Mikroökonomik B (Bachelor) Prüfung vom

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1 Bitte eintragen: Matrikel-Nr.: Mikroökonomik B (Bachelor) Prüfung vom Wichtige Hinweise: Sie haben 90 Minuten Zeit, um die folgenden vier Aufgaben zu insgesamt 90 Punkten zu bearbeiten. Teilen Sie sich Ihre Zeit sorgfältig ein! Der Prüfungsbogen umfasst 20 Seiten einschliesslich dieses Deckblatts. Überprüfen Sie Ihr Exemplar auf Vollständigkeit! Benützen Sie nur die ausgeteilten Blätter für die Lösung der Aufgaben. Benützen Sie wenn nötig die Rückseiten der Blätter und vermerken Sie dies unbedingt. Entfernen Sie nicht die Heftklammer! Tragen Sie Ihre Matrikelnummer und Ihre Platznummer auf diesem Deckblatt sowie auf jeder beschriebenen Seite ein. Lassen Sie auf jeder Seite rechts einen Rand von ca. 3cm frei. Taschenrechner sind nicht erlaubt. Legen Sie bitte Ihren Studentenausweis zur Kontrolle bereit. VIEL ERFOLG! Für Korrektur bitte frei lassen. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) Σ Aufgabe 1 /30 Aufgabe 2 /1 /2 /2 /6 /3 /5 /4 /23 Aufgabe 3 /8 /8 /2 /4 /22 Aufgabe 4 /4 /2 /2 /7 /15 Total /90 1

2 Aufgabe 1: Multiple-Choice- und Kurz-Fragen (30 Punkte) Geben Sie zu jeder der folgenden Fragen die korrekte Antwort. Multiple-Choice-Fragen: In jedem Fall ist nur eine Antwort korrekt! Eine korrekte Antwort gibt 3 Punkte, jede falsch oder nicht beantwortete Frage gibt 0 Punkte. Kurz-Fragen: Geben Sie eine kurze und präzise Antwort (max. 3 Sätze!). Jede korrekt beantwortete Frage gibt 3 Punkte. (a) Zeitinkonsistente Präferenzen: Betrachten Sie folgendes Problem (ähnlich jenem aus der Vorlesung): Sie müssen entscheiden, an welchem der nächsten 3 Samstage Sie ins Kino gehen wollen (Sie können nur einmal gehen!). Die Filme geben Ihnen jeweils einen Netto-Nutzen von (v 1,v 2,v 2 )=(3,5,8) (gemessenineuro; der Ticketpreis ist in diesem Nutzen bereits berücksichtigt). Sie haben zeitinkonsistente Präferenzen der Form U t (u t,u t+1,...)=u t u t u t , sodass Ihr Entscheidungsproblem wie folgt in extensiver Form dargestellt werden kann: S 1 warten S 2 warten Kino Kino Kino S 1 : S 2 : Am ersten Samstag gibt Ihnen nun das Kino die Option, bereits ein Ticket für den dritten Samstag zu kaufen, für einen Zuschlag c. Wenn Sie dieses Ticket kaufen, müssen sie am dritten Samstag ins Kino gehen (sie können sich kein weiteres Ticket leisten). Wie groß darf der Zuschlag c maximal sein, damit Sie dieses Ticket kaufen? (b) VNM-Risikofreudigkeit: Sei U(g) der Erwartungsnutzen eines VNM-Erwartungsnutzenmaximierers aus einer Lotterie g. Dann ist das Individuum bezüglich dieser Lotterie risikofreudig, wenn gilt U(E(g)) > U(g) U(E(g)) < U(g) E(U(g)) > U(g) E(U(g)) < U(g) 2

3 (c) Mean-Preserving Spread: Nachfolgend zwei Geldlotterien g und h mit jeweils zwei möglichen Ergebnissen. h 1 / 3 2 / 3 g 2 / 3 1 / / 2 Lotterie g ist hierbei ein Mean-Preserving-Spread von h. Zeigen Sie dies, indem Sie eine zusammengesetzte Lotterie aufzeichnen, welche die Ergebnisse von Lotterie h durch weitere Lotterien ersetzt. 0 1 (d) Oligopol-Wettbewerb: Zwei identische Firmen mit Grenzkosten c sind Wettbewerber in einem Markt für ein homogenes Gut mit Nachfrage D(p)=1 p. Welche der folgenden Aussagen ist falsch? Unter Cournot-Wettbewerb (Firmen wählen simultan Mengen) liegt der Gleichgewichtspreis unter dem Monopolpreis. Unter Cournot-Wettbewerb ist das Marktergebnis effizient. Unter Bertrand-Wettbewerb (Firmen wählen simultan Preise) entspricht der Gleichgewichtspreis den Grenzkosten. Unter Bertrand-Wettbewerb ist das Marktergebnis effizient. 3

