Zusätzliche Übungsaufgaben

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1 Zusätzliche Übungsaufgaben Diese zusätzlichen Aufgaben werden in der Übung nicht besprochen. Sie bieten Ihnen ergänzendes Übungsmaterial, das beispielsweise zur Vertiefung von Konzepten mit denen Sie eher Schwierigkeiten haben oder zur unmittelbaren Prüfungsvorbereitung hilfreich sein kann. Die Problemstellungen sind entweder relativ einfach oder den besprochenen Aufgaben in der Struktur ähnlich zur Orientierung wird entsprechend in eckigen Klammern jeweils angegeben, nach welchem Übungsblatt Sie in der Lage sein sollten, die Aufgaben zu lösen. Die Ergebnisse (nicht der Lösungsweg) werden zur Kontrolle der eigenen Lösung auf der Veranstaltungsseite bekannt gegeben. Aufgabe Z.1 (Maximin Regel [1]) Lösen Sie das folgende Spiel nach der Maximin Regel! Handelt es sich bei Ihrer Lösung auch um ein Nash Gleichgewicht? Begründen Sie! ( 2, 2 ) ( 5, 5 ) ( 13, 13 ) ( 6, 6 ) ( 5, 5 ) ( 11, 11 ) ( 6, 6 ) ( 4, 4 ) ( 1, 1 ) ( 10, 10 ) ( 3, 3 ) ( 2, 2 ) Aufgabe Z.2 (Dominanzüberlegungen und Nash Gleichgewicht a) & b) [1] Nash GG in stetigen Strategien c) [2] Teilspielperfektheit und Glaubwürdigkeit d) & e) [3]) Auf der Insel Monetaria ist die Zentralbank (Spieler 1) für die Geldpolitik und damit auch für die Inflationsrate verantwortlich. Es sei angenommen, dass von der Zentralbank perfekt steuerbar ist. Für die Bevölkerung (Spieler 2) der Insel geht es darum, die Entscheidung der Zentralbank bereits im Voraus präzise einzuschätzen, um beim Abschluss von Arbeits und Mietverträgen möglichst wenig Fehler zu machen. Die Bevölkerung bildet eine Erwartung über die Inflationsrate. Immer wenn die tatsächliche Inflationsrate von der Inflationserwartung abweicht, entstehen ihr Kosten in Höhe von. Unter Berücksichtigung dieser Kosten lautet die Nutzenfunktion von Spieler 2 somit 16. Die Zentralbank muss bei ihrer Entscheidung einerseits beachten, dass eine hohe Inflation an sich volkswirtschaftliche Kosten (Effizienzverluste) in Höhe von verursacht. An Übung: Dr. Florian Bartholomae Zusätzliche Übungsaufgaben 1

2 dererseits kann Inflation kurzfristig das Problem der Arbeitslosigkeit abmildern, denn dadurch sinken die Reallöhne und der Faktor Arbeit wird für die Unternehmen billiger. Damit das gelingt, muss die Zentralbank die Bevölkerung jedoch überraschen, das heißt eine Inflationsrate wählen, welche die Erwartung der Bevölkerung übersteigt. Die Zentralbank weiß aus Erfahrung, dass der Wirkungsgrad der Inflation auf die Beschäftigung am höchsten ist, wenn 4 gilt, das heißt, wenn die tatsächliche Inflationsrate die erwartete um exakt 4 Prozentpunkte übersteigt. Verfehlt die Zentralbank diese Differenz von 4 Prozentpunkten, dann entstehen ihr Kosten durch einen zu geringen Wirkungsgrad gemäß der Funktion 4. Die Zentralbank gewichtet beide Kostenkomponenten gleich hoch: 0,5 0,5. Unter Berücksichtigung der Kosten lautet ihre Nutzenfunktion somit 32 0,5 0,5. a) Betrachten Sie das Simultanspiel mit diskreten Strategien. Nehmen Sie an, dass die Zentralbank zwischen 0 (keine Inflation) und 4 (Inflation) wählen kann. Der Bevölkerung stehen dementsprechend die Strategien 0 und 4 zur Verfügung. Ermitteln Sie die Auszahlungen für alle Strategiekombinationen (Vorgehensweise jeweils erläutern!) und stellen Sie das resultierende Spiel in Matrixform dar! b) Bestimmen Sie nun mit Hilfe von Dominanzüberlegungen eine plausible Lösung des Spiels! Handelt es sich bei der Lösung um ein Nash Gleichgewicht? Falls ja, stellt das letztendlich zur Lösung führende Verfahren sicher, dass das Nash Gleichgewicht eindeutig ist? Bestimmen Sie über die Reaktionsabbildungen alle Nash Gleichgewichte in reinen Strategien! c) Gehen Sie jetzt von stetigen Strategien aus. Bestimmen Sie die