(n 2 ) O(n 2 ) Heapsort O(n log n ) O(n log n ) O(n log n ) Mergesort O(n log n ) O(n log n ) O(n log n ) O(n) Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 6
7 Suche Implementieren Suchalgorithmen selbst zu implementieren kostet Zeit Nutzt die Java-API & C++-STL Wesentlich schneller und weniger fehleranfällig Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 7
8 Suchen Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 8
9 Naiver Ansatz Sequentielle Suchen Suchen eines Elementes in einer Liste Vorteil: Keine Sortierung nötig Nachteil: Aufwand sehr hoch. Worst-Case: O n Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 9
10 Optimierter Ansatz Auf geordneten Listen suchen Ermöglicht effizienteres Suchen Binäre Suche Worst Case: O(log n) Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 10
11 Binäre Suche Verfahren: Eingabe: liste; wert; links = 0; rechts = liste.length() - 1; mitte = (links + rechts) / 2 links > rechts return -1; wert == liste[mitte] return mitte; rechts = mitte - 1; wert < liste[mitte] links = mitte + 1; Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 11
12 Beispiel: Binäre Suche Gesucht: 13 links = 0; rechts = 9; mitte = 4; Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 12
13 Beispiel: Binäre Suche Gesucht: 13 links = 0; rechts = 9; mitte = 4; Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 13
14 Beispiel: Binäre Suche Gesucht: 13 links = 0; rechts = 9; mitte = 4; Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 14
15 Beispiel: Binäre Suche Gesucht: 13 links = 0; rechts = 9; mitte = 4; Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 15
16 Bisektionsverfahren Nullstellensuche einer Funktion f(x) Numerisches Verfahren Voraussetzungen: Funktion ist stetig auf abgeschlossenem Intervall [a, b] Es existiert ein Vorzeichenwechsel f a < 0 und f b > Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 16
17 Beispiel: Bisektionsverfahren 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0-0,5-1,0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 f x = x 2 2 [a n, b n ] a 0 = 0, b 0 = 2 x n = a n + b n 2-2,0-3,0 n a n b n f(a n ) f b n x n f x n ,5 0, ,5-1 0,25 1,25-0, ,25 1,5-0,4375 0,25 1,375-0, ,375 1,5-0, ,25 1,4375 0, ,375 1,4375-0, , , , Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 17
18 Beispiel: Bisektionsverfahren 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0-0,5-1,0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 f x = x 2 2 [a n, b n ] a 0 = 0, b 0 = 2 x n = a n + b n 2-2,0-3,0 n a n b n f(a n ) f b n x n f x n ,5 0, ,5-1 0,25 1,25-0, ,25 1,5-0,4375 0,25 1,375-0, ,375 1,5-0, ,25 1,4375 0, ,375 1,4375-0, , , , Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 18
19 Beispiel: Bisektionsverfahren 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0-0,5-1,0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 f x = x 2 2 [a n, b n ] a 0 = 0, b 0 = 2 x n = a n + b n 2-2,0-3,0 n a n b n f(a n ) f b n x n f x n ,5 0, ,5-1 0,25 1,25-0, ,25 1,5-0,4375 0,25 1,375-0, ,375 1,5-0, ,25 1,4375 0, ,375 1,4375-0, , , , Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 19
20 Beispiel: Bisektionsverfahren 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0-0,5-1,0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 f x = x 2 2 [a n, b n ] a 0 = 0, b 0 = 2 x n = a n + b n 2-2,0-3,0 n a n b n f(a n ) f b n x n f x n ,5 0, ,5-1 0,25 1,25-0, ,25 1,5-0,4375 0,25 1,375-0, ,375 1,5-0, ,25 1,4375 0, ,375 1,4375-0, , , , Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 20
21 Beispiel: Bisektionsverfahren 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0-0,5-1,0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 f x = x 2 2 [a n, b n ] a 0 = 0, b 0 = 2 x n = a n + b n 2-2,0-3,0 n a n b n f(a n ) f b n x n f x n ,5 0, ,5-1 0,25 1,25-0, ,25 1,5-0,4375 0,25 1,375-0, ,375 1,5-0, ,25 1,4375 0, ,375 1,4375-0, , , , Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 21
22 Ternäre Suche Problem: Finden von Extrema mit Genauigkeit ε Voraussetzung: Funktion f x hat nur eine Extremstelle in einem abgeschlossenen Intervall a, b Funktion f x steigt (fällt) monoton im Intervall a, x und fällt (steigt) monoton im Intervall x, b Idee: Intervall wird pro Iteration in drei Teile aufgeteilt Suche wird auf neuem (kleineren) Intervall fortgesetzt Wenn gewünschte Genauigkeit erreicht, dann terminiere Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 22
23 Ternäre Suche: Ablauf 1. Aufteilen des Intervalls [a, b] in die drei Intervalle a, c, c, b und a, d 2. Berechnen der Funktionswerte f(c) und f(d) 3. Drei Fälle: f c < f d Extremum im Intervall [c, b] f c > f d Extremum im Intervall [a, d] f c = f(d) Extremum im Intervall [c, d] 4. Falls geforderte Genauigkeit erreicht gib x zurück 5. Ansonsten: Nächste Iteration mit neuem Bereich Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 23
24 Ternäre Suche: Beispiel f x = x 3 + 5x² + 2 Ausgangssituation: a, b = 1, c = 7 3 d = 11 3 n a b c d f(a) f(b) f(c) f(d) /3 11/ , /3 5 3, , , , , /3 4, , , , , , Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 24
25 Ternäre Suche: Beispiel f x = x 3 + 5x² + 2 Ausgangssituation: a, b = 1, c = 7 3 d = 11 3 n a b c d f(a) f(b) f(c) f(d) /3 11/ , /3 5 3, , , , , /3 4, , , , , , Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 25
26 Ternäre Suche: Beispiel f x = x 3 + 5x² + 2 Ausgangssituation: a, b = 1, c = 7 3 d = 11 3 n a b c d f(a) f(b) f(c) f(d) /3 11/ , /3 5 3, , , , , /3 4, , , , , , Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 26
27 Ternäre Suche: Beispiel f x = x 3 + 5x² + 2 Ausgangssituation: a, b = 1, c = 7 3 d = 11 3 n a b c d f(a) f(b) f(c) f(d) /3 11/ , /3 5 3, , , , , /3 4, , , , , , Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 27
28 Range-Minimum-Query Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 28
29 Range-Minimum-Query Problem: Gesucht ist der Index des kleinsten Elements innerhalb eines Teilarrays A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] RMQ A 2,5 = 4 Naiver Ansatz: Sequenzielle Suche im Teilbereich Laufzeit pro Anfrage: O(n) Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 29
30 Range-Minimum-Query: Optimierung Verarbeitung der Liste in eine Lookup-Tabelle Form der Tabelle A[start][länge] RMQ A (0,0) RMQ A (0,1) RMQ A (0,2) RMQ A (0,7) RMQ A (1,1) RMQ A (1,2) RMQ A (1,7) RMQ A (2,2) RMQ A (2,7) RMQ A (7,7) Laufzeit für Erstellung O n 3 Suchen O(1) Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 30