4 (e) Stackelberg-Wettbewerb: Zwei Firmen sind Wettbewerber in einem Markt mit linearer Nachfrage. Im Diagramm unten sind die besten Antworten der Firmen, q 1 (q 2 ) bzw. q 2 (q 1 ), sowie das (Cournot-) Nash-Gleichgewicht (q 1,q 2 ) eingezeichnet. Ebenso eingezeichnet sind die Iso-Gewinn-Linien in diesem Punkt. Nehmen Sie nun an, die Firmen sind im Stackelberg-Wettbewerb mit Firma 1 als Führer. Zeichnen Sie ein: (1) das neue Gleichgewicht (q S 1,qS 2 ) sowie (2) die Iso- Gewinn-Linie von Firma 1 durch diesen Punkt. q 2 q 1 (q 2 ) (q 1,q 2 ) q 2 (q 1 ) q 1 (f) Gemischte Strategien: Erklären Sie warum in jedem Nash-Gleichgewicht in (strikt) gemischten Strategien gelten muss: Jeder Spieler muss indifferent sein zwischen Aktionen, welche er mit strikt positiver Wahrscheinlichkeit spielt (Sie müssen es nicht beweisen, geben Sie die Intuition in Worten wieder). 4

5 (g) Folk Theorem: Betrachten Sie folgendes Spiel in strategischer Form: Spieler 1 Spieler 2 c d c 4,4 0,5 d 5,0 1,1 Welche der folgendenen durchschnittlichen Payoffs kann als (teilspielperfektes) Gleichgewicht erreicht werden, wenn das Spiel unendlich oft wiederholt wird und der Disktontfaktor δ nahe genug bei 1 ist? (0,5) (3,3) (0,0) (6,1) (h) Verhandlungsspiel: Ernie und Bert wollen einen Kuchen aufteilen. Beide wollen ihr Stück maximieren. Welches der folgenden Aufteilungsspiele resultiert in einer gleichmässigen Aufteilung (also: jeder erhält die Hälfte)? Ernie schlägt eine Aufteilung s E,s B vor (s E + s B 1), Bert kann annehmen oder ablehnen (0 für beide falls Bert ablehnt). Bert schlägt eine Aufteilung s E,s B vor (s E + s B 1), Ernie kann annehmen oder ablehnen (0 für beide falls Ernie ablehnt). Zuerst schlägt Ernie eine Aufteilung vor, welche Bert annehmen oder ablehnen kann, falls Bert ablehnt kann danach Bert eine Aufteilung vorschlagen, welche Ernie wiederum annehmen oder ablehnen kann (0 für beide falls Ernie ablehnt). Beide diskontieren mit δ = 0.8. Bert schlägt eine beliebige Aufteilung s 1,s 2 (s 1 +s 2 1) vor, und Ernie kann auswählen, wer welchen Teil bekommt. 5

6 (i) Cournot-Wettbewerb mit privat bekannten Kosten: Betrachten Sie ein Cournot- Wettbewerbs-Modell mit privat bekannten Kosten, in welchem Firmen 1 und 2 simultan ihre Mengen q 1,q 2 setzen, die Marktnachfrage P(Q) =a Q beträgt, die Grenzkosten c 2 von Firma 2 allgemein bekannt sind, jene von Firma 1 aber nicht. Konkret betragen die Grenzkosten von Firma 1 mit Wahrscheinlichkeit β c 1 = c und mit Wahrscheinlichkeit 1 β c 1 = c, wobei nur Firma 1 die tatsächliche Realisierung von c 1 kennt. Stellen Sie die Extensivform des Spiels (den Spielbaum ) dar. Geben Sie an jedem Endknoten die Payoffs der Firmen an. (j) Intertemporale Slutsky-Gleichung: Vervollständigen Sie folgende Slutstky- Gleichung im intertemporalen Kontext (2-Perioden-Ein-Gut-Modell, x 1 (p,m): Marshall sche Nachfrage, x h 1 (p,u): Hicks sche Nachfrage, p 1: Preis Periode 1, m 1 : Geldvermögen Periode 1, r: Zinssatz): x 1 p 1 (1 + r) = x h 1 p 1 (1 + r) + A x 1 m 1 [Hinweis: Überlegen Sie sich, wann der entsprechende Effekt verschwinden sollte und wann er positiv ist.] A =(x 1 m 1 /p 1 ) A =(x 1 m 1 p 1 ) A =(m 1 /p 1 x 1 ) A =(m 1 p 1 x 1 ) 6