Reaktionsfunktionen und ermitteln Sie dann graphisch und rechnerisch das Nash Gleichgewicht des Simultanspiels inklusive der dabei erzielten Auszahlungen! Unterstellen Sie nun die folgende sequentielle Struktur: Die Zentralbank legt sich in der ersten Stufe bindend auf eine Strategie fest (analog zu einem Stackelberg Führer im Oligopol); die Bevölkerung beobachtet die Strategiewahl und bestimmt in der zweiten Stufe ihre Strategie. d) Bestimmen Sie das Gleichgewicht dieses sequentiellen Spiels inklusive der resultierenden Auszahlungen! e) Das Stackelberg Gleichgewicht aus Teilaufgabe a) stellt im vorliegenden Spiel das Pareto Optimum dar. Es läßt sich jedoch nur dann realisieren, wenn die Festlegung der Zentralbank wirklich bindend ist. Zeigen Sie zunächst unter Zuhilfenahme Ihrer Reaktionskurven Graphik aus c), dass für die Zentralbank ein Anreiz zum Abweichen von der pareto optimalen Lösung besteht! Übung: Dr. Florian Bartholomae Zusätzliche Übungsaufgaben 2

3 Erläutern Sie dann für jeden der folgenden drei Vorschläge jeweils kurz, ob sich damit die sozial wünschenswerte Lösung auch bei simultaner Strategiewahl von Bevölkerung und Zentralbank realisieren lässt: (i) (ii) Die Zentralbank kündigt öffentlich an, eine Inflationsrate von 0 zu realisieren. Für den Zentralbankpräsidenten wird für die Bevölkerung beobachtbar eine erfolgsabhängige Entlohnung festgelegt: Bei hoher Inflation sinkt sein Gehalt, bei 0 wird es maximal. [Hinweis: Das hier angewandte Prinzip entspricht der strategischen Delegation der Unternehmensführung von den Eignern an einen Manager.] (iii) Das Spiel der Bevölkerung gegen die Zentralbank wird vor endlichem oder unendlichem Zeithorizont wiederholt. Betrachten Sie in diesem Kontext folgende Strategiekombination: Die Zentralbank legt die Inflationsrate immer auf 0 fest. In der ersten Periode geht die Bevölkerung von einer Inflationsrate von Null aus. Falls sie in einer Vorperiode nicht in ihren Erwartungen getäuscht wurde, wählt sie auch in den weiteren Perioden die Aktion 0. Weicht die Zentralbank jedoch in einer Periode von der sozial optimalen Lösung ab, so bildet die Bevölkerung für alle Folgeperioden hohe Inflationserwartungen ( Grim Trigger Strategie). [Hinweis: Zur Beantwortung der Frage müssen Sie zunächst sowohl für das endlich als auch für das unendlich oft wiederholte Spiel erläutern, warum diese Strategiekombination ein Gleichgewicht bzw. kein Gleichgewicht des entsprechenden Spiels darstellt. Gehen Sie dabei der Einfachheit halber davon aus, dass zukünftige Auszahlungen nicht abdiskontiert werden.] Aufgabe Z.3 (Medianwähler Theorem, Nash GG in diskreten Strategien [2]) Die beiden Kontrahenten Che Castro und Fidel Guevara möchten sich zum Revolutionsführer der Republik Coconut Paradise wählen lassen. Sie können dazu zwischen drei politischen Positionen wählen: Konservativ, Liberal oder Sozialistisch. Die Zustimmung zu den einzelnen Positionen innerhalb der Wähler lautet: Konservativ Liberal Sozialistisch Übung: Dr. Florian Bartholomae Zusätzliche Übungsaufgaben 3

4 Jeder Wähler gibt demjenigen Kandidaten seine Stimme, der seiner Position am nächsten kommt, das heißt, ein Konservativer würde eher einem liberalen Kandidaten seine Stimme geben als einem sozialistischen Anwärter. Sind beide Kandidaten gleich weit entfernt, so entscheidet der Wähler per Münzwurf. Es gewinnt der Kandidat, der die meisten Stimmen auf sich vereinigen kann. a) Schreiben Sie zunächst das Spiel (Spieler, Strategien und Auszahlungen) in strategischer Form (Matrix) auf (die erwartete Anzahl an Stimmen sei hierbei die Auszahlung)! Che fühlte sich damals dem sozialistischen Lager zugehörig, während Fidel erzkonservativ war. Wer gewinnt in diesem Fall, wenn sich beide entsprechend ihrer Präferenzen für den Wähler ideologisch eindeutig positionieren? b) Zu welchem Ergebnis kommen Sie, wenn beide unbedingt gewinnen möchten und ideologische Fragen hinten anstellen? Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit a) und erläutern Sie vor diesem Hintergrund das Konzept des Nash Gleichgewichts! c) Die Ausgangssituation wird nun in zwei Punkten abgeändert: (i) (ii) Das Politspektrum und damit auch die Strategiemenge der Kandidaten ist nun stetig, das heißt, jeder Kandidat kann zusätzlich zu den Randpositionen (konservativ, sozialistisch) jede beliebige Position dazwischen einnehmen. Alle Wähler sind über diesem Spektrum gleichmäßig verteilt. Sei der Median der Wähler Verteilung. Zeigen Sie, dass die Strategiekombination, das eindeutige Nash Gleichgewicht des Spiels darstellt (Medianwähler Theorem)! Verdeutlichen Sie Ihr Ergebnis auch graphisch anhand der Reaktionsabbildungen! Aufgabe Z.4 (Nash Gleichgewicht, gemischte Strategien [2]) Untersuchen Sie das folgende Spiel systematisch auf Nash Gleichgewichte und wenden Sie dabei auch das Verfahren zur Bestimmung gemischter Strategien an! ( 1, 0 ) ( 1, 2 ) ( 0, 1 ) ( 0, 3 ) ( 1, 1 ) ( 2, 0 ) Übung: Dr. Florian Bartholomae Zusätzliche Übungsaufgaben 4

5 Aufgabe Z.5 (Nash GG in reinen und gemischten Strategien a) & b) [2] Teilspielperfektheit und First Mover Advantage c) & d) [3]) Die beiden Unternehmen Fujita (Spieler 1) und Sumsang (Spieler 2) möchten einen neuen Bildstandard für TFT Bildschirme auf dem Markt durchsetzen. In Frage kommt dabei entweder die von Fujita neu entwickelte Technologie Bestscreen oder die von Sumsang bereits in Feldversuchen erprobte Technologie Cleartop. Grundsätzlich gilt dabei, dass Unternehmen eine höhere Auszahlung als Unternehmen hat, wenn sich seine Technologie als Standard durchsetzt. Die konkreten Auszahlungen von Fujita hängen zusätzlich davon ab, ob das Management vor der Technologiewahl der Unternehmen eine spezifische Investition in Höhe von in die Weiterentwicklung der eigenen Technologie Bestscreen tätigt. Im Erfolgsfall (Technologie wird zum Standard) kann Fujita dann eine Auszahlung von 2 erreichen, bei Misserfolg (die Technologie von Sumsang setzt sich durch) müssen die Investitionen abgeschrieben werden und die Auszahlung beträgt 4. Zur Vereinfachung der weiteren Analyse wird zum einen angenommen, dass die Gewinne von Sumsang durch die Investition nicht direkt beeinflusst werden, und zum anderen werden die Auszahlungen für den Fall eines Standardkriegs (das heißt der Wahl unterschiedlicher Technologien) auf Null normiert. Konkret gibt die folgende Matrix die Auszahlungen in Abhängigkeit der Technologiewahl an, wobei für die Strategie Bestscreen und für die Strategie Cleartop des Spielers 1,2 steht: ( 2, 1 ) ( 0, 0 ) ( 0, 0 ) ( 4, 5 ) Nehmen Sie im Folgenden zum einen positive Investitionen im Intervall 4 0 an und gehen Sie zum anderen davon aus, dass die Technologiewahl der Unternehmen simultan und ohne Absprache erfolgt. a) Ermitteln Sie zunächst alle Nash Gleichgewichte in reinen Strategien, indem Sie jeweils die besten Antworten (Reaktionsabbildungen) bestimmen! Handelt es sich bei der vorliegenden Spielsituation um ein Koordinations oder um ein Kooperationsproblem (Begründung!)? Erläutern Sie das Konzept des Fokuspunkts und geben Sie an, für welche sich unmittelbar aus den Auszahlungen ein Fokuspunkt ableiten lässt! Bestimmen Sie schließlich denjenigen Wert von, für den sich genau die Struktur des Kampfs der Geschlechter ergibt! b) Was versteht man unter einer gemischten Strategie? Wodurch ist ein Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien in einem Zwei Personen Spiel mit zwei reinen Übung: Dr. Florian Bartholomae Zusätzliche Übungsaufgaben 5