31 Range-Minimum-Query: Optimierung Nicht jede mögliche Sequenz speichern RMQ A Teilbereiche der Länge 2 j, j 0, log 2 (n) Vorverarbeitung lässt sich in O n log n bewerkstelligen Platzbedarf beträgt O n log n Suche in O(1) Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 31
32 RMQ: Sparse Table M A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 32
33 RMQ: Sparse Table M A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 33
34 RMQ: Sparse Table M A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 34
35 RMQ: Sparse Table M A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 35
36 RMQ: Sparse Table M A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 36
37 RMQ: Sparse Table M A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 37
38 RMQ: Sparse Table M A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 38
39 RMQ: Sparse Table M A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 39
40 RMQ: Sparse Table M A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 40
41 RMQ: Sparse Table M A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 41
42 RMQ: Sparse Table M A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 42
43 RMQ: Sparse Table M A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 43
44 RMQ: Sparse Table M A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 44
45 RMQ: Sparse Table M A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 45
46 RMQ: Sparse Table M A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 46
47 RMQ: Sparse Table M A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 47
48 RMQ: Sparse Table M A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 48
49 RMQ: Sparse Table M A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 49
50 RMQ: Sparse Table M A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 50
51 RMQ: Sparse Table M A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 51
52 RMQ: Sparse Table M A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 52
53 RMQ: Sparse Table M A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 53
54 RMQ: Sparse Table M A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 54
55 RMQ: Sparse Table M A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 55
56 RMQ: Sparse Table M A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 56
57 RMQ: Sparse Table M Suchanfrage: A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] M i k, A[M i k A[M j 2 k + 1 k ] RMQ A i, j = M j 2 k + 1 k, sonst RMQ A 2,8 RMQ A 2,5 & RMQ A (5,8) RMQ A (2,5) = 4 RMQ A (5,8) = 7 RMQ A (2,8) = 4 Anfrage in O(1) Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 57
58 Lowest Common Ancestor Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 58
59 Lowest Common Ancestor Gegeben ist ein gerichteter Baum Gesucht ist gemeinsamer Elternknoten zweier unterschiedlicher Knoten Der am weitesten von der Wurzel entfernte Elternknoten ist der Lowest Common Ancestor Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 59
60 Lowest Common Ancestor LCA 5,3 = Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 60
61 LCA: Erste Überlegung Weg von der Wurzel zu den Knoten speichern Der letzte gemeinsame Knoten ist LCA Vorteil: Einfach zu Implementieren Nachteil: Laufzeit O n Ungeeignet für viele Abfragen Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 61
62 LCA: Optimierung Umwandlung von LCA zu RMQ Benutze Tiefensuche auf Baum Befülle drei Arrays auf dem Weg: Array A[i] speichert Schlüssel des Knoten Array B[i] speichert Distanz zur Wurzel Array C i speichert das erstmalige Vorkommen eines Knoten Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 62
63 LCA zu RMQ: Beispiel Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 63
64 LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = 2 C A B Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 64
65 LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = C A 9 B Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 65
66 LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = C A 9 4 B Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 66
67 LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = C A B Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 67
68 LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = C A B Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 68
69 LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = C A B Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 69
70 LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = C A B Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 70
71 LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = C A B Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 71
72 LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = C A B Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 72
73 LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = C A B Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 73
74 LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = C A B Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 74
75 LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = C A B Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 75
76 LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = C A B Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 76
77 LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = C A B Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 77
78 LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = C A B Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 78
79 LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = C A B Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 79
80 FRAGEN? Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 80
81 Quellen RMQ & LCA Bisektionsverfahren odule=thread&threadid=670168&start=0&mc=10 Ternäre Suche odule=thread&threadid=670169&start=0&mc=2 Folien früherer Semester Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 81
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Heapsort / 1 A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8]
![Heapsort / 1 A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8]](/thumbs/69/61689021.jpg "Heapsort / 1 A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8]")
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