7 Aufgabe 2: Intertemporale Entscheidung und Erwartungsnutzen (23 Punkte) Konsument A ist Erwartungsnutzenmaximierer und lebt für 2 Perioden t1, t2. Wenn er in den beiden Perioden die Mengen c 1 bzw. c 2 konsumiert, beträgt sein Nutzen U(c 1,c 2 )= c 1 + δ c 2, δ (0,1). A startet in Periode 1 mit einem Vermögen von w > 0, das er in Periode 1 zwischen Konsum c 1 und einem Sparbetrag s aufteilt, d.h. w = c 1 + s. (Das Konsumgut hat also einen Preis von eins.) In der Ökonomie gilt ein Zinssatz von Null. Mit Wahrscheinlichkeit p (0,1) stehen ihm seine Ersparnisse in Periode 2 zur Verfügung und c 2 = s. Mitder Gegenwahrscheinlichkeit gehen seine Ersparnisse verloren, und c 2 = 0. Das Sparen eines Betrages s entspricht somit dem Kauf einer einfachen Lotterie g(s) über den Konsum c 2, welche in t2 auszahlt. (a) Bestimmen Sie den Erwartungswert der Lotterie. (1 Punkt) (b) Bestimmen Sie das Sicherheitsäquivalent der Lotterie g(s). (Legen Sie die Subnutzenfunktion u( )= zu Grunde.) (2 Punkte) 7

8 (c) Wie verändert sich der erwartete Lebenskonsum E[c 1 + c 2 ] durch den Kauf der Lotterie? Geben sie den Wert der Ableitung de[c 1 + c 2 ]/ds an. (2 Punkte) (d) Welche Menge c 1 konsumiert A in t1? Steigt oder fällt c 1 in δ bzw. p? (6 Punkte) 8

9 (e) Wenn Sie die bisherigen Fragen richtig beantwortet haben, sollte Ihnen auffallen, dass A einen strikt positiven Betrag spart und damit effektiv eine Lotterie kauft, deren Kaufpreis größer ist als ihr Erwartungswert. Erläutern Sie kurz warum dieses Verhalten für einen risikoaversen Konsumenten ungewöhnlich ist, und erklären Sie, warum er es trotzdem tut. (3 Punkte) 9

10 Eine Ersparnisversicherung bietet folgenden Vertrag an: In t1 erhält die Versicherung eine Prämie in Höhe von αs (α < 1), wobei s die gesamte Ersparnis des A ist. In t2 ersetzt die Versicherung die gesamten Ersparnisse, falls diese verloren gehen. (f) Nehmen Sie an, dass A auf jeden Fall die Versicherung kauft. Zeigen Sie: der Sparbetrag beträgt s wδ 2 = (1 + α)(1 + α + δ 2 ). [Hinweis: Gehen Sie von einem inneren Maximum aus.] (5 Punkte) 10

11 Es gelte nun p = 9/10, w = 231(= 11 21), δ = 1 Die Versicherung macht dem A ein Vertragsangebot mit α 0, so dass sie einen Gewinn von Null erwarten kann. (g) Wie hoch ist der Nutzen von A, wenn er das Angebot annimmt? (4 Punkte) 11