6 Strategien gekennzeichnet? Wie können Sie aus dem Ergebnis in a) unmittelbar ableiten, dass im vorliegenden Spiel ein weiteres Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien vorliegen muss? Bestimmen Sie nun mit einem geeigneten Verfahren dieses Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien (Hinweis: Das Ergebnis ist dabei natürlich eine Funktion des Parameters )! Zeichnen Sie die Reaktionsabbildungen für 3 und kennzeichnen Sie die Nash Gleichgewichte! Welches Nash Gleichgewicht ist Ihrer Meinung nach die plausibelste Lösung des Spiels? Hängt Ihre Aussage dabei von ab? c) Gehen Sie jetzt davon aus, dass die Technologiewahl sequentiell erfolgt. Zeichnen Sie das resultierende zweistufige Spiel mit perfekter Information in extensiver Form für 3 unter der Annahme, dass Spieler 2 zuerst zieht! Bestimmen Sie das teilspielperfekte Gleichgewicht dieses Spiels! Was versteht man unter einem First Mover Advantage? Liegt hier einer vor? Welche beiden Eigenschaften müssen bei der Technologiewahl in Realität erfüllt sein, damit die Situation durch das zweistufiges Spiel mit perfekter Information zutreffend beschrieben ist? d) Gehen Sie nun im Gegensatz zur bisherigen Annahme davon aus, dass jeden beliebigen positiven Wert annehmen kann. Wie könnte Fujita nun erreichen, dass für Sumsang kein First Mover Advantage mehr besteht? Warum ist das Ergebnis dann unabhängig davon, wer als erster zieht? Geben Sie nun analog zu b) die plausiblen Lösungen des sequentiellen Spiels in Abhängigkeit von und der Zugreihenfolge an! Aufgabe Z.6 (Teilspielperfektheit und stetige Strategien [3]) Zwei Unternehmen stehen auf einem homogenen Markt miteinander im Wettbewerb. Die Nachfragefunktion lautet 100, wobei X die Gesamtmenge darstellt. Pro produzierter Einheit entstehen Unternehmen Kosten in Höhe von. Beide Unternehmen können durch Investition in Forschung und Entwicklung (F&E) die variablen Produktionskosten reduzieren:, 50 mit, 1,2 und. Der Parameter misst dabei den (positiven) externen Effekt für Unternehmen, wenn Unternehmen in (F&E) investiert. Ein solcher positiver externer Effekt kann etwa dann auftreten, wenn Forschungsergebnisse nicht geheim gehalten werden (können) oder ein Unternehmen in Institutionen öffentlicher Forschung (Universitäten) investiert, wovon auch andere Unternehmen profitieren. F&E verursacht dem Unternehmen jedoch auch Kosten. Es wird unterstellt, dass ein bestimmtes Niveau an F&E überproportional hohe Kosten verursacht, das heißt, die Forschungslabore werden mit abnehmenden Skalenerträgen betrieben: /2. Betrachtet wird nun ein zweistufiges Spiel, bei dem in der ersten Stufe beide Unternehmen Übung: Dr. Florian Bartholomae Zusätzliche Übungsaufgaben 6

7 zunächst simultan ihre F&E Investitionen festlegen. In der zweiten Stufe stehen sie dann miteinander im Mengenwettbewerb und entscheiden jeweils wieder simultan über ihre optimale Ausbringungsmenge (Cournot Wettbewerb). Bestimmen Sie das teilspielperfekte Gleichgewicht dieses zweistufigen Spiels! Wie wirkt sich der Parameter auf den Forschungsanreiz aus? Aufgabe Z.7 (Rubinstein Verhandlungsspiel [3]) In einem lateinamerikanischen Land gibt es bislang in der Bergbauindustrie keine Tarifverträge und es kommt immer wieder zu Betriebsunterbrechungen durch wilde Streiks, weil die Bergarbeiter mit der Entlohnung und den Arbeitsbedingungen nicht einverstanden sind. Diese Situation ist sowohl für die Unternehmen als auch für die Arbeitnehmer unbefriedigend und Arbeitgeberverband und Gewerkschaften einigen sich darauf, einjährige Tarifverträge mit Friedenspflicht (das heißt keine Streiks während der Laufzeit des Tarifvertrags) zu schließen. Da bislang keine Erfahrungen mit Tarifverhandlungen bestehen, wird außerdem beschlossen, die Verhandlungen im Rahmen einer fest vorgegebenen Struktur ablaufen zu lassen. Sie