12 Aufgabe 3: Cournot-Oligopol (22 Punkte) In einer Volkswirtschaft gibt es 2 verschiedene gewinnmaximierende Firmen, die beide das gleiche Gut produzieren und die Mengen q 1 bzw. q 2 anbieten. Marktzutritt ist nicht möglich. Die inverse Nachfragefunktion ist gegeben durch p = a (q 1 + q 2 ), b wobei a > 0 und b > 0 Konstanten sind und p > 0 der Preis des Guts. Jede Firma i hat eine lineare Kostenfunktion c i (q i )=cq i, wobei q i die von i produzierte Menge ist und c eine Konstante mit 0 < c < a/b. Die Firmen entscheiden simultan über die von ihnen angebotene Menge. (a) Bestimmen Sie den Marktpreis p C, die von beiden Firmen jeweils produzierte Menge q C, und die Firmengewinne π C (pro Firma) im Cournot-Gleichgewicht. [Hinweis: Nehmen Sie an, dass die Bedingungen erster Ordnung hinreichend sind.] (8 Punkte) 12

13 zusätzlicher Platz zur Lösung Teilaufgabe (a) 13

14 Der Wettbewerb der beiden Firmen wiederholt sich nun unendlich oft. Die Firmen diskontieren den Gewinn zukünftiger Perioden mit einem Diskontfaktor von δ (pro Periode). Treffen Sie von nun an die Annahme, dass a = 36, b = 16, c = 2, δ = 1/2 gilt. Hinweis 1: Die Werte ergeben eine Cournotmenge von q C = 4/3, eine Monopolmenge von q M = 2, sowie einen Monopolgewinn von π M = 1/4. Sie können diese Werte für die folgenden Teilaufgaben nutzen und ihr allgemeines Ergebnis für q C kontrollieren. Hinweis 2: t=1 δ t = δ/(1 δ). Hinweis 3: 64/9 = 7, 1 ( 7,1) (b) Betrachten Sie folgendes symmetrische Strategienpaar: Firma i = 1,2 bietet in der ersten Periode die Menge q M /2 an. In den Folgeperioden bietet sie q M /2, falls beide Firmen in allen vorangegangenen Perioden jeweils q M /2 angeboten haben. Andernfalls bietet sie q C an. Prüfen Sie, ob ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht vorliegt. (8 Punkte) 14

15 zusätzlicher Platz zur Lösung Teilaufgabe (b) 15

16 Betrachten Sie nun folgendes symmetrisches Strategienpaar: Firma i = 1,2 bietet in der ersten Periode die Menge q an. In den Folgeperioden bietet sie q, falls beide Firmen in allen vorangegangenen Perioden jeweils q angeboten haben. Andernfalls bietet sie q C an. (c) Bestimmenden Periodengewinnder Firmen (in Abhängigkeitvon q), welcher durch dieses Strategienpaar induziert wird. (2 Punkte) 16

17 (d) Bestimmen sie den maximalen Periodengewinn π D (in Abhängigkeit von q), den Firma i durch eine Abweichung generieren kann. (4 Punkte) 17

18 Aufgabe 4: Spiele mit unvollständiger Information (15 Punkte) Spieler S1 und S2 führen ein heftiges Gefecht. S1 weiß nicht, ob S2 stark oder schwach ist. Er geht davon aus, dass S2 mit Wahrscheinlichkeit α stark ist. S2 erfährt, ob er stark oder schwach ist, bevor er seine Aktion wählt. Die Spieler entscheiden gleichzeitig ob sie angreifen (A) oder sich ergeben (E). Ein Spieler, der sich ergibt, erhält grundsätzlich einen Payoff von 0. Ein Spieler, der angreift, erhält einen Payoff von 1, wenn der andere aufgibt. Wenn beide Spieler angreifen, kommt es auf den Typ des S2 an: Ist S2 stark, erhält er einen Payoff von 1, während S1 einen Payoff von 1 erhält. Ist S2 schwach, sind die Payoffs genau anders herum. (a) Stellen Sie das Spiel mit Hilfe zweier 2 2 Matrizen dar. (4 Punkte) 18

19 (b) Geben Sie alle möglichen reinen Strategien von Spieler S2 an. Erläutern Sie kurz Ihre Darstellung einer Strategie. (2 Punkte) (c) Geben Sie für jede mögliche Aktion von S1 die jeweils beste Antwortstrategie für S2 an. (2 Punkte) 19

20 (d) Geben Sie für alle α [0, 1] jeweils alle reinen (Baysianischen) Nashgleichgewichte an. Machen Sie deutlich, dass es sich tatsächlich um Gleichgewichte handelt. (7 Punkte) 20