sollen die beiden Verbände bei der Ausgestaltung dieser Verhandlungsstruktur beraten und erinnern sich, dass Sie in Ihrer Spieltheorieveranstaltung das sogenannte Rubinstein Verhandlungsspiel kennengelernt haben. a) Erläutern Sie zunächst kurz verbal die Spielstruktur dieses Verhandlungsspiels (mögliche Aktionen der Spieler, zeitliche Struktur, resultierende Auszahlungen)! b) Gehen Sie nun davon aus, dass durch den Tarifvertrag gegenüber der bisherigen Situation ein Gesamtvorteil von umgerechnet 1 Mio. Euro für die beiden Verhandlungsparteien entsteht, wobei ohne Lohnerhöhung der gesamte Vorteil bei den Unternehmen liegt, bei einer Lohnerhöhung von % die Arbeiter im Umfang von Euro profitieren und somit schließlich bei einer Lohnsteigerung von 10% der gesamte Vorteil bei den Arbeitern liegen würde. Sie schlagen nun vor, dass während der Verhandlungen die Arbeit und Lohnfortzahlung ruht und die Parteien im Abstand von einer Woche abwechselnd Vorschläge machen können (der zeitliche Abstand ist dadurch begründet, dass die Parteien untereinander Zeit brauchen, um sich auf einen neuen Vorschlag zu einigen). Beide Gruppen müssen vor Beginn der Verhandlungen bekannt geben, um wie viel sich durch Produktions bzw. Verdienstausfall der Wert ihres Anteils am Gesamtvorteil verringern würde, wenn es erst eine Woche später zum Verhandlungsabschluss kommen würde. Angenommen, die Gewerkschaft macht den ersten Vorschlag und beide Seiten haben wahrheitsgemäß angegeben, dass durch eine einwöchige Verzögerung der Wert ihres Anteils um 10% sinken würde: (i) Welche Lohnerhöhung sollte die Gewerkschaft vor Übung: Dr. Florian Bartholomae Zusätzliche Übungsaufgaben 7

8 schlagen? (Angabe auf zwei Nachkommastellen z. B. 3,74%) (ii) Wie könnten die Arbeitgeber durch eine falsche, aber für die Gewerkschaft glaubwürdige Angabe des Wertrückgangs aufgrund einer Verzögerung die eigene Position verbessern? (iii) Wie würden Sie auf die Kritik antworten, dass während der Verhandlungen nicht gearbeitet wird und Ihr Verfahren somit ineffizient ist? Hinweis: Im teilspielperfekten Gleichgewicht des Rubinstein Verhandlungsspiels ergibt sich in Abhängigkeit der Diskontfaktoren der Spieler folgende Aufteilung eines auf eins normierten Gesamtvorteils: 1 1, 1 1 Aufgabe Z.8 (Verhandlungsspiele [3]) Der Autoverkäufer Walter Wucherer und sein potentieller Kunde Wils Billig verhandeln über den Preis eines exklusiven Sportwagens. Es ist allgemein bekannt, dass zu Beginn der Verhandlungen die maximale Zahlungsbereitschaft von Herrn Billig bei 100 GE liegt, der Reservationspreis des Verkäufers Wucherer beträgt 90 GE. Der Verkäufer schlägt einen Preis vor, den Herr Billig annehmen oder ablehnen kann ( take it or leave it offer ). Wenn er ihn akzeptiert, erwirbt er das Auto auch zu diesem Preis; lehnt er hingegen ab, macht nun Herr Billig seinerseits ein letztes Angebot zu einem Preis. Herr Wucherer ist ein pragmatischer Unternehmertyp mit gut laufendem Geschäft. Er ist nicht unbedingt auf den Abschluss mit Herrn Billig angewiesen, verhandelt also ein wenig souveräner: Wenn Herr Billig das Angebot ausschlägt und in der zweiten Stufe seine eigene Preisofferte macht, dann steigt für die Verhandlungen in dieser zweiten Stufe der Reservationspreis von Herrn Wucherer auf 90, wobei 10. a) Geben Sie die Aktionen, Strategien und Auszahlungen der beiden Spieler an! b) Finden Sie den Preis, 90, 100, für den ein take it or leave it Angebot des Verkäufers, das vom Käufer akzeptiert wird, ein Nash Gleichgewicht darstellt! Erklären Sie, warum das einzige teilspielperfekte Gleichgewicht dann erreicht wird, wenn der Verkäufer seinen Reservationspreis der zweiten Stufe vorschlägt und der Käufer dieses Angebot akzeptiert! Übung: Dr. Florian Bartholomae Zusätzliche Übungsaufgaben 8